Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
Зміст Вступ 1. Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса 2. Метод Гауса 3. Метод Жордана-Гауса Висновки Список використаних джерел При розв’язуванні системи лінійних алгебраїчних рівнянь можливі такі випадки: а) система має єдиний розв’язок; б) система має безліч розв’язків; в) система не має розв’язків. У випадках а) і б) систему називають сумісною, а у випадку в) - несумісною. Якщо система сумісна і має єдиний розв’язок то її називають визначеною, а коли безліч розв’язків - невизначеною. Випадок, коли система має кінцеве число розв’язків більше одного неможливий. Позначимо через Через Матрицю Для того, щоб система рівнянь із Зауваження
. У випадку сумісності системи система має єдиний розв’язок (визначена), коли Однорідна система Однорідна система завжди сумісна, так як вона має розв'язок Якщо визначник системи Якщо де Рівняння системи перетворились в тотожності, так як якщо дорівнює нулеві (ця сума є сумою добутків елементів також дорівнює нулеві, так як вона дорівнює визначнику системи Відмітимо, що при побудові розв’язку системи беруться алгебраїчні доповнення того рядка, де хоч би одне із 1. Основні означення та результати Розглянемо систему m
лінійних рівнянь з n
невідомими: Означення
. Розв’язком системи (1) називається сукупність значень невідомих що задовольняють усі рівняння системи (1). Означення
. Система рівнянь (1) називається сумісною, якщо вона має принаймні один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має розв’язків. Система рівнянь називається визначеною, якщо вона має лише один розв’язок, і невизначеною, якщо вона має безліч розв’язків. Дві системи рівнянь з однаковими невідомими називаються рівносильними, якщо кожний розв’язок однієї системи є розв’язком іншої системи або якщо ці системи рівнянь несумісні. У результаті еквівалентних перетворень системи рівнянь завжди дістаємо рівносильну систему рівнянь. До еквівалентних перетворень системи належать: 1) переставлення місцями рівнянь; 2) множення або ділення рівнянь на число, що не дорівнює нулю; 3) додавання до деякого рівняння іншого рівняння, помноженого на довільне число. Будь-який метод розв’язування системи рівнянь (1) передбачає виконання еквівалентних її перетворень, завдяки яким вона зводиться до такого вигляду, що розв’язок уже легко знайти. Запишемо вектори-стовпці Для того щоб система рівнянь (1) була сумісною, тобто мала принаймні один розв’язок, необхідно і достатньо, щоб вектор Звідси дістаємо умову Кронекера-Капеллі сумісності системи рівнянь. Для того щоб система (1) була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг r
матриці дорівнював рангу розширеної матриці Нехай система рівнянь (1) сумісна, тобто виконується рівність Якщо, Очевидно, що вибір базисного мінора неоднозначний. Якщо Якщо Решту змінних називають вільними. Значення таких змінних можна вибирати довільно. Якщо вільні змінні вибрано, то базисні змінні можна вибрати єдиним чином. Якщо вільні невідомі дорівнюють нулю, то відповідний розв’язок системи (1) називається базисним. Розглянемо однорідну систему рівнянь, що відповідають системі (1): Вона сумісна, бо завжди має нульовий розв’язок Будь-яка лінійна комбінація розв’язків також є розв’язком системи рівнянь (4). Якщо всі розв’язки (5) лінійно незалежні, тобто ранг матриці дорівнює ( Будь-який розв’язок системи рівнянь (4) можна подати у вигляді (6), тобто у вигляді лінійної комбінації розв’язків (5), які утворюють фундаментальну систему розв’язків. При цьому розв’язок (6) системи рівнянь (4) називається загальним розв’язком однорідної системи (4). Загальний розв’язок системи (1) є сумою деякого частинного розв’язку цієї системи, наприклад базисного розв’язку, і загального розв’язку однорідної системи рівнянь (4). Приклад. Розглянемо систему п’яти лінійних рівнянь з чотирма невідомими Можна переконатися, що ранг матриці коефіцієнтів і ранг розширеної матриці дорівнюють r
