Ãëàâíàÿ Ó÷åáíèêè - Ðàçíûå Ëåêöèè (ðàçíûå) - ÷àñòü 50
ª. Ï. Íåë³í ÀËÃÅÁÐÀ ² ÏÎ×ÀÒÊÈ ÀÍÀ˲ÇÓ
ϳäðó÷íèê äëÿ çàãàëüíîîñâ³òí³õ íàâ÷àëüíèõ çàêëàä³â Àêàäåì³÷íèé ð³âåíü
Õàðê³â «Ã³ìíàç³ÿ» 2010 ÓÄÊ 373:[512+517] ÁÁÊ 22.12ÿ721+2.161ÿ721 H58 ª. Ï. Íåë³í
H58 Àëãåáðà ³ ïî÷àòêè àíàë³çó : ï³äðó÷. äëÿ 10 êë. çàãàëüíîîñâ³ò. íàâ÷. çàêëàä³â : àêàäåì. ð³âåíü. — Õ. : óìíàç³ÿ, 2010. — 416 ñ. : ³ë. ISBN 978-966-474-095-8. ÓÄÊ 373:[512+517]
ÁÁÊ 22.12ÿ721+2.161ÿ721
© ª. Ï. Íåë³í, 2010 © Ñ. Å. Êóë³í³÷, õóäîæíº îôîðìëåííÿ, 2010 ISBN 978-966-474-095-8 © ÒΠÒÎ «Ã³ìíàç³ÿ», îðèã³íàë-ìàêåò, 2010 Âè ïî÷èíàºòå âèâ÷àòè íîâèé ïðåäìåò «Àëãåáðà ³ ïî÷àòêè àíàë³çó
», ÿêèé îá’ºäíóº ìàòåð³àë ê³ëüêîõ ãàëóçåé ìàòåìàòè÷íî¿ íàóêè. ßê ³ â êóðñ³ àëãåáðè, çíà÷íó óâàãó áóäå ïðèä³ëåíî ïåðåòâîðåííÿì âèðàç³â, ðîçâ’ÿçóâàííþ ð³âíÿíü, íåð³âíîñòåé òà ¿õ ñèñòåì ³ ðîçãëÿäó âëàñòèâîñòåé ôóíêö³é. Ïîðÿä ³ç ðîçâ’ÿçóâàííÿì çíàéîìèõ çàäà÷, ïîâ’ÿçàíèõ ç ìíîãî÷ëåíàìè, ðàö³îíàëüíèìè äðîáàìè, ñòåïåíÿìè ³ êîðåíÿìè, ó 10 êëàñ³ áóäå ðîçãëÿíóòî íîâ³ âèäè ôóíêö³é: ñòåïåíåâ³ é òðèãîíîìåòðè÷í³ òà â³äïîâ³äí³ ð³âíÿííÿ ³ íåð³âíîñò³. Ïðèíöèïîâî íîâà ÷àñòèíà êóðñó — ïî÷àòêè àíàë³çó — áóäå ðîçãëÿäàòèñÿ â 11–12 êëàñàõ. Ìàòåìàòè÷íèé àíàë³ç
(àáî ïðîñòî àíàë³ç) — ãàëóçü ìàòåìàòèêè, ñôîðìîâàíà ó XVIII ñò., ùî â³ä³ãðàëà çíà÷íó ðîëü ó ðîçâèòêó ïðèðîäîçíàâñòâà: ç’ÿâèâñÿ ïîòóæíèé, äîñòàòíüî óí³âåðñàëüíèé ìåòîä äîñë³äæåííÿ ôóíêö³é, ÿê³ âèíèêàþòü ï³ä ÷àñ ðîçâ’ÿçóâàííÿ ð³çíîìàí³òíèõ ïðèêëàäíèõ çàäà÷. ʳëüêà çàóâàæåíü ïðî òå, ÿê êîðèñòóâàòèñÿ ï³äðó÷íèêîì. Ñèñòåìà íàâ÷àëüíîãî ìàòåð³àëó ï³äðó÷íèêà ç êîæíî¿ òåìè ïðåäñòàâëåíà íà äâîõ ð³âíÿõ. Îñíîâíèé ìàòåð³àë
íàâåäåíî â ïàðàãðàôàõ, íîìåðè ÿêèõ ïîçíà÷åíî ñèí³ì êîëüîðîì. Äîäàòêîâèé ìàòåð³àë
(íîìåðè ïàðàãðàô³â ïîçíà÷åíî ñ³ðèì êîëüîðîì) ïðèçíà÷åíèé äëÿ îâîëîä³ííÿ òåìîþ íà á³ëüø ãëèáîêîìó ð³âí³ (íàïðèêëàä, äëÿ âèêîíàííÿ ñêëàäí³øèõ çàâäàíü ç àëãåáðè ³ ïî÷àòê³â àíàë³çó çîâí³øíüîãî íåçàëåæíîãî îö³íþâàííÿ ç ìàòåìàòèêè). Ó÷åíü ìîæå îïàíîâóâàòè éîãî ñàìîñò³éíî ÷è ï³ä êåð³âíèö òâîì ó÷èòåëÿ. Íà ïî÷àòêó áàãàòüîõ ïàðàãðàô³â íàâåäåíî äîâ³äêîâ³ òàáëèö³
, ÿê³ ì³ñòÿòü îñíîâí³ îçíà÷åííÿ, âëàñòèâîñò³ òà îð³ºíòèðè
äëÿ ïîøóêó ïëàíó ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ ç òåìè. Äëÿ îçíàéîìëåííÿ ç îñíîâíèìè ³äåÿìè ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ íàâîäÿòüñÿ ïðèêëàäè, ó ÿêèõ, êð³ì ñàìîãî ðîçâ’ÿçàííÿ, ì³ñòèòüñÿ òàêîæ êîìåíòàð
, ùî äîïîìîæå ñêëàñòè ïëàí ðîçâ’ÿçóâàííÿ àíàëîã³÷íîãî çàâäàííÿ. Ç ìåòîþ çàêð³ïëåííÿ, êîíòðîëþ ³ ñàìîêîíòðîëþ çàñâîºííÿ íàâ÷àëüíîãî ìàòåð³àëó ï³ñëÿ êîæíîãî ïàðàãðàôà çàïðîïîíîâàíî ñèñòåìó çàïèòàíü ³ âïðàâ. ³äïîâ³ä³ íà ö³ çàïèòàííÿ ³ ïðèêëàäè ðîçâ’ÿçóâàííÿ àíàëîã³÷íèõ âïðàâ ìîæíà çíàéòè â òåêñò³ ïàðàãðàôà. Ñèñòåìó âïðàâ äî îñíîâíîãî ìàòåð³àëó ïîäàíà íà òðüîõ ð³âíÿõ. Çàäà÷³ ñåðåäíüîãî ð³âíÿ
ïîçíà÷åíî ñèìâîëîì «°», äåùî ñêëàäí³ø³ çàäà÷³ äîñòàòíüîãî ð³âíÿ
ïîäàíî áåç ïîçíà÷åíü, à çàäà÷³ âèñîêîãî ð³âíÿ
ñêëàäíîñò³ ïîçíà÷åíî ñèìâîëîì «*». Ó ï³äðó÷íèêó äëÿ áàãàòüîõ çàäà÷ ïîãëèáëåíîãî ð³âíÿ òàêîæ ïðîïîíóþòüñÿ ñïåö³àëüí³ îð³ºíòèðè, ÿê³ äàþòü ìîæëèâ³ñòü îïàíóâàòè ìåòîäè ¿õ ðîçâ’ÿçóâàííÿ. ³äïîâ³ä³ ³ âêàç³âêè
äî á³ëüøîñò³ âïðàâ íàâåäåíî ó â³äïîâ³äíîìó ðîçä³ë³. Ïðî ïîõîäæåííÿ ïîíÿòü, òåðì³í³â ³ ñèìâîë³â âè çìîæåòå ä³çíàòèñÿ, ïðî÷èòàâøè «Â³äîìîñò³ ç ³ñòî𳿻. Ó ê³íö³ ï³äðó÷íèêà íàâåäåíî äîâ³äêîâèé ìàòåð³àë. 4 ÏÅÐÅÄÌÎÂÀ Ïðîïîíîâàíèé ï³äðó÷íèê ñïðÿìîâàíî íà ðåàë³çàö³þ îñíîâíèõ ïîëîæåíü êîíöåïö³¿ ïðîô³ëüíîãî íàâ÷àííÿ â ñòàðø³é øêîë³, íà îðãàí³çàö³þ îñîáèñò³ñíî-îð³ºíòîâàíîãî íàâ÷àííÿ ìàòåìàòèêè. ϳäðó÷íèê ï³äãîòîâëåíî â³äïîâ³äíî äî ÷èííî¿ ïðîãðàìè ç àëãåáðè ³ ïî÷àòê³â àíàë³çó àêàäåì³÷íîãî ð³âíÿ ç óðàõóâàííÿì ïðîãðàìè ïðîô³ëüíîãî ð³âíÿ òà ïðîãðàìè ³ çì³ñòó çîâí³øíüîãî íåçàëåæíîãî îö³íþâàííÿ ç ìàòåìàòèêè. ³äçíà÷èìî îñíîâí³ â³äì³ííîñò³ ïðîïîíîâàíîãî ï³äðó÷íèêà â³ä ³íøèõ ï³äðó÷íèê³â ç àëãåáðè ³ ïî÷àòê³â àíàë³çó. Öå äâîð³âíåâèé ï³äðó÷íèê
, ó êîæíîìó ðîçä³ë³ ÿêîãî ïîðÿä ³ç ïàðàãðàôàìè, ùî ïðèçíà÷åí³ äëÿ îâîëîä³ííÿ ó÷íÿìè ñòàíäàðòîì ìàòåìàòè÷íî¿ îñâ³òè íà àêàäåì³÷íîìó ð³âí³, º ñèñòåìàòè÷íèé ìàòåð³àë äëÿ îðãàí³çàö³¿ ³íäèâ³äóàëüíî¿ ðîáîòè ç ó÷íÿìè, ÿê³ ö³êàâëÿòüñÿ ìàòåìàòèêîþ. Îñíîâíèé ìàòåð³àë, ÿêèé ïîâèíí³ çàñâî¿òè ó÷í³, ñòðóêòóðîâàíî ó ôîðì³ äîâ³äêîâèõ òàáëèöü
íà ïî÷àòêó ïàðàãðàôà, ÿê³ ì³ñòÿòü ñèñòåìàòèçàö³þ òåîðåòè÷íîãî ìàòåð³àëó òà ñïîñîá³â ä³ÿëüíîñò³
³ç öèì ìàòåð³àëîì ó ôîðì³ ñïåö³àëüíèõ îð³ºíòèð³â äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàâäàíü
. Ó ïåðøó ÷åðãó ó÷í³ ïîâèíí³ çàñâî¿òè ìàòåð³àë, ÿêèé ì³ñòèòüñÿ â òàáëèöÿõ
. ϳäêðåñëèìî, ùî áóäü-ÿêèé ï³äðó÷íèê ç àëãåáðè ³ ïî÷àòê³â àíàë³çó ïîâèíåí çàáåçïå÷èòè íå ò³ëüêè îçíàéîìëåííÿ ó÷í³â ç îñíîâíèìè àëãåáðà¿÷íèìè ïîíÿòòÿìè òà ¿õ âëàñòèâîñòÿìè (òîáòî äàòè ìîæëèâ³ñòü ôîðìóâàòè â ó÷í³â çíàííÿ ç àëãåáðè ³ ïî÷àòê³â àíàë³çó), à é ôîðìóâàííÿ ñïîñîá³â ä³é ³ç öèìè ïîíÿòòÿìè (òîáòî äàòè ìîæëèâ³ñòü ôîðìóâàòè â ó÷í³â óì³ííÿ ç àëãåáðè ³ ïî÷àòê³â àíàë³çó). Òó ñèñòåìó óìîâ, íà ÿêó ðåàëüíî ñïèðàºòüñÿ ó÷åíü ïðè âèêîíàíí³ ä³¿, ïñèõîëîãè íàçèâàþòü îð³ºíòîâíîþ îñíîâîþ 䳿. ßêùî ó÷íÿì ïðîïîíóþòü äîñòàòíüî çàãàëüí³ îð³ºíòîâí³ îñíîâè äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ â³äïîâ³äíèõ çàâäàíü ó âèãëÿä³ ñïåö³àëüíèõ ïðàâèë òà àëãîðèòì³â, òî êàæóòü, ùî ¿ì ïðîïîíóþòü îð³ºíòîâí³ îñíîâè äðóãîãî ³ òðåòüîãî òèï³â. ßê ïðàâèëî, ó ï³äðó÷íèêàõ àëãåáðè ³ ïî÷àòê³â àíàë³çó äëÿ 10 êëàñ³â ó÷íÿì ïðîïîíóþòüñÿ ò³ëüêè çðàçêè ðîçâ’ÿçóâàíü çàâäàíü. Ó÷í³ ïðèñòóïàþòü äî ñàìîñò³éíî¿ ä³ÿëüíîñò³, îð³ºíòóþ÷èñü íà ö³ çðàçêè (òîáòî ó÷íÿì ïðîïîíóþòüñÿ îð³ºíòîâí³ îñíîâè ïåðøîãî òèïó). Òàêå íàâ÷àííÿ ïåðåäáà÷àº, ùî ó÷åíü ñàìîñò³éíî âèêîíຠñèñòåìàòèçàö³þ òà óçàãàëüíåííÿ ñïîñîá³â ä³é, îð³ºíòóþ÷èñü íà çàïðîïîíîâàí³ çðàçêè, ³ âèä³ëèòü äëÿ ñåáå îð³ºíòîâíó îñíîâó ðîçâ’ÿçóâàííÿ ðîçãëÿíóòèõ çàâäàíü. ßê ïðàâèëî, ó öüîìó âèïàäêó îð³ºíòîâíà îñíîâà, ùî ñòâîðþºòüñÿ â ó÷íÿ, íåïîâíà, ³, êð³ì òîãî, âîíà ÷àñòî íå óñâ³äîìëåíà íèì, áî ó÷åíü íå ìîæå ïîÿñ- ÏÅÐÅÄÌÎÂÀ 5 íèòè, ÷îìó â³í âèêîíóâàâ ñàìå òàê³ ïåðåòâîðåííÿ ï³ä ÷àñ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàâäàí íÿ, à íå ³íø³. ²ç ö³º¿ ïðè÷èíè îäíèì ç ïðèíöèï³â ïîáóäîâè íàøîãî ï³äðó÷íèêà áóëî âèä³ëåííÿ äëÿ ó÷í³â îð³ºíòîâíèõ îñíîâ â³äïîâ³äíî¿ ä³ÿëüíîñò³ ç ðîçâ’ÿçóâàííÿ àëãåáðà¿÷íèõ çàâäàíü áåçïîñåðåäíüî â ï³äðó÷íèêó. Ó êîæíîìó ðîçä³ë³ ðîçâ’ÿçàííþ âïðàâ ïåðåäóº âèä³ëåííÿ çàãàëüíèõ îð³ºíòèð³â äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ òàêèõ çàâäàíü. Òîìó âàæëèâîþ ñêëàäîâîþ ðîáîòè çà ïðîïîíîâàíèì ï³äðó÷íèêîì º îáãîâîðåííÿ âèáîðó â³äïîâ³äíèõ îð³ºíòèð³â òà ïëàí³â ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàâäàíü. Ïîÿñíåííÿ ìåòîä³â ðîçâ’ÿçóâàííÿ âåäåòüñÿ çà ñõåìîþ: Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ
