Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
№ 1
Три стрелка делают по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятности поражения целей равны соответственно р1
= 0,9, р2
= 0,8, р3
= 0,7. Найти вероятности того, что: а) все три стрелка попадают в цель; б) только один из них попадает в цель; в) хотя бы один стрелок попадает в цель. Обозначим события: А – все 3 стрелка попадают в цель; В – только один стрелок попадает в цель; С – хотя бы один стрелок попадает в цель. Вероятности промахов равны соответственно: q1
= 0,1, q2
= 0,2, q3
= 0,3. а) Р(А) = р1
р2
р3
= 0,9∙0,8∙0,7 = 0,504. б) Р(В) = p1
q2
q3
+ q1
p2
q3
+ q1
q2
p3
= 0,9∙0,2∙0,3 + 0,1∙0,8∙0,3 + 0,1∙0,2∙0,7 = 0,092. в) Событие Р(С) = 1 – Р( № 11
Вероятность наступления события в каждом из одинаковых независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит ровно 5 раз У нас nдостаточно великó, р малó, λ = np = 150 ∙ 0,02 = 3 < 9, k = 5. Справедливо равенство Пуассона: № 21
По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х). Последовательно получаем: 5
М(Х) = ∑ хі
рі
= 0,05 + 2∙0,18 + 3∙0,23 + 4∙0,41 + 5∙0,13 = 3,39. i=1 5
D(X) = ∑ xi
²pi
– M² = 0,05 + 2²∙0,18 + 3²∙0,23 + 4²∙0,41 + 5²∙0,13 – 3,39² = i=1 1,1579. № 31
а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности); б) математическое ожидание и дисперсию величины х; в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу г) построить графики функций F(x) и f(x). Последовательно получаем: а) в) Р(a < x < b) = F(b) – F(a) ÞP Графики функций поданы далее. № 41
Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α; β) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. Данные: α = 2; β = 13; а = 10; σ = 4. Используем формулу Р(α < x < β) = Имеем: Р(2 < x < 13) = Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать: Ф № 51
Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию;в) выборочное среднее квадратическое отклонение. Для решения задачи введём условную переменную Пусть С = 11,2. Тогда Заполним таблицу: Используя таблицу, найдём Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x): _ x = x´h + C = – 0,1532∙1,8 + 11,2 = 10,9242;D(x) =D(x´)∙h² = 2,9685∙1,8² = 9,6178; № 61
По данной корреляционной таблиценайти выборочное уравнение регрессии. Для упрощения расчетов введем условные переменные u = Последовательно получаем: По таблице, приведённой выше, получаем ∑nuv
uv = 84. Находим выборочный коэффициент корреляции: Далее последовательно находим: x= u∙h1
+ C1
= – 0,425∙3 + 15 = 13,725; y = v∙h2
+ C2
= – 0,125∙10 + 25 = 23,75; σx
= σu
∙h1
= 0,937∙3 = 2,811; σy
= σv
∙h2
= 0,8521∙10 = 8,521. Уравнение регрессии в общем виде: Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х. 1) при х = 12 по таблице имеем по уравнению: ух=12
= 2,457∙12 – 9,968 = 19,516; ε1
= 19,762 – 19,516 = 0,246; 2) при х = 18 по таблице имеем по уравнению: ух=18
= 2,457∙18 – 9,968 = 34,258; ε2
= 34,258 – 34,231 = 0,027. Отмечаем хорошее совпадение эмпирических и теоретических данных. Вариант 2 № 2
Для сигнализации об аварии установлены 3 независимо работающие устройства. Вероятности их срабатывания равны соответственно р1
= 0,9, р2
= 0,95, р3
= 0,85. Найти вероятности срабатывания при аварии: а) только одного устройства; б только двух устройств; в) всех трёх устройств. Обозначим события: А – срабатывает только одно устройство; В – срабатывают 2 устройства; С – срабатывают все 3 устройства. Вероятности противоположных событий (не срабатывания) соответственно равны q1
= 0,1, q2
= 0,05, q3
= 0,15. Тогда а) Р(А) = p1
q2
q3
+ q1
p2
q3
+ q1
q2
p3
= 0,9∙0,05 ∙0,15 + 0,1∙0,95∙0,15 + 0,1∙0,05∙0,85 = 0,02525. б) Р(В) = p1
p2
q3
+ p1
q2
p3
+ q1
p2
p3
= 0,9∙0,95∙0,15 + 0,9∙0,05∙0,85 + 0,1∙0,95∙0,85 = 0,24725. в) Р(С) = р1
р2
р3
= 0,9∙0,95∙0,85 = 0,72675. № 12
В партии из 1000 изделий имеется 10 дефектных. Найти вероятность того, что из взятых наудачу из этой партии 50 изделий ровно 3 окажутся дефектными. По условию Таким образом, № 22
По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х). Последовательно получаем: 5 М(Х) = ∑ хі
рі
= 2∙0,25 + 3∙0,15 + 4∙0,27 + 5∙0,08 + 8∙0,25 = 4,43. i=1 5 D(X) = ∑ xi
²pi
– M² = 2²∙0,25 + 3²∙0,15 + 4²∙0,27 +5²∙0,08 + 8²∙0,25 – 4,43² = 5,0451. № 32
а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности); б) математическое ожидание и дисперсию величины х; в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу г) построить графики функций F(x) и f(x). Последовательно получаем: а) в) Р(a < x < b) = F(b) – F(a) ÞP Графики функций приводятся далее. № 42
Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α;β) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. Данные: α = 5; β = 14; а = 9; σ = 5. Используя формулу Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать: № 52
Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию;в) выборочное среднее квадратическое отклонение. Для решения задачи введём условную переменную где С – одно из значений хі
, как правило, соответствующее наибольшему значению mі
, а h – это шаг (у нас h = 0,4). Пусть С = 8,8. Тогда Заполним таблицу: Используя таблицу, найдём Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x): x = x´h + C = 0,3723∙0,4 + 8,8 = 8,9489; D(x) = D(x´)∙h² = 2,3067∙0,4² = 0,3961; № 62
найти выборочное уравнение регрессии. Последовательно получаем: По таблице, приведённой выше, получаем ∑nuv
uv = 114. Находим выборочный коэффициент корреляции: Далее последовательно находим: x = u∙h1
+ C1
= 0,329∙4 + 12 = 13,314; y = v∙h2
+ C2
=0,293∙10 + 30 = 32,929; σx
= σu
∙h1
= 0,89∙4 = 3,56; σy
= σv
∙h2
= 1,0385∙10 = 10,385. Уравнение регрессии в общем виде: Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х. 1) при х = 12 по таблице имеем по уравнению: ух=12
= 2,266∙12 + 2,752 = 29,944; ε1
= 30,484 – 29,944 = 0,54; 2) при х = 16 по таблице имеем по уравнению: ух=16
= 2,266∙16 + 2,752 = 39,008; ε2
= 39,167 – 39,008 = 0,159. Отмечаем хорошее совпадение эмпирических и теоретических данных.
|