Высшая математика

Контрольная работа

Высшая математика

ЗАДАЧА 1 .

В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды .

Найдите:

а)длину ребра ;

б) косинус угла между векторами и ;

в)уравнение ребра _;

г) уравнение грани С₁ ; если А₁ (-2,2,2),В₁ (1,-3.0), С₁ (6,2,4), D₁ (5,7,-1).

Решение.

а)Найдем координаты вектора А₁ В₁ по формуле

где - координаты точки А₁ , -координаты точки В₁ .

Итак ={1-(-2);-3-2;0-2}={3;-5;-2}. Тогда = =.

Итак, длина отрезка, (или длина векторе ) равна . Это иесть искомая длинаребра.

б) Координаты ={3;-5;-2} уже известны, осталось определить координаты вектора ={6- (-2); 2 - 2; 4 - 2}= {8,0; 2}.

Угол между векторами и вычислим по формуле

cos φ = (А₁ В₁ , А₁ С₁ )

|А₁ В₁ |·| А₁ С₁ |

где скалярое произведение векторов А₁ В₁ и А₁ С₁ равно ( , )=3·8+(-5)·0+(-2)=24+0-4=20,

| |= , | |= =.

Итак, cos φ = 20 = 10

·

в)Координатыточки А₁ (-2,2,2) обозначим соответственно Х₀ = -2, У₀ = 2, Z₀ = 2, а координаты точки В₁ (1,-3,0) через X₁ = 1, У₁ = -3, Z₁ = 0 и воспользуемся уравнением прямой и пространстве, проходящей через две точки:

.

Следовательно, уравнение ребра имеет вид

.

г) Обозначим координаты векторов , и черезХ₁ =3, У₁ = -5, Z ₁ = -2 и Х₂ =8, У₂ = 0, Z₂ =2 соответственно. Векторное произведениеданныхвекторов определяется формулой

·A₁ C₁ = {Y₁ ·Z₂ -Y₂ ·Z₁ ;Z₁ ·X₂ -Z₂ ·X₁ ;X₁ ·Y₂ -X₂ ·Y₂ } =

= {(-5)·2-0·(-2);-2·8-2·3;3·0-8·(-5)}={-10,-22,40}

Так как данный векторперпендикуляренграни С₁ ,то можно воспользоватьсяуравнением плоскости, проходящейчерез точку (Х₀ У₀ , Z₀ ) перпендикулярно вектору{А;В; С}, котороеимеет вид A·(X-X₀ )+B·(Y-Y₀ )+С·(Z-Z₀ )=0.

Подставим координаты точки А₁ (Хо= -2, У₀ =2, Z₀ =2) и координаты перпендикулярного вектора А= -10, В= -22, С=40 в это уравнение:

- 10 ( X + 2 ) - 22 (У – 2) т 40 ( Z- 2) - 0. Раскроемскобки и приведем подобные члены - 10 х -22 у + 40z + (-20 + 44-80)=0. Итак, уравнениеграни ,C₁ имеет вид: -10х- 22у + 4О z-56=0 или - 5х- lly + 20z-28=0.

ЗАДАЧА 2.

Решите систему линейных уравнений

а)методом Крамера;

б)методом Гаусса;

Решение.

а) Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера (см.[2] глава 10. стр. 268). Рассмотрим произвольную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Решение.

а) Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера ( см. [2] глава 10, стр. 268).

Тогда , где

Так как Δx = -60; Δy = -60; Δz =60; Δ= -120, то x = ; y = ; z = .

6) решим данную систему уравненийметодом Гаусса. Метод Гаусса состоит в том, что с помощью элементарныхпреобразований система уравнении приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида из которой последовательно, начиная с последнего уравнения, легко находят все неизвестные системы.

Составимрасширенную матрицу данной системы.

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы, чтобы в ее левом верхнем углу была единица. Получим матрицу.

Умножим каждый элемент первой строки матрицына 4 иприбавим полученные числа к соответствующим элементам второй строки. Матрица примет вид.

