Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
|
Министерство Образования Российской Федерации
Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
«Редуцированные полукольца»
математического факультета \Подпись\____________ Научный руководитель: К.физ.-мат. наук . \Подпись\____________ Рецензент: Д. физ.-мат. наук,профессор . \Подпись\____________ Допущен к защите в ГАК Зав. кафедрой ___________________. «___»________________ Декан факультета _______________. «___»________________ Киров
,
2003
.
План.
1. Введение. 2.
Основные понятия, леммы и предложения. 3.
Доказательство основной теоремы. 1.Введение
Определение 1.
Непустое множество S
с бинарными операциями + и × называется полукольцом
, если выполняются следующие аксиомы: 1. (S
, +) - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0; 2. (S
, ×) - полугруппа с нейтральным элементом 1; 3. умножение дистрибутивно относительно сложения: a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc
длялюбыхa, b, c
Î
S;
4. 0a = 0 = a0
длялюбогоa
Î
S.
Итак, по принятому нами определению полукольцо отличается от ассоциативного кольца с единицей отсутствием операции вычитания и именно это вызывает основные трудности при работе с полукольцами. В настоящей работе рассмотрен такой класс полуколец, как редуцированные полукольца. Определение 2.
Полукольцо S
называется редуцированным
, если для любых a
,
b
Î
S
выполняется a
=
b
, как только a Целью данной работы является доказательство следующей теоремы. Теорема .
Для всякого редуцированного полукольца
S
равносильны следующие условия:
1.
S
слабо риккартово;
2.
"
a, b
Î
S (D(a)
Ç
D(b)=
Æ
Þ
3.
все идеалы
O
p
,
P
Î
S
pec
S
, первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);
4.
5.
каждый первичный идеал полукольца
S
содержит единственный минимальный первичный идеал;
6.
"
a, b
Î
S (ab = 0
Þ
Ann a + Ann b = S);
Определение 3.
Полукольцо S
называется симметрическим
, если для любых элементов a
,
b
,
b
¢
,c
Î
S
выполняется abc = ab
¢c
Û acb = acb
¢. Определение 4.
Элемент a
Î
S
называется нильпотентным
, если в последовательности a
,
a Предложение 1.
Редуцированное полукольцо
S
является симметрическим полукольцом без нильпотентов
. Доказательство:
Пусть ab
=
ab
¢. Тогда baba
= bab
¢a
иb
¢aba
= b
¢ab
¢a
, откуда baba + b
¢
ab
¢
a = bab
¢
a + b
¢
aba
или иначе (ba
) В силу редуцированности ba
= b¢a
, т.е. ab
= ab
¢Þba
= b
¢a
. (1) Аналогично доказывается ba
= b
¢a
Þab
= ab
¢. Пусть ab
= ab
¢. Тогда с помощью (1) ba
= b
¢a
, откуда bac
= b
¢ac
и acb
= acb
¢. Значит, имеем: ab
= ab
¢Þ acb = acb
¢, ba
= b
¢a
Þbca
= b
¢ca.
(2) Пусть сейчас abc
= abc
¢. Тогда abc
= ab
¢c
Þacbc
= acb
¢c
Þacbac
=acb
¢ac
Þacbacb
=acb
¢acb
и acbacb
¢= acb
¢acb
¢Þ (
acb
)
Таким же образом доказывается другая импликация. Пустьa
Пример.
Рассмотрим полукольцо S
= {0, a
, b
,
1}, операции в котором заданы следующим образом: a
b
1 a b
1 b b b
1 b
1 a
b
1 a a a
b b b
a b
1 Пример этого полукольца показывает, что, во-первых, в определении симметричности полукольца импликации нужны в обе стороны, поскольку aa
= ab
, но aa
¹
ba
. Во-вторых, S
– полукольцо без нильпотентов, более того, без делителей нуля; однако симметрическим, в частности, редуцированным, оно не является. В этом проявляется отличие от колец, поскольку известно, что отсутствие нильпотентов в кольце влечёт кольцевую симметричность. Определение 5.
Собственный двусторонний идеал P
полукольца S
называется первичным
, если AB
ÍP
влечёт A
ÍP
или B
ÍP
для любых идеалов A
и B
. Первичный идеал коммутативного полукольца называется простым. Определение 6.
