Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 32
Решить графоаналитическим методом. maxj (X) = - 2x1
+ x2
+ 5x3
при 4x1
+ 2x2
+ 5x3
³ 12 6x1
- 3x2
+ 4x3
= 18 3x1
+ 3x2
- 2x3
£ 16 Х ≥ 0 Здесь число n = 3 и число m = 3. Выразим из ограничений и х3
: Подставим его в целевую функцию maxj (X) = Получим новые ограничения: х ≥ 0 Получили задачу линейного программирования в основном виде для n = 2 Вычисляем градиент Рисунок 1 Прямые a, c, d и eпересекаются и образуют четырехугольник ACDE. Определим max φ (Х), который удовлетворяет условию Х>=0: Это точка D (0,7; 4,7; 0). Функция φ (Х*
) в точке D: φ (Х*
) = 38,3 Найти экстремумы методом множителей Лагранжа extr φ (X) = 4x1
- x2
2
- 12 при x1
2
+ x2
2
= 25 Составим функцию Лагранжа: L (X,λ) = 4x1
- x2
2
- 12 + λ (x1
2
+ x2
2
- 25) h (X) = x1
2
+ x2
2
- 25 = 0 - функция ограничения. Составим систему уравнений из частных производных и приравняем их нулю. Решим данную систему уравнений: 2x2 (
λ- 1) = 0 Предположим, что x2
≠ 0, тогда λ= 1 подставим в первое уравнение системы. 4 - 2x1
= 0 2x1
= - 4 x1
= 2 Подставим x1
в третье уравнение системы. 4 +x2
2
- 25 = 0 x2
2
- 21 = 0 x2
2
= 21 x2
= ±4,5826 Параболоид вращения функции h (x). В двухмерной проекции график выглядит так: Рисунок 2. На рис.2 видно, что в точках А1
и А2
функция φ (X) = h (X). В этих точках функция φ (X) равна минимальному значению. (X*
,λ*
) N Решить обобщенным методом множителей Лагранжа или на основе условий Куна-Таккера. extr φ (X) = 9 (x1
- 5) 2
+ 4 (x2
- 6) 2
= при 3x1
+ 2x2
>= 12 x1
- x2
<= 6 Решим задачу на основе условий Куна-Таккера. Составим функцию Лагранжа. L (X,λ) = Составим систему уравнений из частных производных и приравняем их нулю. Решим систему уравнений. 1) Предположим, что λ2
≠ 0, тогда из уравнения (d) получим x2
= х1
- 6 Пусть λ1
= 0 и x1
≠ 0, тогда из уравнения (а) получим 18x1
- 90 - λ2
= 0, λ2
= 18х1
- 90 Пусть x2
≠ 0, тогда из уравнения (b) получим 8x2
- 48 - λ2
= 0 Подставив в уравнение выражения для x2
и λ2
, получим x1
= 4 x2
= - 2 x1
*
= 4; x2
*
= - 2; φ (Х) *
= 265 Трехмерный график целевой функции для данной задачи
Двухмерная проекция
Рисунок 3 На рис.3 видно, что в точке А функция b (X) = a (X), которые находятся в параболоиде вращения целевой функции. В этой точке функция φ (X) равна максимальному значению. 2) Предположим, что λ2
= 0 и x2
≠ 0, тогда из уравнения (b) получим 8x2 -
48 + 2λ1
= 0 x2
= x2
= 6 - Предположим, что x1
≠ 0, тогда из уравнения (а) выразим x1
. 18х1
- 90 + 3λ1
= 0 18 = 90 - 3λ1
х1
= х1
= 5 - Подставим выражения для x1
и x2
в уравнение (с) системы. а) б) x1
= 2,5; x2
= 2,25 Подставив корни x1
= 5; x2
= 6 в целевую функцию получим φ (Х) = 0, а корни x1
= 2,5; x2
= 2,25 - получим φ (Х) = 112,49 Таким образом: x1
*
= 5; x2
*
= 6; φ*
(Х) = 0 На рис.4 видно, что в точке В функция φ (X) = a (X). В этой точке функция φ (X) равна минимальному значению. Рисунок 4 X*
N Получить выражение вектор-функции и матрицы Якоби системы и составить алгоритм численного решения задачи на основе условий Куна-Таккера. maxφ (X) = - x1
2
- x2
2
+2х2
при x1
+ x2
>= 18 x1
+ 2 x2
>= 14 Х>=0 Найдем выражение вектор-функции системы. Составим функцию Лагранжа. L (X,λ) = - x1
2
- x2
2
+ 2х2
+ λ1
(x1
+ x2
- 18) + λ2
(x1
+ 2x2
- 14) Вектор-функция системы: Составим матрицу Якоби. Составим алгоритм численного решения задачи:
|