Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений
Допущена к защите
Зав. кафедрой____________Мироненко В. И.
«____»_________________ 2003 г.
КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ В ЦЕЛОМ ДВУМЕРНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ВИДЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО И ПЕРВОГО ПОРЯДКОВ
Исполнитель: студентка группы М-51
_____________________ ПЛИКУС Т.Е.
Научный руководитель: доцент, к.ф-м.н.
_____________________ ФИЛИПЦОВ В.Ф.
Рецензент:доцент, к.ф-м.н.
_____________________ РУЖИЦКАЯ Е.А.
Гомель 2003 состоит из 25 страниц, 11 источников. Ключевые слова и словосочетания: квадратичная двумерная стационарная система, частный интеграл, кривые третьего и первого порядков, точка, характеристическое уравнение, характеристическое число, узел, седло. Объект исследования: квадратичная двумерная стационарная система с заданными интегральными кривыми третьего и первого порядков. Предмет исследования: построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков, нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости. Цель дипломной работы: качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы. Основным инструментом исследований является понятие частного интеграла. Введение 1 Построение квадратичных двумерных стационарных систем 1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка 1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка 1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18) 2 Исследование поведения траекторий системы на плоскости 2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости 2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости 2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре Заключение Приложение. Поведение траекторий системы (2.1) Известно, что аналитический вид решения очень хорош в случае линейных систем. В случае же нелинейных систем даже тогда, когда решение может быть выражено через элементарные функции, эти выражения могут быть столь сложными, что непосредственный их анализ практически невозможен. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений. Впервые задача качественного исследования для простейшего случая системы двух дифференциальных уравнений с полной отчетливостью была поставлена А. Пуанкаре [7] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [3,с.191-211] и уточнены Дж. Д. Биркгофом [4,с. 175-179]. Одной из задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения траекторий динамической системы (0.1) на фазовой плоскости в целом в случае, когда P(x,y) и Q(x,y) – аналитические функции. Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники. Н.Н. Баутиным [1, с. 181- 196] и Н. Н. Серебряковой [8, с. 160- 166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (0.1), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В [10, с. 732- 735] Л. А. Черкасом такое исследование проведено для уравнения (0.2) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка. Яблонский А. И. [11, с. 1752- 1760] и Филипцов В. Ф. [9, с. 469-476] изучали квадратичные системы с предположением, что частным интегралом являлись алгебраические кривые четвертого порядка. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений В настоящей работе проводится качественное исследование в целом системы (0.3) при условии, что она имеет два частных интеграла вида: x3
+a1
x2
y+b1
xy2
+g1
y3
+a2
x2
+b2
xy+g2
y2
+b3
x+g3