Правый идеал P
полукольца S
называется псевдопростым
, если ab
= 0 влечёт a
ÎP
или b
ÎP
для "a
,
b
ÎS
.
Предложение 2.
Идеал
P
полукольца
S
первичен тогда и только тогда, когда для любых элементов
a
,
b
Î
S
\
P
найдётся элемент
s
Î
S
такой, что
asb
Ï
P
. Если
S
-
коммутативное полукольцо, то идеал
P
прост тогда и только тогда, когда
a
,
b
Ï
P
влечёт
ab
Ï
P
.
Доказательство:
Пусть P
первичен и элементы a
,
b
ÏP
. Тогда главные идеалы (a
) и (b
) не лежат в P
, как и их произведение. Значит, некоторый элемент t
ÎaSb
не принадлежит P
, поскольку t
= Обратно. Пусть произведение идеалов A
и B
лежит в P
, но A
Утверждение для коммутативного случая очевидно. Определение 7.
Подмножество T
полукольца называется m
-
системой
, если 0 ÏT
, 1 ÎT
и для любых a
,
b
ÎT
найдётся такой s
ÎS
, что asb
ÎT
. Пример.
Рассмотрим множество T
= {a Легко увидеть, что если P
– первичный идеал, то S
\
P
является m
-системой. И хотя дополнение до m
-
системы не обязано быть первичным идеалом, следующее утверждение показывает, что между ними существует глубокая связь. Предложение
3.
Пусть
T
-
m
-
система, а
J
-
произвольный идеал полукольца
S
, не пересекающийся с
T
. Тогда любой максимальный идеал среди содержащих
J
и не пересекающихся с
T
первичен. Доказательство:
Пусть P
ÊJ
, P
ÇT
= Æ и P
- максимальный в семействе идеалов, удовлетворяющих этим условиям. Допустим, что aSb
ÍP
для некоторых a
,
b
ÏP
. Идеалы P + SaS
и P
+ SbS
строго содержат идеал P
, и значит, пересекаются с T
.
Пусть m
Î (P
+SaS
) ÇT
, r
Î (P
+SbS
) ÇT
и msr
ÎT
для некоторого s
ÎS
. Но, с другой стороны, msr
Î (P
+SaS
) × (P
+SbS
) ÍP
+SaSbS
ÍP
. Получили противоречие, что P
пересекается с T
. Значит, предположение, что aSb
ÎP
неверно, и P
- первичный идеал. Предложение доказано. Определение 8.
Собственный идеал M
полукольца S
называется максимальным
идеалом, если M
ÍA
влечёт M
= A
или A
= S
для каждого идеала A
. Предложение 4.
Максимальный идеал полукольца первичен.
Доказательство:
Рассмотрим нулевой идеалJ
и не пересекающуюся с ним m
-систему T
= {1}. Любой максимальный идеал M
полукольца содержит J
и не пересекается с T
, значит, по предложению 3 он будет первичным. Определение 9.
Для любого a
ÎS
множество Ann
aS
= {t
ÎS
: ("s
ÎS
) ast
=0} называется аннулятором элемента
a
. Ann
aS
является двусторонним идеалом полукольца S
. Ann
a
={s
ÎS
: as
= 0} -правыйидеалиAnn
aS
ÍAnn a
. Определение 10.
Для любого идеала P
множество O
p
= {s
ÎS
: ($t
ÏP
) sSt
= 0} = {s
ÎS
: AnnsS
Лемма 1.
O
p
является идеалом для любого первичного идеала
P
. Доказательство:
Пусть a
,
b
ÎO
p
. Тогда aSt
= 0 и bSu
= 0 для некоторых t
,
u
ÏP
. В силу первичности P
tsu
ÏP
для подходящего s
ÎS
. Для любого v
ÎS
(a
+ b
)vtsu
= (avt
)su
+ b
(vts
)u
= 0. Далее, (as
)vt
= a
(sv
)t = 0, (sa
)vt
= s
(avt
) = s
0 = 0, поэтомуa
+ b
, sa,
as
ÎO
p
, иO
p
-идеал. Лемма 2.
Пусть
P
Í
M
-
первичные идеалы полукольца.
Тогда
O
M
Í
O
p
Í
P.
