Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования Московской области Международный Университет природы общества и человека "Дубна" Филиал "Котельники" Кафедра естественных и гуманитарных наук. Курсова робота "Исследование прочности на разрыв полосок ситца"
по дисциплине: "Теория вероятностей и математическая статистика" Выполнила студентка Второго курса 262 ЭТ группы Проверила: ___________ 2006 г. Содержание Распределение случайной величины на основе опытных данных
Построение эмпирической функции распределения
Статистические оценки параметров распределения
Нормальный закон распределения случайной величины
Проверка гипотезы о нормальном распределении изучаемой величины
Математическая статистика
- наука которая занимается разработкой методов отбора, группировки и обработки опытных данных с целью изучения закономерностей массовых случайных явлений. Математическая статистика опирается на методы и понятия теории вероятностей и, в свою очередь, служит основой для обработки анализа статистических результатов в конкретных областях человеческой деятельности. Задачи математической статистики:
нахождение функции распределения по опытным данным. из теоретических соображений функция распределения оказывается в общем виде известна, но неизвестны её параметры. Неизвестные параметры определяются по опытным данным. Статистическая проверка гипотез: в общем виде известна функция распределения, определяют её неизвестные параметры и выясняют, как согласуются экспериментальные данные с общим видом функции распределения. Целью курсовой работы является закрепление теоретических знаний и приобретения навыков обработки статистической информации. В данной курсовой работе были поставлены следующие задачи для обработки статистических данных: построение полигона частот и относительных частот построение гистограммы частот и относительных частот построение эмпирической функции распределения. нахождение выборочной средней, выборочной дисперсии и нахождение среднего выборочного квадратичного отклонения. 5) проверка гипотезы о нормальном распределении изучаемой случайной величины. Вариант 14. Прочность на разрыв полосок ситца (в дан): 32313432312932343331313432313532 34333130303232343131353234333231 34323129323433313134323135323433 31303432312932343331303232313632 34333130323331283234333130323330 35323433323031333033323433313032 33303132343331303233303132333331 30323330313233303433313032333031 3233 Для обработки опытных данных воспользуемся составлением статистического ряда
. В первой строке записываются номера наблюдений, а во второй строке результаты наблюдений. Если результаты наблюдений расположить в возрастающем порядке, то получим вариационный ряд.
Результат измерения называется - варианта.
Число появления каждой варианты называется частотой
. Отношение частоты к объему выборки называется относительной частотой.
xi
-
варианта (значение, полученное в процессе измерения) ni
- частота (сколько раз появилась каждая варианта) Р*
i
- отношение частоты объёму выборки ni 1 3 18 29 32 24 18 4 1 Существует вместо статистического ряда так называемая статистическая совокупность, для этого все наблюдаемые значения признака разбиваются на группы равной длины. Размах колебания: хmin
=28 хmax
=36 R= 36-28=8 Статистическое распределение можно изобразить графически: Либо в виде полигона частот, полигона относительных частот и в виде гистограммы частот, гистограммы относительных частот. Полигоном частот
называется ломаная линия, соединяющая точки с абcциcсой (Ох
) - варианта и ординатой (Оу
) - частота. Cтроим полигон частот. Полигоном относительных частот
называется ломаная линия, соединяющая точки с абсциссой (Ох
) - варианта и ординатой (Оу
) - относительная частота. Строим полигон относительных частот. Полигон относительных частот Гистограммой частот
называется фигура, состоящая из прямоугольников с равными основаниями (длина интервала) и площадью численно равной частоте. Для построения гистограммы воспользуемся таблицей: Δx Гистограммой относительных частот
называется фигура, состоящая из прямоугольников с равными основаниями (длина интервала) и площадью численно равной относительной частоте. Для построения гистограммы воспользуемся таблицей: Δx Δx=2 Статистическая функция распределения (эмпирическая)
- это частота события, состоящего в том, что случайная величина Х в процессе изменения примет значение меньше некоторого фиксированного х F*
(х) = Р*
= P*
(X<x) Статистическая функция распределения (эмпирическая) является разрывной функцией, точки разрыва совпадают с наблюдаемыми значениями случайной величины, а скачок в каждой точке разрыва равен частоте появления наблюдаемого значения в данной серии наблюдения. Сумма скачков всегда равна 1. 9 Σ Pi
* = 1 i=1 1) ∞ < х ≤ 28 F*
(x) =P*
(X<28) =0 2) 28<x≤29 F*
(x) =P*
(X<29) =P*
(X=28) =1/130 3) 29<x≤30 F*
(x) =P*
(X=28) + P*
(X=29) =1/130+3/130=4/130 4) 30<x≤31 F*
(x) =P*
(X<31) = P*
(X=28) + P*
(X=29) P*
(X=30) +1/130+3/130+18/130=22/130 5) 31<x≤32 F*
(x) =P*
(X<32) = P*
(X=28) + +P*
(X=29) +P*
(X=30) +P*
(X=31) =1/130+3/130+18/130+29/130=51/130 6) 32<x≤33 F*
(x) =P*
(X<33) = P*
(X=28) +P*
(X=29) +P*
(X=30) +P*
(X=31) P*
(X=32) =1/130+3/130+18/130+29/130+32/130=83/130 7) 33<x≤34 F*