y+d=0, (0.4) mx+ny+p=0 (0.5) в предположении, что коэффициенты кривых (0.4), (0.5) и системы (0.3) вещественные. Работа состоит из двух глав. В первой главе проводится построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями. Во второй главе проводится качественное исследование системы, включающее в себя нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости при фиксированных значениях коэффициентов системы.
1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений Согласно [10, с. 1752-1760], если система, правые части которой есть полиномы n-ой степени, имеет частный интеграл вида: где Fk
(x,y) – однородные полиномы от x и y степени k, то выполняется равенство: Пусть частный интеграл (1.2) имеет вид: F(x,y)ºx3
+a1
x2
y+b1
xy2
+g1
y3
+a2
x2
+b2
xy+g2
y2
+b3
x+g3
y+d=0 (1.4) Для интеграла (1.4) системы (1.1) имеет место соотношение (1.3),где L(x,y) = fx+gy+k, f, g, k – постоянные: (3x2+2a1
xy+b1
y2
+2a2
x+b2
y+b3
)(ax+by+a1
x2
+2b1
xy+c1
y2
)+(a1
x2
+ 2b1
xy+3g1
y2
+b2
x+2g2
y+g3
)(cx+dy+a2
x2
+2b2
xy+c2
y2
)=(x3+a1
x2
y+b1
xy2
+ (1.5) g1
y3
+a2
x2
+b2
xy+g2
y2
+b3
x+g3
y+d)(fx+gy+k). Приравнивая в (1.5) коэффициенты при одинаковых степенях выражений xm
yn
слева и справа, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.4) и системы (1.1): 3a1+
a1
a2
-f=0, (1.61
) (2a1
+2b2
-f)a1
+2a2
b1
-g+6b1
=0, (1.62
) 2a1
c1
+(2b1
+2c2
-g)b1
+(6b2
-f)g1
=0, (1.63
) (4b1
+c2
-g)a1
+(a1
+4b2
-f)b1
+3a2
g1
+3c1
=0, (1.64
) c1
b1
+(3c2
-g)g1
=0; (1.65
) ca1
+(2a1
-f)a2
+a2
b2
-k+3a=0, (1.71
) (2a+d-k)a1
+2cb1+(4b1
-g)a2+(a1
+2b2
-f)b2+2a2
g2
+3b=0, (1.72
) 2ba1
+(a+2d-k)b1
+3cg1
+2c1
a2
+(2b1
+c2
-g)b2
+(4b2
-f)g2
=0, (1.73
) bb1
+(3d-k)g1
+c1
b2
+(2c2
-g)g2
=0; (1.74
) (2a-k)a2
+cb2
+(a1
-f)b3
+a2
g3
=0, (1.81
) 2ba2
+(a+d-k)b2
+2cg2
+(2b1
-g)b3
+(2b2
-f)g3
=0, (1.82
) bb2
+(2d-k)g2
+c1
b3
+(c2
-g)g3
=0; (1.83
) (a-k)b3
+cg3
-df=0, (1.91
) bb3
+(d-k)g3
-dg=0, (1.92
) dk=0. (1.93
) Будем предполагать, что коэффициенты кривой (1.4) и системы (1.1) вещественные и кривая не проходит через начало координат, тогда d=0. Согласно (1.93
) в этом случае k=0. Будем рассматривать частный случай системы (1.1), т.е. будем предполагать, что a2
=c1
=0, а коэффициенты a1
, b1
, g1
интегральной кривой (1.4) обращаются в нуль. Уравнения (1.61
) – (1.93
) при этих предположениях будут иметь вид: 3a1
-f=0, (1.101
) g+6b1
=0; (1.102
) (2a1
-f)a2
+3a=0, (1.111
) (4b1
-g)a2+(a1
+2b2
-f)b2+3b=0, (1.112
) (2b1
+c2
-g)b2
+(4b2
-f)g2
=0, (1.113
) (2c2
-g)g2
=0; (1.114
) 2aa2
+cb2
+(a1
-f)b3
=0, (1.121
) 2ba2
+(a+d)b2
+2cg2
+(2b1
-g)b3
+(2b2
-f)g3
=0, (1.122
) bb2
+2dg2
+(c2
-g)g3
=0; (1.123
) ab3
+cg3
-df=0, (1.131
) bb3
+dg3
-dg=0. (1.132
) Из условий (1.101
) и (1.102
) получаем, что f = 2a1,
g = 6b1
. Из условия (1.114
) имеем (2c2
-g)g2
=0. Пусть g2 2c2
-g=0 и g=2c2
, с другой стороны g = 6b1
, значит c2
=3b1
. Имея условия f = 2a1,
g = 6b1,
c2
=3b1
, из соотношений (1.111
) – (1.113
), (1.121
), (1.123
) и (1.131
) найдем выражения коэффициентов кривой (1.4) через коэффициенты системы(1.1) в следующем виде: a2 =
g2
= g3
= d = Равенства (1.122
) и (1.132
) с учетом полученных выражений (1.15), дадут два условия, связывающие коэффициенты a, b, c, d, a1
, b1
, b2
: (2ab1
-ba1
)[3(32a1
b1
b2
-15a1
2
b1
-16b1
b2
2
) a+(8a1
b2
2
-18a1
2
b2
+9a1
3
) b+ 24(a1
b1
2
-b1
2
b2
) c+(16a1
b1
b2
-15a1
2
b1
) d]=0, (1.16) (2ab1
-ba1
)[12(7a1
b1
b2
-3a1
2
b1
-4b1
b2
2
) a2
+6(3a1
b1
2
-4b1
2
b2
) ac+(3a1
2
b1
- -4a1
b1
b2
) bc+2(4a1
2
b2
-3a1
3
)bd –8a1
b1
2
cd+4a1
2
b1
d2
]=0. (1.17) Итак, установлена следующая теорема: Теорема 1.1
Система (1.1) имеет частный интеграл вида (1.4), коэффициенты которого выражаются формулами (1.15), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями (1.16), (1.17) и
c
1
=
a
2
= 0,
c
2
= 3
b
1
.