Доказательство:
Пусть a
ÎO
M
, тогда aSt
= 0 для некоторого t
ÏM
. Поскольку t
ÏP
, то a
ÎO
p
, и значит, O
M
ÍO
p
. Для любого s
ÎS
0 = ast
ÎP
. Поскольку P
первичен, то a
ÎP
или t
ÎP
, отсюда a
ÎP
, и следовательно, O
p
ÍP
. Лемма 3.
Для произвольных первичных идеалов
P
и
P
¢
симметрического полукольца
S
верна импликация:
P
Ç
P
¢
не содержит первичных идеалов
Þ
O
p
Доказательство:
Предположим, что O
p
ÍP
¢. Полагая A
= S
\
P
и B
= S
\
P
¢, рассмотрим множество AB
всевозможных конечных произведений элементов из A
ÈB
. Покажем, что AB
ÇO
p
= Æ. В самом деле, если s
ÎAB
ÇO
p
, то sb
= 0 для некоторогоb
ÎA
, т.е. {0} ÎAB
. Поскольку s
является произведением элементов из A
ÈB
, то в силу первичности идеалов P
и P
¢ и свойства симметрических полуколец uv
= 0 для подходящих u
ÎB
, v
ÎA
. Откуда u
ÎO
p
Таким образом, AB
является m
-системой, и значит, существует первичный идеал Q
, не пересекающийся с AB
и содержащий O
p
. А так как A
ÈB
ÍAB
, то P
ÇP
¢ÊQ
. Получили противоречие с условием, значит наше предположение неверно, и Op
Следствие 1.
Для произвольных первичных идеалов
P
и
P
¢
в симметрическом полукольце, если
O
p
Í
P
¢
, то пересечение
P
и
P
¢
содержит хотя бы один первичный идеал.
Определим множество (a
,
b
) Для произвольного идеала A
обозначим Определение 11.
Полукольцо S
называется строго полупервичным
, если для любых элементов a
,
b
ÎS
выполняется Определение 12.
Пересечение rad
S
всевозможных первичных идеалов в S
называется первичным радикалом
полукольца S
. Определение 13.
Полукольцо называется полупервичным
, если его первичный радикал равен нулю. Предложение 5.
Полукольцо
S
полупервично тогда и только тогда, когда Доказательство:
При a
= 1 rad
S
= Пусть S
- полупервичное полукольцо и b
Î Следствие 2.
Строго полупервичное полукольцо является полупервичным.
Предложение 6.
Всякое редуцированное полукольцо
S
строго полупервично.
Доказательство:
Пусть c
Ï(a
, b
) Получили Обозначим через S
pec
S
множество всех первичных идеалов полукольца S
. Для любого идеала A
полукольца S
положим D
(A
) = {P
ÎS
pec
S
: A
МножествоD
({0}) = {P
ÎS
pec
S
: {0} D
(A
) ÇD
(B
) = { P
ÎS
pec
S
: A
S
pec
S
является топологическим пространством с семейством открытых множеств видаD
(A
). Лемма 4.
Для любого идеала
A
полупервичного полукольца
S
Доказательство:
Обозначим через Y
правую часть доказываемого равенства. Если P
ÎD
(A
), т.е. A
Обратно, пусть P
Ï D
(A
) ÇD
(B
) = Æ, тогдаAB
Írad S
= 0, т.е. B
ÍAnn A
. Тогда P
не содержит Ann
A
, иначе P
содержал бы B
. Следовательно, P
ÏY
. Получили Y
Í Лемма 5.
Пусть
P
-
первичный идеал редуцированного полукольца
S
. Тогда
P
=
O
p
Û
P
-
минимальный первичный идеал.
Доказательство:
Пусть P
= O
p
, P
¢ÎS
pec
S
и P
¢ÍP
. Тогда O
p
ÍO
P¢ÍP
¢. Поэтому P
¢= P
, и P
минимален. Обратно, пусть дан минимальный первичный идеал P
редуцированного полукольца S
. Предположим, что существует a
ÎP
\
O
p
. Степени элемента a образуют m
-систему (0 Ï{a
Лемма 6.
Любой первичный правый идеал симметрического полукольца псевдопрост.
Доказательство:
В самом деле, если a
,
b
ÎS
\
P
, то asb
ÏP
для подходящего s
ÎS
, откуда asb
¹ 0 и ab
¹ 0. Определение 14.
S – слабо
риккартово
Û"a
ÎS
"b
ÎAnn aS
Ann aS
+ Ann b
= S
Пример.
