Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
Контрольная работа Краткие сведенияи задачи по курсу векторной и линейной алгебры Векторная алгебра Вариант №21 1. Найти скалярное произведение 2. При каком значении α векторы Два вектора ортогональны, когда их скалярное произведение равно нулю. 3. Для прямой М1
М2
написать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение. Начертить график прямой. М1
(0,-3) М2
(2,1). Общий вид уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде: y-y1
=k(x-x1
), значит для прямой М1
М2
у+3=kx Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде: значит для прямой М1
М2
Общий вид уравнения прямой в отрезках записывается в виде: Здесь Уравнения прямой в отрезках для прямой М1
М2
4. В треугольнике М0
М1
М2
найти уравнение медианы, высоты, проведенных их вершины М0
, а также уравнение средней линии EF, параллельной основанию М1
М2
.(М0
(-1,-2); М1
(0,-3); М2
(2,1)). Найдём координаты точки М3
, координаты середины стороны М1
М2
: уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде: уравнение для высоты М0
М3
: Найдём уравнение прямой М1
М2
: Из условия перпендикулярности (k2
=-1/k1
) следует, что k2
=1/2. Уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде: y-y1
=k(x-x1
), тогда уравнение для высоты примет вид: y+1= (x+2)/2 или x+2y=0. Расстояние от точки М(x0
,y0
) до прямой Ax+By+c=0 находится по формуле: Чтобы найти длину высоту, найдём расстояние от точки М0
(-3,-5) до прямойМ1
М2
, уравнение которой имеет вид -x+2y-4=0. Подставим данные в формулу(1): Найдём координаты точек Е иF. Для точки Е: x=-1/2; y=-5/2; E(-1/2;-5/2). Для точки F: x=1/2; y=-1/2; F(1/2;-1/2). Уравнение прямой EF: y+5/2=-2x-1 или 2x+y+3,5=0. 5. По каноническому уравнению кривой второго порядка определить тип кривой, начертить её график. Найти координаты фокусов, вершин и центра (для центральной кривой). Воспользуемся параллельным переносом (O’(-3,-1)) Подставим (2) в (1), получим кривая второго порядка является эллипсом. F1
(c;0); F2
(-c;0). т.к. Координаты центра: O’(-3,-1). 6. Преобразовать к полярным координатам уравнения линии. 1) 2) Первое уравнение представляет собой (при любых значениях φ) полюс О. Второе – дает все точки линии, в том числе полюс. Поэтому первое уравнение можно отбросить. Следовательно, получаем: Линейная алгебра Матрицы Ответы на вопросы
1.
Дайте определение обратной матрицы. Какие вы знаете способы вычисления обратной матрицы?
Матрица В называется обратной для матрицы А, если выполняется условие АВ=ВА=Е, где Е – единичная матрица. Способы вычисления обратной матрицы: 1) использование алгебраических дополнений; 2) привести исходную матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса, после чего необходимо преобразовать её в единичную 2.
Как записывается система уравнений в матрично-векторной форме? Как найти решение системы уравнений при помощи обратной матрицы?
Система уравнений в матрично-векторной форме записывается в виде: Решение системы уравнения при помощи обратной матрицы: 3.
Сформулируйте, в чем состоит процедура Гаусса и для решения каких линейных задач применяется?
