Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
Міністерство освіти і науки України
Сумський Державний Університет Курсова робота
з дисципліни «Теорія алгоритмів та математична логіка» На тему «Знаходження мінімального остовом дерева. Порівняння алгоритму Прима і алгоритму Крускала» Виконав студент факультету ЕлІТ групи ІН-83 Горбатенко О. О. Перевірив Кузіков Б. О. Суми 2010
Завдання роботи
При виконанні ОДЗ необхідно реалізувати алгоритми Прима та Крускала побудови остового дерева у графі, та протестувати її на тестовому графі наведеному у завданнях до ОДЗ згідно вашого варіанту. У пояснювальній записці до ОДЗ повинно бути викладено наступне: • Вступ. Короткі відомості про поняття остового дерева; • Завдання роботи, Включаючи тестовий приклад графу, згідно варіанта; • Алгоритм Прима: ◦ короткі відомості про алгоритм та асимптотичну оцінку його швидкодії, спосіб представлення графу та його обґрунтування (10%); ◦ остове дерево, отримане за допомогою алгоритму (5%); ◦ фактичні параметри швидкодії (кількість порівнянь) для тестового прикладу (10%); ◦ оцінку швидкодії реалізованого варіанта алгоритму (10%). • Алгоритм Крускала: ◦ короткі відомості про алгоритм та асимптотичну оцінку його швидкодії, спосіб представлення графу та його обґрунтування(10%); ◦ остове дерево, отримане за допомогою алгоритму (5%); ◦ фактичні параметри швидкодії (кількість порівнянь) для тестового прикладу (10%); ◦ оцінку швидкодії реалізованого варіанта алгоритму (10%). • Порівняння алгортимів, контрольні приклади: ◦ висновок що до умов, коли доцільно використовувати той чи інший алгоритм (10%) ◦ довільний граф (10 або більше вершин), на якому алгоритм Прима дає перевагу, навести фактичні параметри швидкодії (10%); ◦ довільний граф (10 або більше вершин), на якому алгоритм Крускала дає перевагу, навести фактичні параметри швидкодії (10%). Поставлене завдання:
маючи на вході граф G, одержати на виході його остовне дерево мінімальної вартості, використати алгоритми Крускала й Прима. Порівняти використовувані алгоритми. Вступ
Нехай G = (V, Е) — зв'язний граф, у якому кожне ребро (u,v ) позначено числом c(u, v), що називається вартістю ребра. Остовним деревом графа G називається вільне дерево, що містить всі вершини V графа G. Вартість остовного дерева обчислюється як сума вартостей всіх ребер, що входять у це дерево. Типове застосування остовних дерев мінімальної вартості можна знайти при розробці комунікаційних мереж. Тут вершини графа представляють міста, ребра - можливі комунікаційні лінії між містами, а вартість ребер відповідає вартості комунікаційних ліній. У цьому випадку остовне дерево мінімальної вартості представляє комунікаційну мережу, що поєднує всі міста комунікаційними лініями мінімальної вартості. Існують різні методи побудови остовних дерев мінімальної вартості. Багато хто з них ґрунтуються на наступній властивості остовних дерев мінімальної вартості. Нехай G = (V, Е) — зв'язний граф із заданою функцією вартості, що задана на множині ребер. Позначимо через U підмножину вершин V. Якщо (і, v) — таке ребро найменшої вартості, що й належить U і v належить V \ U, тоді для графа G існує остовное дерево мінімальної вартості, що містить ребро (і, v). Існують два популярних алгоритми побудови остовного дерева мінімальної вартості для позначеного графа G = (V, Е), основані на описаній властивості: Прима й Крускала. Обидва алгоритми відповідають «жадібній» стратегії: на кожному кроці вибирається локально найкращий варіант. Алгоритм Прима поступово будує шуканий мінімальний остов, додаючи до нього по одному ребру на кожному кроці (Це означає, що алгоритм Прима є жадібним. Більш того, справедливість алгоритму Прима легко встановлюється в рамках теорії матроідов.). На початку роботи алгоритму результуюче дерево складається з однієї вершини (її можна вибирати довільно). Алгоритм складається з N-1 ітерації, на кожній з яких до дерева додається рівно одне ребро, не порушує властивості дерева (тобто один кінець додається ребра належить дереву, а інший - не належить). Ключовий момент - з усіх таких ребер кожен раз вибирається ребро з мінімальною вагою. Така реалізація працює за O (MN). Покращена реалізація буде виконуватися помітно швидше - за O (M log N + N2). Для цього ми відсортуємо всі ребра в списках суміжності кожної вершини по збільшенню ваги (буде потрібно O (M log M) = O (M log N)). Крім того, для кожної вершини заведемо покажчик, який вказує на перше доступне ребро в її списку суміжності. Спочатку всі покажчики вказують на початку списків, тобто рівні 0. На i-ої ітерації алгоритму Прима ми перебираємо всі вершини, і вибираємо найменше за вагою ребро серед доступних. Оскільки всі ребра вже відсортовані за вагою, а покажчики вказують на перші доступні ребра, то вибір найменшого ребра здійсниться за O (N). Тепер нам слід оновити покажчики, оскільки деякі з них вказують на що стали недоступними ребра (обидва кінці яких опинилися всередині дерева), тобто зрушити деякі з них праворуч. Проте, оскільки у всіх списках суміжності в сумі 2 * M елементів, а покажчики зсуваються тільки вправо, то виходить, що на підтримку всіх покажчиків потрібно O (M) дій. Разом - час виконання алгоритму O (MlogM + N2 + M), тобто O (M log N + N2) Код алгоритму: void prim() { int i, min, j, k; pr_count=0; sr_count=0; k = 0; v[0]= 1; for (i = 1;i< n;i++) { d[i] = a[i][0]; p[i] = 0; } for (i = 0;i<n-1;i++) { min = inf; for (j = 0;j< n;j++) if ((v[j]!=1) && (d[j] < min)) { sr_count++; min = d[j]; pr_count++; k = j; pr_count++; } printf("%d %d\n",k+1, p[k]+1); mst_weight+=a[k][p[k]]; v[k] = 1; for (j = 0;j< n;j++) if ((v[j]!=1) && (d[j] > a[k][j])) { sr_count++; p[j] = k; pr_count++; d[j] = a[k][j]; pr_count++; } } } Результат роботи програми:
Алгоритм Крускала
Алгоритм Крускала спочатку поміщає кожну вершину в своє дерево, а потім поступово об'єднує ці дерева, об'єднуючи на кожній ітерації два деяких дерева деяким руба. Перед початком виконання алгоритму, усі ребра сортуються за вагою (в порядку неубиванія). Потім починається процес об'єднання: перебираються всі ребра від першого до останнього (у порядку сортування), і якщо у поточного ребра його кінці належать різним піддерев, то ці піддерев об'єднуються, а ребро додається до відповіді. Після закінчення перебору всіх ребер всі вершини опиняться належать одному піддереві, і відповідь знайдений. Сортування ребер потребують O (M log N) операцій. Приналежність вершини того чи іншого піддереві зберігається просто за допомогою масиву, об'єднання двох дерев здійснюється за O (N) простим проходом по масиву. Враховуючи, що всього операцій об'єднання буде N-1, ми й отримуємо асимптотики O (M log N + N2). Покращена реалізація використовує структуру даних "Система непересічних множин" позволет домогтися асимптотики O (M log N). Так само, як і в простій версії алгоритму Крускала, відсортуємо усі ребра по неубиванію ваги. Потім помістимо кожну вершину в своє дерево (тобто своє безліч) на це піде в сумі O (N). Перебираємо усі ребра (у порядку сортування) і для кожного ребра за O (1) визначаємо, чи належать його кінці різних деревам (за допомогою двох викликів FindSet за O (1)). Нарешті, об'єднання двох дерев буде здійснюватися викликом Union - також за O (1). Разом ми отримуємо асимптотики O (M log N + N + M) = O (M log N). void kruskal() { int k, i, p, q; pr_count=0; sr_count=0; q_sort(1, m); // сортируем список ребер по неубыванию for (i = 0;i< n;i++) // цикл по вершинам { r[i] = i; // у вершина своя компонента связности s[i] = 0; // размер компоненты связности } k = 0; // номер первого ребра + 1 for (i = 0;i< n-1;i++) // цикл по ребрам mst { do { // ищем ребра из разных k++; // компонент связности p = a[k].x; pr_count++; q = a[k].y; pr_count++; while (r[p]!=p) // ищем корень для p // { sr_count++; p = r[p]; pr_count++; } while (r[q]!=q) // ищем корень для q } { sr_count++; q = r[q]; pr_count++; } }while (p==q); printf("%d %d\n",a[k].x, a[k].y); // вывод ребра mst_weight+=a[k].w; if (s[p] < s[q]) // взвешенное объединение { // компоненты связности r[p] = q; pr_count++; s[q] = s[q] + s[p]; pr_count++; } else { r[q] = p; pr_count++; s[p] = s[p] + s[q]; pr_count++; } } } Результат роботи програми:
В результаті виконання програм ми переконалися, що вони дають однакове мінімальне остове дерево, яке має вигляд: Висновок.
