Теоретическая физика: механика “Согласовано” “Утверждено” Преподаватель Джежеря Ю.И. ___________ Методист ____________________ План-конспект занятия По теоретической физике Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61 Филатова Александра Сергеевича Дата проведения занятия: 20.12.2000 Тема: «Канонические преобразования. Функция Гамильтона-Якоби. Разделение переменных» Цели: Развить навык использования канонических преобразований. Закрепить умение осуществлять преобразования Лежандра для перехода к производящей функции от необходимых переменных. Научить использовать метод Гамильтона-Якоби при решении задач с разделением переменных. Сформировать понимание сути и могущественности метода. Воспитывать трудолюбие, прилежность. Тип занятия: практическое. Ход занятия Краткие теоретические сведения Канонические преобразования Канонические преобразования переменных – это такие преобразования, при которых сохраняется канонический вид уравнений Гамильтона. Преобразования производят с помощью производящей функции, которая является функцией координат, импульсов и времени. Полный дифференциал производящей функции определяется следующим образом: Выбирая производящую функцию от тех или иных переменных, получаем соответствующий вид канонических преобразований. Заметим, что если частная производная будет браться по "малым" , то будем получать малое , если же по "большим" , то и получать будем соответственно . Функция Гамильтона-Якоби При рассмотрении действия, как функции координат (и времени), следует выражение для импульса: Из представления полной производной действия по времени следует уравнение Гамильтона-Якоби: Здесь действие рассматривается как функция координат и времени: . Путем интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби , находят представление действия в виде полного интеграла, который является функцией s координат, времени, и s+1 постоянных (s – число степеней свободы). Поскольку действие входит в уравнение Гамильтона-Якоби только в виде производной, то одна из констант содержится в полном интеграле аддитивным образом, т.е. полный интеграл имеет вид: Константа А не играет существенной роли, поскольку действие входит везде лишь в виде производной. А определяет, что, фактически, лишь s констант меняют действие существенным образом. Эти константы определяются начальными условиями на уравнения движения, которые для любого значения А будут иметь одинаковый вид, как и само уравнение Гамильтона-Якоби. Для того чтобы выяснить связь между полным интегралом уравнения Г.-Я. и интересующими нас уравнениями движения, необходимо произвести каноническое преобразование, выбрав полный интеграл действия в качестве производящей функции. Константы будут выступать в качестве новых импульсов. Тогда новые координаты тоже будут константы, поскольку Выражая из уравнения координаты в виде функций от , мы и получим закон движения: Решение задачи на нахождение зависимости существенно упрощается в случае разделения переменных. Такое возможно, когда какая-то координата может быть связана лишь с соответствующим ей импульсом и не связана ни с какими другими импульсами или координатами, входящими уравнение Г.-Я. В частности это условие выполняется для циклических переменных. Итак, нахождение уравнений движения методом Гамильтона-Якоби сводится к следующему: составить функцию Гамильтона; записать уравнение Г.-Я., и определить какие переменные разделяются; Путем интегрирования уравнения Г.-Я. получить вид полного интеграла ; Составить систему s уравнений , и получить закон движения ; По необходимости найти закон изменения импульсов: . Для чего продифференцировать полный интеграл по координатам , а потом подставить их явный вид, полученный в пункте 4. Примеры решения задач №11.14 [] Как известно, замена функции Лагранжа на , где – произвольная функция, не изменяет уравнений Лагранжа. Показать, что это преобразование является каноническим, и найти его производящую функцию. Решение: Перепишем штрихованную функцию Лагранжа, представив полную производную функции через частные: Функции Гамильтона, соответствующие штрихованной и не штрихованной функциям Лагранжа, определяются следующим образом: Распишем , используя представление штрихованной функции Лагранжа : Подставляя формулы и в выражение для штрихованной функции Гамильтона , получим: Взаимно сократив второе слагаемое с последним, учитывая зависимость , получим: Или Но согласно каноническим преобразованием с производящей функцией Ф: Следовательно, Полученное соотношение определяет условие на временную часть производящей функции канонического преобразования, соответствующего преобразованию функции Лагранжа . Поскольку вид обобщенных импульсов и координат при преобразовании функции Лагранжа не изменился, координатно-импульсная часть производящей функции