Обозначим через N
– полукольцо всех неотрицательных целых чисел с обычными операциями сложения и умножения. Возьмём a
= 0
Î
N
.
Тогда Ann
aS
= N
. В результате получим, что Ann
aS
+ Ann
b
= N
. Теперь возьмём a
Î
N
\ {0}. Тогда Ann
aS
= {0}, а Ann
b
= N
. В результате получим, что Ann
aS
+ Ann
b
= {0} + N
= N
. Таким образом, N
– слабо риккартово полукольцо. Аналогично, любое полукольцо без делителей нуля будет являться слабо риккартовым. 3. Доказательство основной теоремы.
Теорема .
Для всякого редуцированного полукольца
S
равносильны следующие условия:
1.
S
слабо риккартово;
2.
"
a, b
Î
S (D(a)
Ç
D(b)=
Æ
Þ
3.
все идеалы
O
p
,
P
Î
S
pec
S
, первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);
4.
5.
каждый первичный идеал полукольца
S
содержит единственный минимальный первичный идеал;
6.
"
a, b
Î
S (ab = 0
Þ
Ann a + Ann b = S);
Доказательство:
Пусть S
- редуцированное полукольцо. Такое S
- симметрическое (по предложению 1), поэтому S
обладает всеми свойствами симметрических полуколец. Доказательство проведём по схеме 1)Þ3)Þ4)Þ5)Þ6)Þ1) и 2)Û6). 1)
Þ
3).
Исходя из 1), покажем, что каждый идеал O
p
вполне первичен. ПустьP
ÎS
pec
S
иab
ÎO
p
приa, b
ÎS.
Тогда$с
ÎS
\
P
: abSc
= 0,т.е. absc
= 0 для" s ÎS
. Возьмём s
= 1 Þabc
= 0 Þbc
ÎAnn
aS
(по определению Ann
aS
). НоAnn aS
ÍAnn a
. Тогдаbc
ÎAnn a
. Поусловию 1) S
-слабориккартово, т.е. Ann aS
+ Ann bc
= S
дляa
ÎS
, bc
ÎAnn aS
. $e
ÎAnn aS
, f
ÎAnn bc
: e
+ f
= 1 (1ÎS). Предположим, что a
ÏO
p
ÞAnn
aS
ÍP
(по определению Ann aS
) Þe
ÎP
. Тогда f
ÏP
, т.к. в противном случае 1ÎP
. Но P
- первичный идеал ÞP
- собственный Þ 1ÏP
. f
ÎAnn bc
Þbcf
= 0. Т.к. S
- симметрическое ÞbScf
= 0. Но cf
ÏP
(т.к. c
ÏP
, f
ÏP
, а P
- первичный идеал) Þb
ÎO
p
. Таким образом, получили, что все идеалы O
p
, P
ÎS
pec
S
, вполне первичны. 3)
Þ
4).
По условию 3 все идеалыO
p
, где P
ÎS
pec
S
, первичны. Но M
ÎMax
S
– является первичным идеалом (предложение 4), т.е. M
ÎS
pec
S
. Но тогда по условию 3) данной теоремы следует, что все идеалы O
M
, где M
ÎS
pec
S
и M
ÎMax
S
, первичны. Пусть P
ÍM
. Тогда O
M
ÍO
p
(лемма 2). Если a
ÎO
p
, т.е. ab
= 0 при некотором b
ÎS
\
P
и s
= 1ÎS
, то a
ÎO
M
, ибо b
ÏO
M
ÍP
, а ab
= 0 ÎO
M
и O
M
псевдопрост (доказано выше). Значит и O
p
ÍO
M
. Тогда O
p
= O
M
. 4)
Þ
5).
