Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
Отдел образования гомельского городского Исполнительного комитета Государственное учреждение образования «Гимназия №71 г. Гомеля» Конкурсной работы «Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач в MATLab» Исполнитель: Орехова Ксения Ивановна, учащаяся 9Б класса Руководитель: Горский Сергей Михайлович, учитель информатики Государственного учреждения образования «Гимназия №71 г. Гомеля» Гомель 2008 Содержание Введение 1. История интегрального и дифференциального исчисления 2. Дифференциал в физике 3. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики 4. Дифференциальные уравнения 5. Примеры решения задач в matlab Список использованных источников Факультативный курс «Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач» имеет своей целью изучение курса математического анализа на основе практического освещения материала, на основе использования методов данного раздела математики для решения задач геометрии и физики; а так же реализации этих задач на компьютере (с помощью пакета MATLAB). В результате можно сказать, что такое объёмное, не конкретное формулирование темы и цели факультативного курса даёт возможным его реализацию в школе. В школьном курсе алгебры и начал анализа курс «Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач» направлен на изучение определённого интеграла. Место темы в школьном курсе математики
. Факультативный курс «Применение интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач» углубляет материал курса алгебры и начал анализа в одиннадцатом классе и раскрывает возможности для практического закрепления материала по темам, входящим в школьный курс математики. Это темы «Производная функции», «Определённый интеграл» в алгебре, и некоторые темы в геометрии и физике. В результате данный факультативный курс реализует межпредметную связь алгебры и математического анализа с геометрией, информатикой и физикой. Развитию у учащихся правильных представлений о характере отражения алгеброй основных элементов в геометрии и физике, роли математического моделирования в научном познании способствует знакомство их с решением и визуализацией различных математических задач на компьютере. Изложение факультативного курса базируется на основных возможностях версии 6.1 пакета математических и инженерных вычислений MATLAB, ставшего в настоящее время стандартным средством поддержки изучения высшей математики, численного анализа и других учебных курсов во многих университетах. Учащимся излагаются основные возможности численных и символьных вычислений, программирования и визуализации результатов, предоставляемые ядром системы MATLAB и его пакета расширения SymbolicMathToolbox. Основные понятия факультативного курса
: определённый интеграл, длина кривой, площадь, поверхность вращения, цилиндрическая поверхность, объём тела и др. Цели факультативного курса.
1. Обучающие
: провести практическое закрепление по теме «Определённый интеграл», познакомить учащихся с пакетом математических и инженерных вычислений MATLAB 6.1, проиллюстрировать реализацию межпредметной связи математического анализа с геометрией, информатикой и физикой. 2. Воспитывающие:
создание условий для успешного профессионального самоопределения учащихся посредством решения трудных задач с использованием компьютера, воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств, средствами углубленного изучения математики. 3. Развивающие:
расширение кругозора учащихся, развитие математического мышления, формирование активного познавательного интереса к предмету, развитие профессиональных интересов учащихся, развитие навыков самостоятельной и исследовательской деятельности, развитие рефлексии учащихся (осознание своих склонностей и способностей, необходимыми для будущей профессиональной деятельности).
1.
История интегрального и дифференциального
исчисления
История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей. Латинское слово quadratura
переводится как «придание квадратной формы». Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античное время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты привычные для нас представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача «о квадратуре круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.) Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355 до н.э.). Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом (ок. 287 – 212 до н.э.). С этой модификацией вы знакомы: вывод формулы площади круга, предложенный в курсе геометрии, основан на идеях Архимеда Его остроумные и глубокие идеи, связанные с вычислением площадей и объёмов тел, решением задач механики, по существу, предвосхищают открытие математического анализа и интегрального исчисления, сделанное почти 2000 лет спустя. Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им. Кроме этого Архимед дал оценку числа «пи» ( Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод — метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f
(х)
, которым, тем не менее, приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx.
В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме На такой кажущейся теперь, по меньшей мере, сомнительной основе И. Кеплер (1571—1630) в своих сочинениях «Новая астрономия» (1609 г.) и «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело разрезалось на бесконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598—1647) и Э. Торричелли (1608—1647). Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип для площадей плоских фигур: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф1 и Ф2 по отрезкам равной длины. Тогда площади фигур Ф1 и Ф2 равны.
Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезным при нахождении объемов. Простейшие следствия принципа Кавальери вы можете вывести сами. Докажите
, например, что прямой и наклонный цилиндры с общим основанием и высотой имеют равные объемы. В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 г. решил задачу квадратуры любой кривой Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона — Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано. Символ ∫
введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S
(первой буквы слова summa
). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integro
, которое переводится, как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово integer
означает целый. В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики — интегральное исчисление (calculus
integralis
), которое ввел И. Бернулли. Другие известные вам термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus
переводится как «начальный»: В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х)
называется также неопределенным интегралом.
Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. А Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии. В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801—1862), В. Я. Буняковский (1804-1889), П. Л. Чебышев (1821—1894). Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826—1866, см. рис. 4.), французского математика Г. Дарбу (1842— 1917).
2.
Дифференциал в физике
Мы ввели понятие дифференциала с помощью равенства 1. Работа.
Найдем работу, которую совершает заданная сила F
при перемещении по отрезку оси х.
Если сила F
постоянна, то работа А
равна произведению F
на длину пути. Если сила меняется, то ее можно рассматривать как функцию от х:
F
=F
(
x
).
Приращение работы А
на отрезке [х,
x
+
dx
]
нельзя точно вычислить как произведение F
(
x
)
dx
,
так как сила меняется, на этом отрезке. Однако при маленьких dx
можно считать, что сила меняется незначительно и произведение представляет главную часть 2. Заряд.
Пусть q
— заряд, переносимый электрическим током через поперечное сечение проводника за время t
.
Если сила тока / постоянна, то за время dt
ток перенесет заряд, равный Idt
.
При силе тока, изменяющейся со временем по закону / = /(/), произведение I
(
t
)
dt
дает главную часть приращения заряда на маленьком отрезке времени [/, t
+-
dt
],
т.е.- является дифференциалом заряда: dq
=
I
{
t
)
dt
.
Следовательно, сила тока является производной заряда по времени. 3. Масса тонкого стержня.
Пусть имеется неоднородный тонкий стержень. Если ввести координаты так, как показано на рис. 130, то функция т= т(1)
— масса куска стержня от точки О
до точки /. Неоднородность стержня означает, что его линейная плотность не является постоянной, а зависит от положения точки / по некоторому закону р = р(/). Если на маленьком отрезке стержня [/, / + d/] предположить, что плотность постоянна и равна р(/), то произведение p(/)d/ дает дифференциал массы dm
.
Значит, линейная плотность — это производная массы по длине. 4. Теплота.
Рассмотрим процесс нагревания какого-нибудь вещества и вычислим количество теплоты Q
{
T
),
которое необходимо, чтобы нагреть 1 кг вещества от 0 °С до Т.
Зависимость Q
=
Q
(
T
)
очень сложна и определяется экспериментально. Если бы теплоемкость с
данного вещества не зависела от температуры, то произведение cdT
дало бы изменение количества теплоты. Считая на малом отрезке [T
, T
+
dT
]
теплоемкость постоянной, получаем дифференциал количества теплоты dQ
=
c
(
T
)
dT
.
Поэтому теплоемкость — это производная теплоты по температуре. 5. Снова работа.
Рассмотрим работу как функцию времени. Нам известна характеристика работы, определяющая ее скорость по времени, — это мощность. При работе с постоянной мощностью N
работа за время dt
равна Ndt
.
Это выражение представляет дифференциал работы, т.е. dA = N
(
t
)
dt
,
и мощность выступает как производная работы по времени. Все приведенные примеры были построены по одному и тому знакомыми нам из курса физики: работа, перемещение, сила; заряд, время, сила тока; масса, длина, линейная плотность; и т. д. Каждый раз одна из этих величин выступала каккоэффициент пропорциональности между дифференциалами двумя других, т. е. каждый раз появлялось соотношение вида dy = k
(
x
)
dx
.
На такое соотношение можно смотреть как на способопределения величины k
(
x
).