1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка
Рассмотрим система (1.1), которая в качестве частного интеграла (1.2) имеет кривую первого порядка: mx+ny+p=0. (1.18) В системе (1.1), согласно предыдущего параграфа a2
=c1
=0, c2
=3b1
. (1.19) Для интеграла (1.18) системы (1.1), с учетом (1.19), имеет место соотношение (1.3), где L(x,y)= ax+by+g, a, b, g – постоянные: m(ax+by+a1
x2
+2b1
xy)+n(cx+dy+2b2
xy+3b1
y2
)= =(mx+ny+p)( ax+by+g). (1.20) Приравнивая в (1.20) коэффициенты при одинаковых степенях xm
yn
, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.18) и системы (1.1): (a1
-a)m= 0, (1.211
) (2b1
-b)m+(2b2
-a)n=0, (1.212
) (3b1
-b)n=0; (1.213
) (a-g)m+cn-pa=0, (1.221
) bm+(d-g)n-bp= 0, (1.222
) pg= 0. (1.223
) Предположим, что кривая не проходит через начало координат, то есть p¹0. Тогда из условия (1.223
) получаем, что g=0. Условия (1.221
), (1.222
) запишутся в виде: am+cn-pa=0, (1.231
) bm+dn-bp= 0. (1.232
) Из условий (1.211
) и (1.213
) имеем: (a1
-a)m= 0, (3b1
-b)n=0. Пусть m¹0, тогда a1
-a=0 и a=a1
, (1.24) а при n¹0, получаем, что 3b1
-b=0 и b=3b1.
(1.25) Учитывая (1.24) и (1.25) из условия (1.212
) находим выражение коэффициента m: m= а соотношение (1.231
) даст значение коэффициента p: p= Из равенства (1.232
), с учетом полученных выражений (1.26) и (1.27), находим условие на коэффициенты системы (1.1): [3(a1
b1
-2b1
b2
) a+(2a1
b2
-a1
2
) b-3b1
2
c+a1
b1
d] n=0. (1.28) Итак, установлена следующая теорема: Теорема 1.2
Система (1.1) имеет частный интеграл (1.18), коэффициенты которого выражаются формулами (1.26),(1.27), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношением (1.28) и c1
=a2
= 0, c2
= 3b1
.
В разделах 1, 2 мы получили, что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями: (2ab1
-ba1
)[3(32a1
b1
b2
-15a1
2
b1
-16b1
b2
2
) a+(8a1
b2
2
-18a1
2
b2
+9a1
3
) b+ 24(a1
b1
2
-b1
2
b2
) c+(16a1
b1
b2
-15a1
2
b1
) d]=0, (2ab1
-ba1
)[12(7a1
b1
b2
-3a1
2
b1
-4b1
b2
2
) a2
+6(3a1
b1
2
-4b1
2
b2
) ac+(3a1
2
b1
- -4a1
b1
b2
) bc+2(4a1
2
b2
-3a1
3
)bd –8a1
b1
2
cd+4a1
2
b1
d2
]=0, [3(a1
b1
-2b1
b2
) a+(2a1
b2
-a1
2
) b-3b1
2
c+a1
b1
d] n=0. Причем b1
¹0, a1
¹0, 2b1
a-ba1
¹0. Рассмотрим частный случай, т.е. будем предполагать, что коэффициенты a1
= Следовательно, наши соотношения запишутся в виде: - - Выразим из условия (1.30) коэффициент c c= подставим (1.33) в равенство (1.31), найдем коэффициент d d= Из условия (1.32), учитывая (1.33) и (1.34) находим b= Получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются по следующим формулам: b= c=- d=- a1
= Равенства (1.15), (1.26) и (1.27), при условии, что имеют место формулы (1.35), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.4) и (1.18): a2
=12a, b2
= - g2
=a, b3
= g3
= - m= - Теорема 1.3
Система (1.1) имеет два частных интеграла вида (1.4) и (1.18) с коэффициентами, определенными формулами (1.36), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.35).
2 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости
Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются согласно формулам (1.35),т.е. систему: Интегральные кривые (1.4),(1.18), согласно формулам (1.36), имеют вид: x3
+12ax2
- - Найдем состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы к нулю и исключив переменную x, получим следующее уравнение для определения ординат состояний равновесия: 8192y4
-11776ay3
+5480a2
y2
-825a3
y=0. (2.4) Из (2.4) получаем, что y0
=0, y1
= Абсциссы точек покоя имеют вид: x0
=0, x1
= - Согласно (2.5) и (2.6) заключаем, что система (2.1) имеет четыре состояния равновесия - Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия 1.
Исследуем точку Составим характеристическое уравнение в точке Отсюда Следовательно, характеристическое уравнение примет вид: Характеристическими числами для точки Корни 2.
Исследуем точку Составим характеристическое уравнение в точке A. Согласно равенствам (2.7) характеристическое уравнение примет вид:
то есть Корни 3.
