Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
Идея предлагаемого вниманию читателя элементарного доказательства Великой теоремы Ферма исключительно проста: после разложения чисел a, b, c на пары слагаемых, затем группировки из них двух сумм U
'
и U
''
и умножения равенства a
^
n
+
b
^
n
–
c
^
n
= 0
на 11^
n
(т.е. на 11
в степени n
, а чисел a
,
b
,
c
на 11
) (
k
+3)
-я цифра в числе a
^
n
+
b
^
n
–
c
^
n
(где k
– число нулей на конце числа a
+
b
–
c
) не равна 0
(числа U
'
и U
''
умножаются по-разному!). Для постижения доказательства нужно знать лишь формулу бинома Ньютона, простейшую формулировку малой теоремы Ферма (приводится), определение простого числа, сложение двух-трех чисел и умножение двузначного числа на 11
. Вот, пожалуй, и ВСЁ! Самое главное (и трудное) – не запутаться в десятке цифр, обозначенных буквами. Формальное описание истории теоремы и библиография в русском тексте опущены. Доказательство приводится в редакции от 1 июня 2005 года (с учетом дискуссии на мехматовском сайте). В.С. ВИКТОР СОРОКИН ИНСТРУМЕНТАРИЙ:
[В квадратных скобках приводится поясняющая, не обязательная информация.] Используемые обозначения:
Все числа записаны в системе счисления с простым основанием n
> 10
. [Все случаи с составным n, кроме n
= 2
k
(который сводится к случаю n
= 4
), сводятся к случаю простого n с помощью простой подстановки. Случаи n = 3, 5 и 7 здесь не рассматриваются.] ak
– k
-я цифра от конца в числе a
(a
1
– последняя цифра). [Пример
для
a = 1043:
1043 = 1
x53
+ 0
x52
+ 4
x51
+ 3
x50
; a1
= 3
, a2
= 4
, a3
= 0
, a4
= 1
.] a(
k
)
– окончание (число) из k
цифр числа a
(a
(1)
=
a
1
; 1043(3)
= 043
). Везде в тексте a
1
№
0
. [Если все три числа a
, b
и c
оканчиваются на ноль, следует разделить равенство 1° на nn
.] (ai
n
)1
= ai
и(ai
n - 1
)1
= 1
(см. Малую теорему Ферма
для ai
№
0
). (0.1°) (
n
+ 1)
n
= (10 + 1)
n
= 11
n
= …101
(см. Бином Ньютона
для простого n
). Простое следствие из бинома Ньютона и малой теоремы Ферма для s
№
1
[a
1
№
0
]: если цифра as
увеличивается/уменьшается на 0
< d
<
n
, то цифра an
s
+1
увеличивается/уменьшается на d
(или d
+
n
, или d
–
n
). (0.2°) [В отрицательных числах цифры считаются отрицательными.] ***
(1°) Допустим, что an
+
bn
–
cn
= 0
. Случай 1
:
(
bc
)1
?
0.
(2°) Пусть u
=
a
+
b
–
c
, где u
(
k
)
= 0,
uk
+1
?
0
,k
> 0
[известно, что в 1° u
> 0
иk
> 0
]. (3°) Умножим равенство 1° на число d
1
n
(см. §§2 и 2a в Приложении) с целью превратить цифру uk
+1
в 5
. После этой операции обозначения чисел не меняются и равенство продолжает идти под тем же номером (1°). Очевидно, что и в новом равенстве (1°) u
=
a
+
b
–
c
, u
(
k
)
= 0
,uk
+1
= 5
. (1*°) И пусть a
*
n
+
b
*
n
–
c
*
n
= 0
, где знаком “*” обозначены записанные в каноническом виде числа в равенстве (1°) после умножения равенства (1°) на 11
n
. (4°) Введем в указанной здесь очередности следующие числа:u
,u
' =
a
(
k
)
+
b
(
k
)
–
c
(
k
)
, u'' = u – u' = (a – a(k)
) + (b – b(k)