Тогда k
(
x
)
находится (или определяется) как производная у
по х.
Этот вывод мы и фиксировали в каждом примере. Возможна и обратная постановка вопроса: как найти зависимость у
от х
из заданного соотношения междуих дифференциалами.
3. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики 1. Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана уравнением y
=
f
(
x
),
a
≤
x
≤
b
, и имеет плотность моменты инерции I
Х
и I
у
относительно тех же осей Ох
и Оу
вычисляются по формулам а координаты центра масс где l
— масса дуги, т. е. Пример 1. Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох
и Оу
дуги цепной линии y
=
chx
при 0≤
x
≤
1. ◄ Имеем: В приложениях часто оказывается полезной следующая Теорема Гульдена
. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс.
Пример 2.Найти координаты центра масс полуокружности ◄Вследствие симметрии Отсюда 2. Физические задачи. Некоторые применения определенного интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах. Пример 4. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой ◄ Так как путь, пройденный телом со скоростью то имеем: 4. Дифференциальные уравнения Многие физические законы имеют вид дифференциальных уравнений, т. е. соотношений между функциями и их производными. Задача интегрирования этих уравнений — важнейшая задача математики. Одни дифференциальные уравнения удается проинтегрировать в явном виде, т.е. записать искомую функцию в виде формул. Для решения других до сих пор не удается найти достаточно удобных формул. В этих случаях можно найти приближенные решения с помощью вычислительных машин. Мы не будем подробно изучать методы интегрирования дифференциальных уравнений, а только рассмотрим несколько примеров. Примеры 1. Уравнение механического движения.
Пусть материальная точка массы т
движется под действием силы F
по оси х.
Обозначим t
время ее движения, и
— скорость, а
— ускорение. Второй закон Ньютона, а =
Fm
примет вид дифференциального уравнения, если записать ускорение, а
как вторую производную: a
=
x
’’.
Уравнение тх" =
F
называют уравнением, механического движения,
где x
=
x
(
t
)
—неизвестная функция, т
и F
— известные величины. В зависимости от условий задачи по-разному и записываются различные дифференциальные уравнения. 2. Радиоактивный распад
Решение дифференциального уравнения- Решение задачи: 3.Движение системы N материальных точек.
Система уравнений Ньютона Частный случай колебания маятника При малых колебаниях 4. Прогибание упругого стержня.
Если стержень однороден, то вдоль стержня постоянное касательное натяжение Откуда Рассмотрим частный случай и его решение Дополнительные условия (закрепленные концы) - Ответ: 5. Примеры решения задач в matlab Задача 1. Построить семейство функций Программа: x=-2:0.1:2; title('{\itf(x)=x^{n}}'); xlabel('x'); ylabel('y'); hFigure=gcf; set(hFigure,'Color',[1 1 1]); hText=text; set(hText,'FontSize',[18]); for n=2:4 y=x.^n; hold on hPlot=plot(x,y); set(hPlot,'Color',[1.8/n 0.7 0.5]); set(hPlot,'LineWidth',2); if n~=2 for i=1:length(y) s=''; if y(i)==y1(i) hold on plot(x(i),y(i),'ko'); s=['(' num2str(x(i)) ',' num2str(y(i)) ')']; hText=text(x(i),y(i)+2, s); set(hText,'FontSize',[16]); end end end y1=y; s2=['n=' num2str(n)]; hText=text(1.5, 1.5^2*n-1, s2); set(hText,'FontSize',[14]); end Результат (рис. 12): Задача 2. Написать программу-функцию, строящую график функции (funstr) и касательную к нему в точке х0. Программа: function kasat(funstr,x0) f=sym(funstr); y0=subs(f,'x',x0); A=x0-1; B=x0+1; X=[A:(B-A)/100:B]; F=subs(f,'x',X); Hline=plot(X,F); set(Hline,'LineWidth',2) syms x k=diff(f,x,1); K=subs(k,'x',x0); yt=sym('y0+k*(x-x0)'); yt=subs(yt,'k',K); yt=subs(yt,'x0',x0); yt=subs(yt,'y0',y0); hold on ezplot(yt,[A B]) plot(x0,y0,'o') grid on Результат (рис. 13):
