Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
Министерство образования Российской Федерации Муниципальное общеобразовательное учреждение "Средняя общеобразовательная школа №22" Квадратные уравнения и уравнения высших порядков
Выполнили: Ученики 8 "Б" класса Кузнецов Евгений и Руди Алексей Руководитель: Зенина Алевтина Дмитриевна преподаватель математики Тюмень 2005 Оглавление
Введение Глава 1. История квадратных уравнений и уравнений высших порядков 1.1 Уравнения в Древнем Вавилоне 1.2 Уравнения арабов 1.3 Уравнения в Индии Глава 2. Теория квадратные уравнения и уравнения высших порядков 2.1 Основные понятия 2.2 Формулы четного коэффициента при х 2.3 Теорема Виета 2.4 Квадратные уравнения частного характера 2.5 Теорема Виета для многочленов (уравнений) высших степеней 2.6 Уравнения, сводимые к квадратным (биквадратные) 2.7 Исследование биквадратных уравнений 2.8 Формулы Кордано 2.9 Симметричные уравнения третьей степени 2.10 Возвратные уравнения Заключение Список используемой литературы Приложение 1 Приложение 2 Приложение 3 Введение Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). В этом е хотелось бы отобразить формулы и способы решения различных уравнений. Для этого приводятся уравнения, которые не изучаются в школьной программе. В основном это уравнения частного характера и уравнения высших степеней. Чтобы раскрыть эту тему приводятся доказательства этих формул. Задачи нашего а: - улучшить навыки решения уравнений - наработать новые способы решения уравнений - выучить некоторые новые способы и формулы для решения этих уравнений. Объект исследования - элементарная алгебра Предмет исследования уравнения. Выбор этой темы основывался на том, что уравнения есть как в программе начальной, так и в каждом последующем классе общеобразовательных школ, лицеев, колледжей. Многие геометрические задачи, задачи по физике, химии и биологии решаются с помощью уравнений. Уравнения решали двадцать пять веков назад. Они создаются и сегодня – как для использования в учебном процессе, так и для конкурсных экзаменов в вузы, для олимпиад самого высокого уровня. Глава 1. История квадратных уравнений и уравнений высших порядков 1.1 Уравнения в Древнем Вавилоне
Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведённых над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучается общие свойства действий над величинами. Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земельными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Как было сказано ранее, квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилонянами. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются как неполные, так и полные квадратные уравнения. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решением, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратного уравнения. 1.2 Уравнения арабов
Некоторые способы решения уравнений как квадратных, так и уравнений высших степеней были выведены арабами. Так известный арабский математик Ал-Хорезми в своей книге «Ал - джабар» описал многие способы решения различных уравнений. Их особенность была в том, что Ал-Хорезми применял сложные радикалы для нахождения корней (решений) уравнений. Необходимость в решении таких уравнений была нужна в вопросах о разделе наследства. 1.3 Уравнения в Индии
Квадратные уравнения решали и в Индии. Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII век), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой конической форме: aх² + bx= c, где a > 0 В этом уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи ». Задачи часто облекались в стихотворную форму. Различные уравнения как квадратные, так и уравнения высших степеней решались нашими далекими предками. Эти уравнения решали в самых разных и отдаленных друг от друга странах. Потребность в уравнениях была велика. Уравнения применялись в строительстве, в военных делах, и в бытовых ситуациях. Глава 2. Квадратные уравнения и уравнения высших порядков
2.1 Основные понятия
Квадратным уравнением называют уравнения вида ax²+bx+c = 0, где коэффициенты a, b, c – любые действительные числа, причём a ≠ 0. Квадратное уравнение называют приведённым, если его старший коэффициент равен 1. Пример
: x2
+ 2x + 6 = 0. Квадратное уравнение называют не приведенным, если старший коэффициент отличен от 1. Пример
: 2x2
+ 8x + 3 = 0. Полное квадратное уравнение - квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых, иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля. Пример
: 3x2
+ 4x + 2 = 0. Неполное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, у которого хотя бы один коэффициент b, c равен нулю. Таким образом, выделяют три вида неполных квадратных уравнений: 1) ax² = 0 (имеет два совпадающих корня x = 0). 2) ax² + bx = 0 (имеет два корня x1
= 0 и x2
= - Пример
: x2
+ 5x = 0 x(x+5) =0 x1
= 0, x2