Ê î ì å í ò à ð
Çà ðàõóíîê ÷³òêîãî âèä³ëåííÿ çàãàëüíèõ îð³ºíòèð³â ðîáîòè ç ïðàêòè÷íèìè çàâäàííÿìè êóðñó âäàºòüñÿ ÷àñòèíó «íåñòàíäàðòíèõ» (ç òî÷êè çîðó òðàäèö³éíèõ ï³äðó÷íèê³â) çàâäàíü ïåðåâåñòè â ðîçðÿä «ñòàíäàðòíèõ» (íàïðèêëàä, ð³âíÿííÿ, äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ ÿêèõ äîâîäèòüñÿ âèêîðèñòîâóâàòè âëàñòèâîñò³ ôóíêö³é). Öå äîçâîëÿº, çîêðåìà, îçíàéîìèòè ó÷í³â ç ìåòîäàìè ðîçâ’ÿçóâàííÿ íàâ³òü ñêëàäíèõ çàâäàíü ç àëãåáðè ³ ïî÷àòê³â àíàë³çó, ÿê³ ïðîïîíóþòüñÿ â çîâí³øíüîìó íåçàëåæíîìó îö³íþâàíí³ ç ìàòåìàòèêè, òà ç îôîðìëåííÿì ¿õ ðîçâ’ÿçàííÿ. Óìîâí³ ïîçíà÷åííÿ
ãîëîâíå â íàâ÷àëüíîìó ìàòåð³àë³ u ïî÷àòîê ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ v çàê³í÷åííÿ ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ ˜ ïî÷àòîê îá´ðóíòóâàííÿ òâåðäæåííÿ - çàê³í÷åííÿ îá´ðóíòóâàííÿ òâåðäæåííÿ Ïîçíà÷åííÿ, ÿê³ çàñòîñîâàíî â ï³äðó÷íèêó ìíîæèíà âñ³õ íàòó- ìîäóëü (àáñîëþòíà âå- N
— | x |
— ëè÷èíà) ÷èñëà x
ðàëüíèõ ÷èñåë ìíîæèíà âñ³õ ö³ëèõ Z
— [x
] — ö³ëà ÷àñòèíà ÷èñëà x
÷èñåë {x
} — äðîáîâà ÷àñòèíà ÷èñëà x
ìíîæèíà âñ³õ íåâ³ä’- Z
0
— çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ f
ºì íèõ ö³ëèõ ÷èñåë f
(x
) — ó òî÷ö³ x
îáëàñòü âèçíà÷åííÿ D
(f
) — ìíîæèíà âñ³õ ðàö³î- ôóíêö³¿ f
Q
— íàëüíèõ ÷èñåë îáëàñòü çíà÷åíü ôóíê- E
(f
) — ö³¿ f
ìíîæèíà âñ³õ ä³éñíèõ sin — ôóíêö³ÿ ñèíóñ R
— ÷èñåë, ÷èñëîâà ïðÿìà cos — ôóíêö³ÿ êîñèíóñ ìíîæèíà âñ³õ äîäàò- tg — ôóíêö³ÿ òàíãåíñ R
+
— [a
; b
] — ïðîì³æîê) ç ê³íöÿìè a
³ b,
a
< b
arccos — ôóíêö³ÿ àðêêîñèíóñ ³íòåðâàë (â³äêðèòèé arctg — ôóíêö³ÿ àðêòàíãåíñ (a
; b
) — ïðîì³æîê) ç ê³íöÿìè a
³ b,
a
< b
arcctg — ôóíêö³ÿ àðêêîòàíãåíñ íàï³ââ³äêðèò³ ïðîì³æ- (a
; b
],
— êè ç ê³íöÿìè a
³
b,
— àðèôìåòè÷íèé êîð³íü ³ç [a
; b
) a
<
b
÷èñëà a
àðèôìåòè÷íèé êîð³íü (a
; +∞),— 2k-
ãî ñòåïåíÿ ³ç ÷èñëà a
[a
; +∞), (k
∈ N
) — íåñê³í÷åíí³ ïðîì³æêè (–∞; b
], àðèôìåòè÷íèé êîð³íü (–∞; b
)— 2k-
ãî ñòåïåíÿ ³ç ÷èñëà a
(k
∈ N
)
(–∞; +∞) — æîê, ÷èñëîâà ïðÿìàíÿ ³ç ÷èñëà a
(k
∈ N
) Ðîçä³ë 1. ÔÓÍÊÖ²¯, вÂÍßÍÍß ² ÍÅвÂÍÎÑÒ²
§ 1. Ìíîæèíè
§ 2. Ôóíêö³¿
§ 3. гâíÿííÿ
§ 4. Íåð³âíîñò³
ÄÎÄÀÒÊÎÂÈÉ ÌÀÒÅвÀË
§ 5. Ãðàô³êè ð³âíÿíü òà íåð³âíîñòåé ç äâîìà çì³ííèìè
§ 6. Ìåòîä ìàòåìàòè÷íî¿ ³íäóêö³¿
§ 7. Ìíîãî÷ëåíè â³ä îäí³º¿ çì³ííî¿ òà 䳿 íàä íèìè
§ 8. гâíÿííÿ ³ íåð³âíîñò³, ùî ì³ñòÿòü çíàê ìîäóëÿ
§ 9. гâíÿííÿ ³ íåð³âíîñò³ ç ïàðàìåòðàìè
 îñíîâí³é ÷àñòèí³
öüîãî ðîçä³ëó âè ñèñòåìàòèçóºòå òà óçàãàëüíèòå ñâî¿ çíàííÿ é óì³ííÿ, ïîâ’ÿçàí³ ç ìíîæèíàìè, ôóíêö³ÿìè, ð³âíÿííÿìè ³ íåð³âíîñòÿìè, óòî÷íèòå, ÿê äîñë³äæóþòü ³ îá´ðóíòîâóþòü îñíîâí³ õàðàêòåðèñòèêè ôóíêö³é. Òàêîæ âè îòðèìàºòå ðåêîìåíäàö³¿ ùîäî ðîçâ’ÿçóâàííÿ ð³âíÿíü òà íåð³âíîñòåé ð³çíèìè ìåòîäàìè. Ó äîäàòêîâ³é ÷àñòèí³
ðîçä³ëó ó÷í³, ÿê³ áàæàþòü óçíàòè á³ëüøå, çìîæóòü îçíàéîìèòèñÿ ç âàæëèâèì ìåòîäîì äîâåäåííÿ ìàòåìàòè÷íèõ òâåðäæåíü (ìåòîäîì ìàòåìàòè÷íî¿ ³íäóêö³¿) òà ç ìåòîäàìè ðîçâ’ÿçóâàííÿ äåÿêèõ ñêëàäíèõ çàâäàíü, ùî ¿õ ïðîïîíóþòü, íàïðèêëàä, ó çàâäàííÿõ çîâí³øíüîãî íåçàëåæíîãî îö³íþâàííÿ ÷è äåðæàâíî¿ ï³äñóìêîâî¿ àòåñòàö³¿ ç ìàòåìàòèêè (öå, ó ïåðøó ÷åðãó, ìåòîäè ðîçâ’ÿçóâàííÿ ð³âíÿíü ³ íåð³âíîñòåé ç ìîäóëÿìè ³ ïàðàìåòðàìè, çíàõîäæåííÿ ö³ëèõ êîðåí³â ìíîãî÷ëåí³â ³ç ö³ëèìè êîåô³ö³ºíòàìè, ïîáóäîâà ãðàô³ê³â ð³âíÿíü ³ íåð³âíîñòåé ³ç äâîìà çì³ííèìè). Ðîçä³ë
³ íåð³âíîñò³
§ 1 ÌÍÎÆÈÍÈ 1.1. Ìíîæèíè òà îïåðàö³¿ íàä íèìè Òàáëèöÿ 1 Ïîíÿòòÿ ìíîæèíè òà ¿¿ åëåìåíò³â
Ìíîæèíó ìîæíà óÿâèòè ñîá³ ÿê ñóêóïí³ñòü äåÿêèõ îá’ºêò³â, ùî îá’ºäíàí³ çà ÿêîþñü îçíàêîþ. Ó ìàòåìàòèö³ ìíîæèíè — öå îäíå ç îñíîâíèõ íåîçíà÷óâàíèõ ïîíÿòü. Êîæíèé îá’ºêò, ùî âõîäèòü äî ìíîæèíè À,
íàçèâàºòüñÿ åëåìåíòîì
ö³º¿ ìíîæèíè
.
Ìíîæèíà, ùî íå ì³ñòèòü æîäíîãî åëåìåíòà, íàçèâàºòüñÿ ïîðîæíüîþ
ìíîæèíîþ ³ ïîçíà÷àºòüñÿ ∅ ϳäìíîæèíà (⊂)
ßêùî êîæåí åëåìåíò îäí³º¿ ìíîæèíè A
º åëåìåíòîì äðóãî¿ ìíîæèíè B
, òî êàæóòü, ùî ïåðøà ìíîæèíà A
º ï³äìíîæèíîþ äðóãî¿ ìíîæèíè B
³ çàïèñóþòü òàê: A
⊂ B
. Âèêîðèñòîâóþòü òàêîæ çàïèñ A
⊆ B
, ÿêùî ìíîæèíà A
àáî º ï³äìíîæèíîþ ìíîæèíè B
, àáî äîð³âíþº ìíîæèí³ B
гâí³ñòü ìíîæèí A B
= ⇔x A
x B
∈ ⇒∈ ⇒x A
x B
∈∈ Äâ³ ìíîæèíè íàçèâàþòüñÿ ð³âíèìè
, ÿêùî êîæíèé åëåìåíò ïåðøî¿ ìíîæèíè º åëåìåíòîì äðóãî¿ ìíîæèíè, ³ íàâïàêè, êîæíèé åëåìåíò äðóãî¿ ìíîæèíè º åëåìåíòîì ïåðøî¿ ìíîæèíè
Ïðîäîâæåííÿ òàáë. 1
Ïåðåð³ç ìíîæèí (Ç)
Ïåðåð³çîì ìíîæèí
À
³ Â
íàçèâàþòü ¿õ ñï³ëüíó ÷àñòèíó, òîáòî ìíîæèíó C
âñ³õ åëåìåíò³â, ùî íàëåæàòü ÿê ìíîæèí³ À,
òàê ³ ìíîæèí³ Â
Îá’ºäíàííÿ ìíîæèí (È)
Îá’ºäíàííÿì ìíîæèí
À
³ Â
íàçèâàþòü ìíîæèíó C
, ñêëàäåíó ç óñ³õ åëåìåíò³â, ùî íàëåæàòü õî÷à á îäí³é ³ç öèõ ìíîæèí (À àáî
Â
)
гçíèöÿ ìíîæèí (\)
гçíèöåþ ìíîæèí
À
³ Â
íàçèâàºòüñÿ ìíîæèíà C
, ÿêà ñêëàäàºòüñÿ ç óñ³õ åëåìåíò³â, ÿê³ íàëåæàòü ìíîæèí³ À
³ íå íàëåæàòü ìíîæèí³ Â
Äîïîâíåííÿ ìíîæèí
ßêùî âñ³ ìíîæèíè, ÿê³ ìè ðîçãëÿäàºìî, º ï³äìíîæèíàìè ÿêî¿ñü òàê çâàíî¿ óí³âåðñàëüíî¿
ìíîæèíè U
, òî ð³çíèöÿ U
\ A
íàçèâàºòüñÿ äîïîâíåííÿì ìíîæèíè A
. Òîáòî äîïîâíåííÿì ìíîæèíè
A
íàçèâàºòüñÿ ìíîæèíà, ÿêà ñêëàäàºòüñÿ ç óñ³õ åëåìåíò³â, ÿê³ íå íàëåæàòü ìíîæèí³ À
(àëå ÿê³ íàëåæàòü óí³âåðñàëüí³é ìíîæèí³ U
) 1. Ïîíÿòòÿ ìíîæèíè.
