Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
СИСТЕМИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН () Вступ N
-вимірний вектор 1. Розподіли системи двох випадкових величин
Система двох дискретних випадкових величин однозначно визначається сумісним розподілом ймовірностей,
який можна задати матрицею y1
y2
… ym
( Стовпчики матриці відповідають значенням Розподіли називають розподілами компонент
системи двох випадкових величин Аналогічно, сума елементів j
-стовпчика дорівнює ймовірності значення Приклад 1.1. Система двох випадкових величин y1
y2
Знайти розподіли компонент системи випадкових величин. Розв’язування
. За формулами (1.1а) та (1.1b) Отже, розподіли компонент Будь-який двовимірний випадковий вектор (неперервний чи дискретний) однозначно визначається інтегральною функцією сумісного розподілу
яка визначає ймовірність того, що випадкова величина X
приймає значення менше ніж x
, а Інтегральна функція розподілу випадкового вектора Властивість 1
. Властивість 2
.Функція Властивість 3
.Мають місце граничні співвідношення Властивість
Для функція З використанням функції розподілу (1.2) легко можна обчислити ймовірність попадання випадкової точки у напівсмугу Імовірність попадання випадкової точки у напівсмугу дорівнює приросту
інтегральної функції сумісного розподілу по відповідному аргументу. Доведення.
Імовірність попадання у напівсмугу Імовірність попадання випадкової точки у прямокутник утворений прямими (рис.1.3) обчислюється за формулою Доведення.
Імовірність попадання у прямокутник дорівнює різниці ймовірності попадання точки у напівсмугу Приклад 1.2. Знайти ймовірність пападання випадкової точки Розв’язування
. За формулою (1.4) в якій Система двох неперервних випадкових величин Приклад 1.3. Знайти густину сумісного розподілу системи випадкових величин Розв’язування
. За формулою (1.5) Інтегральна функція сумісного розподілу неспадна по кожному аргументу і тому За відомою густиною сумісного розподілу інтегральну функцію сумісного розподілу можна визначити за формулою Приклад 1. Знайти інтегральну функцію сумісного розподілу системи випадкових величин Розв’язування
. За формулою (1.6) Враховуючи , що Ймовірність попадання випадкової точки яка одразу слідує з означення подвійного інтеграла Приклад 1.5. Система випадкових величин Знайти ймовірність попадання випадкової точки у прямокутник з вершинами Розв’язування
. За формулою (1.7) Функції є інтегральними функціями розподілу компонент
системи двох неперервних величин Приклад 1.6. Система випадкових величин Знайти інтегральні функції компонент. Розв’язування
. За формулою (1.8а) За формулою (1.8б) За відомою густиною сумісного розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин можна обчислити густину розподілу кожної її компоненти: Доведення
. З означення густини розподілу компоненти Аналогічно для другої компоненти: Приклад 1.7. Двовимірний вектор Знайти густини розподілів компонент X
та Y
. Розв’язування
. За формулою(1.9а) при і при За формулою(1.9b) при і при Дискретні випадкові двовимірні вектори однозначно визначаються також умовними розподілами
компонент X,Y
: За теоремою множення ймовірностей залежних подій ( ( Приклад 1.8. Необхідно обчислити умовні розподіли компоненти X
системи випадкових подій y1
y2
при Розв’язування
. Імовірність події ( За формулою (1.10а) Умовний розподіл компоненти X
при Імовірність події ( За формулою (1.10а) Умовний розподіл компоненти X
при Імовірність події ( За формулою (1.10b) Умовний розподіл компоненти Y
при Імовірність події ( За формулою (1.10b) Умовний розподіл компоненти Y
при Імовірність події ( За формулою (1.10b) Умовний розподіл компоненти Y
при Умовні густини
розподілу компонент системи двох неперервних випадкових величин Приклад 1.9. Двовимірний вектор Знайти умовні розподіли компонент X
та Y
. Розв’язування
. при У підсумку Аналогічно за формулою (1.11b) Як і будь-які інші густини розподілу, умовні ймовірності мають такі властивості Дві випадкові величини є незалежними
, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від значення іншої. Умовні розподіли незалежних величин дорівнюють їх розподілам: для неперервних величин і для дискретних випадкових величин. Необхідною та достатньою умовою незалежності випадкових величин є або, як наслідок, 2. Характеристики системи двох випадкових величин
Система двох випадкових величин Початкові та центральні моменти означаються рівностями Найбільш важливими серед них є математичне сподівання компонент, дисперсії компонент та кореляційний момент. Математичні сподівання компонент означаються так: З використанням математичних сподівань компонент початкові та центральні моменти системи двох випадкових величин можна означити більш зручним способом: ( Дисперсії компонент означаються тотожностями Кореляційний момент характеризує лінійний зв’язок між випадковими величинами. Він означається як центральний момент Кореляційний момент часто називають коваріацією
