Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
Задача 1
Решить систему линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса
Решение: 1) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Крамера Определитель системы D не равен нулю. Найдем вспомогательные определители D1
, D2
, D3
, если они не равны нулю, то решений нет, если равны, то решений бесконечное множество Система 3 линейных уравнений с 3 неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам: Ответ: получили решение: 2) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Гаусса Составим расширенную матрицу системы Примем первую строку за направляющую, а элемент а11
= 1 – за направляющий. С помощью направляющей строки получим нули в первом столбце. Матрице Ответ: получили решение: Задача 2
Даны координаты вершин треугольника АВС
Найти:
1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01 4) уравнение медианы АЕ; 5) уравнение и длину высоты CD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD; 7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В Построить заданный треугольник и все линии в системе координат. А(1; -1), В(4; 3). С(5; 1). Решение 1) Расстояние между точками А(х1
; у1
) и В(х2
; у2
) определяется по формуле воспользовавшись которой находим длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости А(х1
; у1
) и В(х2
; у2
) имеет вид Подставляя в (2) координаты точек А и В, получаем уравнение стороны АВ: Угловой коэффициент kАВ
прямой АВ найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у =
kx
-
b
. У нас Аналогично получим уравнение прямой ВС и найдем ее угловой коэффициент. Подставляя в (2) координаты точек В и С, получаем уравнение стороны ВС: Угловой коэффициент kВС
прямой ВС найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у =
kx
-
b
. У нас 3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01 Для нахождения внутреннего угла нашего треугольника воспользуемся формулой: Отметим, что порядок вычисления разности угловых коэффициентов, стоящих в числителе этой дроби, зависит от взаимного расположения прямых АВ и ВС. Подставив ранее вычисленные значения kВС
и kАВ
в (3), находим: Теперь, воспользовавшись таблицами инженерным микрокалькулятором, получаем В » 1,11 рад. 4) уравнение медианы АЕ; Для составления уравнения медианы АЕ найдем сначала координаты точки Е, которая лежит на середине отрезка ВС Подставив в уравнение (2) координаты точек А и Е, получаем уравнение медианы: 5) уравнение и длину высоты CD; Для составления уравнения высоты CD воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку М(х0
; у0
)с заданным угловым коэффициентом k
, которое имеет вид и условием перпендикулярности прямых АВ и CD, которое выражается соотношением kAB
kCD
= -1, откуда kCD
= -1/kAB
= - 3/4 Подставив в (4) вместо k значение kС
D
= -3/4, а вместо x
0
,
y
0
ответствующие координаты точки С, получим уравнение высоты CD Для вычисления длины высоты СD воспользуемся формулой отыскания расстояния d от заданной точки М(х0
; у0
) до заданной прямой с уравнением Ax+ By + С = 0 , которая имеет вид: Подставив в (5) вместо х0
; у0
координаты точки С, а вместо А, В, С коэффициенты уравнения прямой АВ, получаем 6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD; Так как искомая прямая EF параллельна прямой АВ, то kEF
= kAB
= 4/3. Подставив в уравнение (4) вместо х0
; у0
координаты точки Е, а вместо k значение kEF
получаем уравнение прямой EF'. Для отыскания координат точки М решаем совместно уравнения прямых EF и CD. Таким образом, М(5,48; 0,64). 7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В Поскольку окружность имеет центр в точке Е(4,5; 2) и проходит через вершину В(4; 3), то ее радиус Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке М0
(х0
; у0
) имеет вид Имеем Треугольник АВС, высота СD, медиана AE, прямая EF , точка M и окружность построенная в системе координат x0у на рис.1. Рис. 1 Задача 3
Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А (2; 5) равно расстоянию до прямой у = 1. Полученную кривую построить в системе координат
Пусть М (x
, у
) - текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр MB на прямую у = 1 (рис.2). Тогда В(х; 1). Так как МА = MB , то Pиc. 2 Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке С(5; -1,5) и ветвями, направленными вверх (см. рис 2). Задача 4
Найти указанные пределы:
а)
Ответ: б)
Ответ: Задача 5
Найти производные
dy
/
dx
, пользуясь правилами и формулами дифференцирования
Решение: а)
Ответ: б)
Ответ: в)
Ответ: Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики.
а)
а) 1) Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть D(y) = {х: хÎ(-¥,+¥)}, а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асимптот. 2) Исследуем функцию на экстремумы и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю: Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки первого рода х1
= 1, х2
= 2. Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению в них знака производной функции выявляем промежутки ее монотонности и наличие экстремумов: 3) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю: Итак, функция имеет одну критическую точку второго рода х = -1,5. Разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которых установим знак второй производной: Значение х = 1,5 является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки: 4) Выясним наличие у графика заданной функции асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты y = kx – b воспользуемся формулами Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет. 5) построим график функции б)
1) Областью определения данной функции являются значения аргумента х D(y) = хÎ(-¥,0)È(0, +¥). 2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 0. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке: Итак точка х = 0 – точка разрыва второго рода, а прямая х = 0 – вертикальная асимптота. 3) Исследуем функцию на экстремумы и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю: Следовательно, функция не имеет критических точек первого рода. Так как y’ < 0 для всех х, то функция убывает во всей области определения 4) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю: Итак функция не имеет точек перегиба. Разобьем область определения точкой х = 1 в каждой из которых установим знак второй производной: 5) Выясним наличие у графика заданной функции асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты y = kx + b воспользуемся формулами Таким образом, у графика заданной функции есть наклонная асимптота y = 0*x + 1 = 1. 6) построим график функции
|