Îäíèì ç îñíîâíèõ ïîíÿòü, ÿê³ âèêîðèñòîâóþòü ó ìàòåìàòèö³, º ïîíÿòòÿ ìíîæèíè.
Äëÿ íüîãî íå äàþòü îçíà÷åííÿ. Ìîæíà ïîÿñíèòè, ùî ìíîæèíîþ
íàçèâàþòü äîâ³ëüíó ñóêóïí³ñòü îá’ºêò³â, à ñàì³ îá’ºêòè — åëåìåíòàìè
äàíî¿ ìíîæèíè
. Òàê, ìîæíà ãîâîðèòè ïðî ìíîæèíó ó÷í³â ó êëàñ³ (åëåìåíòè — ó÷í³), ìíîæèíó äí³â òèæíÿ (åëåìåíòè — äí³ òèæíÿ), ìíîæèíó íàòóðàëüíèõ ä³ëüíèê³â ÷èñëà 6 (åëåìåíòè — ÷èñëà 1, 2, 3, 6) òîùî. Ó êóðñàõ àëãåáðè òà àëãåáðè ³ ïî÷àòê³â àíàë³çó íàé÷àñò³øå ðîçãëÿäàþòü ìíîæèíè, åëåìåíòàìè ÿêèõ º ÷èñëà, ³ òîìó ¿õ íàçèâàþòü ÷èñëîâèìè ìíîæèíàìè
. ßê ïðàâèëî, ìíîæèíè ïîçíà÷àþòü âåëèêèìè ë³òåðàìè ëàòèíñüêîãî àëôàâ³òó. Íàïðèêëàä, ÿêùî ìíîæèíà Ì
ñêëàäàºòüñÿ ³ç ÷èñåë 1; 2; 3, òî ¿¿ ïîçíà÷àþòü òàê: Ì
= {1; 2; 3}. Òîé ôàêò, ùî ÷èñëî 2 âõîäèòü äî ö³º¿ ìíîæèíè (º åëåìåíòîì äàíî¿ ìíîæèíè Ì
), çàïèñóþòü çà äîïîìîãîþ ñïåö³àëüíîãî çíà÷êà ∈ òàê: 2 ∈ Ì
; à òå, ùî ÷èñëî 5 íå âõîäèòü äî ö³º¿ ìíîæèíè (íå º åëåìåíòîì äàíî¿ ìíîæèíè), çàïèñóþòü òàê: 5 ∉ Ì
. Ìîæíà ðîçãëÿäàòè òàêîæ ìíîæèíó, ÿêà íå ì³ñòèòü æîäíîãî åëåìåíòà, — ïîðîæíþ ìíîæèíó
. Íàïðèêëàä, ìíîæèíà ïðîñòèõ ä³ëüíèê³â ÷èñëà 1 — ïîðîæíÿ ìíîæèíà. Äëÿ äåÿêèõ ìíîæèí ³ñíóþòü ñïåö³àëüí³ ïîçíà÷åííÿ. Òàê, ïîðîæíþ ìíîæèíó ïîçíà÷àþòü ñèìâîëîì ∅, ìíîæèíó âñ³õ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë — ë³òåðîþ N
, ìíîæèíó âñ³õ ö³ëèõ ÷èñåë — ë³òåðîþ Z
, ìíîæèíó âñ³õ ðàö³îíàëüíèõ ÷èñåë — ë³òåðîþ Q
, à ìíîæèíó âñ³õ ä³éñíèõ ÷èñåë — ë³òåðîþ R
. Ìíîæèíè áóâàþòü ñê³í÷åíí³
³ íåñê³í÷åíí³
çàëåæíî â³ä òîãî, ÿêó ê³ëüê³ñòü åëåìåíò³â âîíè ì³ñòÿòü. Òàê, ìíîæèíè À
= {7}; M
= {1; 2; 3} — ñê³í÷åíí³, áî ì³ñòÿòü ñê³í÷åííå ÷èñëî åëåìåíò³â, à ìíîæèíè N
, Z
, Q
, R
— íåñê³í÷åíí³. Ìíîæèíè çàäàþòü àáî çà äîïîìîãîþ ïåðåë³êó ¿õ åëåìåíò³â (öå ìîæíà çðîáèòè ëèøå äëÿ ñê³í÷åííèõ ìíîæèí), àáî çà äîïîìîãîþ îïèñó, êîëè çàäàºòüñÿ ïðàâèëî — õàðàêòåðèñòè÷íà âëàñòèâ³ñòü
, ÿêå äîçâîëÿº âèçíà÷èòè, íàëåæèòü ÷è í³ äàíèé îá’ºêò ðîçãëÿäóâàí³é ìíîæèí³. Íàïðèêëàä, ìíîæèíà À
= {–1; 0; 1} çàäàíà ïåðåë³êîì åëåìåíò³â, à ìíîæèíà B
ïàðíèõ ö³ëèõ ÷èñåë — õàðàêòåðèñòè÷íîþ âëàñòèâ³ñòþ åëåìåíò³â ìíîæèíè. Îñòàííþ ìíîæèíó ³íêîëè çàïèñóþòü òàê: B
= {b
| b
— ïàðíå ö³ëå ÷èñëî} àáî òàê: B
= {b
| b
= 2m
, äå m
∈ Z
} — òóò ï³ñëÿ âåðòèêàëüíî¿ ðèñêè çàïèñàíà õàðàêòåðèñòè÷íà âëàñòèâ³ñòü. Ó çàãàëüíîìó âèãëÿä³ çàïèñ ìíîæèíè çà äîïîìîãîþ õàðàêòåðèñòè÷íî¿ âëàñòèâîñò³ ìîæíà ïîäàòè òàê: A
= {x
| P
(x
)}, äå P
(x
) — õàðàêòåðèñòè÷íà âëàñòèâ³ñòü. Íàïðèêëàä,{x
| x
2
– 1 = 0} = {–1, 1}, {x
| x
∈ R
³ x
2
+ 1 = 0} = ∅. 2.
гâí³ñòü ìíîæèí.
Íåõàé À
— ìíîæèíà öèôð òðèöèôðîâîãî ÷èñëà 312, òîáòî A
= {3; 1; 2}, à B
— ìíîæèíà íàòóðàëüíèõ ÷èñåë, ìåíøèõ â³ä 4, òîáòî B
= {1; 2; 3}. Îñê³ëüêè ö³ ìíîæèíè ñêëàäàþòüñÿ ç îäíèõ ³ òèõ ñàìèõ åëåìåíò³â, òî ¿õ ââàæàþòü ð³âíèìè. Öå çàïèñóþòü òàê: A
= B
. Äëÿ íåñê³í÷åííèõ ìíîæèí òàêèì ñïîñîáîì (ïîð³âíþþ÷è âñ³ åëåìåíòè) óñòàíîâèòè ¿õ ð³âí³ñòü íåìîæëèâî. Òîìó â çàãàëüíîìó âèïàäêó ð³âí³ñòü ìíîæèí îçíà÷àþòü òàêèì ÷èíîì. Äâ³ ìíîæèíè íàçèâàþòüñÿ ð³âíèìè
, ÿêùî êîæíèé åëåìåíò ïåðøî¿ ìíîæèíè º åëåìåíòîì äðóãî¿ ìíîæèíè ³, íàâïàêè, êîæíèé åëåìåíò äðóãî¿ ìíîæèíè º åëåìåíòîì ïåðøî¿ ìíîæèíè.
Ç íàâåäåíîãî îçíà÷åííÿ ð³âíîñò³ ìíîæèí âèïëèâàº, ùî â ìíîæèí³ îäíàêîâ³ åëåìåíòè íå ðîçð³çíÿþòüñÿ. ijéñíî, íàïðèêëàä, {1; 2; 2} = {1; 2}, îñê³ëüêè êîæíèé åëåìåíò ïåðøî¿ ìíîæèíè (1 àáî 2) º åëåìåíòîì äðóãî¿ ìíîæèíè ³, íàâïàêè, êîæíèé åëåìåíò äðóãî¿ ìíîæèíè (1 àáî 2) º åëåìåíòîì ïåðøî¿. Òîìó, çàïèñóþ÷è ìíîæèíó, íàé÷àñò³øå êîæíèé ¿¿ åëåìåíò çàïèñóþòü ò³ëüêè îäèí ðàç. 3.
ϳäìíîæèíà
ßêùî êîæåí åëåìåíò îäí³º¿ ìíîæèíè A
º åëåìåíòîì äðóãî¿ ìíîæèíè B
, òî êàæóòü, ùî ïåðøà ìíîæèíà A
º ï³äìíîæèíîþ
äðóãî¿ ìíîæèíè B
,
³ çàïèñóþòü òàê: A
⊂ B
. Íàïðèêëàä, {1; 2} ⊂ {0; 1; 2; 3}, N
⊂ Z
(îñê³ëüêè áóäü-ÿêå íàòóðàëüíå ÷èñëî — ö³ëå), Z
⊂ Q
(îñê³ëüêè áóäü-ÿêå ö³ëå ÷èñëî — ðàö³îíàëüíå), Q
⊂ R
(îñê³ëüêè áóäü-ÿêå ðàö³îíàëüíå ÷èñëî — ä³éñíå). Ââàæàþòü, ùî çàâæäè ∅ ⊂ A
, òîáòî ïîðîæíÿ ìíîæèíà º ï³äìíîæèíîþ áóäü-ÿêî¿ íåïîðîæíüî¿ ìíîæèíè.
²íêîëè çàì³ñòü çàïèñó A
⊂ B
âèêîðèñòîâóþòü òàêîæ çàïèñ A
⊆ B
, ÿêùî ìíîæèíà A
àáî º ï³äìíîæèíîþ ìíîæèíè B
, àáî äîð³âíþº ìíîæèí³ B
. Íàïðèêëàä, A
⊆ A
. Ñï³âñòàâèìî îçíà÷åííÿ ð³âíîñò³ ìíîæèí ç îçíà÷åííÿì ï³äìíîæèíè. ßêùî ìíîæèíè À
³ Â
ð³âí³, òî: 1) êîæíèé åëåìåíò ìíîæèíè À
º åëåìåíòîì ìíîæèíè B
, îòæå, À
— ï³äìíîæèíà Â
(A
⊆ B
); 2) êîæíèé åëåìåíò ìíîæèíè Â
º åëåìåíòîì ìíîæèíè À
, îòæå, Â
— ï³äìíîæèíà À
(B
⊆ A
).
²íêîëè ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ ìíîæèíàìè çðó÷íî ³ëþñòðóâàòè çà äîïîìîãîþ êðóã³â (ÿê³ ÷àñòî íàçèâàþòü êðóãàìè Åéëåðà—Âåííà). Íàïðèêëàä, ðèñóíîê 1 ³ëþñòðóº îçíà÷åííÿ ï³äìíîæèíè, à ðèñóíîê 2 — ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ ìíîæèíàìè N, Z, Q, R. Ðèñ. 1 Ïåðåð³çîì ìíîæèí
À
³ Â
íàçèâàþòü ¿õíþ ñï³ëüíó ÷àñòèíó, òîáòî ìíîæèíó C
óñ³õ åëåìåíò³â, ùî íàëåæàòü ÿê ìíîæèí³ À
, òàê
Ðèñ. 2 ³ ìíîæèí³ Â.
Ïåðåð³ç ìíîæèí ïîçíà÷àþòü çíàêîì Ç (íà ðèñóíêó 3 íàâåäåíî ³ëþñòðàö³þ îçíà÷åííÿ ïåðåð³çó ìíîæèí). Íàïðèêëàä, ÿêùî A
= {2; 3; 4}, B
= {0; 2; 4; 6}, òî A
Ç B
= {2; 4}. Îá’ºäíàííÿì ìíîæèí
À
³ Â
íàçèâàþòü ìíîæèíó Ñ
, ñêëàäåíó ç óñ³õ åëåìåíò³â, ùî íàëåæàòü õî÷à á îäí³é ³ç öèõ ìíîæèí (À àáî Â
).
