Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
"Системы с постоянной четной частью" Содержание
Введение. 3 1. Четные и нечетные вектор-функции. 4 2. Основные сведения из теории отражающих функций. 6 3. Системы чёт-нечет. 11 4. Построение примеров систем, четная часть общего решения которых постоянная 14 5. Простые и простейшие системы.. 22 6. Построение множества систем, четная часть общего решения которых постоянна 26 6.1 Системы, имеющие постоянную четную часть. 26 6.2 Построение систем с заданной четной частью.. 27 Заключение. 31 Список использованных источников………………………………………… 25 Основным инструментом нашего исследования является понятие отражающей функции. Исследования с помощью отражающей функции позволяет получить новые результаты даже для уже хорошо изученных линейных систем. При изучении вопросов существования периодических решений дифференциальных систем и уравнений используются свойства симметричности (четность, нечетность и т.п.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений. В данной работе мы будем рассматривать семейства решений с постоянной четной частью, т.е. когда четная часть будет представлена в виде константы. Разберем примеры систем, семейства решений которых имеют постаянную четную часть. Будем изучать построение систем с заданной четной частью. 1. Четные и нечетные вектор-функции
По аналогии с вещественными функциями одной переменной, вектор-функцию Любую функцию с симметричной областью определения, можно представить как сумму четной и нечетной функций. Действительно, если и то и Отметим следующие свойства четных и нечетных функций. Свойство 1
Производная дифференцируемой четной (нечетной) функции есть функция нечетная (четная).
Доказательство. a) Т.к. б) Т.к. Свойство 2
Если Доказательство. Поскольку Подставив вместо Откуда следует 2. Основные сведения из теории отражающих функций
Рассмотрим систему считая, что её правая часть непрерывна и имеет непрерывные частные производные по Пусть Определение:
Отражающей функцией системы
(1) назовем дифференцируемую функцию
определяемую формулой или формулами
Для отражающей функции справедливы свойства: 1) Для любого решения системы (1) верно тождество 2) Для отображающей функции 3) Дифференцируемая функция будет отражающей функцией системы (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям в частных производных и начальному условию Уравнение (5) будем называть основным уравнением (основным соотношением)
для отражающей функции. Доказательство. Свойство 1) следует непосредственно из определения (2). Для доказательства свойства 2) заметим, что согласно свойству 1) для любого решения Из этих тождеств в силу того, что через каждую точку Приступим к доказательству свойства 3). Пусть из которого в силу произвольности решения Пусть некоторая функция Лемма Основная лемма 3
Пусть правая часть системы
(1) и поэтому решение системы (1) будет В качестве следствия этой леммы докажем следующее предположение. Утверждение 4
Пусть непрерывно дифференцируемая функция и Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что функция Согласно основной лемме любое продолжимое на справедливых в силу свойства 1) отражающей функции. Справедливы следующие утверждения [4]. Теорема 5
Пусть все решения системы
(1) Теорема 6
Пусть система
(1) Аналогичная теорема имеет место в том случае, когда не все решения системы (1) продолжимы на отрезок Из Не следует думать, что если все решения В случае, когда Теорема 7
Пусть уравнение
(1) Рассмотрим систему Будем считать, что всюду в дальнейшем эта система удовлетворяет условиям: а) Функция б) Правая часть системы (8) Лемма 8
Пусть система
(8) удовлетворяет условиям а) и б). Тогда продолжимое на отрезок где – есть нечетная часть решения Доказательство. Пусть Необходимость доказана. Пусть и поэтому Таким образом, точка Доказанная лемма, вопрос о периодичности решения сводит к вычислению одного из значений нечетной части удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений. Прежде, чем выписать эту систему, заметим: так как решение системы (8). Заменяя в тождестве (9) Из тождеств (9) и (10) найдем производные: Таким образом вектор-функция удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений порядка При этом Систему (12) будем называть системой чет-нечет, соответствующей системе (8). решение системы чет-нечет, как следует из условия а), однозначно определяется своими начальными условиями. 4. Построение примеров систем, четная часть общего решения которых постоянная