Процедура Гаусса используется для решения систем линейных уравнений и состоит в следующем: Выполняются элементарные преобразования, вследствие чего можно получить два исхода: 1. получается строчка, в которой до черты стоят нули, а после – ненулевое число, тогда решения нет; 2. система приводится к лестничному виду. Если в системе лестничного вида число уравнений совпадает с числом неизвестных, то решение единственное. Если число уравнений меньше чем число неизвестных, то решений бесконечное множество. В этом случае неизвестные разделяются на зависимые и свободные. Число зависимых неизвестных совпадает с числом уравнений. Задача1. X4-свободная переменная r = 3 система совместима. Задача2 т.к. detA А11
=3;А12
= -1;А13
= -10;А21
=0;А22
=0;А23
= -1;А31
=0;А32
= -1;А33
= -1. 5. Найти скалярное произведение 6. При каком значении α векторы Два вектора ортогональны, когда их скалярное произведение равно нулю. 7. Для прямой М1
М2
написать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение. Начертить график прямой. М1
(2,-2) М2
(1,0). Общий вид уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде: y-y1
=k(x-x1
), значит для прямой М1
М2
у+2=k(x-2) Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде: значит для прямой М1
М2
Общий вид уравнения прямой в отрезках записывается в виде: здесь Уравнения прямой в отрезках для прямой М1
М2
y=-2x+2 8. В треугольнике М0
М1
М2
найти уравнение медианы, высоты, проведенных их вершины М0
, а также уравнение средней линии EF, параллельной основанию М1
М2
.(М0
(-3,-5); М1
(2,-2); М2
(1,0)). Найдём координаты точки М3
, координаты середины стороны М1
М2
: уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде: уравнение для высоты М0
М3
: Найдём уравнение прямой М1
М2
: Из условия перпендикулярности (k2
=-1/k1
) следует, что k2
=-1/2. Уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде: y-y1
=k(x-x1
), тогда уравнение для высоты примет вид: y+5= -(x+3)/2 или x+2y+13=0. Расстояние от точки М(x0
,y0
) до прямой Ax+By+c=0 находится по формуле: Чтобы найти длину высоту, найдём расстояние от точки М0
(-3,-5) до прямойМ1
М2
, уравнение которой имеет вид 2x+y-2=0. Подставим данные в формулу(1): Найдём координаты точек Е иF. Для точки Е: x=-1/2; y=-7/2; E(-1/2;-7/2). Для точки F: x=-1; y=-5/2; F(-1;-5/2). Уравнение прямой EF: y+7/2=-2x-1 или 2x+y+4,5=0. 9. По каноническому уравнению кривой второго порядка определить тип кривой, начертить её график. Найти координаты фокусов, вершин и центра (для центральной кривой). Воспользуемся параллельным переносом (O’(-2,2)) Подставим (2) в (1), получим кривая второго порядка является эллипсом. F1
(c;0); F2
(-c;0). т.к. Координаты центра: O’(-2,2). 10. Преобразовать к полярным координатам уравнения линии. 1) 2) Первое уравнение представляет собой (при любых значениях φ) полюс О. Второе – дает все точки линии, в том числе полюс,. Поэтому первое уравнение можно отбросить. Следовательно получаем: Ответы на вопросы
4. Дайте определение обратной матрицы. Какие вы знаете способы вычисления обратной матрицы? Матрица В называется обратной для матрицы А, если выполняется условие АВ=ВА=Е, где Е – единичная матрица. Способы вычисления обратной матрицы: 1) использование алгебраических дополнений; 2) привести исходную матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса, после чего необходимо преобразовать её в единичную 5. Как записывается система уравнений в матрично-векторной форме? Как найти решение системы уравнений при помощи обратной матрицы? Система уравнений в матрично-векторной форме записывается в виде: Решения системы уравнения при помощи обратной матрицы: 6. Сформулируйте, в чем состоит процедура Гаусса и для решения каких линейных задач применяется? Процедура Гаусса используется для решения систем линейных уравнений и состоит в следующем: Выполняются элементарные преобразования, вследствие чего можно получить два исхода: 3. получается строчка, в которой до черты стоят нули, а после – ненулевое число, тогда решения нет; 4. система приводится к лестничному виду. Если в системе лестничного вида число уравнений совпадает с числом неизвестных, то решение единственное. Если число уравнений меньше чем число неизвестных, то решений бесконечное множество. В этом случае неизвестные разделяются на зависимые и свободные. Число зависимых неизвестных совпадает с числом уравнений. Задача1. х 3,x4 – свободные переменные Задача2. т.к. detA А11
=-1; А12
=-3; А13
=-1;А21
=-3;А22
=1;А23
=2;А31
=2;А32
=-1;А33
= -3.
|