= -5. Ответ
: x1
=0, x2
= -5. 3) ax² + c = 0 Если – Пример
: 5x2
+ 6 = 0 Ответ
: уравнение не имеет корней. Если – Пример
: 2x2
– 6 = 0 х2
=± х1,2
=± Ответ
: х1,2
=± Любое квадратное уравнение можно решить через дискриминант (b² - 4ac). Обычно выражение b² - 4ac обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнение ax² +bx + c = 0 (или дискриминантом квадратного трёх члена ax² + bx + c) Пример
: х2
+14x – 23 = 0 D = b2
– 4ac = 144 + 92 = 256 x1,2
= x1
= x2
= Ответ
: x1
= 1, x2
= - 15. В зависимости от дискриминанта уравнение может иметь или не иметь решение. 1) Если D < 0, то не имеет решения. 2) Если D = 0, то уравнение имеет два совпадающих решения x1,2
= 3) Если D > 0, то имеет два решения, находящиеся по формуле: x1,2
= 2.2 Формулы четного коэффициента при х
Мы привыкли к тому, что корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 находятся по формуле x1,2
= Но математики никогда не пройдут мимо возможности облегчить себе вычисления. Они обнаружили, что эту формулу можно упростить в случае, когда коэффициент b имеет вид b = 2k, в частности, если b есть четное число. В самом деле, пусть у квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 коэффициент bимеет вид b = 2k. Подставив в нашу формулу число 2k вместо b, получим: x1,2
= = Итак, корни квадратного уравнения ax² + 2kx + c = 0 можно вычислять по формуле: x1,2
= Пример
: 5х2
- 2 x1,2=
Преимущество этой формулы в том, что в квадрат возводится не число b, а его половина, вычитается из этого квадрата не 4ac, а просто ac и, наконец, в том, что в знаменателе содержится не 2a, а просто a. В случае если квадратное уравнение приведенное, то наша формула будет выглядеть так: x1,2
=-k ± Пример
: х2
– 4х + 3 = 0 х1,2
= 2 ± х1
= 3 х2
= 1 Ответ
: х1
= 3, х2
= 1. 2.3 Теорема Виета
необходимо и достаточно выполнения равенства x1
+ x2
= -b/aи x1
x2
= c/a Теорема Виета позволяет судить о знаках и абсолютной величине квадратного уравнения А именно x² + bx + c = 0 1. Если b>0, c>0 то оба корня отрицательны. 2. Если b<0, c>0 то оба корня положительны. 3. Если b>0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного. 4. Если b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного. 2.4 Квадратные уравнения частного характера
1) Если a + b + c = 0 в уравнении ax² + bx + c = 0, то х1
=1, а х2
= Доказательство
: В уравнении ax² + bx + c = 0, его корни x1,2
= Представим b из равенства a + b + c = 0 Подставим это выражение в формулу (1): х1,2
= = Если рассмотрим по отдельности два корня уравнения, получим: 1) х1
= 2) х2
= Отсюда следует: х1
=1, а х2
= 1. Пример
: 2х² - 3х + 1 = 0 a = 2, b = -3, c = 1. a + b + c = 0, следовательно х1
= 1 х2
= ½ 2. Пример
: 418х² - 1254х + 836 = 0 Этот пример очень тяжело решить через дискриминант, но, зная выше приведенную формулу его с легкостью можно решить. a = 418, b = -1254, c = 836. х1
= 1 х2
= 2 2) Если a - b + c = 0, в уравнении ax² + bx + c = 0, то: х1
=-1, а х2
=- Доказательство
: Рассмотрим уравнение ax² + bx + c = 0, из него следует, что: x1,2
= Представим b из равенства a - b + c = 0 b = a + c, подставим в формулу (2): x1,2
= = Получаем два выражения: 1) х1
= 2) х2
= Эта формула похожа на предыдущую, но она тоже важна, т.к. часто встречаются примеры такого типа. 1) Пример
: 2х² + 3х + 1 = 0 a = 2, b = 3, c = 1. a - b + c = 0, следовательно х1
= -1 х2
= -1/2 2) Пример
: Ответ
: x1
= -1; х2
= - 3) Метод “переброски
” Корни квадратных уравнений y² + by + аc = 0 и ax² + bx + c = 0 связанны соотношениями: х1
= Доказательство
: а) Рассмотрим уравнение ax² + bx + c = 0 x1,2
= б) Рассмотрим уравнение y² + by + аc = 0 y1,2
= Заметим, что дискриминанты у обоих решений равны, сравним корни этих двух уравнений. Они отличаются друг от друга на старший коэффициент, корни первого уравнения меньше корней второго на а. Используя теорему Виета и выше приведенное правило, нетрудно решать разнообразные уравнения. Пример
: Имеем произвольное квадратное уравнение 10х² - 11х + 3 = 0 Преобразуем это уравнение по приведенному правилу y² - 11y + 30 = 0 Получим приведенное квадратное уравнение, которое можно достаточно легко решить с помощью теоремы Виета. Пусть y1
и y2
корни уравнения y² - 11y + 30 = 0 y1
y2
= 30 y1
= 6 y1
+ y2
= 11 y2
= 5 Зная, что корни этих уравнений отличны друг от друга на а, то х1
= 6/10 = 0,6 х2
= 5/10 = 0,5 В некоторых случаях удобно решать сначала не данное уравнение ax² + bx + c = 0, а приведенное y² + by + аc = 0, которое получается из данного «переброской» коэффициента а, а затем разделить найденный корни на а для нахождения исходного уравнения. 2.5 Формула Виета для многочленов (уравнений) высших степеней Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений, верны и для многочленов высших степеней. Пусть многочлен P(x) = a0
xn
+ a1
xn
-1
+ … +an
Имеет n различных корней x1
, x2
…, xn
.
