Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
1. Независимо друг от друга 10 чел. Садятся в поезд, содержащий 15 вагонов. Вероятность того, что все они поедут в разных вагонах? Р= число близких иходов
= 15….14…….- 6
= 15 !
-2 Число элемент. исходов 15*15*15…15
5
! » 1,88 * 1е 15 _____________________________________ 2. В электрической цепи последовательно включены 3 элемента, работающие независимо друг от друга. Их вер-ть отказов равны 1
49
1
. Найти вероятность того, что тока не будет? 50 ; 50 ; 4 -- - - А –ток есть Аi – i-й прибор не исправен Р (А1) = 49
Р (А2)= 1
Р ( А3) = 3
50 ; 50 ; 4 _ Р (А)=1-Р(А) = 1-Р (А1 А2 А3 ) = 1-Р (А1) Р (А2)* Р (А3) = 1- 49
* 1
- 3
= 9,753
50 50 4 10,000 ____________________________________________________________________________________________ 3. Вер-ть попадания хотя бы раз в мишень при 12-ти выстрелах равно 41
. Найдите вер-ть попадания при одном выстреле? 50 Аi – успешный i – выстрел _________ Р = 41
= 1-Р ( А1 …..А12) – не попали ни в одном случае из 12-и выстрелов = 50 __ __ _ 12 12 = 1 – Р (А1) …..Р (А12) = 1 – Р (А1) ;41
= 1-Р (А1) 50 Найти Р (А1) _ 12 Р (А1) = 1- 41
= 9
50 50 _ 12__ Р (А1) = Ö9
50 _ 12__ Р (А1) = 1-Р (А1) = 1 - Ö9
» 0,133 50 ___________________________________________ 4. Имеются 28 билетов, на каждом из которых написано условие нескольких задач. В 13 билетах задачи по статистике, а в остальных 15 – задачи по теории вероятности. 3 студента выбирают на удачу по одному билету. Найти вероятность того, что хотя бы одному из студентов не достанется задача по теории вероятности. Аi –студенту достанется задача по теории вероятности А – всем достанется задача по теор. вероят. А
= А1 А2 А3 А – хотя бы одному не достанется задача по теор.вероят. _ Р (А) = 1 – Р(А) = 1- Р (А1 А2 А3) = 1 – Р *(А3) * Р (А1 А2) = 1-Р *(А3) * Р * А1А2А1А2 А1 *(А2)*Р (А1)= 1 – 15
* 14
* 13
= 0,265 28 27 26 5. В ящике содержится 6 деталей, изготовленных на 1-м заводе, 2 детали на 2-м заводе и 4 детали на 3-м заводе. Вероятность брака на заводах равна 19
, 19
и 59
20 50 100 Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь будет качественная. Н1 – деталь с 1-го завода Н2 - деталь со 2-го завода Н3 - деталь с 3-го завода. Р(Н1) = 6
= 1
; Р(Н2) = 2
= 1
; Р(Н3) = 4
= 1
12 2 12 6 12 3 А - извлеченная деталь качественная _ _ _ _ Р (А) = Р *(А) * Р (Н1) + Р *(А) * Р (Н2) + Р *(А)*Р (Н3) =19
* 1
+ 19
* 1
+ 59
*1
=147
=> Н1 _ Н2Н3 20 2 50 6 100 3 200 Р (А) = 1 – Р (А) = 53/200 __________________________________________________________________________________________ 6. Независимые вероятные величины Х,У представляют только целые значения Х: от 1 до 16 с вер-ю 1
16 У: от 1 до 23 с вер-ю 1
23 Р ( Х+У = 32) 9 23 16 23 10 22 16 16 = 8* 1
* 1
= 1
16 23 46 _________________________________________________________________________________________ 7. Независимые случайные величины Х , У принимает только целые значения. Х:
от 1 до 14 с вероятностью 1
14 У:
от1 до 7 с вероятностью 1
7 Найти вероятность того, что Р (Х £ У) 7 14 Если У = 6 то 1£ Х £ 5 1
* 5
7 14 Если У = 5 то 1£ Х £ 4 1
* 4
7 14 Если У = 4 то 1£ Х £ 3 1
* 3
7 14 Если У = 3 то 1£ Х £ 2 1
* 2
7 14 Если У = 2 то 1 = Х 1
* 1
7 14 Р (Х<У) = 1
* 6
+ 1
* 5
+ 1
* 1
= 1+2+3+4+5+6
= 21
= 3
7 14 7 14 7 4 7 * 14 714 14 _________________________________________________________________________________________ 8. Независимые величины Х1……Х7 принимают только целые значения от 0 до 10 с вероятностью 1