=

Умножим каждый элемент первой строки матрицы на -3. и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки. Получим:

=

Разделим каждый элемент второй строки матрицы на 4, чтобы второй элемент, стоящий на главной диагонали матрицы, стал равным 1.

Умножим каждый элемент второй строки матрицы на -8 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки:

Данная матрица соответствует системе уравнений , решение которой совпадает с решением исходной системы. Начинай с последнего уравнения, несложно найти все неизвестные.

Действительно, так как z = = и y z = , то y ·

Отсюда, y - = = = . Из x - z =1 имеем = z +1= +1=

Ответ: x = ,y = , z = .

Элементы теории вероятности и математической статистики

Для решения задачи 3 см. [5] глава 1. § 1—5.

ЗАДАЧА 3.

Наскладе университетахранится 28 одинаковых упаковок писчейбумаги. Известно, что в четырехиз нихсодержитсябумага более низкого качества. Случайнымобразомвыбирают три упаковкибумаги, Вычислить вероятность того, что среди них;

А)нет упаковок с бумагой более низкого качества,

Б) есть однаупаковкатакой бумаги.

Решение. Общеечисло возможныхэлементарныхисходов для данных испытанийравно числуспособов, которымиможноизвлечь 3 упаковки бумаги из28 упаковок, то есть

= = = =13·9·28=3276 – числу сочетаний из 28 элементов по 3.

а)Подсчитаемчисло исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (нет упаковокс бумагой более низкого качества). Это число исходов ровно числуспособов, которыми можно извлечь 3 упаковки бумаги из 24 упаковок (столько упаковок содержит бумагу высшего сорта), то есть

= = = =11·23·8=2024

искомая вероятностьравна отношению числа исходов, благоприятствующихсобытию, к числу всех элементарных исходов:

P ₁ = = ≈0,62

б) Подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию (среди трех упаковокбумаги ровно 1 упаковкасодержитбумагу болеенизкого качества): две упаковкиможно выбрать из 24 упаковок: = = = =276 способами, при этом одну упаковку нужно выбирать из четырех: = = =4 способами. Следовательно,число благоприятствующих исходов равно · =276·4=1104

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всехэлементарныхисходов p ₂ = = ≈0,34

Ответ: а)p ₁ =0,62;б) р₂ =0,34.

ЗАДАЧА 4.

Магазинполучает электролампочкис двух заводов, причем доля первого завода составляет 25 %. Известно, чтодоля брака на этих заводах равна соответственно5 % и 10 % от всей выпускаемойпродукции. Продавец наугад берет одну лампочку. Какова вероятность того, что она окажется бракованной?

Решение: Обозначим черезАсобытие - « лампочкаокажетсябракованной». Возможны следующие гипотезы о происхождении этой лампочки: H ₁ -лампочка поступила с первого завода, H ₂ -лампочка поступила со второгозавода. Так как доля первого завода составляет 25 %, то вероятности этих гипотез равнысоответственно p ( H ₁ )= = 0,25; p ( H ₂ ) = =0,75.

Условная вероятность того, что бракованнаялампочка выпущенапервымзаводом – p ( A / H ₁ ) = =0,05, вторымзаводом- p ( A / H ₂ ) = =0,10 искомую вероятностьтого, что продавец взял бракованную лампочку, находим по формуле полной вероятности

р ( А ) = P(H₁ )· p(A/H₁ )+P(H₂ )·(A/H₂ )= 0,25·0,05+0,75·0,10=0,0125+0,075=0.0875

Ответ: р(А) = 0,0875.

Для решениязадачи5 см. [5]глава6 § 1—3, глава 7 § 1-2, глава8 § J—3.

ЗАДАЧА 5.

Задан закон распределения дискретной случайной величеныX :

Найти:

а)неизвестную вероятность р.

б)математическое ожидание М , дисперсию D исреднее квадратическоеотклонение σ данной случайной величены;

Решение:

а)так как сумма всех, вероятностей должна равняться единице, тополучим уравнение

0,05-p + 0,12 + 0,23-0,32 + 0,14+0,04 = 1.