>> kasat('x^4',2) Задача 3. Построить поверхность вращения графика функции заданной явно: Результат (рис. 14) Программа: x1=0; x2=2; a=1; u=x1:0.1:x2; v=0:pi/20:2*pi; [U,V]=meshgrid(u,v); F=a*(exp(-U/a)+exp(U/a))/2; X=U; Y=F.*cos(V); Z=F.*sin(V); figure; hFigure=gcf; set(hFigure,'Color',[0.9 0.8 0.8]); surf(X,Y,Z) colorbar; view([-75,20]) hold on x=0:0.1:x0; y=a*(exp(-x/a)+exp(x/a))/2; hPlot=plot(x,y); set(hPlot,'LineWidth',5) Задача 4. Визуализировать поверхность, образованной вращением астроиды Программа: Построение астроиды a=2; t=-2*pi:pi/20:2*pi; X=a*cos(t).^3; Y=a*sin(t).^3; w=300; h=300; figure('Units','Pixels','position', [100,100,w,h]); plot(X,Y) xlabel('x'); ylabel('y'); axis([-3, 3, -3, 3]); % Поверхность вращения a=2; t=-2*pi:pi/20:2*pi; X=a*cos(t).^3; v=0:pi/20:2*pi; [T,V]=meshgrid(t,v); Y=a*sin(T).^3; X1=X; Y1=Y.*cos(V); Z1=Y.*sin(V); figure; hFigure=gcf; set(hFigure,'Color',[1 1 1]); surf(X1,Y1,Z1) hAxes=gca; set(hAxes,'Color',[0.9,0.9,0.9]); colorbar; xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z'); view([-24,40]) hold on hPlot=plot(X,Y); set(hPlot,'LineWidth',5) set(hPlot,'Color',[1 0 1]) Задача 5. Построить в полярных координатах лемнискату Бернулли: Программа: a=1; r=[]; phi=[]; for p=0:pi/60:2*pi if 2*a^2*cos(2*p)>=0 r=[r sqrt(2*a^2*cos(2*p))]; phi=[phi p]; end end hFigure=gcf; set(hFigure,'Color',[1 1 1]); hP=polar(phi,r); set(hP,'LineWidth',2); Результат (рис. 17): Задача 6. Используя численные и символьные вычисления в MATLAB найти: а) определённый интеграл; б) двойной интеграл; в) поверхностный интеграл (1-го рода). а) Классической задачей численного анализа является задача о вычислении определённых интегралов. Из всех методов вычисления определённых интегралов самым простым, но в то же время довольно успешно применяемым является метод трапеции. В MATLAB для этого метода предусмотрена функция: trapz(x,y) (команда edit trapz позволяет вывести текст этой функции). Одномерный массив х (вектор) содержит дискретные значения аргументов подынтегральной функции. Значения подынтегральной функции в этих точках сосредоточены в одномерном массиве y. Чаще всего для интегрирования выбирают равномерную сетку, то есть значения элементов массива х отстоят друг от друга на одну и ту же величину – шаг интегрирования. Точность вычисления интеграла зависит от величины шага интегрирования: чем меньше этот шаг, тем больше точность. Задача 7. Вычислить интеграл Программа: Результат: functiont=trap(dx) x=0:dx:5; y=sin(x).*exp(-x); t=trapz(x,y); >> format long >> trap(1) ans = 0.42255394026468 >> trap(0.1) ans = 0.50144886299125 >> trap(0.01) ans = 0.50226667654901 >> trap(0.001) ans = 0.50227485744814 Метод трапеций является очень универсальным методом и хорошо подходит интегрирования не слишком гладких функций. Если же функция под знаком интеграла является гладкой (существуют и непрерывны несколько первых производных), то лучше применять методы интегрирования более высоких порядков точности. При одном и том же шаге интегрирования методы более высоких порядков точности достигают более точных результатов. В системе МАТLАВ методы интегрирования более высоких порядков точноcти реализуются функциями quad (метод Симпсона) и quad8 (метод Ньютона-Котеса 8-го порядка точности). Оба этих метода являются к тому же адаптивными