Якщо кількість вершин достатньо мала, то доцільніше використовувати алгоритм Прима, в іншому випадку доцільно користуватися алгоритмом Крускала. Код програм
Алгоритм Прима. #include <stdio.h> #include <conio.h> #include <time.h> #include <values.h> const int maxn = 100, inf = MAXINT/2, Max = 10000; int a[maxn][maxn], p[maxn], z; int v[maxn]; int d[maxn], n, mst_weight, pr_count, sr_count; clock_t start, end; void init() { int i, j, x, y, nn, z; FILE *f; mst_weight = 0; for (i = 0;i<maxn;i++) for (j = 0;j<maxn;j++) a[i][j] = inf; for (i =0;i< maxn; i++) { v[i]=0; d[i]=0; p[i]=0; } f=fopen("input.txt","rt"); fscanf(f,"%d",&n); fscanf(f,"%d",&nn); for (i = 0;i< nn;i++) { fscanf(f,"%d %d %d",&x, &y, &z); a[x-1][y-1] = z; a[y-1][x-1] = z; // если неориентированный граф } fclose(f); } void prim() { } int main() { clrscr(); init(); printf("Min ostove derevo (by Prim)\n"); start= clock(); prim(); end= clock(); printf("Vaga dereva = %d\n", mst_weight); printf("Time = %f\n", (end-start)/CLK_TCK); printf("Comparison = %d\n", pr_count); printf("Assignment = %d \n", sr_count); getch(); return 0; } //--------------------------------------------------------------------------- Алгоритм Крускала. //--------------------------------------------------------------------------- #include <vcl.h> #pragma hdrstop //--------------------------------------------------------------------------- #pragma argsused //--------------------------------------------------------------------------- #include <stdio.h> #include <conio.h> #include <time.h> #include <values.h> const int maxn = 10, maxm = 1000, inf = MAXINT/2, Max = 10000; typedef struct edge { int x, y; // вершины ребра int w; // вес ребра }eg; eg a[maxm]; // список ребер int s[maxn]; // размер компонент связности int r[maxn]; // связи вершин в компонентах связности int n, m; // кол-во вершин и ребер int mst_weight; // вес минимального остовного дерева int pr_count,sr_count; // кол-во присваиваний и сравнений // инициализация и чтение данных void init() { int i, j, x, y, nn, z; FILE *f; mst_weight = 0; f=fopen("input.txt","rt"); fscanf(f,"%d",&n); fscanf(f,"%d",&m); for (i = 0; i < m;i++) { fscanf(f,"%d %d %d",&x, &y, &z); a[i].x = x; a[i].y = y; a[i].w = z; } } void q_sort(int l,int r) { int i, j, x; i = l; j = r; x = a[l+rand()%(r-l+1)].w; do { while (i<=r && x > a[i].w) i++; while (j>=x && x < a[j].w) j--; if (i <= j) { if (i<j) { eg buf; buf=a[i]; a[i]=a[j]; a[j]=buf; } i++; j--; } } while (i <= j); if (l < j) q_sort(l, j); if (i < r) q_sort(i, r); } // построение mst (алгоритм Крускала) void kruskal() { } int main(int argc, char* argv[]) { clrscr(); clock_t start, end; init(); printf("Min ostove derevo (by Kruskalo)\n"); start= clock(); kruskal(); end = clock(); printf("Vaga dereva = %d\n", mst_weight); printf("Time = %f\n", (end-start)/CLK_TCK); printf("Comparison = %d\n", pr_count); printf("Assignment = %d \n", sr_count); getch(); return 0; } //--------------------------------------------------------------------------- Література
1. Кормен Т., Лейзенсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построрение и анализ. - М. : МЦНМО, 2001. - 960 с. 2. Вікіпедия: Алгоритм Прима 3. Вікіпедия: Алгоритм Крускала
|