= 2. За базисний мінор візьмемо визначник елементи якого входять до перших двох рівнянь і є коефіцієнтами при Замість системи (7) можна розв’язати систему, утворену з двох перших рівнянь: Візьмемо вільні невідомі Вважаючи х
3 і х
4 довільними змінними, із системи рівнянь знайдемо розв’язки Нехай Запишемо однорідну систему рівнянь Вона має лінійно незалежні розв’язки: які утворюють фундаментальну систему розв’язків системи (5). Отже, система рівнянь (7) має загальний розв’язок де С
1, С
2 - довільні сталі. Загальний розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь подається не в одному й тому самому вигляді. Метод Гауса розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в послідовному виключенні змінних і перетворенні системи рівнянь до трикутного вигляду Припустимо, що в системі (1) коефіцієнт За допомогою першого рівняння виключимо х
1 із решти рівнянь. Обчислення виконаємо в таблиці: Іноді вводять контрольний стовпець Далі перший рядок множимо послідовно на а
21 і віднімаємо від другого рядка, множимо на а
31 і віднімаємо від третього рядка і т.д. Позначивши дістанемо таблицю коефіцієнтів: Для невідомих Позначивши помножимо другий рядок послідовно на Продовжуючи процес виключення невідомих, дістаємо нарешті таблицю: Таблиця коефіцієнтів при невідомих набирає трикутного вигляду. На головній діагоналі всі елементи Цю систему розв’язують, починаючи з останнього рівняння. Спочатку знаходять Якщо система рівнянь з n
невідомими має єдиний розв’язок, то ця система завжди може бути перетворена до трикутного вигляду. Приклад. Знайдемо розв’язок системи рівнянь за методом Гауса. Складемо таблицю Перший рядок віднімемо від другого. Далі помножимо перший рядок на другий і віднімемо від третього рядка. Дістанемо таблицю Помножимо другий рядок на третій і додамо до третього рядка: Поділивши останнє рівняння на 14, дістанемо систему Послідовно знайдемо: У загальному випадку метод Гауса застосовується для дослідження та розв’язування системи рівнянь з n
невідомими Утворимо таблицю коефіцієнтів: Скориставшись методом виключення Гауса і переставивши перші n
стовпців, перетворимо таблицю до такого вигляду: Якщо хоча б один із коефіцієнтів Приклад. Знайдемо розв’язок системи рівнянь Утворимо таблицю коефіцієнтів системи: Помноживши перший рядок на 2, віднімемо його від другого рядка. Потім перший рядок віднімемо від третього й дістанемо таблицю: Віднімемо другий рядок від третього й запишемо таблицю яка відповідає несумісній системі рівнянь. Система рівнянь (5) не має розв’язків. Приклад. Знайдемо розв’язок системи рівнянь: Утворимо таблицю коефіцієнтів: Виключивши невідомі х
1 за допомогою першого рядка, дістанемо таблицю: Віднявши другий і третій рядки від четвертого, дістанемо таблицю: Система рівнянь сумісна, але розв’язок не є єдиним. Поміняємо місцями третій і п’ятий стовпці. Тоді маємо: Цій таблиці відповідає система рівнянь Невідомі де С
1 і С
2 - довільні сталі. · Метод Жордана-Гауса є модифікацією методу Гауса і часто застосовується в економічних розрахунках. Сутність методу полягає в тому, що кожне невідоме виключається не тільки з розміщених нижче, а з усіх рівнянь. У такому разі зростає обсяг обчислень. Якщо система n
рівнянь з n
невідомими має єдиний розв’язок, то вона перетворюється до вигляду Приклад. Знайдемо розв’язок системи рівнянь Утворимо відповідну таблицю коефіцієнтів: Поділивши перший рядок на 2, дістанемо таблицю: Перший рядок додамо до другого. Далі помножимо перший рядок на 3 і віднімемо від третього рядка. Утворимо таблицю: Поділимо другий рядок на 7/2: Помножимо другий рядок на 1/2, віднімемо від першого рядка і додамо до третього. Дістанемо: Поділивши третій рядок на 4/7, запишемо: Помножимо третій рядок на 4/7 і віднімемо від першого рядка. Далі помножимо третій рядок на 1/7 і додамо до другого, утворивши заключну таблицю: Звідси знаходимо розв’язок Метод Жордана-Гауса застосовується також для розв’язування складних систем m
