Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
Основные задачи вычислительной математики. Теория погрешностей. Приближённое вычисление значений функций заданных аналитически. Оценка погрешности вычислений. Работа современного инженера, физика и любого другого исследователя связана с моделированием сложных процессов, происходящих в разных областях знаний и деятельности человека. Зачастую, моделирование является средним звеном в разработке проекта и его внедрения в производство. Процесс проектирования можно представить схематически: (рис 1). рис 1. Для исследования свойств построенной математической модели, в большинстве случаев, не удаётся аналитически решить задачу. Поэтому, вступают в силу методы вычислительной математики, которые позволяют решение каждой задачи довести до числового результата и оценить точность производимых вычислений. При работе с приближёнными величинами приходится решать следующие задачи: а) давать математические характеристики точности приближённых величин; б) оценивать точность результата, когда известна точность исходных данных; в) находить точность исходных данных, обеспечивающую заданную точность результата; г) согласовывать точность исходных данных с тем, чтобы не затрачивать излишней работы при отыскании или вычислении одних данных, если другие данные слишком грубы; а) Определение: абсолютная погрешность - это абсолютная величина разности между точным значением величины Здесь следует различать два случая: - точное значение числа Пример 1: а=5.129 а*=5.128, тогда - точное значение числа Определение: предельной абсолютной погрешностью приближённого числа называют всякое число, не меньшее абсолютной погрешности этого числа. Таким образом, если отсюда следует, что Значение предельной абсолютной погрешности, обычно, подбирается интуитивно по смыслу задачи. Пример 2: Определить предельную абсолютную погрешность числа Так как мы знаем, что и, следовательно, Понятия абсолютной погрешности и предельной абсолютной погрешности, хотя и дают представление о точности вычислений, однако не всегда достаточны. Например: если при измерении длины стержней получены результаты: <l1 и l2>, то, несмотря на совпадение предельных абсолютных погрешностей, качество первого измерения выше второго, т.к. если погрешность близка по величине от самого приближённого числа, то точность этого измерения недостаточна. Изданного примера понятно, что для оценки качества измерения, нам нужна абсолютная погрешность, приходящаяся на единицу длины. Такая погрешность носит название относительной погрешности. Определение: относительной погрешностью Поскольку точное значение величины Определение: предельной относительной погрешностью Отсюда следует, что т.е. но, как известно: Сопоставление формул (1.9) и (1.10) даёт соотношение между предельной абсолютной Из этой формулы иногда выражают Рассмотрим примеры: Пример 3: Вес 1 дм3
воды при Решение: очевидно, что предельная абсолютная погрешность Пример 4: При определении газовой постоянной для воздуха, получили Решение: имеем: Теперь займёмся изучением распространения погрешностей из-за арифметических действий. б) Рассмотрим функцию Нас интересует абсолютная и относительная погрешности вычисленных значений функции По определению видно, что абсолютная погрешность функции обычно Отсюда получаем оценку: Тогда для предельных абсолютных погрешностей имеем: Разделив обе части (1.17) на Или записывая более компактно: Эту формулу можно переписать в виде: в) Рассмотрим частные случаи: 1. Пусть Решение: т.к. то из (1.17) получаем Также из (1.18) получаем: 2. Пусть, Решение: А из (1.18) получаем: Ясно, что если Например, если нам нужно вести вычисления по формуле: 3. Изучим погрешности произведения чисел. отсюда очевидно, что Таким образом, при умножении приближённых чисел, относительные погрешности складываются. 4. Рассмотрим погрешности деления чисел. Поэтому Из вышеизложенных частных случаев следует, что при вычислениях на ЭВМ: - нет смысла производить округление перед сложением (т.к. увеличим погрешность); - при вычитании надо всячески избегать разности близких чисел; - если вычисляем произведение чисел с k верными знаками, то в результате будем иметь не менее k-1 верных знаков; - при делении действуют те же правила, что и при умножении, но надо избегать деления на малое число (близкое к нулю). Вышеизложенная теория погрешностей основана на допущении, что Поэтому все введённые формулы теряют силу, если эти условия нарушены. В таких случаях нужно использовать и квадратичные члены, чтобы получить более точную теорию. Но надо учитывать, что в этом случае формулы значительно усложняются. В заключение рассмотрим числовой пример: Пример 5: Найти предельные абсолютную и относительную погрешности объёма шара Решение: имеем: Упражнение: вывести формулы предельной абсолютной и относительной погрешностей для функции Пример 6: Найти сумму приближённых чисел: Решение: Пример 7: Найти относительную погрешность разности чисел т.е. если Решение: Именно поэтому избегают вычитания приближённых значений близких друг к другу чисел. Пример 8: Найти произведение чисел, если все знаки верные: Решение: то имеем следовательно Окончательно имеем: Пример 9: Расстояние между двумя пунктами по прямой равно За какое время звук распространится от одного пункта до другого в воздухе и по рельсам, если скорость звука в воздухе Решение: т.е.
|