Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 45
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Кафедра РТС На тему: "
Методы
и анализ нелинейного режима работы системы ЧАП. Метод фазовой плоскости" МИНСК, 2008 К нелинейным относят системы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями. Система является нелинейной вследствие наличия в ее составе звеньев, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями, или имеющих нелинейную статическую характеристику (например, дискриминационную). Нелинейный режим работы имеет место в системе при выходе ошибки слежения за пределы линейного участка (переходной режим, срыв слежения, большой уровень помех и т.д.). Методы анализа нелинейных систем: Метод кусочно-линейной аппроксимации. Нелинейная характеристика разбивается на ряд линейных участков, в пределах каждого из которых система описывается линейным дифференциальным уравнением. Далее на каждом из этих участков система исследуется линейными методами; находятся решения, описывающие работу системы, которые затем "сшиваются". Метод удобен при небольшом числе участков разбиения. Недостаток метода в громоздкости вычислений при увеличении количества участков. Метод гармонической линеаризации. Нелинейный элемент (НЭ) заменяется его линейным эквивалентом. Критерий эквивалентности состоит в равенстве первой гармоники напряжения на выходе НЭ и его линейного эквивалента по амплитуде и фазе при подаче на входы НЭ и его эквивалента гармонического сигнала. Метод эффективен, когда все высшие гармоники подавляются последующими цепями. Метод фазовой плоскости. Применяется для исследования нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями первого и второго порядков. Состоит в построении и исследовании фазового портрета системы в координатах исследуемой величины и ее производной. Используется для анализа переходных режимов работы, оценки устойчивости системы, возможности возникновения периодических колебаний. Моделирование на аналоговых и цифровых вычислительных машинах. Не имеет ограничений на количество и вид нелинейностей, порядок дифференциального уравнения, позволяет исследовать поведение системы при детерминированных и случайных воздействиях. Отсутствие возможностей найти аналитические зависимости для исследуемых явлений является недостатком метода. Метод статистической линеаризации. Состоит в замене НЭ его статистическим линейным эквивалентом. Используется для исследования нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями произвольного порядка. Метод является приближенным. Имеет место неоднозначность в решениях при использовании различных критериев эквивалентности замены. Метод, основанный на использовании марковской теории случайных процессов позволяет исследовать системы, описываемые дифференциальными уравнениями первого и второго порядков, работающие в условиях действия случайных возмущений, и получить аналитические выражения для этих систем, что является его достоинством. На практике используют комбинацию различных методов.
Анализ нелинейного режима работы системы ЧАП
Для определения некоторых характеристик системы, произведем качественный анализ системы ЧАП (рис.1) Рис.1. Структурная схема нелинейной системы. Исходные данные: Составим ДУ описывающее поведение системы: Подставив (8.2) в (8.1), получим В установившемся режиме Решение уравнения (4) может быть найдено графическим способом (рис.2). Рис. 2. Абсциссы точек Исследуем на устойчивость в "малом" систему в точках С этой целью линеаризируем дискриминационную характеристику в окрестности точек равновесия системы и представим ее зависимостью где Подставим (5) в (3) и введем новую переменную Уравнение (6) описывает поведение системы в окрестности точек равновесия системы. Определим исходя из алгебраического критерия условия устойчивости системы: В точке, соответствующей решению Таким образом В точке, соответствующей В точке, соответствующей Если задать ряд значений начальной частотной расстройки, можно получить ряд решений, определяющих ошибку Для разомкнутой системы эта зависимость линейна. Рис.3. Зависимость частотной ошибки от первоначальной частотной расстройки. Для замкнутой системы при увеличении Диапазон первоначальных расстроек частот входного сигнала и генератора, в пределах которого сохраняется режим слежения называют полосой удержания. Диапазон первоначальных расстроек, в пределах которого система выведенная из синхронизма способна войти в режим синхронизма называют полосой захвата Участок В– Г соответствует решению типа 3 (устойчивому состоянию). Участок Б – Г соответствует решению типа 2 (неустойчивому состоянию). Участок Б – Б соответствует решению типа 1(устойчивому состоянию). Аналогичную зависимость можно получить для системы ФАПЧ (рис.4), Где Не для всех систем Рис.4. Зависимость частотной ошибки от первоначальной частотной расстройки. Предположим, что поведение следящей системы описывается нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка Обозначим х = х1; Состояние системы, описываемой уравнениями (8), определяется в каждый момент времени величинами Чтобы получить уравнение фазовых траекторий, исключим из (2) время, поделив для этого второе из них на первое: Его решение В качестве примера рассмотрим затухающий колебательный процесс, показанный на рис.5. Рис.5. Затухающий колебательный процесс. Цифрами отметим характерные точки кривой и сопоставим их с фазовой траекторией. В точке 1 х Рис.6. Фазовая траектория затухающего колебательного процесса. Для затухающего монотонного процесса (рис.7а) фазовая траектория приведена на рис.7б. Eсли в системе возникают периодические колебания, на фазовой плоскости они отображаются в виде замкнутой кривой, называемой предельным циклом. Предельный цикл является устойчивым, если при некоторых отклонениях от него фазовая траектория вновь стремится к предельному циклу. При расхождении фазовых траекторий предельный цикл называется неустойчивым. Построение фазовых траекторий позволяет судить о свойствах нелинейных систем по переходному процессу. Рис.7. Апериодический процесс и его фазовая траектория. Построение фазового портрета системы обычно начинают с определения его характера вблизи точек равновесия системы, в которых производные Поведение фазовых траекторий вблизи особых точек зависит от характера корней где Если где Продифференцировав выражение (10) для Фазовая траектория, построенная по приведённым выражениям для процессов При При выполнении условия Рис.8. Устойчивый фокус. Рис.9. Неустойчивый фокус. Рис.10. Устойчивый узел. Рис.11. Неустойчивый фокус . Рис.12. Особая точка типа седла. Для построения фазового портрета необходимо определить изоклины. Изоклиной называют геометрическое место точек в котором касательные к фазовым траекториям имеют постоянный наклон. Уравнение изоклины: Для горизонтальных касательных уравнение изоклины: для вертикальных: Ось абсцисс является изоклиной вертикальных касательных. Для особых точек типа узла и седла существуют изоклины, совпадающие с фазовыми траекториями: ( Рассмотрим пример. Определим условия вхождения в синхронизм системы, представленной структурной схемой (рис.13), если задающее воздействие изменяется по линейному закону Рис.14. Дискриминационная характеристика (а) и фазовый портрет (б) Обозначим ошибку слежения. х(t) = х Тогда производная этой функции: Так как в качестве фильтра системы используется интегрирующее звено, то y(t) = kF(x В результате уравнение ошибки примет вид Обозначим и, пользуясь уравнением х построим фазовый портрет системы в координатах (x При различных значениях а кривая х При а=0 ошибка слежения х 1. Коновалов. Г.Ф. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. – М.: Высш. шк., 2000. 2. Радиоавтоматика: Учеб. пособие для вузов. / Под ред. В.А. Бесекерского. - М.: Высш. шк., 2005. 3. . Первачев С.В. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. - М.: Радио и связь, 2002. 4. Цифровые системы фазовой синхронизации / Под ред. М.И. Жодзишского – М.: Радио, 2000
|