Отсюда р + 0,9 = 1и р= 0,1.

б)Математическое ожидание М это сумма всех произведенийзначенийслучайной величины на их вероятности:

М = (-4)·0,05+(-2)·0,1 + 0·0,12 + 2·0,23 + 4·0,32 + 6·0,14 + +8·0,04-0,2-0,2+0 + 0,46 + 1,28 + 0,84 + 0.32 = -0,4 + 2,9 = 2,5.

Дисперсия D =∑(x ₁ )² ·p ₁ - M ² =

= (-4)·0.05+(-2)² ·0,1+0² ·0,12+2² ·0,23+4² ·0,32+6² ·0,14+8² ·0,04-(2,5)² =

=0,8+0+0,92+5,12+5,04+2,56-6,25=8,59

Среднее квадратическое отклонение σ = = ≈2,9

ЗАДАЧА 6.

Построить выпуклый многоугольник, заданный системой неравенств

x₁ -x₂ ≥ - 2;

x₁ -3x₂ ≥ - 10,

x₁ +2 x₂ ≥4,

x₁ ≤8,

x₂ ≥0.

Пользуясь геометрической интерпретацией основной задачи линейного программирования, найти минимум и максимум линейной формы

L =2 x ₁ + x ₂

Решение. Построим прямоугольную систему координат x₁ Ox _2. Если в этой системе построить прямую ax ₁ + bx ₂ = c , то она разобьет плоскость x ₁ Ох₂ на две полуплоскости, каждая из которых лежит но одну сторону от прямой. Сама прямая в этом случае называется граничной и принадлежит обеим полуплоскостям. Координаты точек, лежащих в одной полуплоскости, удовлетворяют неравенству ах₁ + bx ₂ ≤ c , а координаты точек, лежащих в другой полуплоскости,— неравенству. ах₁ + bx _2≥ c . Построим в плоскости x₁ Ox ₂ граничные прямые x ₁ - x ₂ =-2( AB ), x ₁ -3 x ₂ =-10( BC ), x ₁ +2 x ₂ =4( AE ), x ₁ =8( CD ) иx ₂ =0( ED ).

В результате получим пятиугольник ABCDE (рис. 12). Значения x ₁ и x ₂ , удовлетворяющие системе неравенств (1), являются координатами точек, лежащих внутри или на границе найденного пятиугольника.

Теперь задача сводится к тому, чтобы найти те значения x ₁ иx ₂ , при которых линейная форма, L (2) имеет минимум, и те значения x ₁ и х₂ , при которых линейная форма L достигает максимума. Из рис. 1 видно, что координаты всех точек, лежащих внутри или награнице пятиугольника, не являются отрицательными, т. е. все значения x ₁ и х₂ больше или равны нулю. Для каждой точки плоскости x₁ Ox ₂ линейная форма L принимает фиксированноезначение. Множество точек, при которых линейная форма L принимает значение L₁ , есть прямая 2 x ₁ +х₂ = L ₁ ( l ₁ ) , которая перпендикулярна векторуN = 2 i + j . Если прямую l ₁ передвигать параллельно самой себе в положительномнаправлениивектора N , то линейная форма L будет возрастать, аесли прямую передвигать в противоположном направлении — убывать. Построим прямую (l ₁ ) для того случая, когда L = 0, т.е. построим прямую 2 x ₁ +х₂ = 0. Как видно из рис. 1 , при передвижении прямой l ₁ в положительном направлении вектора N она впервые встретится с вершиной А построенного пятиугольника ABCDE . В этой вершине линейная форма L имеет минимум. Следовательно, L_min =2·0+1·2=2, При дальнейшем передвижении прямой l ₁ параллельно самой себе в положительном направлении вектора N значение линейной формы L будет возрастать, и оно достигнет максимального значения в точке С(8; 6). Таким образом, Lmax =2·8+1·6=22.