(x) =P*
(X<34) = P*
(X=28) +P*
(X=29) +P*
(X=30) +P*
(X=31) + +P*
(X=32) +P*
(X=33) =1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130=107/130 8) 34<x≤35 F*
(x) =P*
(X<35) = P*
(X=28) +P*
(X=29) +P*
(X=30) +P*
(X=31) + +P*
(X=32) +P*
(X=33) P*
(X=34) = =1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130+18/130=125/130 9) 35<x≤36 F*
(x) =P*
(X<36) = P*
(X=28) +P*
(X=29) +P*
(X=30) +P*
(X=31) + +P*
(X=32) +P*
(X=33) P*
(X=34) + P*
(X=35) =1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130+18/130+4/130=129/130 10) x>36 F*
(x) =1 1/130, -∞<х≤29 4/130, 29<х≤30 22/130, 30<х≤31 F*
(x) 51/130, 31<х≤32 83/130, 32<х≤33 107/130, 33<х≤34 125/130, 34<х≤35 129/130, 35<х≤36 1, х>36 Статистическая функция распределения является разрывной функцией и её графиком является ступенчатая линия. Построим систему координат: на оси Ох=хi
на оси Оу=F*
(x) F* Одной из задач статистики является оценка параметров распределения случайной величины Х по данным выборки. Оценка параметра зависит от наблюдаемых значений и от числа наблюдений. Для того чтобы полученную оценку можно было бы использовать на практике она должна удовлетворять следующим условиям: 1) оценка должна быть не смещённой оценкой параметра, т.е. математическое ожидание должно быть равно оцениваемому параметру. Если это условие не выполняется, то оценку называют смещённой оценкой оцениваемого параметра
; 2) оценка должна быть состоятельной оценкой оцениваемого параметра; 3) Оценка должна быть эффективной оценкой оцениваемого параметра; Из всех различных оценок выбираем ту которая имеет наименьшую дисперсию она и называется эффективной если её дисперсия является минимальной из всех получившихся дисперсий. Таким образом, чтобы полученная опытным путем оценка оцениваемого параметра была пригодной она должна быть несмещённой состоятельной и эффективной. Пусть изучается дискретная генеральная совокупность объема Nколичественного признака Х. Генеральной средней совокупностью называют
среднее Пусть для изучения генеральной совокупности относительно некоторого количественного признака Х произведена выборка объема n. Если же значение признака х1
, х2
,…. хk
имеет соответственно частоты 28×1+29×3+30×18+31×29+32×32+33×24+34×18+35×4+36×1 130 130 Выборочной дисперсией
называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочной средней. Вычисляется выборочная дисперсия по формуле: (28-31,98) 2
×1+ (29-31,98) 2
×3+ (30-31,98) 2
×18+ (31-31,98) 2
×29+ Dв
= + (32-31,98) 2
×32+ (33-31,98) 2
×24+ (34-31,98) 2
×18+ (35-31,98) 2
× ×4+ (36-31,98) 2
×1 = 130 Среднее выборочное квадратичное отклонение
- это величина численно равная квадратному корню из выборочной дисперсии. __ σв
= √ 2,24 = 1,5 Говорят, что случайная величина распределена по нормальному закону если плотность распределения этой случайной величины выражается формулой: Гипотезу Н0
выдвигаем в качестве основной - пусть наш исследуемый признак х распределён по нормальному закону. Параллельно гипотезе Н0
выдвигаем альтернативную гипотезу о том, что исследуемый признак распределен не по нормальному закону. Проверка гипотезы о предполагаемом законе распределения производится с помощью специально подобранной величины называемой критерием согласия.
Для исследования воспользуемся критерием χ
2
Пирсона. Вычисляем χ
2
для наблюдаемых значений. Для вычислений составляем таблицу и воспользуемся следующими формулами: _ хв
=31,98 _ Dв
=2,24 _ σв
=1,5 Таблица отдельный файл k (ni-ni*)2
i=1 ni χ2
набл
=13,8725515 Далее находим χ2
с помощью таблицы критических точек распределения по заданному уровню значимости £=0,05 и числу степеней свободы. К=S-3 5-3=2 χ2
крит.
=6,0 χ2
набл
=13,8725515 > χ2
крит
=6,0 Гипотеза не принимается. В данной работе был изучен статистический материал по исследованию прочности на разрыв полосок ситца, статистически были обработаны и получены соответствующие результаты. Цель курсовой работы реализована через решение поставленных задач. Наглядно представление о поведении случайной величины показано через полигон частот и полигон относительных частот, гистограммы частот и гистограммы относительных частот. Была составлена и построена эмпирическая функция распределения и построен график этой функции на основе наблюдаемых значений. 0ценили параметры распределения: выборочную среднюю выборочную дисперсию выборочное среднее квадратичное отклонение. После обработки имеющихся статистических данных было выдвинуто предположение о нормальном распределении случайной величины. При проверке этой гипотезы оказалось, что случайная величина нераспределена по нормальному закону. 1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник. - М.: Наука, 1988. 2. Боровков А.А. Теория вероятностей: Учеб. пособие.; М.: Наука, 1986. 3. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей: Учеб. пособие. - М.: Изд-во ун-та Дружбы народов, 1994. 4. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Математическая статистика: Учеб. пособие. - М.: Изд-во ун-та Дружбы народов, 1994. 5. Б.М. Рудык, В.И. Ермаков, Р.К. Гринцевевичюс, Г.И. Бобрик, В.И. Матвеев, И.М. Гладких, Р.В. Сигитов, В.Г. Шершнев. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. В.И. Ермакова. - М.: ИНФАРМА-М, 2005. - 656с. - (Высшее образование).
|