і позначається З використанням кореляційного моменту і коефіцієнта кореляції 3 –у властивість дисперсії (3.3.2.7) можна узагальнити на випадок суми (різниці) довільних випадкових величин: Доведення
. Для незалежних випадкових величин кореляційний момент дорівнює нулю: Доведення
. Абсолютна величина кореляційного моменту випадкових величин не перевищує середньогеометричногозначення дисперсій: Доведення
. Дисперсія випадкової величини Дійсно: За означенням дисперсія невід’ємна, тому з (1*) звідки Аналогічно, дисперсія випадкової величини звідки Нерівності (2*) та (3*) рівносильні одній нерівності З означення кореляційного моменту слідує, що його розмірність дорівнює добутку розмірностей випадкових величин. Іншими словами, величина (точніше, число, яке визначає цю величину) кореляційного моменту залежить від одиниць вимірювання випадкових величин. Цього недоліку немає коефіцієнт кореляції
, який визначається відношенням кореляційного моменту випадкових величин і добутку середньоквадратичних відхилень компонент Абсолютна величина коефіцієнта кореляції не перевищує одиниці: Нерівність (2.10) очевидна, якщо розділити нерівність (2.8) на Дві випадкові величини X
та Y
називають корельованими
, якщо їх коефіцієнт кореляції не дорівнює нулю і, відповідно, некорельованими,
якщо коефіцієнт кореляції дорівнює нулю. Дві випадкові корельовані величини обов’язково залежні. (з умови Приклад 2.1.Двовимірна випадкова величина Довести, що випадкові величини X
та Y –
залежні некорельовані величини. Доведення
. Необхідно довести, що Видно, що (інтеграли від непарних функцій у симетричних границях дорівнюють нулю), а це і означає, що залежні випадкові величини X
та Y
некорельовані. Незалежні випадкові величини обов’язково некорельовані. Некорельовані випадкові величини можуть бути як незалежними, так і залежними. Проте, некорельовані випадкові величині із нормальним розподілом у сукупності
обов’язково незалежні ( Доведення
Якщо З використанням сумісного розподілу системи випадкових величин Для неперервних величин Доведення 4-ї властивості математичного сподівання.
За означенням для дискретних величини (враховано, що для незалежних подій Для неперервних величин Умовні початкові та центральні моменти порядку k
компонент означаються рівностями Найбільш важливими серед умовних моментів є умовні математичні сподівання компонент Умовні математичні сподівання компонент характеризують зв’язок між випадковими величинами Умовне математичне сподівання компоненти Y
є функцією x
і називається функцією регресії Y на X
. Аналогічно, умовне математичне сподівання компоненти X
є функцією y
і називається функцією регресії X на Y
. Приклад 2.2.Дискретна випадкова величина задана сумісним розподілом y1
=3y2
=6
Необхідно обчислити функцію регресії Y на X та функцією регресії X на Y. Розв’язування
.За означенням (2.14b) регресія Y
на X
За формулою (1.1a) За формулою (1.10а) За формулою (1*) Аналогічно для решти значень випадкової величини X
. Отже, функція регресії Y
на X
За означенням (2.14a) регресія X
на Y
За формулою (1.1b) За формулою (1.10b) За формулою (2*) Аналогічно для іншого значення випадкової величини Y
. Отже, функція регресії X
на Y
Середньоквадратична регресія.
Нехай a
,
b
-параметри, які необхідно обчислити. Функція називається середньоквадратичною регресією Y на X
. Дещо громізкими, але простими викладками можна довести ,що Доведення
. Точки мінімуму функції З врахуванням цього ця система рівнянь запишеться у вигляді розв’язок якої а значить середньоквадратична регресія Y
на X
остаточно запишеться у вигляді Коефіцієнт прямою середньої квадратичної регресії Y
на X.
Мінімальне значення функції Аналогічно, можна одержати пряму середньоквадратичної кореляції X
на Y:
(коефіцієнт З рівностей (3.4) та (3.6) слідує, що обидві прямі проходять через точку Лінійна кореляція нормальних величин
Якщо обидві функції регресій X
на Y
та Y
на X
є лінійними функціями, то говорять, що X
та Y
зв’язані лінійною кореляційною
залежністю. Графіки лінійних регресій – прямі лінії, які співпадають з прямими середньоквадратичних регресій. Якщо двовимірна випадкова величина (X
,Y
) має нормальний закон розподілу у сукупності, то X
та Y
зв’язані лінійною кореляційною залежністю. Доведення
.Для спрощення густину нормального сумісного розподілу можна записати у вигляді Для знаходження регресії З врахуванням цього Тому Густина умовного розподілу компоненти Порівнюючи одержану густину умовного розподілу з густиною нормального розподілу можна зробити висновок, що умовний розподіл компоненти та умовною дисперсією Аналогічно можна одержати функцію регресії Видно, що обидві функцій регресій є лінійними, а значить кореляція між співпадають з прямими середньоквадратичної регресії (3.5) та (3.6).
|