Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
Дисциплина: Высшая математика
Тема: Полное исследование функций и построение их графиков.
1. Возрастание и убывание функции
Решение различных задач из области математики, физики и техники приводит к установлению функциональной зависимости между участвующими в данном явлении переменными величинами. Если такую функциональную зависимость можно выразить аналитически, то есть в виде одной или нескольких формул, то появляется возможность исследовать ее средствами математического анализа. Имеется в виду возможность выяснения поведения функции при изменении той или иной переменной величины (где функция возрастает, где убывает, где достигает максимума и т.д.). Применение дифференциального исчисления к исследованию функции опирается на весьма простую связь, существующую между поведением функции и свойствами ее производной, прежде всего ее первой и второй производной. Рассмотрим вначале, как можно находить интервалы возрастания или убывания функции, то есть интервалы ее монотонности. В п. 8.2 были даны определения монотонно убывающей и возрастающей функции. Исходя из этого, можно сформулировать простые теоремы, позволяющие связать значение первой производной данной функции с характером ее монотонности. Теорема 1.1
. Если функция Доказательство. Пусть функция Рис. 1.1 Рассмотрим предел Теорема 1.2
. Если функция Доказательство. Возьмем 2. Экстремумы функции
При исследовании поведения функции особую роль играют точки, которые отделяют друг от друга интервалы монотонного возрастания от интервалов ее монотонного убывания. Определение 2.1
. Точка Точки минимума и максимума имеют общее название точек экстремума. У кусочно-монотонной функции таких точек конечное число на конечном интервале (рис. 2.1). Рис. 2.1 Теорема 2.1 (необходимое условие существования экстремума)
. Если дифференцируемая на интервале Доказательство этой теоремы следует из теоремы Ролля (п. 14.1), в которой было показано, что в точках минимума или максимума Из теоремы 2.1 вытекает, что если функция Однако данное условие не является достаточным, так как существуют функции, у которых указанное условие выполняется, но экстремума нет. Например, у функции Определение 2.2
. Точки, в которых производная функции обращается в ноль или терпит разрыв, называются критическими точками данной функции
. Следовательно, теоремы 2.1 недостаточно для определения экстремальных точек. Теорема 2.2 (достаточное условие существования экстремума)
. Пусть функция Доказательство. Если производная функции меняет свой знак при переходе точки Из вышесказанного следует схема исследования функции на экстремум: 1) находят область определения функции; 2) вычисляют производную 3) находят критические точки; 4) по изменению знака первой производной определяют их характер. Не следует путать задачу исследования функции на экстремум с задачей определения минимального и максимального значения функции на отрезке. Во втором случае необходимо найти не только экстремальные точки на отрезке, но и сравнить их со значением функции на его концах. 3. Интервалы выпуклости и вогнутости функции
Еще одной характеристикой графика функции, которую можно определять с помощью производной, является его выпуклость или вогнутость. Определение 3.1
. Функция Докажем теорему, позволяющую определять интервалы выпуклости и вогнутости функции. Теорема 3.1
. Если во всех точках интервала Доказательство проведем для интервала выпуклости функции. Возьмем произвольную точку Рис. 3.1 Для определенности обозначим уравнение кривой: Применим к разности где Применим теперь теорему Лагранжа к выражению в квадратных скобках: где Определение 3.2
. Точка, отделяющая интервал выпуклости от интервала вогнутости, называется точкой перегиба
. Из определения 3.1 следует, что в данной точке касательная пересекает кривую, то есть с одной стороны кривая расположена ниже касательной, а с другой – выше. Теорема 3.2
. Если в точке Доказательство данной теоремы следует из того, что знаки Исследование функции на выпуклость и вогнутость проводится по той же схеме, что и исследование на экстремум. 4. Асимптоты функции
В предыдущих пунктах были рассмотрены методы исследования поведения функции с помощью производной. Однако среди вопросов, касающихся полного исследования функции, есть и такие, которые с производной не связаны. Так, например, необходимо знать, как ведет себя функция при бесконечном удалении точки ее графика от начала координат. Такая проблема может возникнуть в двух случаях: когда аргумент функции уходит на бесконечность и когда при разрыве второго рода в конечной точке уходит на бесконечность сама функция. В обоих этих случаях может возникнуть ситуация, когда функция будет стремиться к некоторой прямой, называемой ее асимптотой. Определение
. Асимптотой графика функции Различают два типа асимптот: вертикальные и наклонные. К вертикальным асимптотам относятся прямые линии Наклонные асимптоты описываются общим уравнением прямой линии на плоскости, то есть Итак, пусть кривая Из треугольника Но выше было сказано, что Рис. 4.1 Зная Таким образом, найдены Аналогично проводится исследование и при 5. Общая схема исследования функций
На основании приведенных результатов можно провести полное исследование функции с качественным построением ее графика. План этого исследования следующий: 1) находят область определения функции; 2) определяют точки разрывов функции и их характер; 3) находят корни функции; 4) определяют четность или нечетность функции; 5) проверяют функцию на периодичность; 6) вычисляют производную функции, находят ее критические точки, находят интервалы монотонности и экстремумы; 7) вычисляют вторую производную функции и по ней определяют интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба; 8) находят асимптоты функции; 9) по полученным данным строят качественный график исследуемой функции. Литература
1.Зайцев И.А. Высшая математика. ДРОФА, 2005. – 400 с. 2.Краснов М. Вся высшая математика т. 1 изд. 2. Едиториал УРСС, 2003. – 328 с. 3.Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109 с. 4.Мироненко Е.С., Розанова С.А., ред., др, Розановой С.А., Кузнецова Т.А. Высшая математика. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2009. – 168c. 5.Михеев В.И., Павлюченко Ю.В. Высшая математика. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2007. – 200c. 6.Пак В.В., Носенко Ю.Л. Высшая математика. Сталкер, 1997. – 560 с.
|