должна соответствовать тождественному каноническому преобразованию. Как было показано в задаче №9.32 [] (д/з пред. занятия), производящая функция определяющая тождественное каноническое преобразование с неизменным гамильтонианом, имеет вид: Учитывая условие на временную часть производящей функции, окончательно получим: Полученная производящая функция определяет тождественное каноническое преобразование с заменой функции Гамильтона соответствующей замене функции Лагранжа . З адача. Система, состоящая из двух шариков массами , соединенных невесомой пружиной, расположенной вертикально, начинает двигаться в поле сил тяжести. Длина пружины - . Произвести каноническое преобразование и записать новую функцию Гамильтона, соответствующие производящей функции . Решение: Составим функцию Гамильтона системы: Здесь потенциальная энергия состоит из энергии гармонических колебаний и потенциальной энергии шариков в поле сил земного тяготения. По определению потенциального поля: Мы имеем дело с одномерным движением, поэтому градиент в формуле заменяется производной по х. В то же время сила, является суммарной силой тяжести. Принимая во внимание принцип суперпозиции гравитационного поля, проинтегрируем последнее уравнение: Значение смещения пружины от положения равновесия будет определяться следующим образом: Подставив выражения и в формулу , получим вид функции Гамильтона, выраженной через импульсы и координаты явно: Переход к новым каноническим переменным производится в случае, когда возможно упростить вид функции Гамильтона, а соответственно и исходящих из нее уравнений движения. В данной ситуации удобно выбрать новые координаты так, чтобы одна описывала движение центра масс системы, а вторая колебания пружины в собственной системе отсчета. Убедимся, что заданная в условии производящая функция отвечает именно такому преобразованию. Новая координата совпадает со значением смещения пружины от положения равновесия. Новая координата совпадает со значением положения центра масс системы. Сложив оба уравнения, получим: Соответственно , где , – приведенная масса. Запишем функцию Гамильтона в новых переменных: , где , – суммарная масса системы. Действительно, функция Гамильтона в новых переменных распалась на две части, что соответствует двум парам канонических уравнений. Одна часть описывает колебания шариков в собственной системе отсчета, другая – движение системы как целого в поле сил тяжести. №9.21 [] Найти полный интеграл уравнения Г.-Я. и закон свободного движения материальной точки. Решение: 1. Составим функцию Гамильтона свободной частицы: 2. Запишем уравнение Г.-Я.: 3. Произведем разделение переменных и проинтегрируем по времени. Используем начальное условие: Тогда подставляя вид функции S в уравнение Г.-Я. , последнее примет вид: Откуда Следовательно, полный интеграл уравнения Г.-Я.: 4. Закон движения определяется из канонического преобразования: Откуда сам закон движения: 5. Импульс свободно движущейся материальной точки определяется следующим образом: Действительно, частица в отсутствии внешнего поля движется с постоянным импульсом. Домашнее задание: №11.2 [] Найти производящую функцию вида , приводящую к тому же каноническому преобразованию, что и . Решение: №9.38 [] Найти уравнение, которому удовлетворяет производящая функция , порождающая каноническое преобразование к постоянным импульсам и координатам. №9.23 [] Найти полный интеграл уравнения Г.-Я. для тела, движущегося по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол  с горизонтом. №12.1 a) [] Найти траекторию и закон движения частицы в поле Литература: Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика, электродинамика», - М.: «Наука», 1969 г., - 272 с. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика», - М.: «Наука», 1965 г., - 204 с. И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков «Задачи по теоретической механике для физиков», - М.: 1977 г., - 389 с. Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо «Сборник задач по теоретической механике», - М.: «Наука», 1977 г., - 320 с. И.В. Мещерский «Сборник задач по теоретической механике», - М.: «Наука», 1986 г., - 448 с. Л.П. Гречко, В.И. Сугаков, О.Ф. Томасевич, А.М. Федоренко «Сборник задач по теоретической физике», - М.: «Высшая школа» 1984 г., - 319 с. Студент-практикант: Филатов А.С. 7 “Согласовано” “Утверждено” Преподаватель Джежеря Ю.