. Последнее означает, что пользователю нет необходимости контролировать достигнутую точность результата путем сравнения последовательных значении, соответствующих разным шагам интегрирования. Все это указанные данные функции выполняют самостоятельно. У функции quad8 более высокий порядок точности по сравнению с функцией quad, что очень хорошо для гладких функций, так как обеспечивается более высокая точность результата при большем шаге интегрирования (меньшем объеме отчислений). Однако функция quad может иметь не меньшее, а даже большее быстродействие для не слишком гладких функций (разрывны или велики по абсолютной величине вторая или третья производные). В любом случае обе эти функции по умолчанию обеспечивают одинаковую относительную точность результата, равную 0.001. Как и многие другие функции системы МАТLАВ, функции quad и quad8 могут принимать различное количество параметров. Минимальный формат вызова этих функций включает в себя три параметра: имя подынтегральной функции, нижний предел интегрирования и верхний предел интегрирования. Если применяется четвертый параметр, то он является требуемой относительной точностью результата вычислений. Кстати, если обе эти адаптивные функции не могут обеспечить получение необходимой точности (расходящийся или близкий к этому интеграл), то они возвращают символическую бесконечность Inf. Для вычисления определённых интегралов символьными методами можно использовать два варианта решения: напрямую или по этапам (с подстановкой символьных чисел). Задача 8. Вычислить определённый интеграл Программа: Результат: a1=sym('0'); b1=sym('2'); syms w t a b w=t^2; % 1 способ: работа с подстановкой символьных чисел symbol=int(w,'t',a,b) symbol2a=subs(symbol,[a,b],[a1,b1]) digits(20); number=vpa(symbol2a) % 2 способ: работа с символьными числами symbol2b=int(w,'t',a1,b1) symbol = 1/3*b^3-1/3*a^3 symbol2a = 8/3 number = 2.6666666666666666667 symbol2b = 8/3 Задача 9. Вычислить площадь поверхности, полученной вращением астроиды вокруг оси Ox
: Программа: Результат: t1=sym('0'); t2=sym('pi/2'); a=sym('1'); syms x y t f x=a*cos(t)^3; y=a*sin(t)^3; f=y.*sqrt(diff(x)^2+diff(y)^2); symbol=simplify(int(4*pi*f,'t',t1,t2)) digits(10); number=vpa(symbol) symbol = 12/5*pi number = 7.539822370 б) Двойные интегралы сводятся к вычислению повторных определённых интегралов, один из которых является внутренним, а другой внешним. Внутренний интеграл является подынтегральной функцией для внешнего интеграла. Можно было бы для численных вычислений написать некоторую цепочку вычислений, в которой многократные вычисления подынтегральной функции сводились бы к многократным вызовам функции quad. Однако нет необходимости делать это самостоятельно, так как в системе MATLAB для этого имеется специальная функция dblquad. Задача 8. Вычислить интеграл Программа: Результат: function z=fof(x,y) z=x.*sin(y)+y.*sin(x); >> format long >> dblquad('fof',0,1,1,2) ans = 1.16777110966887 Задача 9. С помощью символьных вычислений получить следующие интегралы Программа: symsxy z=sym('x*sin(y)+y*sin(x)'); i1=int(z,'x') i2=int(z,'x',0,1) i3=int(int(z,'x'),'y') i4=int(int(z,'x',1,2),'y',0,1) digits(14); number4=vpa(i4) i5=int(int(x+y,'y',x,1),'x',0,1) i1 = 1/2*x^2*sin(y)-y*cos(x) i2 = 1/2*sin(y)-y*cos(1)+y i3 = -1/2*x^2*cos(y)-1/2*y^2*cos(x) i4 = -1/2*cos(2)-cos(1)+3/2 number4 = 1.1677711124054 i5 = 1/2 Так как символьные вычисления не дают погрешности метода вычисления и сами по себе они более точные, то можно увидеть, что функция dblquad даёт точный результат до 7 знака после запятой. в) Из высшей математики известно, что к определенным и двойным интегралам могут быть сведены многие другие типы интегралов, например поверхностный интеграл 1-го рода. Так как при его нахождении используется дифференцирование под знаком интеграла, то использовать численные вычисления некорректно. Задача 10. Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода: Программа: Результат: symsxyzf1 f2 f1=1-x-y; f2=x*y*z; fun=subs(f2,z,f1) d=1+diff(f1,x)^2+diff(f1,y)^2 syms x1 x2 y1 y2 x1=sym('0'); x2=sym('1'); y1=sym('0'); y2=sym('1-x'); intpov1=int(int(fun*sqrt(d),'y',y1,y2),'x',x1,x2) digits(10); number=vpa(intpov1) fun = x*y*(1-x-y) d = 3 intpov1= 1/120*3^(1/2) number = 1443375673e-1 Задача 11. Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода Сначала создадим функцию, описывающую поверхность по которой происходит интегрирование: function [x,y,z]=pov; syms x y z u v a x=a*sin(u)*cos(v); y=a*sin(u)*sin(v); z=a*cos(u); Программа: syms x y z u v a f=sym('x^2+y^2'); [x0,y0,z0]=pov; syms E G F W E=diff(x0,'u')^2+diff(y0,'u')^2+diff(z0,'u')^2; G=diff(x0,'v')^2+diff(y0,'v')^2+diff(z0,'v')^2; F=diff(x0,'u')*diff(x0,'v')+diff(y0,'u')* diff(y0,'v')+diff(z0,'u')*diff(z0,'v'); W=sqrt(E*G-F^2); f2=W*subs(f,[x,y],[x0,y0]); syms u1 u2 v1 v2 u1=sym('0'); u2=sym('pi/2'); v1=sym('0'); v2=sym('pi/2'); p=sym('8'); intpov=p*int(int(f2,'v',v1,v2),'u',u1,u2) intpov2=simplify(intpov) digits(10); number=vpa(intpov2) b=sym('1'); int=subs(intpov2,a,b) intpov = 4/3*a^2*pi*(a^4)^(1/2)*4^(1/2) intpov2 = 8/3*a^4*pi*csgn(a^2) number = 8.377580412*a^4*csgn(a^2) int = 8/3*pi Примечание. Функция сsgn является специфической в MATLAB. Она не может быть введена пользователем и возникает только при оперировании с функцией simplify (упрощение символьных выражений). Например: >> syms a t >> t=csgn(a^2)*a^2 ??? Undefined function or variable 'csgn'. >> simplify((a^4)^(1/2)) ans = csgn(a^2)*a^2 >> simplify((a^8)^(1/4)) ans = (a^8)^(1/4) >> simplify((a^9)^(1/3)) ans = (a^9)^(1/3) 1. Ануфриев, И.Е. Самоучитель MatLab 5.3/6.х / И.Е. Ануфриев. - СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 736 с. 2. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г.Н. Берман, И.Г. Араманович, А.Ф. Бермант и др. - М.: Наука, 1966. - 456 с. 3. Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа для втузов / А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. - М.: Наука, 1966. - 736 с. 4. Гультяев, А. Визуальное моделирование в среде MatLab / А. Гультяев. - СПб.: Питер, 2001. - 553 с. 5. Демидович, Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Б.П. Демидович, Г.С. Бараненков, В.А. Ефименко и др. - М.: Наука, 1966. - 472 с. 6. Лазарев, Ю.Ф. MatLab 5.х / Ю.Ф. Лазарев. - Киев: BHV, 2000. - 388 с. 7. Мартынов, Н.Н. Matlab 5.х: вычисления, визуализация, программирование / Н.Н. Мартынов, А.П. Иванов. - М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2000. - 336 с. 8. Куринной, Г.Ч. Математика: Справочник / Г.Ч. Куринной. - Харьков: Фолио; Ростов на Дону: Феникс, 1997. - 463 с. 9. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов в 2 томах / Н.С. Пискунов. - М.: Наука, 1966. - 2 т. - 312 с. 10. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3 томах / Г.М. Фихтенгольц. - М.: Государственное изд-во физико-математической литературы, 1959. - т. 1-3. 11. Сайты http://www/informika.ru, htt://www.softline.ru, http://matlab.ru.
|