Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
Какова вероятность того, что наудачу взятое натуральное число не делится: а)
ни на два, ни на три; б)
на два или на три? Решение: Пусть А – событие, что натуральное число делится на 2→ p(A)=1/2 (каждое второе натуральное число кратно 2) В-событие, что натуральное число делится на 3 p(В)=1/3 (каждое третье натуральное число кратно 3) а)
С – событие, что наудачу взятое натуральное число не делится ни на два, ни на три Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей Тогда вероятность события С: Т.е. пять из шести натуральных чисел не делится ни на 2 ни на 3 б)
D– событие, что наудачу взятое натуральное число не делится на 2 или на 3 Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий Тогда вероятность события D: Т.е. одно из трех натуральных чисел не делится на 2 или на 3 В ружейной пирамиде имеются винтовки двух систем: одна винтовка типа 1 и две винтовки типа 2. Вероятность попасть в мишень при выстреле из винтовки типа 1 равна р1,
из винтовки типа 2 – р2.
Стрелок производит 7 выстрелов из наудачу взятой винтовки. Чему равна вероятность того, что мишень окажется поражённой не менее пяти раз? Решение: А – событие, что поражена мишень Пусть событие Н1 – винтовка I типа; событие Н2 – винтовка II типа. А/Н1 – мишень поражена при выстреле из винтовки I типа А/Н2 – мишень поражена при выстреле из винтовки II типа Для нахождения вероятности 2. Р
n
(k
) – вероятность, что в n
испытаниях событие наступит k
раз находится по формуле Бернулли Вероятность события, что мишень окажется поражённой не менее пяти раз, если произведено 7 выстрелов из наудачу взятой винтовки. При измерении урожайности картофеля вес клубней в одном кусте распределился по интервалам следующим образом: Построить гистограмму и найти средний вес одного куста. Решение: Гистограмма – служит для изображения интервальных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака Для расчета среднего веса одного куста воспользуемся формулой средней арифметической. Средней арифметической дискретного вариационного ряда где Для каждого интервала найдем середины по формуле Ответ
: средний вес одного куста составляет 3,22 кг. По следующим данным построить интервальный вариационный ряд и гистограмму: 24, 14, 15, 26, 16, 17, 14, 15, 1, 11, 14, 12, 16, 17, 13, 10, 11, 12, 13, 15, 14, 10, 11, 14, 7, 15, 14, 15, 15, 14, 15, 14, 2, 5, 18, 19, 16, 17, 9, 10, 18, 19, 20, 22, 28. Найти среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение. Решение: 1. Проранжируем[1]
исходный ряд, подсчитаем частоту вариантов. Получим вариационный ряд 2. Для определения числа групп воспользуемся формулой Стерджесса
: n = 1+3,322 * lgN где n – число групп, N =45 – число единиц совокупности Для данных задачи n
= 1 + 3,322*lg 45 = 1 + 3,322 * 1,65 = 6б49 » 6 групп Величина интервала представляет собой разность между максимальным и минимальным значением признака в каждой группе. 3. Выполним промежуточные вычисления во вспомогательной таблице и определим значения числовых характеристик: Середины интервалов Средняя арифметическая
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
Среднее значение Дисперсия Среднее квадратическое отклонение Ответ
: Некоторая случайная величина подчиняется закону нормального распределения с математическим ожиданием 50 и дисперсией 36. Найти вероятность того, что отдельное значение случайной величины заключено в интервале от 40 до 60. Решение: Пусть X – случайная величина подчиняется закону нормального распределения По условию Найти
: Для нормального распределения СВ X где Ф(Х) – функция Лапласа, дифференциальная функция нормального закона имеет вид Значения Ф(Х) – табулированы Ответ
: Определить вероятность того, что истинное значение расстояния отличается от среднего (1000 м), полученного в 100 опытах, не более, чем на 5 м, если стандартное отклонение 25 м. Решение: Пусть X – случайная величина расстояния, м По условию Найти
: Ответ
: При измерении дальности расстояния дальномеры дали различные показания так, что среднее расстояние оказалось 1000 м с выборочной дисперсией 36 м2
. В каких пределах находится истинное расстояние с вероятностью 80%, если произведено 11 измерений. Решение: По условию задана выборка объемом 1. Доверительный интервал имеет общий вид 2. По условию используя таблицу значений функции Лапласа 3. Находим значения концов доверительного интервала Т.о., искомый доверительный интервал Ответ