И. ___________ Методист ____________________ План-конспект занятия По теоретической физике Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61 Филатова Александра Сергеевича Дата проведения занятия: 06.12.2000 Тема: «Функция Гамильтона. Функция Рауса. Канонические уравнения» Цели: Развить у учащихся навык решения задач на составление и использование функции Гамильтона и функции Рауса. Сформировать понимание взаимосвязи между функцией Гамильтона, Рауса и функцией Лагранжа. Закрепить знание свойств функции Лагранжа. Воспитывать трудолюбие, прилежность. Тип занятия: практическое. Ход занятия Краткие теоретические сведения Функция Гамильтона: Функция Рауса: Канонические уравнения: Схема составления функции Гамильтона Как следует из определения функции Гамильтона для составления самой функции необходимо знать вид функции Лагранжа. Однако при подстановке функции Лагранжа в явном виде в выражение в правой части будут присутствовать переменные . А мы знаем, что функция Гамильтона зависит только от . Т.о. необходимо установить связь . Эту зависимость нам дает определение обобщенных импульсов: Итак, при решении задач на нахождение функции Гамильтона, когда вид функции кин. энергии не известен, что является самым общим случаем, вид функции Гамильтона необходимо искать опираясь на ее определение. Т.е. через функцию Лагранжа. При этом нужно следовать следующей схеме: Записать функцию Лагранжа, при возможности преобразовав ее к более простому виду (это в частном случае подразумевает выбор новых обобщенных координат). Определить зависимость Записать саму функцию Гамильтона Примеры решения задач №10.3 [] Определить функцию Гамильтона ангармонического осциллятора, функция Лагранжа которого: Решение: Откуда Подставляя полученное выражение в , имеем: № 49.8 [] Материальная точка массы т подвешена с помощью стержня длины к плоскому шарниру, горизонтальная ось которого вращается вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью . Составить а) функцию Гамильтона и б) канонические уравнения движения. Массу стержня не учитывать. Решение: а) 1. Действуя согласно предлагаемой схеме составления функции Гамильтона, определим функцию Лагранжа системы: Где . Поскольку функция Лагранжа определена с точностью до аддитивной константы, либо постоянного множителя, перепишем в виде: Согласно выбранной системе координат: Учитывая, что – по условию, получим выражение для функции Лагранжа с новой обобщенной координатой : Или 2. Найдем зависимость обобщенной скорости от обобщенного импульса системы. По определению обобщенных импульсов: 3. Следовательно, функция Гамильтона: б) Используя формулы , найдем уравнения движения системы: В частности, представляет интерес случай, когда , т.е. шарик движется в горизонтальной плоскости, описывая окружность. Логично предположить, что такое движение будет выполняться лишь при некотором фиксированном угле , значение которого как-то зависит от параметров системы. Найдем эту зависимость. Для этого заметим, что во втором уравнении системы левая часть будет равна нулю: Откуда: Первое уравнение дает тривиальное решение , что соответствует просто провисанию шарика - материальной точки. Т.о. условие движения маятника в плоскости есть: Где – собственная частота колебаний маятника. Более того, выражение дает зависимость угла отклонения, обуславливающего движение в плоскости, от частоты вращения вертикальной оси, и собственной частоты маятника. Т.о., чтобы добиться устойчивого вращения в плоскости при желаемом угле отклонения, необходимо подбирать отношение между собственной частотой (которая определяется длинной стержня) и частотой вращения оси. Заметим также, что значение угла в этом случае не зависит от массы маятника. При значении частоты вращения вертикальной оси, превышающим значение собственной частоты маятника, второе уравнение системы решений не имеет. Но работает первое уравнение, из которого . Т.е. маятник будет провисать. №9.5 [] Найти траекторию одномерного гармонического осциллятора в фазовом пространстве. Решение: Фазовым пространством называется такое 2s-мерное пространство, по осям которого откладываются s импульсов и s координат. (s – число степеней свободы). Изменение состояния системы соответствует непрерывной линии – траектории движения системы в фазовом пространстве. Функция Гамильтона гармонического осциллятора имеет вид: Из закона сохранения энергии получим уравнение фазовой траектории гармонического осциллятора: Т.е. траекторией является эллипс. №10.4 [] Найти закон движения частицы, функция Гамильтона которой: Решение: Закон движения частицы дают функции: , вид которых можно получить исходя из уравнений Гамильтона . Поделив 1-ое уравнение на 2-ое получим: , откуда Интегрируя, получим: Выражая отсюда и приравнивая его к значению из уравнения Гамильтона, получим: , где Или после интегрирования: Подставляя полученную зависимость в выражение , получим: Задача №1. Математический маятник массы т прикреплен к движущейся вдоль горизонтальной прямой муфте, масса которой М. Определить функцию Рауса системы. Решение: Составим функцию Лагранжа: Где . Координату х можно представить в виде суммы: Где х1 – координата муфты (координата лабораторной системы отсчета), а х2 – координата смещения шарика мат. маятника в системе отсчета муфты. Из выражения следует: Имеем: Заметим, что х1 – циклическая переменная. Найдем обобщенный импульс : Откуда: Следовательно, по определению функция Рауса с учетом выражения : Подставляя в последнее выражение зависимость , окончательно получим: Запишем уравнение связи импульса с функцией Рауса: Но поскольку х1 не входит в функцию Рауса явно, то правая часть записанного равенства есть ноль. Т.