Îá’ºäíàííÿ ìíîæèí ïîçíà÷àþòü çíàêîì È (íà ðèñóíêó 4 íàâåäåíî ³ëþñòðàö³þ îçíà÷åííÿ îá’ºäíàííÿ ìíîæèí). Íàïðèêëàä, äëÿ ìíîæèí A
³ B
ç ïîïåðåäíüîãî ïðèêëàäó A
È B
= {0; 2; 3; 4; 6}. ßêùî ïîçíà÷èòè ìíîæèíó ³ððàö³îíàëüíèõ ÷èñåë ÷åðåç M
, òî M
È Q
= R
. гçíèöåþ ìíîæèí
À
³ Â
íàçèâàºòüñÿ ìíîæèíà Ñ
, ÿêà ñêëàäàºòüñÿ ç óñ³õ åëåìåíò³â, ÿê³ íàëåæàòü ìíîæèí³ À
³ íå íàëåæàòü ìíîæèí³ Â.
гçíèöþ ìíîæèí ïîçíà÷àþòü çíàêîì \ (íà ðèñóíêó 5 íàâåäåíî ³ëñòðàö³þ îçíà÷åííÿ ð³çíèö³ ìíîæèí).
Íàïðèêëàä, ÿêùî A
= {1; 2; 3}, B
= {2; 3; 4; 5}, òî A
\ B
= {1}, à B \
A
= {4; 5}. ßêùî B
— ï³äìíîæèíà A
, òî ð³çíèöþ A
\ B
íàçèâàþòü äîïîâíåííÿì ìíîæèíè
B
äî ìíîæèíè A
(ðèñ. 6). Íàïðèêëàä, ÿêùî çíîâó ïîçíà÷èòè ìíîæèíó ³ððàö³îíàëüíèõ ÷èñåë ÷åðåç M
, òî R
\ Q
= M
: êàæóòü, ùî ìíîæèíà M
³ððàö³îíàëüíèõ ÷èñåë äîïîâíþº ìíîæèíó Q
ðàö³îíàëüíèõ ÷èñåë äî ìíîæèíè R
óñ³õ ä³éñíèõ ÷èñåë.
ßêùî âñ³ ìíîæèíè, ÿê³ ìè ðîçãëÿäàºìî, º ï³äìíîæèíàìè ÿêî¿ñü òàê çâàíî¿ óí³âåðñàëüíî¿ ìíîæèíè
U
(íà ðèñóíêó ¿¿ çàçâè÷àé çîáðàæàþòü ó âèãëÿä³ ïðÿìîêóòíèêà, à âñ³ ³íø³ ìíîæèíè çîáðàæóþòü êðóãàìè âñåðåäèí³ öüîãî ïðÿìîêóòíèêà), òî ð³çíèöþ U \ A
íàçèâàþòü äîïîâíåííÿì ìíîæèíè A
(ðèñ. 7). Òîáòî äîïîâíåííÿì ìíîæèíè
A
íàçèâàºòüñÿ ìíîæèíà, ÿêà ñêëàäàºòüñÿ ç óñ³õ åëåìåíò³â, ÿê³ íå íàëåæàòü ìíîæèí³ À
,
àëå ÿê³ íàëåæàòü óí³âåðñàëüí³é ìíîæèí³ U
. Íàïðèêëàä, ÿêùî U
= R
³ A
= [0; 1], òî A
= −( ∞;0)Ÿ(1;+∞). (Äëÿ öüîãî ïðèêëàäó çðó÷íî âèêîðèñòàòè òðàäèö³éíó ³ëþñòðàö³þ ìíîæèíè ä³éñíèõ ÷èñåë íà ÷èñëîâ³é ïðÿì³é — ðèñ. 8).
Ðèñ. 6 Ðèñ. 7 Ðèñ. 8
1. Íàâåä³òü ïðèêëàäè ìíîæèí, óêàæ³òü äåê³ëüêà åëåìåíò³â êîæíî¿ ìíîæèíè. 2. ßê ïîçíà÷àþòü ïîðîæíþ ìíîæèíó, ìíîæèíè íàòóðàëüíèõ, ö³ëèõ, ðàö³îíàëüíèõ, ä³éñíèõ ÷èñåë? 3. Äàéòå îçíà÷åííÿ ð³âíîñò³ ìíîæèí. Íàâåä³òü ïðèêëàäè äâîõ ð³âíèõ ìíîæèí. 4. Äàéòå îçíà÷åííÿ ï³äìíîæèíè. Íàâåä³òü ïðèêëàäè. Ïðî³ëþñòðóéòå öå ïîíÿòòÿ çà äîïîìîãîþ êðóã³â Åéëåðà—Âåííà. 5. Äàéòå îçíà÷åííÿ ïåðåð³çó, îá’ºäíàííÿ, ð³çíèö³ äâîõ ìíîæèí. Íàâåä³òü ïðèêëàäè. Ïðî³ëþñòðóéòå çà äîïîìîãîþ êðóã³â Åéëåðà—Âåííà. 6. Ïîÿñí³òü, ùî íàçèâàþòü äîïîâíåííÿì îäí³º¿ ìíîæèíè äî ³íøî¿. Äîïîâíåííÿì ìíîæèíè? Íàâåä³òü ïðèêëàäè. Ïðî³ëþñòðóéòå ö³ ïîíÿòòÿ çà äîïîìîãîþ â³äïîâ³äíèõ ðèñóíê³â. 1°.
Çàïèø³òü çà äîïîìîãîþ ô³ãóðíèõ äóæîê ìíîæèíó: 1) áóêâ ó ñëîâ³ «àëãåáðà»; 2) ïàðíèõ îäíîçíà÷íèõ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë; 3) íåïàðíèõ îäíîçíà÷íèõ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë; 4) îäíîçíà÷íèõ ïðîñòèõ ÷èñåë. 2°.
Çà ÿêîþ õàðàêòåðèñòè÷íîþ âëàñòèâ³ñòþ çàïèñàí³ òàê³ ìíîæèíè: 1) {ïîíåä³ëîê, â³âòîðîê, ñåðåäà, ÷åòâåð, ï’ÿòíèöÿ, ñóáîòà, íåä³ëÿ}; 2) {ñ³÷åíü, ëþòèé, áåðåçåíü, êâ³òåíü, òðàâåíü, ÷åðâåíü, ëèïåíü, ñåðïåíü, âåðåñåíü, æîâòåíü, ëèñòîïàä, ãðóäåíü}; 3) {Àâñòðàë³ÿ, Àç³ÿ, Àìåðèêà, Àíòàðêòèäà, Àôðèêà, ªâðîïà}; 4) {äî, ðå, ì³, ôà, ñîëü, ëÿ, ñ³}; 5) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 3°.
Íàâåä³òü ïðèêëàäè ïîðîæí³õ ìíîæèí. 4°.
À
— ìíîæèíà íàòóðàëüíèõ ÷èñåë, ÿê³ ðîçì³ùåí³ ì³æ ÷èñëàìè 15 ³ 35. Çàïèø³òü ìíîæèíó À
çà äîïîìîãîþ ô³ãóðíèõ äóæîê. ßê³ ç ÷èñåë 18, 28, 36, 40 íàëåæàòü ìíîæèí³ À
? ³äïîâ³äü çàïèø³òü çà äîïîìîãîþ çíàê³â ∈ ³ ∉. 5°.
Çàïèø³òü çà äîïîìîãîþ ô³ãóðíèõ äóæîê ³ ïîçíà÷òå ìíîæèíó: 1) íàòóðàëüíèõ ä³ëüíèê³â ÷èñëà 12; 2) íàòóðàëüíèõ ä³ëüíèê³â ÷èñëà 30; 3) ö³ëèõ ä³ëüíèê³â ÷èñëà 6; 4) ïðîñòèõ ä³ëüíèê³â ÷èñëà 12. 6°.
³äîìî, ùî M
= {1; 2; 5}, N
= {1; 4; 5; 7; 9}, K
= {4; 7; 9}. Çàïèø³òü çà äîïîìîãîþ ô³ãóðíèõ äóæîê àáî çíàêà ∅: 1) ïåðåð³ç M
³ N
; 2) ïåðåð³ç M
³ K
; 3) ïåðåð³ç N
³ K
; 4) îá’ºäíàííÿ M
³ N
; 5) îá’ºäíàííÿ M
³ K
; 6) îá’ºäíàííÿ N
³ K
; 7) ð³çíèöþ M
³ N
; 8) ð³çíèöþ M
³ K
; 9) ð³çíèöþ N
³ K
; 10) äîïîâíåííÿ K
äî N
. 7°.
Ïîÿñí³òü, ÷îìó âèêîíóþòüñÿ òàê³ ð³âíîñò³: 1) À
È ∅ = À
; 2) A
È À
= A
; 3) À
Ç ∅ = ∅; 4) A
Ç À
= A
. 8°.
Çàïèø³òü ìíîæèíó âñ³õ äâîöèôðîâèõ ÷èñåë, ÿê³ ìîæíà çàïèñàòè çà äîïîìîãîþ öèôð 0, 1, 3. 9°.
³äîìî, ùî À
— ìíîæèíà íàòóðàëüíèõ ä³ëüíèê³â ÷èñëà 12, à Â
— ìíîæèíà ö³ëèõ ä³ëüíèê³â ÷èñëà 6. Çàïèø³òü ìíîæèíè: 1) À
È Â
; 2) À
Ç Â
; 3) À \ Â
; 4) Â \ À
. 10
*
.
Íåõàé À
³ Â
— äåÿê³ ìíîæèíè. Äîâåä³òü óêàçàí³ ð³âíîñò³ òà ïðî³ëþñòðóéòå ¿õ çà äîïîìîãîþ êðóã³â Åéëåðà—Âåííà: 1) À
È Â
= Â
È À
— ïåðåñòàâíèé çàêîí äëÿ îá’ºäíàííÿ
; 2) À
Ç Â
= Â
Ç À
— ïåðåñòàâíèé çàêîí äëÿ ïåðåð³çó
. 11.
 îäí³é ìíîæèí³ 40 ð³çíèõ åëåìåíò³â, à â äðóã³é — 30. Ñê³ëüêè åëåìåíò³â ìîæå áóòè â ¿õ: 1) ïåðåð³ç³; 2) îá’ºäíàíí³. 12
*
.
Íåõàé À
, Â
, Ñ
— äåÿê³ ìíîæèíè. Äîâåä³òü óêàçàí³ ð³âíîñò³ òà ïðî³ëþñòðóéòå ¿õ çà äîïîìîãîþ êðóã³â Åéëåðà–Âåííà: 1) (À
È Â
) È Ñ
= À
È (Â
È Ñ
) — ñïîëó÷íèé çàêîí äëÿ îá’ºäíàííÿ
; 2) (À
Ç Â
) Ç Ñ
= À
Ç (Â
Ç Ñ
) — ñïîëó÷íèé çàêîí äëÿ ïåðåð³çó
; 3) À
Ç (Â
È Ñ
) = (À
Ç Â
) È (À
Ç Ñ
) 4) À
È (Â
Ç Ñ
) = (À
È Â
) Ç (À
È Ñ
)
5) — çàêîíè äå Ìîðãàíà
. 6) A B
=A B
Ÿ 13.
Êîæíèé ó÷åíü ó êëàñ³ âèâ÷ຠàíãë³éñüêó àáî ôðàíöóçüêó ìîâó. Àíãë³éñüêó ìîâó âèâ÷àþòü 25 ó÷í³â, ôðàíöóçüêó — 27 ó÷í³â, à îáèäâ³ ìîâè — 18 ó÷í³â. Ñê³ëüêè ó÷í³â ó êëàñ³? 14
*
.
×àñòèíà æèòåë³â ì³ñòà â쳺 ðîçìîâëÿòè ò³ëüêè óêðà¿íñüêîþ ìîâîþ, ÷àñòèíà — ò³ëüêè ðîñ³éñüêîþ, à ÷àñòèíà — îáîìà ìîâàìè. Óêðà¿íñüêîþ ìîâîþ ðîçìîâëÿº 95 % æèòåë³â, à ðîñ³éñüêîþ — 85 %. Ñê³ëüêè â³äñîòê³â æèòåë³â ì³ñòà ðîçìîâëÿº îáîìà ìîâàìè? 15
*
.
Äîâåä³òü ð³âíîñò³ ³ ïðî³ëþñòðóéòå ¿õ çà äîïîìîãîþ êðóã³â Åéëåðà– Âåííà: 1) À
\ Â
= À
\ (À
Ç Â
); 2) A
Ç (Â
\ Ñ
) = (À
Ç Â
) \ (À
Ç Ñ
). 16
*
.
Çàïèø³òü ìíîæèíó âñ³õ ïðàâèëüíèõ äðîá³â a
, äå a
∈ A
, b
∈ B
b
³ A
= {2; 3; 4; 6}, B
= {1; 3; 4; 5; 6}. 17
*
.