рівнянь з n
невідомими: Якщо ранг матриці коефіцієнтів при невідомих дорівнює r
, то таблиця коефіцієнтів набирає вигляду: Якщо хоча б один із членів Приклад. Знайдемо методом Жордана-Гауса розв’язок системи рівнянь Утворимо таблицю коефіцієнтів системи: Перший рядок віднімемо від другого, далі перший рядок помножимо на 2 і віднімемо від третього. Остаточно дістанемо: Другий рядок помножимо на -2 і віднімемо від першого рядка. Третій рядок віднімемо від першого. У результаті запишемо таблицю: Підставивши другий стовпець на останнє місце, дістанемо таблицю виду (3): Невідомі Її загальний розв’язок: де С
- довільна стала. Досі ми розглядали лише навчальні приклади зі сталими коефіцієнтами й цілочисловими розв’язками. Розглянемо складніший приклад. Приклад. Розв’яжемо за методом Жордана-Гауса систему Утворимо таблицю коефіцієнтів: Поділивши перший рядок на 21, дістанемо таблицю: Помножимо перший рядок на 2 і віднімемо від другого. Далі перший рядок помножимо на 4 і віднімемо від третього: Поділимо другий рядок на 7,142857142: Помножимо другий рядок на 0,571428571 і додамо до першого рядка; далі помножимо другий рядок на 2,714285716 і додамо до третього: Поділимо третій рядок на 12,72666667: Помножимо третій рядок на 0,04 і додамо до першого рядка; потім помножимо третій рядок на 0,486666667 і додамо до другого рядка: Звідси дістанемо розв’язок: х
1
= 0,449973808, х
2
= 0,308014618, х
3
= 0,249345207, який можна округлити згідно з точністю початкових даних. Метод Жордана-Гауса називають також методом послідовного виключення невідомих системи.
Ідея методу Гауса полягає в наступному: за допомогою елементарних перетворень система приводиться до ступінчатої системи наступного вигляду де Якщо Ступінчату систему легко дослідити сумісна вона чи ні. Якщо ступінчата система містить хоч би одне рівняння виду Елементарні перетворення зручно виконувати не над самою системою (1), а над її розширеною матрицею. Слід звернути увагу, щоб елементарні перетворення над розширеною матрицею співпадали з елементарними перетвореннями над системою. Так, наприклад, не можна до елементів стовпця матриці додавати відповідно елементи другого стовпця, помножені на деяке число, так як такого елементарного перетворення системи не існує. Трикутна система має єдиний розв’язок. Із останнього рівняння знаходимо Трапецевидна система має нескінченну множину розв’язків. В цьому випадку змінні Слід відмітити, що метод Гауса застосовується і для розв’язку однорідних систем у випадку, коли Метод Жордана-Гауса полягає у зведенні системи до діагонального вигляду. Отримуємо одразу значення всіх (якщо система визначена) або базисних (якщо система невизначена) невідомих змінних. Якщо в отриманому розв'язку сумісної невизначеної системи надати довільні числові значення незалежним невідомим і обчислити залежні, то отримаємо частинний розв'язок системи. 1. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика. - К.: А.С.К., 2006. - 648 с. 2. Зеленський К.Х. Вища математика. - К.: Університет "Україна", 2006. - Ч.2 - 212 с. 3. Коваленко І.П. Вища математика. - К.: Вища школа, 2006. - 343 с. 4. Лавренчук В.П., Готинчан Т.І., Дронь В.С., Кондур О.С. Вища математика. - Вид. 3-тє, випр. - Чернівці: Рута, 2007. - 175с. 5. Макаренко В.О. Вища математика для економістів. - К.: Знання, 2008. - 517с. 6. Овчинников П.П., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М. Вища математика. - К.: Техніка, 2007. - 600c.
|