Для напоминания и повторения приведём обзор некоторых функций, изучаемых в школьной программе.
1. Линейная функция.
Это функция вида
. Число
называется угловым коэффициентом, а число
-- свободным членом. Графиком
линейной функции служит прямая на координатной плоскости
, не параллельная оси .
Угловой коэффициент
равен тангенсу угла
наклона графика
к горизонтальному направлению -- положительному направлению оси .
Рис.1.8.График линейной функции -- прямая
2. Квадратичная функция.
Это функция вида
(
).
Графиком
квадратичной функции служит парабола с осью, параллельной оси
. При
вершина параболы оказывается в точке .
Рис.1.9.Парабола
(
)
В общем случае вершина лежит в точке
. Если
, то "рога" параболы направлены вверх, если
, то вниз.
Рис.1.10.Парабола с вершиной в точке
(
)
3. Степенная функция.
Это функция вида
,
. Рассматриваются такие случаи:
а). Если
, то
. Тогда
,
; если число
-- чётное, то и функция
-- чётная (то есть
при всех
); если число
-- нечётное, то и функция
-- нечётная (то есть
при всех ).
Рис.1.11.График степенной функции при
б). Если
,
, то
. Ситуация с чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для
: если
-- чётное число, то и
-- чётная функция; если
-- нечётное число, то и
-- нечётная функция.
Рис.1.12.График степенной функции при
Снова заметим, что
при всех
. Если
, то
при всех
, кроме
(выражение
не имеет смысла).
в). Если
-- не целое число, то, по определению, при
:
; тогда
, .
Рис.1.13.График степенной функции при
При
, по определению,
; тогда
.
Рис.1.14.График степенной функции при
4. Многочлен.
Это функция вида
, где
,
. Число
называется степенью многочлена. При
и
многочлены являются соответственно линейной функцией и квадратичной функцией (квадратным трёхчленом) и рассмотрены выше. При
и
(
) получается степенная функция, которую мы также рассмотрели выше. В общем случае
; при чётном значении степени
характерный вид графика таков:
Рис.1.15.График многочлена чётной степени при
или таков:
Рис.1.16.График многочлена чётной степени при
а при нечётном значении степени
-- таков:
Рис.1.17.График многочлена нечётной степени при
или таков:
Рис.1.18.График многочлена нечётной степени при
5. Показательная функция (экспонента).
Это функция вида
(
,
). Для неё
,
,
, и при
график имеет такой вид:
Рис.1.19.График показательной функции при
При
вид графика такой:
Рис.1.20.График показательной функции при
Число
называется основанием показательной функции.
6. Логарифмическая функция.
Это функция вида
(
,
). Для неё
,
,
, и при
график имеет такой вид:
Рис.1.21.График логарифмической функции при
При
график получается такой:
Рис.1.22.График логарифмической функции при
Число
называется основанием логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия.
7. Функция синус:
. Для неё
; функция периодична с периодом
и нечётна. Её график таков:
Рис.1.23.График функции
8. Функция косинус:
. Эта функция связана с синусом формулой приведения:
;
; период функции
равен
; функция
чётна. Её график таков:
Рис.1.24.График функции
9. Функция тангенс:
(в англоязычной литературе обозначается также
). По определению,
. Функция
нечётна и периодична с периодом ;
то есть
не может принимать значений
,
, при которых
(стоящий в знаменателе) обращается в ноль.
Рис.1.25.График функции
10. Функция котангенс:
(в англоязычной литературе также
). По определению,
. Если
(
), то
. Функция
нечётна и периодична с периодом ;
то есть
не может принимать значения вида
,
, при которых
обращается в 0.
Рис.1.26.График функции
11. Абсолютная величина (модуль):
,
. Эта функция определяет расстояние на вещественной оси от точки
до точки 0:
Функция
чётная, её график такой:
Рис.1.27.График функции
12. Обратные тригонометрические функции.
Это функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Они определяются как функции, обратные к главным ветвям
синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответственно, о чём подробнее в конце главы, в разделе Обратная функция.
13. Расстояние до начала координат на плоскости и в пространстве.
На координатной плоскости
расстояние
от точки
до точки
определяется по формуле
(по теореме Пифагора) и, следовательно, задаёт функцию
Эта функция имеет область значений
График её ограничения на круг
построен в примере 1.8.
Аналогично, расстояние
в пространстве
от точки
до точки
определяется по формуле
и задаёт функцию
Эта функция имеет ту же область значений
что и в двумерном случае.
14. Арифметическая прогрессия.
Функция
, задаваемая формулой
где
,
-- фиксированные числа, а
, называется арифметической прогрессией. Число
называется при этом первым членом прогрессии, а число
-- разностью прогрессии. Функцию
можно представить как ограничение на множество натуральных чисел
линейной функции
с угловым коэффициентом
и свободным членом
. Арифметическую прогрессию можно задать и другим, рекуррентным
способом:
при
Уравнение, рекуррентно задающее арифметическую прогрессию, -- это линейное уравнение в конечных разностях первого порядка, с одним начальным условием
.
Рис.1.28.График арифметической прогрессии
15. Геометрическая прогрессия.
Функция
, задаваемая формулой
где
,
-- фиксированные числа, а
, называется геометрической прогрессией. Число
называется при этом первым членом прогрессии, а число
-- знаменателем прогрессии. Функцию
(при
,
) можно представить как ограничение на множество натуральных чисел
показательной функции с основанием
, умноженной на постоянный коэффициент
, то есть функции
Рис.1.29.График геометрической прогрессии
Геометрическую прогрессию можно задать и иначе, рекуррентным способом
:
при
|