ßê³ òðèöèôðîâ³ ÷èñëà ìîæíà çàïèñàòè, ÿêùî: À
= {3; 1; 2} — ìíîæèíà öèôð äëÿ ïîçíà÷åííÿ ñîòåíü; Â
= {2; 8} — ìíîæèíà öèôð äëÿ ïîçíà÷åííÿ äåñÿòê³â; Ñ
= {5; 7} — ìíîæèíà öèôð äëÿ ïîçíà÷åííÿ îäèíèöü. Ñê³ëüêè òàêèõ ÷èñåë îäåðæèìî? Ñïðîáóéòå ñôîðìóëþâàòè çàãàëüíå ïðàâèëî ï³äðàõóíêó ê³ëüêîñò³ òàêèõ ÷èñåë, ÿêùî â ìíîæèí³ À
— ò
åëåìåíò³â (Î
∉ À
), ó ìíîæèí³ Â
— ï
åëåìåíò³â, ó ìíîæèí³ Ñ
— k
åëåìåíò³â. 1.2. ×èñëîâ³ ìíîæèíè. Ìíîæèíà ä³éñíèõ ÷èñåë
Ïðîäîâæåííÿ òàáë. 2
2. Ìîäóëü ä³éñíîãî ÷èñëà òà éîãî âëàñòèâîñò³ Îçíà÷åííÿ Ãåîìåòðè÷íèé çì³ñò ìîäóëÿ Ìîäóëåì
äîäàòíîãî ÷èñëà íàçèâàºòüñÿ ñàìå öå ÷èñëî, ìîäóëåì â³ä’ºìíîãî ÷èñëà íàçèâàºòüñÿ ÷èñëî, éîìó ïðîòèëåæíå, ìîäóëü íóëÿ äîð³âíþº íóëþ.
−a
ïðè a
< 0
| a
– b
| = AB
Íà êîîðäèíàòí³é ïðÿì³é ìîäóëü — öå â³äñòàíü â³ä ïî÷àòêó êîîðäèíàò äî òî÷êè, ùî çîáðàæóº äàíå ÷èñëî
Ìîäóëü ð³çíèö³ äâîõ ÷èñåë a ³ b — öå â³äñòàíü ì³æ òî÷êàìè a ³ b íà êîîðäèíàòí³é ïðÿì³é.
Âëàñòèâîñò³ 1. | a
| l 0 Ìîäóëü áóäü-ÿêîãî ÷èñëà — íåâ³ä’ºìíå ÷èñëî
2. | –a
| = | a
| Ìîäóë³ ïðîòèëåæíèõ ÷èñåë ð³âí³
3. a
m | a
| , òîáòî –| a
| m a
m | a
| Âåëè÷èíà ÷èñëà íå ïåðåâèùóº âåëè÷èíè éîãî ìîäóëÿ
4. 5. Ïðè b
> 0 | a
| l b
⇔ a
m –b
àáî a
l b
6. |
a
æ
b
|
=
|
a
|
æ
|
b
|
Ìîäóëü äîáóòêó äîð³âíþº äîáóòêó ìîäóë³â ìíîæíèê³â
7.ïîä³ëåíîìó íà ìîäóëü çíàìåííèêà
(ÿêùî çíàìåííèê íå äîð³âíþº íóëþ) 8. | a
n
| = | a |
n
| a
| 2
= a
2
| a
|2k
= a
2k
| a + b
| m | a
| + | b
| Ìîäóëü ñóìè íå ïåðå-
9. âèùóº ñóìè ìîäóë³â
| a
1
+ a
2
+ ... + a
n
| m | a
1
| + | a
2
| + ... + | a
n
| äîäàíê³â
10. || a
| – | b
|| m | a
ä b
| m | a
| + | b
| 1. ×èñëîâ³ ìíîæèíè.
Ó êóðñ³ ìàòåìàòèêè âè çóñòð³÷àëèñÿ ç ð³çíèìè ÷èñëàìè: íàòóðàëüíèìè, ö³ëèìè, ðàö³îíàëüíèìè, ³ððàö³îíàëüíèìè, ä³éñíèìè. Óÿâëåííÿ ïðî ÷èñëà ó ëþäñòâà ñêëàäàëèñÿ ïîñòóïîâî, ï³ä âïëèâîì âèìîã ïðàêòèêè. Íàïðèêëàä, íàòóðàëüí³ ÷èñëà
ç’ÿâèëèñÿ ó çâ’ÿçêó ç íåîáõ³äí³ñòþ ï³äðàõóíêó ïðåäìåò³â. Àëå äëÿ òîãî ùîá äàòè â³äïîâ³äü íà çàïèòàííÿ «Ñê³ëüêè ñ³ðíèê³â ó ïîðîæí³é êîðîáö³ ç-ï³ä ñ³ðíèê³â?», ìíîæèíè íàòóðàëüíèõ ÷èñåë N
= {1; 2; 3; ...} íåäîñòàòíüî — äëÿ öüîãî ïîòð³áíî ìàòè ùå é ÷èñëî íóëü. Ïðèºäíóþ÷è äî ìíîæèíè N
íàòóðàëüíèõ ÷èñåë ÷èñëî 0, îäåðæóºìî ìíîæèíó íåâ³ä’ºìíèõ ö³ëèõ ÷èñåë
. ¯¿ ÷àñòî ïîçíà÷àþòü Z
0
= {0; 1; 2; 3; ...}. Îäíèõ ò³ëüêè íåâ³ä’ºìíèõ ö³ëèõ ÷èñåë âèÿâèëîñÿ íåäîñòàòíüî äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ ïðàêòèêè (à îòæå, ³ ìàòåìàòè÷íèõ çàäà÷, ùî â³äîáðàæóþòü çàäàíó ðåàëüíó ñèòóàö³þ). Òàê, äëÿ òîãî ùîá îõàðàêòåðèçóâàòè òåìïåðàòóðó ïîâ³òðÿ âèùå ³ íèæ÷å íóëÿ ÷è ðóõ ò³ëà â ïðîòèëåæíèõ íàïðÿìêàõ, ïîòð³áí³ ïðîòèëåæí³ äî íàòóðàëüíèõ ÷èñëà, òîáòî â³ä’ºìí³ ÷èñëà
. Äëÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n
ïðîòèëåæíèì ââàæàþòü ÷èñëî –n
, à äëÿ ÷èñëà –n
ïðîòèëåæíèì ââàæàþòü ÷èñëî n
. Íóëü ââàæàþòü ÷èñëîì, ïðîòèëåæíèì ñàìîìó ñîá³. Íàòóðàëüí³ ÷èñëà, ÷èñëà, ïðîòèëåæí³ íàòóðàëüíèì, ³ ÷èñëî íóëü ñêëàäàþòü ìíîæèíó Z
ö³ëèõ ÷èñåë
. Âèì³ðþâàííÿ âåëè÷èí ïðèâåëî äî íåîáõ³äíîñò³ ðîçøèðåííÿ ìíîæèíè ö³ëèõ ÷èñåë ³ ââåäåííÿ ðàö³îíàëüíèõ ÷èñåë
. Íàïðèêëàä, ñåðåäíÿ áàãàòîð³÷íà òåìïåðàòóðà ïîâ³òðÿ â ñ³÷í³ ì³ñÿö³ â ì. Õàðêîâ³ ñêëàäຠ–7,3 °Ñ, òðèâàë³ñòü óðîêó — 45 õâ, àáî Òàêèì ÷èíîì, âèáèðàþ÷è ÿêóñü îäèíèöþ âèì³ðó, ìè îäåðæóºìî ÷èñëîâå çíà÷åííÿ âåëè÷èí, ùî ìîæíà âèðàçèòè çà äîïîìîãîþ ð³çíèõ ðàö³îíàëüíèõ ÷èñåë — ö³ëèõ ³ äðîáîâèõ, äîäàòíèõ ³ â³ä’ºìíèõ. Ö³ë³ ³ äðîáîâ³ ÷èñëà ñêëàäàþòü ìíîæèíó Q
ðàö³îíàëüíèõ ÷èñåë
. m
, äå Áóäü-ÿêå ðàö³îíàëüíå ÷èñëî ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿä³ äðîáó n m
∈ Z
, n
∈ N
(òîáòî ÷èñåëüíèê m
º ö³ëèì ÷èñëîì, à çíàìåííèê n
— íàòóðàëüíèì). Ðàö³îíàëüíå ÷èñëî ìîæíà çàïèñàòè ð³çíèìè äðîáàìè. Íàïðèêëàä,
ßê âèäíî ç íàâåäåíèõ ïðèêëàä³â, ñåðåä äðîá³â, ùî çîáðàæóþòü äàíå ðàö³îíàëüíå ÷èñëî, çàâæäè º ºäèíèé íåñêîðîòíèé äð³á (äëÿ ö³ëèõ ÷èñåë — öå äð³á, çíàìåííèê ÿêîãî äîð³âíþº 1). Çàóâàæèìî, ùî ðàö³îíàëüíå ÷èñëî, çàïèñàíå ó âèãëÿä³ äðîáó m
, äå m
∈ Z
, n
∈ N
, ìîæíà çàïèñàòè òàêîæ ó âèãëÿä³ ñê³í÷åííîãî àáî n
íåñê³í÷åííîãî ïåð³îäè÷íîãî äåñÿòêîâîãî äðîáó, ïîä³ëèâøè ÷èñåëüíèê íà çíàìåííèê. Íàïðèêëàä, Äîìîâèìîñÿ, ùî ñê³í÷åííèé äåñÿòêîâèé äð³á ìîæíà çîáðàæóâàòè ó âèãëÿä³ íåñê³í÷åííîãî, ó ÿêîãî ï³ñëÿ îñòàííüîãî äåñÿòêîâîãî çíàêà, â³äì³ííîãî â³ä íóëÿ, íà ì³ñö³ íàñòóïíèõ äåñÿòêîâèõ çíàê³â çàïèñóþòü íóë³, íàïðèêëàä, Ö³ë³ ÷èñëà òàêîæ äîìîâèìîñÿ çàïèñóâàòè ó âèãëÿä³ íåñê³í÷åííîãî äåñÿòêîâîãî äðîáó, ó ÿêîãî ñïðàâà â³ä êîìè íà ì³ñö³ äåñÿòêîâèõ çíàê³â ñòîÿòü íóë³, íàïðèêëàä, 13 = 13,000... . Òàêèì ÷èíîì, áóäü-ÿêå ðàö³îíàëüíå ÷èñëî ìîæå áóòè çàïèñàíå ÿê íåñê³í÷åííèé ïåð³îäè÷íèé äð³á. Íàãàäàºìî, ùî ó íåñê³í÷åííîãî ïåð³îäè÷íîãî äðîáó, ïî÷èíàþ÷è ç äåÿêîãî ì³ñöÿ, óñ³ äåñÿòêîâ³ çíàêè ïî÷èíàþòü ïîâòîðþâàòèñÿ. Ãðóïó öèôð, ùî ïîâòîðþºòüñÿ, íàçèâàþòü ïåð³îäîì äðîáó
; ó çàïèñ³ äðîáó ïåð³îä íàâîäÿòü ó äóæêàõ. Íàïðèêëàä, Îòæå, êîæíå ðàö³îíàëüíå ÷èñëî ìîæå áóòè çàïèñàíå ó âèãëÿä³ íåñê³í÷åííîãî ïåð³îäè÷íîãî äåñÿòêîâîãî äðîáó ³, íàâïàêè, êîæíèé íåñê³í÷åííèé ïåð³îäè÷íèé äåñÿòêîâèé äð³á çàäຠðàö³îíàëüíå ÷èñëî
. Çàóâàæèìî, ùî áóäü-ÿêèé ïåð³îäè÷íèé äåñÿòêîâèé äð³á, ÿêèé ìຠñâî¿ì ïåð³îäîì äåâ’ÿòêó, äîð³âíþº íåñê³í÷åííîìó äåñÿòêîâîìó äðîáó ç ïåð³îäîì íóëü, ó ÿêîãî äåñÿòêîâèé ðîçðÿä, ùî ïåðåäóº ïåð³îäó, çá³ëüøåíèé íà îäèíèöþ ïîð³âíÿíî ç â³äïîâ³äíèì ðîçðÿäîì ïåðøîãî äðîáó. Íàïðèêëàä, íåñê³í÷åíí³ ïåð³îäè÷í³ äðîáè 0,2(9) ³ 0,3(0) º çàïèñîì îäíîãî é òîãî ñàìîãî ðàö³îíàëüíîãî ÷èñëà íèêîì q
îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ S
= 1−q
0 2, (9) = 0,2999...= 0 2, +
1− Ó ïîäàëüøîìó, çàïèñóþ÷è ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà çà äîïîìîãîþ íåñê³í÷åííèõ ïåð³îäè÷íèõ äåñÿòêîâèõ äðîá³â, äîìîâèìîñÿ íå ðîçãëÿäàòè íåñê³í÷åíí³ ïåð³îäè÷í³ äðîáè, ïåð³îä ÿêèõ äîð³âíþº äåâ’ÿòè. Ðèñ. 9 (ðèñ. 10), òî éîãî ä³àãîíàëü äîð³âíþâàòèìå 2. Òîä³, ïðîâ³âøè äóãó êîëà ³ç öåíòðîì Ðàö³îíàëüí³ òà ³ððàö³îíàëüí³ ÷èñëà ñêëàäàþòü ìíîæèíó
ä³éñíèõ ÷èñåë
R
. Íà êîîðäèíàòí³é ïðÿì³é êîæíîìó ä³éñíîìó ÷èñëó â³äïîâ³äຠºäèíà òî÷êà, ³ íàâïàêè, êîæí³é òî÷ö³ êîîðäèíàòíî¿ ïðÿìî¿ â³äïîâ³äຠºäèíå ä³éñíå ÷èñëî (ó òàêîìó ðàç³ êàæóòü, ùî ì³æ ìíîæèíîþ ä³éñíèõ ÷èñåë ³ ìíîæèíîþ òî÷îê êîîðäèíàòíî¿ ïðÿìî¿ âñòàíîâëþºòüñÿ âçàºìíî îäíîçíà÷íà â³äïîâ³äí³ñòü). Êîæíå ä³éñíå ÷èñëî ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿä³ íåñê³í÷åííîãî äåñÿòêîâîãî äðîáó: ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà — ó âèãëÿä³ íåñê³í÷åííîãî ïåð³îäè÷íîãî äåñÿòêîâîãî äðîáó, à ³ððàö³îíàëüí³ — ó âèãëÿä³ íåñê³í÷åííîãî íåïåð³îäè÷íîãî äåñÿòêîâîãî äðîáó.