Пусть P
– первичный идеал из S иP
ÍM
. По условию 4) данной теоремы O
M
– первичный идеал и так как P
ÍM
ÞO
p
= O
M
. Также O
p
ÍP
(Лемма 2). Докажем, что O
M
– минимальный первичный идеал в S
, лежащий в P
. Пусть в P
лежит Q
- минимальный первичный идеал полукольца S
. Но Q
ÍM
ÞO
M
ÍO
Q
ÍQ
. По условию 4) данной теоремы O
M
= O
Q
. . Так как Q
– минимальный первичный идеал ÞO
Q
= Q
(Лемма 5). По свойству транзитивности равенства получаем, что O
p
= OM=Q
. Докажем теперь единственность такого первичного идеала. Пусть P
¢- произвольный минимальный первичный идеал в S
, отличный от Q
и лежащий в M
. Тогда O
P¢= O
M
(по условию 4)). Также O
P¢ = P
¢ . Тогда получили равенство Q
= O
Q
= O
M
= O
P¢= P
¢ . Единственность доказана. Так как все первичные идеалы полукольца S
содержатся в M
ÎMax
S
, то мы получили, что каждый первичный идеал полукольца S
содержит единственный минимальный первичный идеал. 5)
Þ
6).
Пусть ab
= 0, но Ann
a
+ Ann
b
¹S
для некоторых a
,
b
ÎS
. Тогда Ann
a
+ Ann
b
ÍM
для подходящего M
ÎMax
S
. Рассмотрим единственный минимальный первичный идеал P
, содержащийся в M
. ТогдаO
M
ÍP
(Лемма 2). Предположим, что $a
ÎP
\
O
M
. Степени элемента a
образуют m
-систему (0 Ï{a
Пустьq, w
ÎS \ P
иq, w
ÎS \ P
¢. Тогда $s
ÎS
: qsw
ÏP
Þqsw
ÏP
ÇP
¢ÞP
ÇP
¢-первичный идеал, что противоречит минимальности P
. ЗначитP
ÍOM и P
= OM
. Первичный идеалO
M
псевдопрост, поэтому a
ÎO
M
или b
ÎO
M
. Откуда по определению нуль-компонент Ann
a
6)
Þ
1).
Возьмём"a, b
ÎS
: ab
= 0 Þb
ÎAnn aS
. Из условия 6) данной теоремы вытекает равенство: Ann
a
+ Ann
b
= S
. Так как в симметрическом полукольце Ann
aS
= Ann
a
, то Ann
aS
+ Ann
b
= S
. Таким образом, полукольцо S
-слабо риккартово, что и требовалось доказать. 2)
Û
6).
Пустьa, b
ÎS
иab
= 0. D
(a
) ÇD
(b
) = {P
ÎS
pec
S
: a
ÏP
Ùb
ÏP
} = { P
ÎS
pec
S
: ab
ÏP
} (всилупервичности) = D
(ab
) = D
(0) = Æ. Обратно, D
(a
) ÇD
(b
) ={P
ÎS
pec
S
: a
ÏP
Ùb
ÏP
} ={P
ÎS
pec
S
: ab
ÏP
}=D
(ab
) =ÆÞab
= 0, таккакD
(x
) = ÆÛx
= 0. Таким образом, ab
= 0 ÛD
(a
) ÇD
(b
) = Æ. Так как S
– симметрическое полукольцо на основании предложения 1, то к нему можно применить предложение 6, то есть S
строго полупервично. По следствию 2 S
является и полупервичным. Теперь мы можем применить лемму 4. На основании этой леммы Тогда Теорема доказана полностью.
C
войство:
Если редуцированное полукольцо
S
слабо риккартово, то для любого правого идеала
A
и элементов
a
,
b
полукольца
S
выполняется импликация:
ab = 0
и
a
+ b
Î
A
Þ
a
Î
A.
Доказательство:
Пусть даны в S
правый идеал A
и такие элементы a
и b
, что ab
= 0 и a
+ bÎA
. Так как условие 6) доказанной теоремы равносильно тому, что S
слабо риккартово, то мы можем доказать это свойство, исходя из него. Тогда Ann
a
+ Ann
b
= S
, то есть c
+ k
= 1 при некоторых c
ÎAnn
a
и k
ÎAnn
b
. c
ÎAnn
a
Þac
= 0 (по определению аннулятора). k
ÎAnn b
Þbk
= 0. a
= a
×1 + 0 = a
×(c
+ k
) + bk
= ac + ak
+ bk
= ac
+ (a
+ b
)×k
= (a
+ b
)×k
ÎA
. Получили a
ÎA
, что и нужно было доказать. Литература.
1. Е.М. Вечтомов. «Функциональные представления колец». – М.: МПГУ им. Ленина, 1993. – 190 с. 2. В.В.Чермных. «Полукольца». Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. - 131 с.
| ||||||||||||||||||