В этом случае он имеет разложение на множители вида: a0
xn
+ a1
xn-1
+…+ an
= a0
( x – x1
)( x – x2
)…(x – xn
) Разделим обе части этого равенства на a0
≠ 0 и раскроем в первой части скобки. Получим равенство: xn
+ ( Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняется равенство x1
+ x2
+ … + xn
= - x1
x2
+ x2
x3
+ … + xn
-1
xn
= x1
x2
… xn
= (-1)n
Например, для многочленов третей степени a0
x³ + a1
x² + a2
x + a3
x1
+ x2
+ x3
= - x1
x2
+ x1
x3
+ x2
x3
= x1
x2
x3
= - Как и для квадратных уравнений, эту формулу называют формулами Виета. Левые части этих формул являются симметрическими многочленами от корней x1
, x2
…, xn
данного уравнения, а правые части выражаются через коэффициент многочлена. 2.6 Уравнения, сводимые к квадратным (биквадратные)
К квадратным уравнениям сводятся уравнения четвертой степени: ax4
+ bx2
+ c = 0, называемые биквадратными, причем, а ≠ 0. Достаточно положить в этом уравнении х2
= y, следовательно, ay² + by + c = 0 найдём корни полученного квадратного уравнения y1,2
= Чтобы найти сразу корни х1,
x2,
x3,
x4
, заменим y на x и получим x² = х1,2,3,4
= Если уравнение четвёртой степени имеет х1
, то имеет и корень х2
= -х1
, Если имеет х3
, то х4
= - х3
. Сумма корней такого уравнения равна нулю. Пример
: 2х4
- 9x² + 4 = 0 х1,2,3,4
= зная, что х1
= -х2
, а х3
= -х4
, то: х1,2
= х3,4
= Ответ
: х1,2
= ±2; х1,2
= 2.7 Исследование биквадратных уравнений
Возьмем биквадратное уравнение ax4
+ bx2
+ c = 0, где a, b, c –действительные числа, причем а > 0. Введя вспомогательную неизвестную y = x², исследуем корни данного уравнения, и результаты занесем в таблицу (см. приложение №1) 2.8 Формула Кардано
Если воспользоваться современной символикой, то вывод формулы Кардано может иметь такой вид: х = Эта формула определяет корни общего уравнения третей степени: ax3
+ 3bx2
+ 3cx + d = 0. Эта формула очень громоздкая и сложная (она содержит несколько сложныных радикалов). Она не всегда примениться, т.к. очень сложна для заполнения. 2.9 Симметричные уравнения третей степени
Симметричными уравнениями третей степени называют уравнения вида ax³ + bx² +bx + a = 0 (1
) или ax³ + bx² - bx – a = 0 (2
) где a и b – заданные числа, причём a¹0. Покажем, как решаются уравнение (1
). Имеем: ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1) (x² - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1) (ax² +(b – a)x + a). Получаем, что уравнение (1
) равносильно уравнению (x + 1) (ax² +(b – a)x + a) = 0. Значит его корнями, будут корни уравнения ax² +(b – a)x + a = 0 и число x = -1 аналогично решается уравнение (2
) ax³ + bx² - bx - a = a(x³ - 1) + bx(x - 1) = a(x - 1) (x² + x + 1) + bx(x - 1) = (x - 1) ( ax2
+ ax + a + bx ) = (x - 1) (ax² +(b + a)x + a). 1) Пример
: 2x³ + 3x² - 3x – 2 = 0 Ясно, что x1
= 1, а х2
и х3
корни уравнения 2x² + 5x + 2 = 0 , Найдем их через дискриминант: x1,2
= x2
= - 2) Пример
: 5х³ + 21х² + 21х + 5 = 0 Ясно, что x1
= -1, а х2
и х3
корни уравнения 5x² + 26x + 5 = 0 , Найдем их через дискриминант: x1,2
= x2
= -5, x3
= -0,2. 2.10 Возвратные уравнения
Возвратное уравнение – алгебраическое уравнение а0
хn
+ a1
xn – 1
+ … + an – 1
x + an
=0, в котором ак
= an
–
k
, где k = 0, 1, 2 …n, причем, а ≠ 0. Задачу нахождения корней возвратного уравнения сводят к задаче нахождения решений алгебраического уравнения меньшей степени. Термин возвратные уравнения был введён Л. Эйлером. Уравнение четвёртой степени вида: ax4
+ bx3
+ cx2
+ bmx + am² = 0, (a ≠ 0). Приведя это уравнение к виду a (x² + m²/x²) + b(x + m/x) + c = 0, и y = x + m/x и y² - 2m = x² + m²/x², откуда уравнение приводится к квадратному ay² + by + (c-2am) = 0. Пример: 3х4