1,73 < 1,75). Äëÿ òîãî ùîá âèêîíàòè äîäàâàííÿ ÷è ìíîæåííÿ ðîçãëÿíóòèõ ÷èñåë α ³ β, ïîñë³äîâíî çàïèñóþòü ¿õ íàáëèæåí³ çíà÷åííÿ ç íåäîñòà÷åþ òà ç íàäëèøêîì (ç òî÷í³ñòþ äî ö³ëèõ, äåñÿòèõ, ñîòèõ ³ ò. ä.) ³ âèêîíóþòü 䳿 íàä îäåðæàíèìè ðàö³îíàëüíèìè ÷èñëàìè. Ó ðåçóëüòàò³ ïîñë³äîâíî îòðèìóºìî çíà÷åííÿ ñóìè ÷è äîáóòêó ç ïîòð³áíîþ òî÷í³ñòþ. α β α + β αβ 1 < α < 2 1 < β < 2 2 < α + β < 4 1 < αβ < 4 1,7 < α < 1,8 1,7 < β < 1,8 3,4 < α + β < 3,6 2,89 < αβ < 3,24 1,73 < α < 1,74 1,75 < β < 1,76 3,48 < α + β < 3,50 3,0275 < αβ < 3,0624 1,732 < α < 1,733 1,750 < β < 1,751 3,482 < α + β < 3,484 3,031 < αβ < 3,034483 ... ... ... ... ßê áà÷èìî, α + β = 3,48..., αβ = 3,03... . Ó êóðñ³ ìàòåìàòè÷íîãî àíàë³çó äîâîäèòüñÿ, ùî ó âèïàäêó, êîëè íàáëèæåí³ çíà÷åííÿ ÷èñåë α ³ β ïîñë³äîâíî áåðóòü ç òî÷í³ñòþ äî ö³ëèõ, äåñÿòèõ, ñîòèõ ³ ò. ä., òî çíà÷åííÿ ñóìè α + β ç íåäîñòà÷åþ ³ ç íàäëèøêîì ïðÿìóº äî îäíîãî ³ òîãî ñàìîãî ÷èñëà, ÿêå ³ ïðèéìàþòü çà çíà÷åííÿ ñóìè α + β (àíàëîã³÷íî îçíà÷àþòü ³ äîáóòîê αβ). 2. Ìîäóëü ä³éñíîãî ÷èñëà òà éîãî âëàñòèâîñò³.
Íàãàäàºìî îçíà÷åííÿ ìîäóëÿ. Ìîäóëåì
äîäàòíîãî ÷èñëà íàçèâàºòüñÿ ñàìå öå ÷èñëî, ìîäóëåì â³ä’ºìíîãî ÷èñëà — ÷èñëî, éîìó ïðîòèëåæíå; ìîäóëü íóëÿ äîð³âíþº íóëþ.
a
ïðè a
l 0, Çà ïîòðåáè ìè áóäåìî êîðèñòóâàòèñÿ áóäü-ÿêèì ³ç −a
ïðè a
m0. Íà êîîðäèíàòí³é ïðÿì³é ìîäóëü ÷èñëà — öå â³äñòàíü â³ä ïî÷àòêó êîîðäèíàò äî òî÷êè, ùî çîáðàæóº öå ÷èñëî.
ijéñíî, ÿêùî a
> 0 (ðèñ. 11), òî â³äñòàíü OA
= a
= | a |
. Ðèñ. 11
ßêùî b
< 0, òî â³äñòàíü OB
= –b
= | b |
.
˜ Äëÿ äîâåäåííÿ ìîæíà ñêîðèñòàòèñÿ òèì, ùî ïðè ïàðàëåëüíîìó ïåðåíåñåíí³ âçäîâæ îñ³ êîîðäèíàò íà b
îäèíèöü àáñöèñà â³äïîâ³äíî¿ òî÷êè çì³íþºòüñÿ íà b
: äî àáñöèñè çàäàíî¿ òî÷êè äîäàºòüñÿ ÷èñ- Ðèñ. 12 âàííÿ íå çàëåæèòü â³ä çíàê³â a
³ b
. Ïðè ïàðàëåëüíîìó ïåðåíåñåíí³ âçäîâæ îñ³ Ox
íà b
îäèíèöü òî÷êà O
ïåðåéäå â òî÷êó B
, à òî÷êà C
(ç êîîðäèíàòîþ a
– b
) ó òî÷êó ç êîîðäèíàòîþ a
– b
+ b
= a
, òîáòî â òî÷êó A
. Òîä³ ÑÎ
= ÀÂ
. Àëå â³äñòàíü CO
— öå â³äñòàíü â³ä òî÷êè a
– b
äî ïî÷àòêó êîîðäèíàò, îòæå, CO
= | a
– b |
, à çíà÷èòü, ³ AB
= | a
– b
|. - Âèêîðèñòîâóþ÷è îçíà÷åííÿ ìîäóëÿ òà éîãî ãåîìåòðè÷íèé çì³ñò, ìîæíà îá´ðóíòóâàòè âëàñòèâîñò³ ìîäóëÿ, íàâåäåí³ â òàáëèö³ 2. Íàïðèêëàä, óðàõîâóþ÷è, ùî | a |
— öå â³äñòàíü â³ä òî÷êè a
äî òî÷êè O
, à â³äñòàíü ìîæå âèðàæàòèñÿ ò³ëüêè íåâ³ä’ºìíèì ÷èñëîì, îäåðæóºìî | a |
l 0
, òîáòî ìîäóëü áóäü-ÿêîãî ÷èñëà º íåâ³ä’ºìíå ÷èñëî
. Óðàõîâóþ÷è, ùî òî÷êè a
³ –a
ðîçòàøîâàí³ íà îäíàêîâ³é â³äñòàí³ â³ä òî÷êè O
, îäåðæóºìî | –a |
= | a |
, öå îçíà÷àº, ùî ìîäóë³ ïðîòèëåæíèõ ÷èñåë ð³âí³
. ßêùî a
l 0, òî | a
| = a
, à ÿêùî a
< 0, òî a
< | à |
. Îòæå, çàâæäè a
m | a |
, òîáòî âåëè÷èíà ÷èñëà íå ïåðåâèùóº âåëè÷èíè éîãî
ìîäóëÿ. ßêùî â îñòàííþ íåð³âí³ñòü çàì³ñòü a
ï³äñòàâèòè –a
³ âðàõóâàòè, ùî | –a
| = | a |
, òî îäåðæóºìî íåð³âí³ñòü –a
m | a |
. Çâ³äñè a
l –| a |
, ùî ðàçîì ³ç íåð³âí³ñòþ a
m | a
| ñâ³ä÷èòü, ùî äëÿ áóäü-ÿêîãî ä³éñíîãî ÷èñëà a
âèêîíóºòüñÿ ïîäâ³éíà íåð³âí³ñòü – | a |
m a
m | a
|
. (1) Ïðè b
> 0 íåð³âí³ñòü | a |
m b
îçíà÷àº, ùî ÷èñëî a
íà êîîðäèíàòí³é ïðÿì³é ðîçì³ùåíå â³ä òî÷êè O
íà â³äñòàí³, ÿêà íå ïåðåâèùóº b
(ðèñ. 13), òîáòî â ïðîì³æêó [–b
; b
]. Íàâïàêè, ÿêùî ÷èñëî a
íàëåæèòü öüîìó ïðîì³æêó, òîáòî –b
m a
m b
, òî | a |
m b
. Îòæå, ïðè b
> 0 | a |
m b
⇔ –b
m a
m b
. (2) Àíàëîã³÷íî ïðè b
> 0 íåð³âí³ñòü | a |
l b
îçíà÷àº, ùî ÷èñëî a
íà êîîðäèíàòí³é ïðÿì³é çíàõîäèòüñÿ â³ä òî÷êè O
íà â³äñòàí³, ÿêà á³ëüøà àáî äîð³âíþº b
(ðèñ. 13), òîáòî Ðèñ. 13 â öüîìó âèïàäêó a
m –b
àáî a
l b
. Íàâïàêè, ÿêùî ÷èñëî a
çàäîâîëüíÿº îäí³é ³ç öèõ íåð³âíîñòåé, òî | a
| l b
. Îòæå, ïðè b
> 0 íåð³âí³ñòü | a |
l l b
ð³âíîñèëüíà ñóêóïíîñò³ íåð³âíîñòåé a
m –b
àáî a
l b
, ùî ìîæíà çàïèñàòè òàê: ïðè b
> 0 | a |
l b
⇔ a
m –b
àáî a
l b
. Âëàñòèâîñò³ ìîäóëÿ äîáóòêó ³ ìîäóëÿ äðîáó ô³êñóþòü â³äîì³ ïðàâèëà ä³é íàä ÷èñëàìè ç îäíàêîâèìè ³ ð³çíèìè çíàêàìè: ìîäóëü äîáóòêó äîð³âíþº äîáóòêó ìîäóë³â ìíîæíèê³â
, òîáòî | a
•b
|
= | a
|•| b
|;
Ôîðìóëó äëÿ çíàõîäæåííÿ ìîäóëÿ äîáóòêó ìîæíà óçàãàëüíèòè äëÿ âèïàäêó äåê³ëüêîõ ìíîæíèê³â: | a
1
•a
2
•...•a
n
|
= | a
1
|•| a
2
|•...•| a
n
|.
(3) ßêùî ó ôîðìóë³ (3) âçÿòè a
1
= a
2
= ... = a
n
= a
, îäåðæóºìî ôîðìóëó | a
n
| = | a
|
n
. Çàñòîñîâóþ÷è îñòàííþ ôîðìóëó ñïðàâà íàë³âî ïðè n
= 2k
³ âðàõîâóþ÷è, ùî a
2k
l 0 ïðè âñ³õ çíà÷åííÿõ a
, îäåðæóºìî | a
|2k
= | a
2k
| = a
2k
. Îòæå, | a
|2k
= a
2k
. Äëÿ îá´ðóíòóâàííÿ íåð³âíîñò³ | a
+ b
| m | a
| + | b
| (4) çàïèøåìî íåð³âí³ñòü (1) äëÿ ÷èñåë a
³ b
: –| a
| m a
m | a
|; –| b
| m b
m | b
|. Äîäàþ÷è ïî÷ëåííî ö³ íåð³âíîñò³, îäåðæóºìî –(| a
| + | b
|) m a + b
m | a
| + | b
|. Óðàõîâóþ÷è íåð³âí³ñòü (2), ìàºìî | a
+ b
|
m | a
| + | b
|
, òîáòî ìîäóëü ñóìè íå ïåðåâèùóº ñóìè ìîäóë³â äîäàíê³â
. ßêùî â íåð³âíîñò³ (4) çàì³íèòè b
íà –b
³ âðàõóâàòè, ùî | –b
| = | b
|, òî îäåðæèìî íåð³âí³ñòü | a
– b
| m | a
| + | b
|. (5) ßêùî çàïèñàòè ÷èñëî a
òàê: a
= b
+ (a – b
) ³ âèêîðèñòàòè íåð³âí³ñòü (4), òî îäåðæèìî íåð³âí³ñòü | a
| m | b
| + | a
– b
|. Çâ³äñè | a
| – | b
|
m | a
– b
|.
(6) ßêùî â íåð³âíîñò³ (6) çàì³íèòè b
íà –b
³ âðàõóâàòè, ùî | –b
| = | b
|, òî îäåðæèìî íåð³âí³ñòü | a
| – | b
|
m | a
+ b
|,
(7) òîáòî ìîäóëü ñóìè äâîõ ÷èñåë íå ìåíøå ð³çíèö³ ¿õ ìîäóë³â.
