Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
Введение
Данная включает в себя три итерационных метода решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): 1. Метод Якоби (метод итераций). 2. Метод Холецкого. 3. Метод верхней релаксации. Также данная включает в себя: описание метода, применение метода к конкретной задаче (анализ), код программы решения вышеперечисленных методов на языке программирования BorlandC++ Builder 6. Описание метода
Метод решения задачи называют итерационным
, если в результате получают бесконечную последовательность приближений к решению. Основное достоинство итерационных методов состоит в том, что точность искомого решения задается. Число итераций, которое необходимо выполнить для получения заданной точности Главным недостатком этих методов является то, что вопрос сходимости итерационного процесса требует отдельного исследования. Примером обычных итерационных методов служат: метод итераций (метод Якоби), метод Зейделя, метод верхних релаксаций. Начнем с метода итераций
или как его ещё называют метода Якоби.
Существует сиcтема A·x = f
(1), где матрица A =
[aij
] (i, j
= 1, 2, …m
) имеет обратную матрицу; x =
(x1
, x2
, x3
,… xm
) – вектор неизвестных, f
– вектор свободных членов. Систему (1) нужно преобразовать к следующему виду: Значение суммы считается равным 0, если верхний предел суммирования меньше нижнего. Тогда при i=1 уравнение имеет вид: Начальные значения Если последовательность приближений x1
(0)
, x2
(0)
,…, xm
(0)
, x1
(1)
, x2
(1)
,…, xm
(1)
,…, x1
(k)
, x2
(k)
,…
, xm
(k)
имеет предел Достаточным условием сходимости решения системы (1) является то, что матрица A
является матрицей с преобладающими диагональными элементами, то есть Теперь рассмотрим второй итерационный метод – метод Зейделя
, который является модификацией метода Якоби. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k
+1) – го приближения неизвестной xi
учитываются уже вычисленные ранее (k
+1) – е приближения (x1
x2
,…, xi-1
). Пусть дана приведенная линейная система: Предполагается, что k
-е приближение Если выполняется достаточное условие сходимости для системы (5) – по строкам, то в методе Зейделя выгодно расположить уравнения (6) так, чтобы первое уравнение системы имело наименьшую сумму модулей коэффициентов: Теперь рассмотри 3 метод – метод верхних релаксаций
. Метод верхней релаксации – это есть метод Зейделя с заданным числовым параметром w. Одним из наиболее распространенных одношаговых методов является метод верхних релаксаций, который имеет следующий вид Достоинством итерационного метода верхних релаксаций является то, что при его реализации программным путем алгоритм вычислений имеет простой вид и позволяет использовать всего один массив для неизвестного вектора. Для получения расчетных формул (7) перепишем в виде: В выражение (8) Действительно, при последовательном нахождении элемента Применение метода к конкретной задаче (анализ)
Составляя задачи на языке программирования BorlandC++ Builder 6 для реализации точных методов решения СЛАУ я учитывал разное количество уравнений в системе (размерность матрицы задавал равным nxn). Но для проверки результатов использовал систему уравнений: Вообще говоря, процесс Зейделя сходится быстрее, чем метод Якоби. Бывает, что процесс Зейделя сходится, когда простая итерация расходится и т.п. Правда, бывает и наоборот. Во всяком случае, достаточные условия сходимости для метода Якоби достаточны и для сходимости метода Зейделя. Реализовав программы из полученного ответа я увидел, что процесс Зейделя сходится быстрее. Это видно по количеству итераций полученных в программе при приближенной точности Также рассматривая метод верхней релаксации и сравнивая его с двумя другими методами видно, что в методе верхней релаксации количество итераций зависит от заданного числового параметра w. Задавая w=1, количествоитераций равно 9, уменьшая значение параметра от 1 количество итераций начинает расти, в свою очередь увеличивая параметр количество итераций тоже начинает расти. Приведем таблицу показывающих количество итераций (k) при разных значениях параметра w: Из всего этого можно сделать вывод, что итерационные методы сходятся быстрее, чем точные методы, о чем свидетельствуют как быстрое уменьшение невязок, так и уменьшение изменений неизвестных. Листинг программы
// –
#
include
<
vcl
.