Пример Найдем решение: будем использовать метод исключения, возьмем первое уравнение системы и выразим из него теперь продифференцируем его Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы Сделаем преобразования и приведем подобные Таким образом: Сделаем проверку, для этого в исходную систему подставим полученное решение: Получили верные равенства. Значит было найдено правильное решение исходной системы. Четная часть общего решения: Пример Найдем решение: будем использовать метод исключения, возьмем первое уравнение системы и выразим из него теперь продифференцируем его Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы Сделаем преобразования и приведем подобные Таким образом: Сделаем проверку: Четная часть общего решения Пример Найдем решение: будем использовать метод исключения, возьмем первое уравнение системы и выразим из него теперь продифференцируем его Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы Получили два решения 1) 2) Сделаем проверку для Получили верные равенства. Значит было найдено правильное решение исходной системы. Сделаем проверку для Отсюда видно, что Таким образом: Четная часть общего решения Из данных примеров можем заметить, что решения систем записывается в виде: где Системы вида (13) будут иметь семейства решений с постоянной четной частью. В этом легко убедится, проделав вычисления, аналогичные предыдущим примерам. 5. Простые и простейшие системы
Лемма 9
Для всякой непрерывно дифференцируемой функции
для которой выполнены тождества (4), имеют место соотношения Теорема 10
Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функции c непрерывно дифференцируемой правой частью, отражающая функция которой совпадает с Теорема 11
Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функции
определенной в области отражающая функция которой совпадает с Следствие 12
Дважды непрерывно дифференцируемая функция
является отражающей функцией хотя бы одной дифференциальной системы тогда и только тогда, когда для нее выполнены тождества (4). Системы, существование которых гарантируется теоремами 10
и 11
, называются соответственно простой
и простейшей
. Теорема 13
Пусть
простейшая система, тогда где Доказательство. Если система простейшая, Теорема 14
Пусть
есть отражающая функция некоторой дифференциальной системы, решения которой однозначно определяются своими начальными данными, а для непрерывно дифференцируемой функции выполнены тождества (4). Тогда для того, чтобы в области или вид где есть некоторая непрерывная вектор-функция. Будем говорить, что множество систем вида (1) образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция со свойствами: 1) Oтражающая функция любой системы из рассматриваемого множества совпадает в своей области определения 2) Любая система вида (1), отражающая функция которой совпадает в области Две системы вида (1), принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными. Допуская определенную вольность речи, будем говорить также, что они имеют одну и ту же отражающую функцию. Функцию Из третьего свойства отражающей функции следует, что система (1) и система принадлежат одному классу эквивалентности тогда и только тогда, когда система уравнений совместна. Необходимым условием совместности этой системы является тождество 6. Построение множества систем, четная часть общего решения которых постоянна
Пусть нам дана система Перед нами стоит следующий вопрос о том, когда семейство решений этой системы будут иметь постоянную четную часть. То есть, когда Возьмем отражающую функцию системы (14) получим четную часть следующим образом: Теорема 15
Если выполнено тождество
где Доказательство. Возьмем любое решение Поэтому можем записать Из условия теоремы имеем Таким образом получили, что Рассмотрим систему (14). Будем строить систему с заданной четной частью. Пусть нам известна четная часть Следовательно, можем записать Отсюда зная (3), получим где получим требуемую систему. Пример 16
Пусть
где Преобразуем правую часть Перепишем полученное в виде: Выразим Для всех систем вида (17) должно быть выполнено условие Возьмем Найдем Подставим значения Получаем требуемую систему: Пример 17
Пусть
где и преобразуем правую часть Перепишем полученное в виде: Выразим Для всех таких систем должно быть выполнено условие Возьмем Подставим найденные значения в систему (18) и сделав преобразования аналогичные примеру 16
, получаем: Рассмотрим теперь общий случай, когда нам задана четная часть Поэтому, если при заданной Таким образом, мы пришли к Теорема 18
Всякая система
где при любой заданной дифференцируемой функции имеет общее решение с четной частью Если то система (19) имеет вид: Таким образом, мы пришли к выводу: Следствие 19
Общее решение дифференциальной системы имеет постоянную четную часть тогда и только тогда, когда эта система простейшая.
Основным результатом данной работы является построение дифференциальных систем, семейство решений которых имеет заданную четную часть. А так же теорема о связи простейшей системы и системы, семейство решений которой имеет постоянную четную часть. Теорема.
Общее решение дифференциальной системы имеет постоянную четную часть тогда и только тогда, когда эта система простейшая.
Список использованных источников
[1]
Арнольд В.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1971 – 240 с. [2]
Бибиков Ю.Н., Общий курс дифференциальных уравнений, изд. Ленинградского университета, 1981 – 232 с. [3]
Еругин Н.П., Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3-е издание, М. изд. Наука и Техника, 1979 – 744 с. [4]
Мироненко В.И., Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений, г. Минск: изд. Университетское, 1986 – 76 с. [5]
Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1970 – 331 с.
|