Исследуем точку Применяя равенства (2.7), составим характеристическое уравнение в точке B: Корни 4.
Исследуем точку Учитывая выражения (2.7), составим характеристическое уравнение в точке: Характеристическими числами для точки Корни 2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости Очень важным для исследования вопроса о наличии замкнутых траекторий являются сведения о поведении траекторий при удалении в бесконечность, то есть исследование бесконечно-удаленных частей плоскости. Для этого воспользуемся преобразованием Пуанкаре [7]: которое позволяет изучить особые точки лежащие на экваторе сферы Пуанкаре вне концов оси OY. Имеем Значит преобразование (2.8) переводит систему (1.1) в систему: Введем новое время Изучим бесконечно-удаленные точки на оси u, т.е. при z=0. Получаем Приравнивая второе уравнение системы (2.11) к нулю, получаем Таким образом, состоянием равновесия являются две точки N1
(0,0) N2
(0, Исследуем характер точек N1
, N2
. 1.
Исследуем точку N1
(0,0). Составим характеристическое уравнение системы (2.10) в точке N1
: Согласно выражениям (2.12), получаем характеристическое уравнение: Получим, что Корни 2.
Исследуем точку N2
(0, Учитывая выражение (2.12), составим характеристическое уравнение в точке N2
: соответственно характеристическими числами будут являться Корни Исследуем бесконечно-удаленную часть плоскости в конце оси OY с помощью преобразования [7] Это преобразование систему (2.1) переводит в систему: Введем новое время При z=0, получаем: Приравнивая второе уравнение системы (2.16) к нулю, получаем Для исследования состояний равновесий на концах оси OY, необходимо исследовать только точку N3
(0,0). Составим характеристическое уравнение системы (2.16) в точке N3
: соответственно характеристическими числами будут являться Корни Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1. Таблица 1.
Примечание: через с, у+
, у-
обозначены соответственно седло, устойчивый узел, неустойчивый узел. Положение кривых (1.4), (1.18) и расположение относительно их состояний равновесия при a>0 и a<0 дается соответственно рис. 1(а,б). а
)
(a>0) б)
(a<0) Рис.1
2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре
Поскольку три состояния равновесия A, B, C расположены на интегральных кривых, то вопроса существования предельных циклов вокруг этих точек не возникает. Начало координат расположено вне интегральных кривых и является седлом с индексом (-1). Предельные циклы могут окружать состояния равновесия с индексом (+1). Отсюда заключаем, что изучаемая система предельных циклов не имеет. Поведение сепаратрис седла O, B легко выяснить. Сепаратрисы седла В полностью определяются интегральными кривыми. Сепаратрисы седла О(0,0) однозначно выясняются с помощью изучения поля направления системы на осях координат. Так для а>0 α – сепаратрисы седла О примыкают к точке С и N3
, а ω – сепаратрисы примыкают к точке А и N1
, а при а<0 a-сепаратрисы примыкают к точке А и N1
, w - сепаратрисы – к точке С и N3
. В результате получаем, что качественная картина исследования траекторий в целом при а>0 определяется рисунком 2а приложения, а при а<0 – рисунком 2б приложения. В данной дипломной работе построена квадратичная двумерная стационарная система, имеющая два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты кривых выражаются через произвольный параметр системы. Проведено качественное исследование полученной системы, найдены четыре состояния равновесия, три из которых А, В, С принадлежат интегральным кривым. Исследована бесконечно-удаленная часть плоскости, доказано отсутствия предельных циклов, выяснено поведение сепаратрис седел и построена качественная картина поведения траекторий системы в целом. 1 Баутин Н.Н. О числе предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра // Матем. сб.- 1952.- Т.30,№1.- 458 с. 2 Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости.-М.: Наука, 1976.- 274 с. 3 Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- УМН, 1941.- Вып. 9.- 643 с. 4 Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941.- 340 с. 5 Воробьев А.П. К вопросу о циклах вокруг особой точки типа “узел” // ДАН БССР.- 1960.- Т.4,№9.- 720 с. 6 Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую.- ПММ.- 1952.- Т.16, Вып. 6.- с.659-670. 7 Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.- 839 с. 8 Серебрякова Н.Н. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений теории колебаний.- ПММ.- 1963 Т.27, Вып.1.- 230 с. 9 Филипцов В.Ф. К вопросу алгебраических интегралов одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1973.- Т.9,№3.- 256 10 Черкас Л.А. Об алгебраических решениях уравнения 11 Яблонский А.И. Алгебраические интегралы одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1970.- Т.6,№10.- с. 1752-1760. а) (а>0) Рис. 2
|