Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
СОДЕРЖАНИЕ Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 Задание 6 Задание 7 Задание 8 Задание 9 Задание 10 Задание 11 Задание 12 Задание 13 Задание 14 Литература Задание 1. Исследовать сходимость рядов: а) Решение:
Воспользуемся признаком Даламбера Ряд сходится. б) Решение:
Для исследования этого ряда на сходимость удобнее применить радикальный признак Коши: p = = Так как показатель Коши ряда строго больше единицы, то по радикальному признаку Коши ряд расходится. Задание 2. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: Решение:
Рассмотрим ряд из модулей: Сравним его с рядом Мы сможем это сделать согласно признаку сравнения: Ряд т.е. ряд Задание 3. Найти область сходимости ряда: Решение:
Найдем интервал сходимости Следовательно, интервал сходимости ряда. Исследуем сходимость ряда на концах интервала: Полученный ряд является обобщенным гармоническим рядом, в котором Следовательно, полученный ряд расходится. Получили знакочередующийся ряд. Используем теорему Лейбница: Значит, полученный ряд сходится. Областью сходимости заданного ряда является промежуток Задание 4. Вычислить с точностью ε = 0,001 Решение:
Так как 83
является ближайшим к числу 520 кубом целого числа, то целесообразно число 520 представить в виде суммы двух слагаемых: 520 = 83
+ 8. Тогда =8 = = 8+ 0,0416-0,0002272+… Третий член уже меньше чем 0,001, поэтому его следует отбрость и последующие за ним. Итак, Задание 5. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд интеграла Решение:
Воспользуемся разложением Так как по условию х = 0, то будем иметь Найдем коэффициенты при х: Подставляя найденные значения в формулу, получим Задание 6. Среди 10 лотерейных билетов 6 выигрышных. Наудачу взяли 4 билета. Определить вероятность того, что среди них 2 выигрышных. Решение:
Определимся с событием: А – среди выбранных 4 билетов 2 выигрышных. Вероятность этого события: Число всех элементарных исходов п ( число всех комбинаций выбора из 6 билетов по 2 билета ) равно числу сочетаний: Число элементарных исходов т, благоприятствующих событию А : Тогда, искомая вероятность равна: Задание 7. В двух партиях 38% и 79% – процент доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них: а) хотя бы одно бракованное; б) два бракованных; в) одно бракованное и одно доброкачественное? Решение:
Определимся с событиями: А1
– выбор доброкачественного изделия из первой партии, А2
– выбор доброкачественного изделия из второй партии, Тогда а) А – хотя бы одно изделие бракованное. б) В – оба изделия бракованные. в) С – одно изделие доброкачественное и одно изделие бракованное. Задание 9. Из 1000 ламп пi
принадлежит i-ой партии, i = 1, 2, 3, Решение:
Так как Определимся с событиями: А – выбрана бракованная лампа; Найдем вероятности событий Вi
: п = 90 + 690 + 220 = 1000 , Найдем вероятности события А при условии, что события Bi
( i = 1,2,3 ) наступили, т.е. найдем вероятности выбора бракованной лампы при условии, что лампы взяты из 1-ой, 2-ой, 3-ей партий : По формуле полной вероятности найдем искомую вероятность: Задание 9. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет тi
% изделий ( i = 1, 2, 3). Среди изделий i-го завода ni
% первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено j-ым заводом. Решение:
Определимся с событиями: А – купленное изделие первосортное; Запишем вероятности событий Вi
: Запишем условные вероятности, т.е. вероятности того, что купленное изделие первосортное при условии, что оно выпущено i-ым заводом: Вероятность того, что купленное первосортное изделие выпущено 1-ым заводом, вычислим по формуле Бейеса: Задание 10. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна р = 0,8. Определить вероятность того, что число т наступлений события удовлетворяет следующему неравенству: k1
= 75; k2
= 90 Решение:
Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа : где Ф(х) – функция Лапласа, Найдем х1
и х2
: Учитывая, что функция Лапласа нечетная, т.е. По таблице найдем : Искомая вероятность Задание 12. Дискретная случайная величина Х принимает только два значения х1
и х2
, причем Решение:
Сумма вероятностей всех возможных значений ДСВ равна 1. Отсюда вероятность того, что Х примет значение х2
равна р2
= 1 – р1
= 1 – 0,7 = 0,3. Запишем закон распределения ДСВ Х : Для нахождения значений х1
и х2
составим систему уравнений и решим ее: 7x1
2
+ 70x1
2
-182x1
+112 = 0 По условию задачи Задание 12. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения а) функцию плотности распределения б) математическое ожидание в) дисперсию г) среднее квадратическое отклонение Построить графики функций Решение:
а) Найдем функцию плотности распределения НСВ Х : б) Найдем математическое ожидание НСВ Х : в) Найдем дисперсию НСВ Х : г) Найдем среднее квадратическое отклонение НСВ Х : График функции распределения: График функции плотности распределения: Задание 13. Задано статистическое распределение выборки. Требуется: а) найти распределение относительных частот; б) построить полигон относительных частот; в) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график; г) найти несмещенные статистические оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения в генеральной совокупности. Решение:
а) Найдем объем выборки: Относительные частоты определяем по формуле : Запишем распределение относительных частот : Контроль: б) Построим полигон относительных частот: в) Эмпирическая функция где п – объем выборки, может быть представлена в виде: Тогда, искомая эмпирическая функция будет иметь вид : Строим график функции г) Несмещенной оценкой математического ожидания в генеральной совокупности является выборочная средняя: Найдем эту оценку: xв
= Несмещенной оценкой дисперсии в генеральной совокупности является исправленная выборочная дисперсия: где DB
– выборочная дисперсия. Найдем выборочную DВ
: = Найдем исправленную дисперсию, т.е несмещенную оценку генеральной дисперсии: Несмещенной оценкой среднего квадратического отклонения в генеральной совокупности служит исправленное среднее квадратическое отклонение: Найдем эту оценку: Задание 14. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Yна Х по данным, приведенным в корреляционной таблице Х Y Решение:
□ Определим частоты Х Y Уравнение линейной регрессии Yна Х имеет вид: где Найдем значения параметров выборочного уравнения линии регрессии: Подставляем полученные значения параметров в выборочное уравнение регрессии: Тогда выборочное уравнение регрессии примет окончательный вид: ЛИТЕРАТУРА 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2. – М.: Наука, 1985. – 506с. 2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. – М.: Высшая школа, 1986. – 415с. 3. Доценко А.Д., Нагулин Н.И. Методические указания к практическим занятиям по курсу “Высшая математика” (Ряды). Харьков: ХИРЭ, 1992. – 38с. 4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2000. – 400с. 5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2000. – 400с.
|