: При определении массы пяти таблеток лекарственного вещества получены следующие результаты: 0,148; 0,149; 0,151; 0,153; 0,155 (г). Найти ошибку в определении массы таблетки с вероятностью 80%. Решение: Вычислим ошибку в определении массы таблетки с вероятностью 80% по формуле: Учитывая, что Таким образом, Ответ
: Ошибка в определении массы таблетки с вероятностью 80% составляет 0,00088 При изменении скорости реакции 2-х человек провели по сто опытов и получили следующие данные: Xср = 100 мс, дисперсия средних равна 9 мс2
, Yср = 110 мс, дисперсия средних равна 16 мс2
. Проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений для уровня значимости 0,02. Решение: Пусть При достаточно больших объемах выборки выборочные средние При выполнении гипотезы По данным задачи В случае конкурирующей гипотезы Т.о. Табулированное значение Если фактические наблюдаемое значение статистики t больше критического tкр
, определенного на уровне значимости a (по абсолютной величине), т.е. Т.к. наблюдаемое значение статистики Оцените достоверность различия продолжительности жизни мужчин (X) и женщин (Y) для уровня значимости 0,10: X Решение: Пусть Вычислим При выполнении гипотезы где Критическое значение статистики находят из условия Т.о. Табулированное значение Т.к. наблюдаемое значение статистики По данным наблюдений за последние 5 лет составили таблицу урожайности пшеницы и числа дождливых дней за вегетативный период: Коррелируют ли данные величины? Решение: Для оценки тесноты корреляционной зависимости между величинами Y и X используется коэффициент корреляции – показатель тесноты линейной связи. Свойства коэффициента корреляции: 1 0
Коэффициент корреляции удовлетворяет неравенству 2 0
В зависимости от близости r к единице различают связь слабую, умеренную, заметную, достаточно тесную, тесную и весьма тесную Оценка тесноты линейной связи(шкала Чаддока) Теснота линейной связи Нет связи Таким образом, коэффициент корреляции r=0,925, следовательно, можно сделать вывод, что между двумя факторами присутствует связь прямая и очень тесная. Ответ
: данные величины коррелируют. По данным таблицы сделайте прогноз значения X, если Y = 3. Решение: 1. Определим и оценим тесноту корреляционной зависимости между величинами Y и X с помощью коэффициента корреляции Коэффициент корреляции r=0,012, следовательно можно сделать вывод, что между двумя факторами связь прямая, но очень слабая (почти отсутствует). Уравнение регрессии выбирают по возможности простым, и оно, как правило, лишь приближенно описывает зависимость между значениями x
одного признака и соответствующими средними значениями другого признака Наиболее простой и употребляемый вид зависимости – линейная зависимость. Она определяется уравнением линейной регрессии. В рассматриваемом примере предположим, что эмпирическая линия регрессии приближается к прямой, и, следовательно, теоретическая линия регрессии может быть представлена уравнением вида: Для нахождения параметров а
и b
уравнения регрессии используем метод наименьших квадратов. Для этого составим и решим систему линейных уравнений: Решив систему уравнений, получим следующие значения параметров a=3,794. b=0,015. Уравнение линейной регрессии Прогноз значения X, если Y = 3 при линейной зависимости 1. Адрухаев Х.М. Сборник задач по теории вероятностей./ Под ред. Проф. А.С. Солодовникова. – М.: Высшая школа, 2005. 2. Горелова Г.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением MSExcel. /Под ред. Г.В. Гореловой, И.А. Кацко. – Ростов н/Д: Феникс, 2006. 3. Информатика и математика для юристов. /Под ред. Проф. Х.А. Адриашина, проф. С.Я. Казанцева. – М.: Юнити-Дана, Закон и право, 2003 4. Ковбаса С.И., Ивановский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для экономистов. – СПб.: Альфа, 2001. 5. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. 6. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач. – Ростов н/Д: Феникс, 1999 г. Информатика 7. Пехлецкий И.Д. Математика. / Под ред. И.Д. Пехлецкого. – М.: Издательский центр «Академия», 2003. 8. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 9. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных чисел: Учебное пособие. /Под общ. Ред. А.А. Свешникова. – СПб: Издательство «Лань», 2007. [1]
Ранжирование
– операция, заключенная в расположении значений признака по возрастанию
|