h
>
#pragma hdrstop
#include «Unit1.h»
// –
#pragma package (smart_init)
#pragma resource «*.dfm»
#include<math.h>
#include<stdlib.h>
TForm1 *Form1;
int n=0, prov=0, k=0;
const x=100;
float A[x] [x], B[x] [x];
float C[x], Y[x];
float *X;
bool fl1=false;
float e;
float v_sh;
// –
__fastcall TForm1:TForm1 (TComponent* Owner)
: TForm(Owner)
{
}
// –
void __fastcall TForm1: ButtonOkClick (TObject *Sender)
{
Memo1->Lines->Clear();
k=0;
TryStrToInt (Edit1->Text, n);
if (n>1)
{
StringGrid1->Enabled=true;
StringGrid1->RowCount=n;
StringGrid1->ColCount=n+1;
ButtonClear->Enabled=true;
ButtonOk->Enabled=false;
StringGrid1->Color=clWindow;
ButtonYakobi->Enabled=true;
ButtonZeydel->Enabled=true;
ButtonRelax->Enabled=true;
X=new float[n];
for (int i=0; i<n; i++)
{
for (int j=0; j<n+1; j++)
{
A[i] [j]=NULL;
}
X[i]=NULL;
}
}
else
{
ShowMessage («Число должно быть вещественного типа!»);
}
}
// –
void __fastcall TForm1: ButtonClearClick (TObject *Sender)
{
StringGrid1->Enabled=false;
StringGrid1->RowCount=0;
StringGrid1->ColCount=0;
ButtonClear->Enabled=false;
ButtonOk->Enabled=true;
StringGrid1->Color=clBtnFace;
ButtonYakobi->Enabled=false;
}
// –
void __fastcall TForm1: ButtonYakobiClick (TObject *Sender)
{
//TryStrToFloat (Edit2->Text, e);
Memo1->Lines->Clear();
e=StrToFloat (Edit2->Text);
for (int i=0; i<n; i++)
{
for (int j=0; j<n+1; j++)
{
TryStrToFloat (StringGrid1->Cells[j] [i], A[i] [j]);
}
}
for (int i=0; i<n; i++)
{
for (int j=0; j<n+1; j++)
{
if (A[i] [j]==NULL)
{
ShowMessage («
Ошибка
!
Есть пустые ячейки!»);
fl1=true;
i=n;
break;
}
}
}
if(! fl1) {
for (int i=0; i<n; i++)
{
for (int j=0; j<n; j++)
{
if (i!=j) B[i] [j]=(-1)*A[i] [j]/A[i] [i];
else
{
B[i] [j]=0;
C[i]=A[i] [n]/A[i] [i];
}
}
}
for (int i=0; i<n; i++) X[i]=C[i];
float s=0;
k=0;
do
{
prov=0;
for (int i=0; i<n; i++)
{
Y[i]=X[i];
for (int j=0; j<n; j++)
{
s+=B[i] [j]*X[i];
}
X[i]=s+C[i];
s=0;
}
for (int i=0; i<n; i++)
{
if (fabs(X[i] – Y[i])<e) prov++;
}
k++;
}
while (prov!=n);
Memo1->Lines->Add (»
МЕТОД
ЯКОБИ
»);
Memo1->Lines->Add(«»);
String p=»»;
Memo1->Lines->Add («Промежуточная матрица:»);
for (int i=0; i<n; i++)
{
p=»»;
for (int j=0; j<n+1; j++)
{
p+=FloatToStr (B[i] [j])+»»;
}
Memo1->Lines->Add(p);
}
Memo1->Lines->Add(«»);
Memo1->Lines->Add («
Корни
СЛАУ
равны
:»);
for (int i=0; i<n; i++)
{
if (X[i]!=NULL)
{
Memo1->Lines->Add («x»+IntToStr (i+1)+» = «+FloatToStr (X[i]));
}
else
{
Memo1->Lines->Add («
Нет
корней
!»);
break;
}
}
Memo1->Lines->Add(«»);
Memo1->Lines->Add («
Количество
итераций
= «+FloatToStr(k));
}
}
// –
void __fastcall TForm1: ButtonExitClick (TObject *Sender)
{
Close();
}
// –
void __fastcall TForm1: RadioButton2Click (TObject *Sender)
{
ButtonYakobi->Visible=false;
ButtonZeydel->Visible=true;
ButtonRelax->Visible=false;
}
// –
void __fastcall TForm1: RadioButton1Click (TObject *Sender)
{
ButtonYakobi->Visible=true;
ButtonZeydel->Visible=false;
ButtonRelax->Visible=false;
}
// –
void __fastcall TForm1: ButtonZeydelClick (TObject *Sender)
{
Memo1->Lines->Clear();
k=0;
e=StrToFloat (Edit2->Text);
for (int i=0; i<n; i++)
{
for (int j=0; j<n+1; j++)
{
TryStrToFloat (StringGrid1->Cells[j] [i], A[i] [j]);
}
}
for (int i=0; i<n; i++)
{
for (int j=0; j<n+1; j++)
{
if (A[i] [j]==NULL)
{
ShowMessage («
Ошибка
!
