Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
Практическая работа На тему: «Вычисление наибольшего, наименьшего значения функции в ограниченной области» Цель 1. Ознакомление и приобретение навыков вычисления наибольшего, наибольшего значения функции в ограниченной области. Основные вопросы:
1.Наибольшее и наименьшее значение функции. 2.Ограниченная область. 3.Равномерно непрерывная функция. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в этой области найдется, по крайней мере, одна точка N(x0
, y0
, …), такая, что для остальных точек верно неравенство f(x0
, y0
, …) ³ f(x, y, …) а также точка N1
(x01
, y01
, …), такая, что для всех остальных точек верно неравенство f(x01
, y01
, …) £ f(x, y, …) тогда f(x0
, y0
, …) = M – наибольшее значение
функции, а f(x01
, y01
, …) = m – наименьшее значение
функции f(x, y, …) в области D. Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего. Свойство.
Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой точки m Î [m, M] существует точка N0
(x0
, y0
, …) такая, что f(x0
, y0
, …) = m. Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция по крайней мере один раз обращается в ноль. Свойство.
Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена
в этой области, если существует такое число К, что для всех точек области верно неравенство Свойство.
Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она равномерно непрерывна
в этой области, т.е. для любого положительного числа e существует такое число D > 0, что для любых двух точек (х1
, y1
) и (х2
, у2
) области, находящихся на расстоянии, меньшем D, выполнено неравенство Точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения в ограниченной замкнутой области, называют также точками абсолютного или глобального экстремума. Если наибольшее или наименьшее значения достигаются во внутренних точках области, то это точки локального экстремума функции z = f ( x , y ) . Таким образом точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения являются либо локальными экстремумами, либо граничными точками области. Следовательно, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f ( x , y ) в ограниченной замкнутой области D, следует вычислить значение функции в критических точках области D, а также наибольшее и наименьшее значения функции на границе. Если граница задана уравнением ϕ ( x , y ) = 0 , то задача отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на границе области D сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений (абсолютного экстремума) функции одной переменной, так как уравнение границы области D - ϕ ( x , y ) = 0 связывает переменные x и y между собой. Значит, если разрешить уравнение ϕ ( x , y ) = 0 относительно одной из переменных или параметрические уравнения границы области D и подставить их в уравнение z = f ( x , y ) , то придем к задаче нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной. Если уравнение ϕ ( x , y ) = 0 невозможно разрешить относительно одной из переменных или невозможно найти параметрическое задание границы, то задача сводится к отысканию условного экстремума. Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области D функции z = ƒ(х;у) состоит в следующем: 1. Найти все критические точки функции, принадлежащие D , и вычислить значения функции в них; 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = ƒ(х;у) на границах области; 3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее. Задачи:
1.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=х2
у + ху2
+ ху в замкнутой области, ограниченной линиями: у = 1
/x
, х = 1, х = 2, у = -1,5 Решение: Здесь z'x
=2ху+у2
+у, z'y
=х2
+2ху+х. Находим все критические точки: Решением системы являются точки (0;0), (-1;0), (0; -1),(-1/3;-1/3). Ни одна из найденных точек не принадлежит области D . 2
. Исследуем функцию z на границе области, состоящей из участков АВ, ВС, СЕ и ЕА На участке АВ: Значения функции z(-1) = -1, На участке ВС: Значения функции z(1) = 3, z(2) = 3,5. На участке СЕ: z'y
=4у+6, 4у+6=0, у=-3/2. Значения функции На участке АЕ: Значения функции z(1) = -3/4,z(2) = -4,5. 3
. Найти наибольшее M
и наименьшее m
значения функции z = 4x2-2xy+y2-8x
в замкнутой области D
, ограниченной: x = 0, y = 0, 4x+3y=12
. Решение
1. Построим область D
(рис. 1.5) на плоскости Оху
. Угловые точки: О (0; 0), В (0; 4), А (3; 0). Граница Г
области D
состоит из трёх частей: Примеры:
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = х2
у + ху2
+ ху
в замкнутой области, ограниченной линиями: х =
1, х =
2, у =
1,5 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2 x 3 − 6 xy + 3 y 2 в замкнутой области D, ограниченной осью OY, прямой y = 2 и параболой y = x 2 при x ≥ 0 . 3. Найти наибольшее M и наименьшее m значения функции z = 4x2-2xy+y2-8x в замкнутой области D, ограниченной: x = 0, y = 0, 4x+3y=12 . 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=х2
у + ху2
+ ху в замкнутой области, ограниченной линиями: у = 1
/x
, х = 1, х = 2, у = -1,5 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
|