̳íÿþ÷è ì³ñöÿìè áóêâè a
³ b
ó íåð³âíîñòÿõ (6) ³ (7) òà âðàõîâóþ÷è, ùî | a
– b |
= | b
– a
|, ìàºìî òàêîæ íåð³âíîñò³ | b
| – | a
|
m | a
± b
|.
(8) Îäåðæàí³ íåð³âíîñò³ (4)–(8) ìîæíà êîðîòêî çàïèñàòè òàê: | | a
| – | b | |
m | a
± b
|
m | a
| + | b
|
. Ïðèêëàä 1.
Äîâåä³òü, ùî ñóìà, ð³çíèöÿ, äîáóòîê, íàòóðàëüíèé ñòåï³íü ³ ÷àñòêà (ÿêùî ä³ëüíèê íå äîð³âíþº íóëþ) äâîõ ðàö³îíàëüíèõ ÷èñåë çàâæäè º ðàö³îíàëüíèì ÷èñëîì
. Ðîçâ’ÿçàííÿ Êîìåíòàð
m m m n
+n m
äå m
1
n
2
+ n
1
m
2
— ö³ëå ÷èñëî, à n
1
n
2
— íàòóðàëüíå.v Áóäü-ÿêå ðàö³îíàëüíå ÷èñëî m
ìîæíà çàïèñàòè ÿê äð³á , äå m
— n
ö³ëå, n
— íàòóðàëüíå ÷èñëî. Ùîá äîâåñòè òâåðäæåííÿ çàäà÷³, äîñòàòíüî äîâåñòè, ùî ñóìà, ð³çíèöÿ, äî- m
áóòîê ³ ÷àñòêà äâîõ äðîá³â âèäó n
áóäå äðîáîì òàêîãî ñàìîãî âèäó. Ïðèêëàä 2.
Äëÿ äîâåäåííÿ òâåðäæåííÿ çàäà÷³ ìîæíà âèêîðèñòàòè ìåòîä â³ä ñóïðîòèâíîãî: ïðèïóñòèòè, ùî çàäàíå äîäàòíå ÷èñëî º ðàö³îíàëüíèì íåíàòóðàëüíèì (òîáòî äðîáîì), ³ îòðèìàòè ñóïåðå÷í³ñòü ç óìîâîþ àáî ç ÿêèìñü â³äîìèì ôàêòîì. q
(q
≠ 1). Çà îçíà÷åííÿì êîðåíÿ m
-ãî ñòåïåíÿ ìàºìî n
= q
p
2
2
, òîáòî n
=
Óðàõîâóþ÷è, ùî q
≠ 1, îäåðæóºìî, ùî äð³á ðàëüíîìó ÷èñëó n
, ïîâèíåí áóòè ñêîðîòíèì. Îòæå, ó íàòóðàëüíèõ ìíîæíèê³â, ùî ñòîÿòü ó ÷èñåëüíèêó ³ çíàìåííèêó öüîãî äðîáó, ïîâèíåí áóòè ñï³ëüíèé íàòóðàëüíèé ä³ëüíèê, ÿêèé â³äð³çíÿºòüñÿ â³ä 1. Àëå â ÷èñåëüíèêó ñòîÿòü ò³ëüêè ìíîæíèêè p
, à â çíàìåííèêó — ò³ëüêè ìíîæíèêè q
. Òîä³ ÷èñëà p
³ q
ìàþòü íàòóðàëüíèé ä³ëüíèê, ÿêèé â³äð³çíÿºòüñÿ â³ä 1, òîáòî äð³á p
º ñêîðîòíèì äðîáîì, ùî ñóïåðå÷èòü óìîâ³. Òàêèì ÷èíîì, q
íàøå ïðèïóùåííÿ íåïðàâèëüíå, ³ äëÿ áóäü-ÿêîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n
÷èñëî n
àáî íàòóðàëüíå, àáî ³ððàö³îíàëüíå.v Ðîçâ’ÿçàííÿ
Êîìåíòàð
u Ïðèïóñòèìî, ùî ÷èñëî 2 2r
ïðàâà ÷àñòèíà ö³º¿ ð³âíîñò³ — ðàö³îíàëüíå ÷èñëî (îñê³ëüêè çà ïðèïóùåííÿì r
— ðàö³îíàëüíå ÷èñëî), à ë³âà — ³ððàö³îíàëüíå. Îäåðæàíà ñóïåðå÷í³ñòü îçíà÷àº, ùî íàøå ïðèïóùåííÿ íåïðàâèëüíå ³ ÷èñëî
Àíàë³çóþ÷è îäåðæàí³ âèðàçè, âèêîðèñòîâóºìî ðåçóëüòàò ïðèêëàäó 1: ÿêùî ÷èñëî r — ðàö³îíàëüíå, òî ÷èñëà r
2
– 2 ³ 2r òà ¿õ ÷àñòêà òåæ áóäóòü ðàö³îíàëüíèìè
. Ïðèêëàä 4.
Ðîçâ’ÿæ³òü ð³âíÿííÿ[1]
| 2õ
+ 5 | = 7. u 2õ
+ 5 = 7 àáî 2õ
+ 5= –7, 2õ
= 2 àáî 2õ
= –12, õ
= 1 àáî õ
= –6. ³äïîâ³äü:
1; –6. v Ðîçâ’ÿçàííÿ
Êîìåíòàð
Çàäàíå ð³âíÿííÿ ìຠâèãëÿä | t
| = 7 (ó äàíî ìó âèïàäêó t
= 2õ
+ 5). Éîãî çðó÷íî ðîçâ’ÿçóâàòè, âèêîðèñòîâóþ÷è ãåîìåòðè÷íèé çì³ñò ìîäóëÿ: | 2õ
+ 5 | — öå â³äñòàíü â³ä òî÷êè u 2õ
– (–5) | = 7,
2õ
= 2 àáî 2õ
= –12, õ
= 1 àáî õ
= –6. ³äïîâ³äü:
1; –6. v 0 äî òî÷êè 2õ
+ 5. Àëå â³äñòàíü 7 ìîæå áóòè â³äêëàäåíà â³ä 0 ÿê ïðàâîðó÷ (îäåðæóºìî ÷èñëî 7), òàê ³ ë³âîðó÷ (îäåðæóºìî ÷èñëî –7). Îòæå, ð³âí³ñòü | 2õ
+ 5 | = 7 ìîæëèâà òîä³ ³ ò³ëüêè òîä³, êîëè 2õ
+ 5 = 7 àáî 2õ
+ 5 = –7. ²² ñïîñ³á
Ç ãåîìåòðè÷íî¿ òî÷êè çîðó | a
– – b
| — öå â³äñòàíü ì³æ òî÷êàìè a
³ b
íà êîîðäèíàòí³é ïðÿì³é. Çàïèøåìî çàäàíå ð³âíÿííÿ òàê: | 2õ
– (–5) | = 7. Òîä³ ð³âí³ñòü | 2õ
– (–5) | = 7 îçíà÷àº, ùî â³äñòàíü â³ä òî÷êè 2õ
äî òî÷êè –5 äîð³âíþº 7. Íà â³äñòàí³ 7 â³ä òî÷êè –5 çíàõîäÿòüñÿ òî÷êè 2 ³ –12. Îòæå, çàäàíà ð³âí³ñòü âèêîíóºòüñÿ òîä³ ³ ò³ëüêè òîä³, êîëè 2õ
= 2 àáî 2õ
= –12, òîáòî çàäàíå ð³âíÿííÿ ð³âíîñèëüíå ö³é ñóêóïíîñò³ ð³âíÿíü. Ïðèêëàä 5.
Ðîçâ’ÿæ³òü íåð³âí³ñòü | õ
2
– 5õ
| m 6. Ðîçâ’ÿçàííÿ
Êîìåíòàð
u –6
m õ
2
– 5õ
m 6,
x
2
−5x
m 6, x
2
−5x
− 6 m0, 2 x
2 −5x
+ 6 l0, x
−5x
l−6, (x
+1)(x
−6) m 0,
(x
−2)(x
−6)l 0, Çàäàíà íåð³âí³ñòü ìຠâèãëÿä | t
| m 6 (ó äàíîìó âèïàäêó t
= õ
2
– 5õ
), ³ ¿¿ ìîæíà ðîçâ’ÿçóâàòè, âèêîðèñòîâóþ÷è ãåîìåòðè÷íèé çì³ñò ìîäóëÿ. Ç ãåîìåòðè÷íî¿ òî÷êè çîðó, | t
| — öå â³äñòàíü â³ä òî÷êè 0 äî òî÷êè t
. Íà â³äñòàí³ 6 â³ä 0 çíàõîäÿòüñÿ ÷èñëà 6 ³ –6. −1m x
m6,çàì³íèòè â³äïîâ³äíîþ ñèñòåìîþ.
x
m2 àáîx
l3. Îòæå, –1 m õ
m 2 àáî 3 m õ
m 6. ³äïîâ³äü:
[–1; 2] È [3; 6] . v
1. Ïîÿñí³òü, ÿê³ ÷èñëà âõîäÿòü äî ìíîæèí ö³ëèõ, ðàö³îíàëüíèõ òà ä³éñíèõ ÷èñåë. Íàâåä³òü ïðèêëàäè. Çîáðàç³òü â³äïîâ³äí³ òî÷êè íà êîîðäèíàòí³é ïðÿì³é. 2. Ïîÿñí³òü, ÷èì â³äð³çíÿþòüñÿ çàïèñè ó âèãëÿä³ íåñê³í÷åííîãî äåñÿòêîâîãî äðîáó ðàö³îíàëüíîãî òà ³ððàö³îíàëüíîãî ÷èñåë. 3. Ïîÿñí³òü, ÿê ïîð³âíþþòü ä³éñí³ ÷èñëà. 4. Äàéòå îçíà÷åííÿ ìîäóëÿ ä³éñíîãî ÷èñëà. à) Ñôîðìóëþéòå âëàñòèâîñò³ ìîäóëÿ. á*
) Îá´ðóíòóéòå âëàñòèâîñò³ ìîäóëÿ ä³éñíîãî ÷èñëà. 1.
Ïîÿñí³òü, ÷îìó çàäàíå ä³éñíå ÷èñëî íå ìîæå áóòè ðàö³îíàëüíèì:
2
*
.
Äîâåä³òü, ùî ñóìà (ð³çíèöÿ, äîáóòîê ³ ÷àñòêà) ðàö³îíàëüíîãî òà ³ððàö³îíàëüíîãî ÷èñåë çàâæäè º ÷èñëî ³ððàö³îíàëüíå (äîáóòîê ³ ÷àñòêà ò³ëüêè ó âèïàäêó, êîëè çàäàíå ðàö³îíàëüíå ÷èñëî íå äîð³âíþº íóëþ). 3
*
.
Äîâåä³òü, ùî çàäàí³ ä³éñí³ ÷èñëà º ³ððàö³îíàëüíèìè:
3) 7 − 3; 4) 7 − 2. 4.
Êîðèñòóþ÷èñü ãåîìåòðè÷íèì çì³ñòîì ìîäóëÿ, çîáðàç³òü íà êîîðäèíàòí³é ïðÿì³é ìíîæèíó ÷èñåë, ÿê³ çàäîâîëüíÿþòü íåð³âíîñò³: 1°) | õ
| m 2; 2°) | õ
| > 5; 3) | õ
– 3 | m 0,5; 4) | õ
+ 1 | < 0,3. 5.
Ðîçâ’ÿæ³òü ð³âíÿííÿ: 1) | 3õ
+ 1 | = 4; 2) | 4õ
– 2 | = 6; 3*
) | | õ
– 1 | – 2 | = 1; 4*
) | | 2õ
+ 3 | – 5 | = 3. 6.
Ðîçâ’ÿæ³òü íåð³âí³ñòü: 1) | 2õ
– 7 | m 1; 2) | 3õ
+ 5 | > 7; 3*
) || 2õ
– 1 | + 3 | l 5; 4*
) || 4õ
+ 7 | –11 | < 4. § 2 ÔÓÍÊÖ²¯ 2.1. Ïîíÿòòÿ ÷èñëîâî¿ ôóíêö³¿. Íàéïðîñò³ø³ âëàñòèâîñò³ ÷èñëîâèõ ôóíêö³é Òàáëèöÿ 3 1. Ïîíÿòòÿ ÷èñëîâî¿ ôóíêö³¿
D E
×èñëîâîþ ôóíêö³ºþ ç îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ D
íàçèâàºòüñÿ çàëåæí³ñòü, ïðè ÿê³é êîæíîìó ÷èñëó x
³ç ìíîæèíè D
(îáëàñò³ âèçíà÷åííÿ) ñòàâèòüñÿ ó â³äïîâ³äí³ñòü ºäèíå ÷èñëî y
. Çàïèñóþòü öþ â³äïîâ³äí³ñòü òàê: y
= f
(x
).