+ 5х3
– 14х2
– 10х + 12 = 0 Разделив его на х2
, получим эквивалентное уравнение 3х2
+ 5х – 14 – 5 × Где 3(y2
- 4) + 5y – 14 = 0, откуда y1
= х1,2
= х3,4
= Ответ: х1,2
= Частным случаем возвратных уравнений являются симметричные уравнения. О симметричных уравнениях третей степени мы говорили ранее, но существуют симметричные уравнения четвертой степени. Симметричные уравнения четвертой степени. 1) Если m = 1, то это симметричное уравнение первого рода, имеющее вид ax4
+ bx3
+ cx2
+ bx + a = 0 и решающееся новой подстановкой y = 2) Если m = -1, то это симметричное уравнение второго рода, имеющее вид ax4
+ bx3
+ cx2
- bx + a = 0 и решающееся новой подстановкой y = 2.11 Схема Горнера
Для деления многочленов применяется правило “деления углом”, или схема Горнера.
С этой целью располагают многочлены по убывающим степеням х
и находят старший член частного Q(x) из условия, что при умножении его на старший член делителя D(x) получается старший член делимого P(x). Найденный член частного умножают, затем на делитель и вычитают из делимого. Старший член частного определяют из условия, что он при умножении на старший член делителя даёт старший член многочлена разности и т.д. Процесс продолжается до тех пор, пока степень разности не окажется меньше степени делителя.(см. приложение №2). В случае уравнений R = 0 этот алгоритм заменяется схемой Горнера. Пример
: х3
+ 4х2
+ х – 6 = 0 Находим делители свободного члена ±1; ± 2; ± 3; ± 6. Левую часть уравнения обозначим f(x). Очевидно, что f(1) = 0, x1 = 1. Делим f(x) на х – 1. (см. приложение №3) Значит, х3
+ 4х2
+ х – 6 = (х – 1) (х2
+ 5х + 6) Последний множитель обозначим через Q(x). Решаем уравнение Q(x) = 0. х2,3
= Ответ
: 1; -2; -3. Заключение
В первой главе была рассмотрена история возникновения квадратных уравнений и уравнений высших порядков. Различные уравнения решали более 25 веков назад. Множество способов решения таких уравнений были созданы в Вавилоне, Индии. Потребность в уравнениях была и будет. Во второй главе приведены различные способы решения (нахождения корней) квадратных уравнений и уравнений высших порядков. В основном это способы решения для уравнений частного характера, то есть к каждой группе уравнений, объединенных какими- либо общими свойствами или видом, приведено особое правило, которое применяется только для этой группы уравнений. Этот способ (подбора к каждому уравнению собственной формулы) гораздо легче, чем нахождение корней через дискриминант. В этом е достигнуты все цели и выполнены основные задачи, доказаны и разучены новые, ранее неизвестные формулы. Мы проработали много вариантов примеров перед тем, как занести их в , по этому мы уже представляем, как решать некоторые уравнения. Каждое решение пригодится нам в дальнейшей учебе. Этот реферат помог классифицировать старые знания и познать новые. Список литературы
1. Виленкин Н.Я. “Алгебра для 8 класса”, М., 1995. 2. Галицкий М.Л. “Сборник задач по алгебре”, М. 2002. 3. Даан-Дальмедико Д. “Пути и лабиринты”, М., 1986. 4. Звавич Л.И. “Алгебра 8 класс”, М., 2002. 5. Кушнир И.А. “Уравнения”, Киев 1996. 6. Савин Ю.П. “Энциклопедический словарь юного математика”, М., 1985. 7. Мордкович А.Г. “Алгебра 8 класс”, М., 2003. 8. Худобин А.И. “Сборник задач по алгебре”, М., 1973. 9. Шарыгин И.Ф. “Факультативный курс по алгебре”, М., 1989. Приложение 1
Исследование биквадратных уравнений 1,2 2 y > 0 1,2 1,2,3,4 1,2 1,2 . y < 0 1,2 1,2 1 Приложение 2
Деление многочлена на многочлен «уголком» Приложение 3
Схема Горнера
|