) – (c – c(k)
)
, v = (ak+2
+ bk+2
– ck+2
)1
, u*' = a*(k)
+ b*(k)
– c*(k)
, u*'' = u* – u*' = (a* – a*(k)
) + (b* – b*(k)
) – (c* – c*(k)
)
, 11u'
, 11u''
,v* = (a*k+2
+ b*k+2
– c*k+2
)1
, и вычислим две последние значащие цифры в этих числах: (3a°) uk+1
= (u'k+1
+ u''k+1
)1
=5
; (5°) u'k+1
=
(–1
, 0
или1
) – таккак – nk
<
a'(k)
< nk
, – nk
<
b'(k)
< nk
, – nk
<
c'(k)
< nk
и числа a
, b
, c
имеют различные знаки; (6°) u
''
k
+1
=
(4
, 5
или6
)(см. 3a° и 5°) [важно
:1 <
u
''
k
+1
<
n
– 1
]; (7°) u
'
k
+2
= 0
[всегда!] – так как \
u
'\ < 2
nk
; (8°) u
''
k
+2
=
uk
+2
[всегда!]; (9°) u
''
k
+2
= [
v
+ (
ak
+1
+
bk
+1
–
ck
+1
)2
]1
, где (
ak
+1
+
bk
+1
–
ck
+1
)2
=
(–1
, 0
или1
); (10°) v
=
[
uk
+2
– (
a
(
k
+1)
+
b
(
k
+1)
–
c
(
k
+1)
)
k
+2
]1
[где (
a
(
k
+1)
+
b
(
k
+1)
–
c
(
k
+1)
)
k
+2
= (–1
, 0
или1
)] = = [
uk
+2
–
(–1
, 0
или1
)]1
; (11°) u
*
k
+1
=
uk
+1
= 5
– т.к. u
*
k
+1
иuk
+1
– последние значащие цифры в числах u
*
и u
; (12°) u
*'
k
+1
=
u
'
k
+1
– т.к. u
*'
k
+1
иu
'
k
+1
– последние значащие цифры в числах u
*'
и u
'
; (13°) u*''k+1
= (u*k+1
– u*'k+1
)1
= (3 – u*'k+1
)1
=
(4
, 5
или6
)[важно
:
1 < u*''k+1
< n – 1
]; (14°) (11
u
')
k
+2
= (
u
'
k
+2
+ u
'
k
+1
)1
(затем – в результате приведения чисел к каноническому виду – величина u
'
k
+1
«уходит» в u
*''
k
+2
, поскольку u
*'
k
+2
= 0
); (14a°) важно:
числа (11
u
')(
k
+2)
и u
*'(
k
+2)
отличаются только k
+2
-ми цифрами, а именно: u
*'
k
+2
= 0
, но (11
u
')
k
+2
№
0
в общем случае; (15°) (11
u
'')
k
+2
=
(
u
''
k
+2
+ u
''
k
+1
)1
; (16°) u*k+2
= (uk+2
+ uk+1
)1
= (u''k+2
+ uk+1
)1
= (u''k+2
+ 5)1
; (16а°) к сведению: u
*'
k
+2
= 0
(см. 7°); (17°) u*''k+2
=
(u*k+2
+1
, u*k+2
илиu*k+2
– 1
)1
= (см. 9°) = (u''k+2
+ 4
,u''k+2
+ 5
или u''k+2
+ 6)1
; (18°) v* =
[u*k+2
– (a*(k+1)
+ b*(k+1)
– c*(k+1)
)k+2
]1
[гдеu*k+2
= (uk+2
+ uk+1
)1
(см. 16°), а(a*(k+1)
+ b*(k+1)
– c*(k+1)
)k+2
= (–1
, 0
или1
) –
см. 10°] = = [(uk+2
+ uk+1
)1
–
(–1
, 0
или1
)]1
. (19°) ВведемчислаU' = (ak+1
)n
+ (bk+1
)n
– (ck+1
)n
, U'' = (an
+ bn
– cn
) – U'
, U = U' + U''
, U*' = (a*k+1
)n
+ (b*k+1
)n
– (c*k+1
)n
, U*'' = (a*n
+ b*n
– c*n
) – U*'
, U* = U*' + U*''
; (19а°) к сведению: U
'(k+1)
=
U
*'(k+1)
= 0
. (20°) Лемма: U(k+2)
= U'(k+2)
= U''(k+2)
= U*(k+2)
= U*'(k+2)
= U*''(k+2)
= 0
[всегда!]. U = an
+ bn
– cn
=
= (a(k+1)
+ nk+1
ak+2
+ nk+2
Pa
)n
+ (b(k+1)
+ nk+1
bk+2
+ nk+2
Pb
)n
– (c(k+1)
+ nk+1
ck+2
+ nk+2
Pc
)n
=
= (a(k+1)
n
+ b(k+1)
n
– c(k+1)
n
) + nk+2
(ak+2
a(k+1)
n - 1
+ bk+2b(k+1)
n - 1
– ck+2c(k+1)
n - 1
) + nk+3
P =
= U' + U'' = 0
, где U' = a(k+1)
n
+ b(k+1)
n
– c(k+1)
n
, (20a°)U'' = nk+2
(ak+2
a(k+1)
n -1
+ bk+2b(k+1)
n -1
– ck+2c(k+1)
n -1
) + nk+3
P
, где(ak+2
a(k+1)
n -1
+ bk+2
b(k+1)
n -1
– ck+2
c(k+1)
n -1
)1
=
(см. 0.1°)=
(20b°) = (ak+2
+ bk+2
– ck+2
)1
=
U''k+3
=
v
(см. 4°). (21°) Следствие: (U'k+3
+ U''k+3
)1
= (U*'k+3
+ U*''k+3
)1
= 0
. (22°) Вычислимцифру(11n
U')k+3
: [так как числа (11
u
')(
k
+2)
и u
*'(
k
|