11 Найти вероятность того , что Р(Х1…….Х7) = 0 Р (Х1……Х7 =0) = 1-Р (Х1….Х7¹ 0) = 1- Р( Х1¹0….Х7¹ )=1-Р( Х1¹0 )*Р (Х2¹0) *….* Р(Х7¹0) = 1 – 10
* 10
= 1 - 10
11……. 11 11 7 раз 9. Независимые случайные величины Х, У, Z принимают целые значения Х: от 1 до 13 с вероятн-ю 1
13 У: от 1 до 12 _____/_____ 1
12 Z от 1 до 9 _____/_____ 1
9 Вероятность того, что Х;У;Z. примут разные значения? Пусть “Z” приняло какое-то значение “а”. Р (У¹а) = 11
12 Пусть при этом У= в Р (Z ¹ a; Z ¹в) = 11
; Р = 11
* 11
13 12 13. _______________________________________________________________________________________ 10. Р ( Х < м) - ? Р ( Х < 5,2) = Р(Х=1) + Р(Х=4) = 0,5 11. 2 Х 4 9 25 Д (Х) - ? М(Х) = 0,4+0,9+2,5=3,8 2 М (Х ) = 0,8+2,7+12,5 = 16 2 2 2 Д (Х) = М (Х ) – М (Х) = 16 - 3,8 = 1,56 ______________________________________________________________________________________________________________ 12. Независимые величины Х1,…….,Х9 принимают целое значение – 8, - 7,…..,5,6 с вероятностью 1
15 Найти М (Х1,Х2,…..,Х9) * М (Х2,….,Х9) = М (Х1) * М(Х2)*….* М(Х9) =М (Х9) М (Х1) = -8 * 1
– 7 * 1
* 6 * 1
- … + 5 * 1
+ 6 * 1
= 1
(-8-7-5….+5+6) = -1
15 15 15 15 15 15 = М (Х1) = ( -1) = -1
13. м= М (Х)-? М (Х) = 2 + 2 + 1,2 + 2,8 + 4 = 12 Р ( (Х-м) <d) Д (Х) = М (Х – М (Х) ) = М (Х-12) 2 (Х-12) 1 4 0 2 М (Х-Р) = 8+1,6 _____ d (Х) = Öd (Х) » 3,1 = Р (Х=10) + Р (Х=12) + Р (Х=14) = 0,5
___________________________________________________________________________________________________________
14. Х, У – неизвестные случайные величины Д(Х) = 4 ½2 2 2 2 Д(У) = 8
½ Д (Х)=М(Х ) – М (Х) = М (Х ) = Д (Х) + М (Х) = 4 + 9 = 13
Д (Х У) 2 2 М (У ) = Д (Х) + М (У) = 8 + 4 = 12 = 12*13 – (2 * 3) = 156 – 36 = 120
__________________________________________________________________________
15. Х, У – независимые неизвестные величины. Принимают значение 0 и 1. Р (Х=0) = 0,3 ½2 2 2 2 2 2 2 Х , Х 0 1 2 Х , Х 0 1 2 М (Х) = 0,7 = М (Х ) 2 = 0,7 + 2 * 0,7 * 0,4 + 0,4 = 1,66
16. Х, У независимые неизвестные величины Принимают значение 0 и 1. Х 0 1 У 0 1 М (3 ) - ? х-у х -у х -у М (3 ) = М (3 * 3 ) =М (3 ) * М (3 ) = 2,4 * 2
= 1,6 3 х 3 1 3 -у 3 1 1
3 М (3 ) = 0,3 + 2,1 = 2,4 М (3 ) = 0,5 + 0,5
= 4
* 0,5 = 1
3 3 3 _____________________________________________________________________________________________________________ 17. Производится 10240 независимых испытаний, состоящих в том, что подбрасываются 9 монет Х – число испытаний, в которых выпало 3 герба М (Х) -? 1-испт. - 9 монет 9 испытаний Р = 1
2 3 3 6 3 9 Р(Г = 3) = С9 * (1
) * (1
) = С9 * (1
)= 84 * 1
- 21
= … 2 2 2 512 128 n = 10240 испытаний Р = 21
; М (Х) = np = 21 * 10240
= 1680
128 128 18. В серии независимых испытаний (одно испытание за ед.времени) вероятность наступления А равна 1
8. Пусть Т-время ожидания наступления события А 14 раз. Найти М (Т)1 Д (Т). Х1 – время ожидания до первого наступления А Х2 – время ожидания от первого наступления А до 2-го Т = Х1 + Х2 +Х3 + …..Х14 Хi Р = 1
8 7/8 p 1/8 М (Т) = 14М * (Х1) 14 * 8 = 112
Д (Т) = Д(X1 ) = 14 * 56 = 784
19. Величины Х1 …..Х320 распределены по Биноминальному закону с параметрами п =4, р = 3
Найти М (Х1 +Х2 + …+ Х320)=? 8 2 2 2 2 2 М (Х1) = пр = 3
= М(Х1 ) = Д(Х1) + М (Х1) = 2 = 15
+ 3
= 15
+ 9
= 51