Ïîçíà÷åííÿ ³ òåðì³íè D
(f
) — îáëàñòü âèçíà÷åííÿ E
(f
) — îáëàñòü çíà÷åíü x
— àðãóìåíò (íåçàëåæíà çì³ííà) y
— ôóíêö³ÿ (çàëåæíà çì³ííà) f
— ôóíêö³ÿ f
(x
0
) — çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ f
ó òî÷ö³ x
0
2. Ãðàô³ê ôóíêö³¿
Ãðàô³êîì ôóíêö³¿ f
íàçèâàºòüñÿ ìíîæèíà âñ³õ òî÷îê êîîðäèíàòíî¿ ïëîùèíè ç êîîðäèíàòàìè (x
; f
(x
)),
äå ïåðøà êîîðäèíàòà x
«ïðîá³ãົ âñþ îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿, à äðóãà êîîðäèíàòà — öå â³äïîâ³äíå çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ f
ó òî÷ö³ x
3. Çðîñòàþ÷³ òà ñïàäí³ ôóíêö³¿
Ôóíêö³ÿ f
(x
) çðîñòàþ÷à íà ìíîæèí³ P
: ÿêùî x
2
> x
1
, òî f
(x
2
) > f
(x
1
)
äëÿ âñ³õ x
∈ P
(ïðè çá³ëüøåíí³ àðãóìåíòó â³äïîâ³äí³ òî÷êè ãðàô³êà ï³äí³ìàþòüñÿ) § 2. Ôóíêö³¿ Ïðîäîâæåííÿ òàáë. 3
Ôóíêö³ÿ f
(x
) ñïàäíà íà ìíîæèí³ P
:
ÿêùî x
2
> x
1
, òî f
(x
2
) < f
(x
1
)
äëÿ âñ³õ x
∈ P
(ïðè çá³ëüøåíí³ àðãóìåíòó â³äïîâ³äí³ òî÷êè ãðàô³êà îïóñêàþòüñÿ) 4. Ïàðí³ òà íåïàðí³ ôóíêö³¿
Ôóíêö³ÿ f
(x
) ïàðíà: f
(–x
) = f
(x
) äëÿ âñ³õ x
ç îáëàñò³ âèçíà÷åííÿ. Ãðàô³ê ïàðíî¿ ôóíêö³¿ ñèìåòðè÷íèé â³äíîñíî îñ³ Oy
Ôóíêö³ÿ f
(x
) íåïàðíà: f
(–x
) = –f
(x
) äëÿ âñ³õ x
³ç îáëàñò³ âèçíà÷åííÿ. Ãðàô³ê íåïàðíî¿ ôóíêö³¿ ñèìåòðè÷íèé â³äíîñíî ïî÷àòêó êîîðäèíàò — òî÷êè Î
1. Ïîíÿòòÿ ôóíêö³¿.
Ç ïîíÿòòÿì ôóíêö³¿ âè îçíàéîìèëèñÿ â êóðñ³ àëãåáðè. Íàãàäàºìî, ùî çàëåæí³ñòü çì³ííî¿ y
â³ä çì³ííî¿ x
íàçèâàºòüñÿ ôóíêö³ºþ
, ÿêùî êîæíîìó çíà÷åííþ x
â³äïîâ³äຠºäèíå çíà÷åííÿ y.
Ó êóðñ³ àëãåáðè ³ ïî÷àòê³â àíàë³çó ìè áóäåìî êîðèñòóâàòèñÿ òàêèì îçíà÷åííÿì ÷èñëîâî¿ ôóíêö³¿. ×èñëîâîþ ôóíêö³ºþ
ç îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ
D
íàçèâàºòüñÿ çàëåæí³ñòü, ïðè ÿê³é êîæíîìó ÷èñëó x
³ç ìíîæèíè D
ñòàâèòüñÿ ó â³äïîâ³äí³ñòü ºäèíå ÷èñëî y
.
Ôóíêö³¿ ïîçíà÷àþòü ëàòèíñüêèìè (³íêîëè ãðåöüêèìè) áóêâàìè. Ðîçãëÿíåìî äîâ³ëüíó ôóíêö³þ f
. ×èñëî y
, ÿêå â³äïîâ³äຠ÷èñëó x
(íà ðèñóíêó 16 öå ïîêàçàíî ñòð³ëêîþ), íàçèâàþòü çíà÷åííÿì ôóíêö³¿ f
ó òî÷ö³ x
³ ïîçíà÷àþòü f
(x
). Îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿
f
— öå ìíîæèíà òèõ çíà÷åíü, ÿêèõ ìîæå íàáóâàòè àðãóìåíò x
. Âîíà ïîçíà÷àºòüñÿ D
(f
). Îáëàñòü çíà÷åíü
ôóíêö³¿
f
— öå ìíîæèíà, ÿêà ñêëàäàºòüñÿ ç óñ³õ ÷èñåë f
(x
), äå x
íàëåæèòü îáëàñò³ âèçíà÷åííÿ. ¯¿ ïîçíà÷àþòü E
(f
). Íàé÷àñò³øå ôóíêö³þ çàäàþòü çà äîïîìîãîþ ôîðìóëè. ßêùî íåìຠäîäàòêîâèõ îáìåæåíü, òî îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿, çàäàíî¿ ôîðìóëîþ, ââàæàþòü ìíîæèíó âñ³õ çíà÷åíü çì³ííî¿, ïðè ÿêèõ öÿ ôîðìóëà ìຠçì³ñò
. Ôóíêö³þ ìîæíà çàäàòè íå ò³ëüêè çà äîïîìîãîþ ôîðìóëè, à é çà äîïîìîãîþ òàáëèö³, ãðàô³êà ÷è ñëîâåñíîãî îïèñó. Íàïðèêëàä, íà ðèñóíêó 17 ãðàô³÷íî çàäàíà ôóíêö³ÿ y
= f
(x
) ç îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ D
(f
) = [–1; 3] ³ ìíîæèíîþ çíà÷åíü E
(f
) = [1; 4].
Ðèñ. 16 Ðèñ. 17 2.
Ãðàô³ê ôóíêö³¿.
Íàãàäàºìî, ùî ãðàô³êîì ôóíêö³¿
y
= f
(x
) íàçèâàºòüñÿ ìíîæèíà âñ³õ òî÷îê êîîðäèíàòíî¿ ïëîùèíè ç êîîðäèíàòàìè (x
; f
(x
)), äå ïåðøà êîîðäèíàòà x
«ïðîá³ãົ âñþ îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿, à äðóãà êîîðäèíàòà — öå â³äïîâ³äíå çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ f
ó òî÷ö³ x
.
Íà ðèñóíêàõ äî ïóíêòó 4 òàáëèö³ 3 íàâåäåíî ãðàô³êè ôóíêö³é y
= x
2
òà y
=1
, à íà ðèñóíêó 18 — ãðàô³ê ôóíêö³¿ y
= | x
|. x
Íàâåäåìî òàêîæ ãðàô³ê ôóíêö³¿ y
= [x
], äå [x
] — ïîçíà÷åííÿ ö³ëî¿ ÷àñòèíè
÷èñëà x
, òîáòî íàéá³ëüøîãî ö³ëîãî ÷èñëà, ÿêå íå ïåðåâèùóº x
(ðèñ. 19). Îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ö³º¿ ôóíêö³¿ D
(y
) = R
— ìíîæèíà âñ³õ ä³éñíèõ ÷èñåë, à îáëàñòü çíà÷åíü E
(y
) = Z
— ìíîæèíà âñ³õ ö³ëèõ ÷èñåë. § 2. Ôóíêö³¿
Íà ðèñóíêó 20 íàâåäåíî ãðàô³ê ùå îäí³º¿ ÷èñëîâî¿ ôóíêö³¿ y
= {x
}, äå {x
} — ïîçíà÷åííÿ äðîáîâî¿ ÷àñòèíè
÷èñëà x
(çà îçíà÷åííÿì {x
} = x
– [x
]). 3.
Çðîñòàþ÷³ òà ñïàäí³ ôóíêö³¿.
Âàæ- ëèâèìè õàðàêòåðèñòèêàìè ôóíêö³é º ¿õ çðîñòàííÿ òà ñïàäàííÿ. Ðèñ. 20 Ôóíêö³ÿ f
(x
) íàçèâàºòüñÿ çðîñòàþ÷îþ
íà ìíîæèí³ Ð
, ÿêùî á³ëüøîìó çíà÷åííþ àðãóìåíòó ³ç ö³º¿ ìíîæèíè â³äïîâ³äຠá³ëüøå çíà÷åííÿ ôóíêö³¿.
Òîáòî äëÿ áóäü-ÿêèõ äâîõ çíà÷åíü x
1
³ x
2
ç ìíîæèíè Ð
, ÿêùî x
2
> x
1
, òî f
(x
2
) > f
(x
1
). Íàïðèêëàä, ôóíêö³ÿ f
(x
) = 2x
çðîñòàþ÷à (íà âñ³é îáëàñò³ âèçíà÷åííÿ, òîáòî íà ìíîæèí³ R
), îñê³ëüêè, ÿêùî x
2
> x
1
, òî 2x
2
> 2x
1
, îòæå, f
(x
2
) > f
(x
1
). ³äïîâ³äí³ òî÷êè ãðàô³êà çðîñòàþ÷î¿ ôóíêö³¿ ïðè çá³ëüøåíí³ àðãóìåíòó ï³äí³ìàþòüñÿ (ðèñ. 21).
Ðèñ. 21 Ðèñ. 22 Íà ðèñóíêó 22 íàâåäåíî ãðàô³ê ùå îäí³º¿ çðîñòàþ÷î¿ ôóíêö³¿ ó
= õ
3
. ijéñíî, ïðè x
2
> x
1
ìàºìî x
2
3
>x
1
3
, òîáòî f
(x
2
) > f
(x
1
). Ôóíêö³ÿ f
(x
) íàçèâàºòüñÿ ñïàäíîþ íà ìíîæèí³
Ð
, ÿêùî á³ëüøîìó çíà÷åííþ àðãóìåíòó ³ç ö³º¿ ìíîæèíè â³äïîâ³äຠìåíøå çíà÷åííÿ ôóíêö³¿.
Òîáòî äëÿ áóäü-ÿêèõ äâîõ çíà÷åíü x
1
³ x
2
ç ìíîæèíè Ð
, ÿêùî x
2
> x
1
, òî f
(x
2
) < f
(x
1
). Íàïðèêëàä, ôóíêö³ÿ f
(x
) = –2x
ñïàäíà (íà âñ³é îáëàñò³ âèçíà÷åííÿ, òîáòî íà ìíîæèí³ R
), îñê³ëüêè, ÿêùî x
2
> x
1
, òî –2x
2
<
–2x
1
, îòæå, f
(x
2
) < f
(x
1
). ³äïîâ³äí³ òî÷êè ãðàô³êà ñïàäíî¿ ôóíêö³¿ ïðè çá³ëüøåíí³ àðãóìåíòó îïóñêàþòüñÿ (ðèñ. 23).
Ðèñ. 23 Ðèñ. 24 Ðîçãëÿäàþ÷è ãðàô³ê ôóíêö³¿ y
= x
2
(ðèñ. 24), áà÷èìî, ùî íà âñ³é îáëàñò³ âèçíà÷åííÿ öÿ ôóíêö³ÿ íå º í³ çðîñòàþ÷îþ, í³ ñïàäíîþ. Àëå ìîæíà âèä³ëèòè ïðîì³æêè îáëàñò³ âèçíà÷åííÿ, äå öÿ ôóíêö³ÿ çðîñòຠ³ äå ñïàäàº. Òàê, íà ïðîì³æêó [0; +∞) ôóíêö³ÿ y
= x
2
çðîñòàº, à íà ïðîì³æêó (–∞; 0] — ñïàäàº. ßêùî ôóíêö³ÿ ñïàäàº, òî á³ëüøîìó çíà÷åííþ ôóíêö³¿ â³äïîâ³äຠìåíøå çíà÷åííÿ àðãóìåíòó.
˜ Îá´ðóíòóºìî ïåðøó ³ç öèõ âëàñòèâîñòåé ìåòîäîì â³ä ñóïðîòèâíîãî. Íåõàé ôóíêö³ÿ f
(x
) çðîñòຠ³ f
(x
2
) > f
(x
1
). Ïðèïóñòèìî, ùî àðãóìåíò x
2
íå á³ëüøå àðãóìåíòó x
1
, òîáòî x
2
m x
1
. ²ç öüîãî ïðèïóùåííÿ îäåðæóºìî: ÿêùî x
2
m x
1
³ f
(x
) çðîñòàº, òî f
(x
2
) m f
(x
1
), ùî ñóïåðå÷èòü óìîâ³ f
(x
2
) > f
(x
1
). Îòæå, íàøå ïðèïóùåííÿ íåïðàâèëüíå ³, ÿêùî f
(x
2
) > f
(x
1
), òî x
2
> x
1
, ùî ³ ïîòð³áíî áóëî äîâåñòè. Àíàëîã³÷íî ìîæíà îá´ðóíòóâàòè ³ äðóãó âëàñòèâ³ñòü. - Íàïðèêëàä, ÿêùî x
3
> 8, òîáòî x
3
> 23
, òî, óðàõîâóþ÷è çðîñòàííÿ ôóíêö³¿ f
(x
) = x
3
, îäåðæóºìî x
> 2. [1]
Äåòàëüí³øå ðîçâ’ÿçóâàííÿ ð³âíÿíü ³ íåð³âíîñòåé ç ìîäóëÿìè ðîçãëÿíóòî ó §
8.
|