Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
Файл: FERMA-FIN ©Н. М. Козий, 2008 Свидетельства Украины № 27312и 28607 о регистрации авторского права ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ НЕЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение (http://soluvel.okis.ru/evrika.html): Аn
+ Вn
= Сn
* /1/ где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах A, B, С. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Доказательство строим, исходя из основной теоремы арифметики, которая называется «теоремой о единственности факторизации» или «теоремой о единственности разложения на простые множители целых составных чисел». Возможны нечетные и четные показатели степени n. Рассмотрим случай, когда показатель степени n- нечетное число. В этом случае выражение /1/ преобразуется по известным формулам следующим образом: Аn
+ Вn
= Сn
= (A+B)[An-1
-An-2
·B +An-3
·B2
- …-A·Bn-2
+Bn-1
] /2/ Полагаем, что Aи B – целые положительные числа. Из уравнения /2/ следует, что при заданных значениях чисел Aи Bмножитель (A+B) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n. * Числа А, В и С должны быть взаимно простыми числами. Уравнение /2/ действительно при любом нечетном значении показателя степени n. Следовательно, из уравнения /1/ при n =1 имеем: А1
+ В1
= С1
А + В= С/3/ Следовательно, число (А + В) является делителем числа С. Допустим, что число С - целое положительное число. Тогда с учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должновыполняться условие: Сn
= An
+ Bn
=(A+B)n
∙ Dn
, /4/ где число Dтакже должно быть целым числом. Из уравнения /4/ следует: Из уравнения /4/ также следует, что число [Cn
=An
+ Bn
] при условии, что число С – целое число, должно делиться на число (A+B)n
. Однако известно, что: An
+ Bn
< (A+B)n
/6/ Следовательно: Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени nуравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах. Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при нечетном показателе степени n >2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ
Доказательство строим аналогично вышеизложенному доказательству для нечетных показателей степени. Любое четное число, за исключением числа p=2q
, является произведением числа p на нечетные, простые или составные, числа. Следовательно, четный показатель степени можно записать следующим образом: n= pkm = 2q
∙km, /8/ где: p=2q
; q =1, 2, 3,…; k =1,3,5,7,9,…; m=3,5,7,9,11,… Тогда уравнение /1/ можно записать следующим образом: Сn
= An
+ Bn
=Apkm
+ Bpkm
= (Apk
)m
+ (Bpk
)m
/9/ Поскольку показатель степени m– нечетное число, то алгебраическое выражение /9/ преобразуется аналогично уравнению /2/ следующим образом: Cn
= Cpkm
= (Apk
+ Bpk
)∙[ (Apk
)m
-1
- (Apk
)m
-2
∙Bpk
+ + (Apk
)m
-3
∙(Bpk
)2
-…- Apk
∙(Bpk
)m
-2
+ (Bpk
)m
-1
] /10/ При этом уравнения /4/ и /5/ преобразуются следующим образом: Cn
= Cpkm
= (Apk
+ Bpk
)m
∙ Dpkm
/11/ Dpkm
= (Apkm
+ Bpkm
) / (Apk
+ Bpk
)m
/12/ В соответствии с уравнением /6/: (Apkm
+ Bpkm
) < (Apk
+ Bpk
)m
/13/ Следовательно, число Dpkm
– дробное число, меньшее единицы. Отсюда следует, что и при четном показателе степени n= 2q
∙kmуравнение /1/ не имеет решения в целых положительных числах. Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах, как при нечетном, так и при четном показателе степени n >2 и не равном n ≠2q
. Для показателя степени n =2q
существует иное доказательство великой теоремы Ферма. Автор: Николай Михайлович Козий, инженер-механик
|