Есть пустые ячейки!»);
fl1=true;
i=n;
break;
}
}
}
if(! fl1) {
for (int i=0; i<n; i++)
{
for (int j=0; j<n; j++)
{
if (i!=j) B[i] [j]=(-1)*A[i] [j]/A[i] [i];
else
{
B[i] [j]=0;
C[i]=A[i] [n]/A[i] [i];
}
}
}
for (int i=0; i<n; i++)
{
X[i]=rand();
}
k=0;
float s=0;
for (int i=0; i<n; i++)
{
for (int j=0; j<n; j++)
{
s+=B[i] [j];
}
Y[i]=s;
s=0;
}
s=Y[0];
for (int i=1; i<n; i++)
{
if (s<Y[i]) s=Y[i];
Y[i]=0;
}
if (s<1)
{
do
{
s=0;
for (int i=0; i<n; i++)
{
Y[i]=X[i];
}
for (int i=0; i<n; i++)
{
s=C[i];
for (int j=0; j<n; j++)
{
s+=X[j]*B[i] [j];
}
X[i]=s;
}
prov=0;
for (int i=0; i<n; i++)
{
if (fabs(X[i] – Y[i])<e) prov++;
}
k++;
}
while (prov!=n);
Memo1->Lines->Add (»
МЕТОД
ЗЕЙДЕЛЯ
»);
Memo1->Lines->Add(«»);
String p=»»;
Memo1->Lines->Add («Промежуточная матрица:»);
for (int i=0; i<n; i++)
{
p=»»;
for (int j=0; j<n+1; j++)
{
p+=FloatToStr (B[i] [j])+»»;
}
Memo1->Lines->Add(p);
}
Memo1->Lines->Add(«»);
Memo1->Lines->Add («
Корни
СЛАУ
равны
:»);
for (int i=0; i<n; i++)
{
if (X[i]!=NULL)
{
Memo1->Lines->Add («x»+IntToStr (i+1)+» = «+FloatToStr (X[i]));
}
else
{
Memo1->Lines->Add («
Нет
корней
!»);
break;
}
}
Memo1->Lines->Add(«»);
Memo1->Lines->Add («
Количество
итераций
= «+FloatToStr(k));
}
else {Memo1->Lines->Add («СЛАУ является не сходимой!»);}
}
}
// –
void __fastcall TForm1: RadioButton3Click (TObject *Sender)
{
ButtonYakobi->Visible=false;
ButtonZeydel->Visible=false;
ButtonRelax->Visible=true;
}
// –
void __fastcall TForm1: ButtonRelaxClick (TObject *Sender)
{
//TryStrToFloat (Edit2->Text, e);
v_sh=StrToFloat (Edit3->Text);
e=StrToFloat (Edit2->Text);
Memo1->Lines->Clear();
k=0;
for (int i=0; i<n; i++)
{
for (int j=0; j<n+1; j++)
{
TryStrToFloat (StringGrid1->Cells[j] [i], A[i] [j]);
}
}
for (int i=0; i<n; i++)
{
for (int j=0; j<n+1; j++)
{
if (A[i] [j]==NULL)
{
ShowMessage («
Ошибка
!
