Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 45
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Кафедра ЭТТ На тему: «Структура и качество оптического изображения»
МИНСК, 2008 Основные характеристики структуры изображения
Изображающие приборы могут давать изображение различного качества с точки зрения передачи структуры предмета. Структура и форма светового поля в пространстве изображений подобна структуре и форме предмета, однако оптическая система вносит в эту структуру свои изменения, оценка которых есть оценка качества изображения. Передача структуры предмета или изображения – это отображение оптической системой мелких деталей объекта. Для описания такого отображения необходимо математическое описание предмета и изображения в виде функций Представим предмет в виде совокупности бесконечного количества светящихся точек. Для того, чтобы считать, что изображение предмета – это совокупность изображений соответствующих точек предмета, оптическая система должна удовлетворять свойствам линейности и инвариантности к сдвигу. Свойство линейности
Изображение суммы объектов равно сумме изображений каждого объекта: То есть, если предмет – это сумма точек При смещении точки ее изображение только смещается на пропорциональную величину (рис.1): где V – обобщенное увеличение. Рисунок.1 - Условие изопланатизма.
В отличие от условия линейности, условие изопланатизма в оптических системах соблюдается приблизительно, поскольку характер изображения при смещении изменяется. Изопланатизм, как правило, не соблюдается в пределах всего поля, обычно он соблюдается только при небольших смещениях. Изопланатическая зона
– это зона, в пределах которой соблюдается условие изопланатизма. Чем больше размер изопланатической зоны, тем лучше изопланатизм. Если зона полностью перекрывает предмет, то система полностью изопланатична. Мы будем рассматривать структуру изображения в пределах одной изопланатической зоны. В идеальной оптической системе точка изображается в виде точки, а в реальной оптической системе точка изображается в виде пятна рассеяния
(рис.2). Рисунок 2 - Изображение точки в пределах изопланатической зоны.
Основной характеристикой, описывающей передачу структуры предмета оптической системой является функция рассеяния точки
. Функция рассеяния точки
(ФРТ, point spread function, PSF)
Зная функцию рассеяния точки, можно найти изображение любого предмета, если разложить его на точки и найти ФРТ от каждой точки. Если есть предмет Если увеличение V
принять за единицу, то выражение (3) становится сверткой (конволюцией).
Функция изображения есть свертка функции предмета с функцией рассеяния точки: Гармонический периодический объект
Предмет кроме разложения на отдельные точки можно разложить на другие элементарные части – периодические решетки. Периодическая решетка
– это структура с белыми и черными полосами. Гармоническая периодическая решетка
– это структура, интенсивность которой описывается гармонической функцией (рис.3). В электронике существует аналог гармонической решетки – периодический во времени сигнал на входе прибора. Рисунок 3 - Гармоническая периодическая решетка
Гармоническая периодическая решетка описывается выражением: где a – вещественная амплитуда, b – сдвиг, T – период, q – угол ориентации. Вместо периода можно использовать пространственную частоту
Тогда интенсивность гармонической решетки в комплексной форме: Величину где Любой объект, как было сказано выше, можно разложить на элементарные гармонические объекты, тогда изображение – это совокупность изображений элементарных объектов. Эти изображения для реальных оптических систем всегда имеют искажения, что связано с законом сохранения энергии. Идеальные оптические системы нарушают закон сохранения энергии, так как они для сохранения неизменной структуры предмета должны передавать бесконечно большую энергию. Изображение гармонического объекта можно описать, если в выражение (9.3) подставить в качестве распределения интенсивности на предмете функцию Если выразить координаты предмета и изображения в едином масштабе, то V=1, следовательно: После замены переменных или, после переобозначения Двойной интеграл в выражении (9.10) – это некоторая функция Обозначим Как показывают соотношения (8) и (11), изображение от предмета отличается только комплексной амплитудой, то есть изображение гармонической решетки любой оптической системы есть гармоническая решетка с той же частотой. Поэтому гармоническую решетку удобно использовать для исследования и оценки передачи структуры изображения. Изменение комплексной амплитуды гармонической решетки – это и есть действие оптической системы. Оптическая передаточная функция (ОПФ)
Оптическая передаточная функция
(optical transfer function, OTF)
ОПФ связана с ФРТ интегральным преобразованием – преобразованием Фурье: или или где F – обозначение Фурье преобразования: ФРТ показывает, как оптическая система изображает точку, а ОПФ показывает, как оптическая система изображает гармоническую решетку, то есть как меняется комплексная амплитуда решетки в зависимости от частоты. Оптическая передаточная функция – это комплексная функция: Модуль ОПФ Частотно-контрастная характеристика показывает передачу вещественной амплитуды гармонического объекта: где a – амплитуда на предмете, a¢ – амплитуда на изображении. Амплитуда изображения гармонического объекта тесно связана с контрастом. Контраст для периодических (гармонических) изображений (рис.9.4) определяется выражением: Рисунок 4 - Контраст гармонического объекта.