2 8 16 16 2 16 4 16 16 _____________________________________________________________________________________________________________________ 20. Величины Х1 …..Х18 распределены по закону Пуассона с одинаковым мат. ожиданиям равным 8. 2 2 Найти М (Х1 +…+ Х18 ) - ? M (Х) = Д (Х) = l= 8 2 2 2 2 М (Х1 +…+ Х18 ) = 18 М (Х1 ) = 18 (Д (Х1) + М (Хi ) )=18(8 + 64)=18 * 72=1296 _________________________________________________________________________________________________________ 21. Х – равномерно распределён на отр. [ - 8,2 ] Х 5 1
– 5 >0 ; 1 – 5Х
> 0; Х –
1/
5
< 0 Û (0< Х <0,5) Х Х Х 1 – 5Х
> 0; Х – 1/5
< 0 Х Х f (Х)= 1
; а < Х< в F (Х) = х – а
; а £ Х £ аÛ0< Х 1/5 в –о в –а 0,Х > в 1, Х >B F (Х) = Х + 8
= F (1/5) - F ( 0 ) =1/5 + 8
- 8
= 1
5 10 10 50 _______________________________________________________________________________________________________________________ 22. Х – равномерно распределена наотр. [ -17; 10 ] 2 2 Р ( Х > 64) = 1- Р ( Х < 64) = 1 – 16
27 2 F(Х) =Х + 17
, -17 £ Х £ 10 27 1, Х > 10 = F (8) – F (-8) = 8 + 17
- -8 + 17
= 16
27 27 27 ______________________________________________________________________________________________________________ 23. Х – равномерно распределена наотр. [ -1; 1 ] М ( Х ) a 0; x <-1 M(x)= ∫ x f(x) dx f (x)= -1<x<1 b 0; x>1 a M(y(x))=∫ y (x) f (x) dx b M(X ) = ∫ ½* X DX = ½ * X
= 9/17 -1 17/9 -1 24. Х – равномерно распределена наотр. [ 0.1 ] 9/10 9/10 Д ( 19Х ) = 361 (Х ) 9/10 9/10 2 2 9/10 9/4 2 9/10 9/10 * 2 Д (Х ) = М ((Х ) ) - М(Х ) = М (Х ) - М (Х ) Х __________________________________________________________________________________________________________ 25. Х – равномерно распределена наотр. [ 5; 8 ] * Д (24x+ 36) - ? Д (24Х + 36) = Д (24Х) = 576 * Д (Х) = 576 * 3
= 432 2 4 Д (Х) = ( в – а )
12 2 Д (Х) = 8 – 5
= 9
= 3
12 12 4 _______________________________________________________________________________________________________________ 26. Х1,……Х2 – Независимые и распределенные по показательному закону. 2 Найти М [ (Х1 + Х2 + …..+ Х10) ], если М (Хi ) = 4. М (Х) = 1
l Д (Х) = 1
l M (Хi ) = > Д (Хi) = 16 2 2 2 М [ (Х1 +….+ Х10) ]=Д(Х1 +…+ Х10) + М (Х1 +….+ Х10) =10Д (Х1)+[ 10М (Х1) ]= 2 = 160 + ( 10 * 4) = 1760 _________________________________________________________________________________________________________________ М(Х) =1/l; Д(Х) = 1/l 27. Х –распределен по показательному признаку 2 Найти М [ (Х + 8) ] , если Д (Х) = 36М (Х)=6 2 2 2 2 М (Х + 8) = M(Х + 16х + 64) = М (Х ) + 16М (Х) + М (64) = Д (Х) + М (Х) + + 16 М(Х) + 64 =36 + 36 + 96 + 64 =232 ____________________________________________________________________________________________________________ 28. Х –показательное распределение; Х – показательный закон 0, Х < 0 1 – е , Х >0, Найти Ln (1 – Р ( Х < 6) ) = Ln (1 – F (6) ) = = F (6) = 1 – е = Ln ( 1 – (1 – е ) ) = Ln е = - 6/7 29. (Х) - случайная величина 0, Х < 10 ƒ (Х) = С
; Х ≥ 10 С - ? ; М (Х) - ? ¥¥ опр. B ¥ -5 ∫ ƒ (Х)dх = 1 =>∫ с
dх = lim ∫ = cdx
= C lim ∫ X dx = 10 10 5 b->¥ 10 5 b->¥ 10 Х X b -4 -4 4 4 4 = C * lim X
= C lim - b
+ 10
= C * 10
= > 1 = C 10
= > b->¥-4 b->¥4 4 4 4 10 4 =>C = 4 * 10 0; Х < 10 ƒ (Х) = 4 4 * 10
, Х ³ 10 5 Х ¥¥ 4 М (Х) = ∫ Х ƒ (Х) dx = ∫ 4 * 10
dx 10 10 4 Х _________________________________________________________________________________ 30. Х – нормальная случайная величина М (Х) = 16 Д (Х) = 25
? – Р (Х>10,5) = 1
- f 10,5 – 16
= 0,5 + f (1,1) = 0,5 + 0,364 = 0,864 2 5 ________________________________________________________________________________________ 1. Р (d £ X £ b ) = fb – m
- fd - m
dd 2. P ( X < b ) = 1
+ fb – m
2 d 3. P ( X > b ) = 1
- fb – m
|