Есть пустые ячейки!»);
fl1=true;
i=n;
break;
}
}
}
if(! fl1) {
float vsp=0, alp=0;
for (int i=0; i<n; i++)
{
for (int j=0; j<n; j++)
{
if (i!=j) B[i] [j]=(-1)*A[i] [j]/A[i] [i];
else
{
B[i] [j]=0;
C[i]=A[i] [n]/A[i] [i];
}
}
}
float *sq_z=new float[n];
float *sq_y=new float[n];
for (int i=0; i<n; i++)
{
sq_z[i]=rand();
}
for (int i=0; i<n; i++) sq_y[i]=C[i];
for (int i=0; i<n; i++) X[i]=0;
vsp=C[0];
for (int j=0; j<n; j++)
{
vsp+=sq_z[j]*B[0] [j];
}
sq_z[0]=vsp;
for (int i=0; i<n; i++)
{
for (int j=0; j<n; j++)
{
vsp+=B[i] [j];
}
Y[i]=vsp;
vsp=0;
}
vsp=Y[0];
for (int i=1; i<n; i++)
{
if (vsp<Y[i]) vsp=Y[i];
Y[i]=0;
}
if (vsp<1)
{
do
{
for (int i=0; i<n; i++)
{
Y[i]=X[i];
}
for (int i=0; i<n; i++)
{
vsp=C[i];
for (int j=0; j<n; j++)
{
vsp+=sq_z[j]*B[i] [j];
alp+=B[i] [j]*sq_y[i];
}
sq_z[i]=vsp;
sq_y[i]=alp+C[i];
vsp=0;
alp=0;
X[i]=v_sh*sq_z[i]+(1-v_sh)*sq_y[i];
}
prov=0;
for (int i=0; i<n; i++)
{
if (fabs(X[i] – Y[i])<e) prov++;
}
k++;
}
while (prov!=n);
Memo1->Lines->Add (»
МЕТОД
ВЕРХНЕЙ
РЕЛАКСАЦИИ
»);
Memo1->Lines->Add(«»);
String p=»»;
Memo1->Lines->Add («Промежуточная матрица:»);
for (int i=0; i<n; i++)
{
p=»»;
for (int j=0; j<n+1; j++)
{
p+=FloatToStr (B[i] [j])+»»;
}
Memo1->Lines->Add(p);
}
Memo1->Lines->Add(«»);
Memo1->Lines->Add («
Корни
СЛАУ
равны
:»);
for (int i=0; i<n; i++)
{
if (X[i]!=NULL)
{
Memo1->Lines->Add («x»+IntToStr (i+1)+» = «+FloatToStr (X[i]));
}
else
{
Memo1->Lines->Add («
Нет
корней
!»);
break;
}
}
Memo1->Lines->Add(«»);
Memo1->Lines->Add («
Количество
итераций
= «+FloatToStr(k));
}
else {Memo1->Lines->Add («СЛАУ является не сходимой!»);}
}
}
// –
Результаты расчета
Промежуточная матрица:
0 -0,100000001490 -0,100000001490 0
-0,200000002980 0 -0,100000001490 0
-0,200000002980 -0,200000002980 0 0
Корни СЛАУ равны:
x1 = 1
x2 = 1
x3 = 1,00000011920929
Количество итераций = 16
Промежуточная матрица:
0 -0,100000001490 -0,100000001490 0
-0,200000002980 0 -0,100000001490 0
-0,200000002980 -0,200000002980 0 0
Корни СЛАУ равны:
x1 = 1
x2 = 0,99999988079071
x3 = 0,999999940395355
Количество итераций = 9
Промежуточная матрица:
0 -0,100000001490 -0,100000001490 0
-0,200000002980 0 -0,100000001490 0
-0,200000002980 -0,200000002980 0 0
Корни СЛАУ равны:
x1 = 1,00000011920929
x2 = 0,99999988079071
x3 = 0,999999940395355
w
=1
Количество итераций = 9
|