Рисунок 5 - Абсолютный и нулевой контраст гармонического объекта Чем больше контраст, тем лучше различаются мелкие детали изображения. Изображение нельзя зарегистрировать или увидеть в случае, если: где Контраст для изображения гармонического объекта может быть выражен через постоянную a¢0
и a¢ переменную составляющие изображения гармонического объекта (рис.6): Рисунок 6 - Постоянная и переменная составляющие изображения гармонического объекта
Если где k¢ – контраст изображения, k – контраст предмета. Частотно-контрастная характеристика показывает зависимость контраста изображения гармонической решетки от частоты решетки, если считать, что на предмете контраст единичный (рис.7). Для идеальной оптической системы ЧКХ – прямая, параллельная оси. Рисунок 7 - Частотно-контрастная характеристика.
Для ближнего типа предмета или изображения пространственная частота n измеряется в [лин/мм]. Для дальнего типа пространственная частота измеряется в [лин/рад]. Итак, передача структуры изображения описывается ФРТ или ОПФ, которые связаны через взаимно однозначные преобразования Фурье. Наглядно отобразить двумерную функцию ОПФ можно в виде: - графиков сечений - изометрического изображения “поверхности” - карты уровней Схема формирования оптического изображения
Существует два фактора, которые влияют на структуру и качество изображения в оптической системе: дифракция и аберрации. Эти факторы действуют совместно. Если аберрации малы и преобладает дифракция, то такие системы называются дифракционно-ограниченными
. Если аберрации велики, и дифракция теряется на фоне аберраций, то такие системы называются геометрически-ограниченными
(формирование изображения вполне корректно описывается с позиций геометрической оптики, без привлечения теории дифракции). Рисунок 8 - Схема формирования оптического изображения.
Рассмотрим формирование изображения некоторой точки (рис.8). Гомоцентрический пучок лучей выходит из точки A0
, и после идеальной оптической системы сходится в точке A¢0
. Наряду с пучками лучей можно также рассматривать сферические волновые фронты Sw
и S¢w
. Действие реальной оптической системы сводится к следующим факторам: - преобразование расходящегося пучка лучей (волнового фронта) в сходящийся, - ограничение размеров проходящего пучка лучей или волнового фронта, - ослабление интенсивности (энергии) проходящего поля, - нарушение гомоцентричности пучка или сферичности волнового фронта, то есть изменение фазы проходящего поля. Рассмотрим поле где Поле на выходной сфере математически можно представить в виде: где В выражении (22) учитывается одновременно ограничение пучков и наличие аберраций. Зрачковая функция
(pupil function, PF)
показывает влияние оптической системы на прохождение электромагнитного поля от точки предмета до выходного зрачка и в общем случае в канонических координатах описывается выражением: где Теперь нужно перейти от поля на выходном зрачке к полю на изображении. Вблизи изображения геометрическая оптика не применима, поэтому для описания поля на изображении следует использовать теорию дифракции. Рисунок 9 - Формирование комплексной амплитуды в плоскости изображения.
Для вычисления комплексной амплитуды поля в плоскости изображения применим принцип Гюйгенса в форме интеграла Гюйгенса-Френеля. Рассматриваемая область находится вблизи центра выходной сферы (рис. 9): Используя зрачковую функцию, выражение (9.23) можно записать в виде: Рисунок 10 - Связь
от выходной сферы до точки
Отрезок Введем канонические (приведенные) координаты
на предмете и изображении: Тогда в канонических координатах получим: Так как зрачковая функция вне зрачка равна нулю, интегрирование происходит внутри зрачка. Комплексная амплитуда в изображении точки в канонических координатах, как следует из выражения (28), связана со зрачковой функцией через обратное преобразование Фурье: Комплексная амплитуда поля в изображении точки есть обратное Фурье-преобразование от зрачковой функции в канонических координатах. Функция рассеяния точки – это распределение не амплитуды поля, а интенсивности, то есть квадрата модуля комплексной амплитуды Оптическую передаточную функцию также можно выразить в канонических координатах: где Канонические частоты безразмерные: Это выражение в соответствии со свойством преобразования Фурье можно представить через автокорреляцию зрачковой функции: где ЛИТЕРАТУРА 1. Бегунов Б.Н., Заказнов Н.П. и др. Теория оптических систем. – М.: Машиностроение, 2004 2. Дубовик А.С. Прикладная оптика. – М.: Недра, 2002
|