Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Тульский государственный университет на тему: «Поверхности»
Дисциплина: «ИНЖЕНЕРНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА» Выполнил студент группы 120691 Юдин А.С. Проверил Казимиров А.Н. Поверхность - название для двумерного многообразия в пространстве. Поверхности определяются как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений. Это неявный способ указания поверхности. Существуют еще два: явный способ (возможно, выразить одну переменную из уравнения поверхности через другие) и параметрический способ задания. При параметрическом указании задается система уравнений, которая и определяет поверхность. Простая поверхность - поверхность, которую можно представить как часть плоскости, подвергнутую непрерывным искажениям. Поверхности классифицируются по многим признакам. Некоторые из них: 1) Кривизна: каждому направлению поверхности от заданной точки соответствует своя форма сечения, которая и определяет кривизну; 2) Наличие касательной к поверхности: обычно касательная к поверхности – это плоскость. В некоторых случая через одну точку поверхности можно провести сколь угодно много касательных. Наличие касательной у какой-либо поверхности влияет на ее гладкость; 3) Метрика и внутренняя геометрия; 4) Нормаль: за нормаль к поверхности принимают единичный вектор, перпендикулярный касательной плоскости в заданной точке. Существует так же нормальное сечение; 5) Геодезические линии: кривая на поверхности называется геодезической линией, если во всех её точках главная нормаль к кривой совпадает с нормалью к поверхности; 6) Площадь: площадь в общем смысле – это числовая характеристика. Существуют поверхности с бесконечной площадью, например параболоид; 7) Ориентация: ориентированной называется двусторонняя поверхность с выбранным направлением нормали. Приведем примеры некоторых поверхностей, опишем их основные характеристики, укажем применение и обозначение. Эллипсоид
. Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид где a, b и c - положительные числа. Данная поверхность обладает тремя плоскостями симметрии, тремя осями симметрии и центром симметрии. Ими служат соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Существует так же эллипсоид вращения. Применяется в геодезии. Сфера
– частный случай эллипсоида - замкнутая поверхность, следовательно, она имеет конечную площадь. Площадь сферы находят по формуле S=4πR^2. Поверхность обозначается формулой: (x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = R^2. Применяется во многих отраслях (например, шарики для подшипников) Рис. 1 На рисунке 1 представлен тор
. Тор получается при вращении окружности радиуса b по окружности радиуса a. Существует возможность проведения такой касательной плоскости, которая будет иметь с тором только одну единственную точку. Обозначается параметрическими уравнениями: Применяется в хлебопекарной промышленности. Рисунок 1 содержит катеноид
. Параметрическое уравнение: Эта поверхность применяется в медицинской технике, для создания излучателя ультразвуковых волн. Имеет бесконечную площадь, причем это поверхность вращения. Псевдосфера и
меет следующее параметрическое уравнение: Существование псевдосферы выявлено из работ Лобачевского. Рис. 2 На рисунке 2 изображен геликоид
. Прямой геликоид - поверхность, образованная движением прямой, вращающейся вокруг оси и перпендикулярной к ней и одновременно поступательно движущейся в направлении этой оси, причем скорости этих движений пропорциональны. Задается параметрическими уравнениями: Применяется при создании винтовых поверхностей, например лестниц или валов мясорубок. Параболоид
– поверхность вращения. Описывается уравнениями: z = ax^2 + by^2 Одна из наиболее известных поверхностей – цилиндр
. Имеет параметрические уравнения вида: x=cos2Ps; y=2t-1; z=sin2Ps. Цилиндры имеют широчайшее применение во всех сферах жизни (например, колесо автомобиля, кружка, ручка). Существует еще много поверхностей в пространстве, которые имеют необычную для нас форму и размер. Мы рассмотрели лишь простейшие из них.
|