Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
Автор инженер-механик Козий Николай Михайлович ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение: Аn
+ Вn
= Сn
, (1) где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах. Суть великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом: Аn
= Сn
- Вn
(2) Для доказательства великой теоремы Ферма предварительно докажем вспомогательную теорему (лемму). ЛЕММА: Любое натуральное число N>2 в любой степени равно разности квадратов двух натуральных чисел: Nn
= U2
– V2
(3) Уравнение (3) рассматриваем как параметрическое с параметром Nn
и неизвестными переменными Uи V. Уравнение (3) запишем следующим образом: Nn
= U2
– V2
= (U-V)∙(U+V) (4) Пусть: U – V=M(5) Тогда: U = V + M(6) Из уравнений (4), (5) и (6) имеем: Nn
=M∙ (V+M+V)=M∙(2V+M) = 2V∙M+M2
(7) Из уравнения (7) имеем: Nn
- M2
=2V∙M(8) Отсюда: V = Из уравнений (6) и (9) имеем: U= Из уравнений (9) и (10) следует, что необходимым условием для того чтобы числа Uи Vбыли целыми, является одинаковая четность чисел Nn
и M: оба числа должны быть четными или оба нечетными. Из уравнений (9) и (10) также следует, что необходимым условием для того чтобы числа Uи Vбыли целыми, является делимость числа Nn
на число M , т. е. число Mдолжно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа Nn
. Следовательно, должно быть: Nn
=D·M(11) где D - натуральное простое или составное число. С помощью уравнений (9) и (10) определяются числа Uи V, удовлетворяющие условиям уравнения (3). Отсюда следует: Следствие 1-е: Любое натуральное число N>2 в любой степени равно разности квадратов двух натуральных чисел. Следствие 2-е: Число N=2 в степени n≥3 равно разности квадратов одной пары или нескольких пар натуральных чисел: Следствие 3-е: Любое составное натуральное число в любой степени равно разности квадратов одной пары или нескольких пар натуральных чисел: Доказательство теоремы Ферма С учетом доказанной леммы можно записать: Nn
= Аn
= U2
– V2
(12) Допустим,что великая теорема Ферма имеет решение в натуральных числах. Тогда с учетом уравнений (2) и (11) должны выполняться равенства: Nn
= D·M =Аn
= Сn
- Вn
= U2
– V2
(13) Вn
= V2
Cn
= U2
= В C В соответствии с формулами (13) и (14) число Вn
равно: Вn
= Из уравнения (15) с учетом уравнения (13) следует: Cn
= Из уравнений (18) и (19) имеем: В C Если допустить, что в соответствии с уравнением (20) В – целое число, то из уравнения (21) с очевидностью следует, что C – дробное число.
|