е. импульс в процессе движения остается постоянным. Следовательно, функция Рауса фактически зависит только от 2-х независимых переменных: . Задача №2. Определить функцию Рауса симметричного волчка в поле . Решение: Используем известное нам значение функции Лагранжа для симметричного волчка: По определению обобщенных импульсов: Откуда Следовательно, по определению функция Рауса с учетом выражения : Домашнее задание: Задача№1. Исходя из функции Гамильтона для гармонического осциллятора, получить закон движения гармонического осциллятора. №49.7 [] №10.5 [] Найти уравнения движения частицы, функция Гамильтона которой: . Указание: получить . Литература: Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика, электродинамика», - М.: «Наука», 1969 г., - 272 с. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика», - М.: «Наука», 1965 г., - 204 с. И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков «Задачи по теоретической механике для физиков», - М.: 1977 г., - 389 с. Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо «Сборник задач по теоретической механике», - М.: «Наука», 1977 г., - 320 с. И.В. Мещерский «Сборник задач по теоретической механике», - М.: «Наука», 1986 г., - 448 с. Л.П. Гречко, В.И. Сугаков, О.Ф. Томасевич, А.М. Федоренко «Сборник задач по теоретической физике», - М.: «Высшая школа» 1984 г., - 319 с. Студент-практикант: Филатов А.С. 6 “Согласовано” “Утверждено” Преподаватель Джежеря Ю.И. ___________ Методист ____________________ План-конспект занятия По теоретической физике Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61 Филатова Александра Сергеевича Дата проведения занятия: 27.12.2000 Тема: «Функция Гамильтона-Якоби. Разделение переменных» Цели: Закрепить умение использования метода Гамильтона-Якоби при решении задач с разделением переменных. Сформировать понимание сути и могущественности метода. Воспитывать трудолюбие, прилежность. Тип занятия: практическое. Ход занятия Краткие теоретические сведения При рассмотрении действия, как функции координат (и времени), следует выражение для импульса: Из представления полной производной действия по времени следует уравнение Гамильтона-Якоби: Здесь действие рассматривается как функция координат и времени: . Путем интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби , находят представление действия в виде полного интеграла, который является функцией s координат, времени, и s+1 постоянных (s – число степеней свободы). Поскольку действие входит в уравнение Гамильтона-Якоби только в виде производной, то одна из констант содержится в полном интеграле аддитивным образом, т.е. полный интеграл имеет вид: Константа А не играет существенной роли, поскольку действие входит везде лишь в виде производной. А определяет, что, фактически, лишь s констант меняют действие существенным образом. Эти константы определяются начальными условиями на уравнения движения, которые для любого значения А будут иметь одинаковый вид, как и само уравнение Гамильтона-Якоби. Для того чтобы выяснить связь между полным интегралом уравнения Г.-Я. и интересующими нас уравнениями движения, необходимо произвести каноническое преобразование, выбрав полный интеграл действия в качестве производящей функции. Константы будут выступать в качестве новых импульсов. Тогда новые координаты тоже будут константы, поскольку Выражая из уравнения координаты в виде функций от , мы и получим закон движения: Решение задачи на нахождение зависимости существенно упрощается в случае разделения переменных. Такое возможно, когда какая-то координата может быть связана лишь с соответствующим ей импульсом и не связана ни с какими другими импульсами или координатами, входящими уравнение Г.-Я. В частности это условие выполняется для циклических переменных. Итак, нахождение уравнений движения методом Гамильтона-Якоби сводится к следующему: составить функцию Гамильтона; записать уравнение Г.-Я., и определить какие переменные разделяются; Путем интегрирования уравнения Г.-Я. получить вид полного интеграла ; Составить систему s уравнений , и получить закон движения ; По необходимости найти закон изменения импульсов: . Для чего продифференцировать полный интеграл по координатам , а потом подставить их явный вид, полученный в пункте 4. Примеры решения задач На прошлом занятии был продемонстрирован пример нахождения закона движения для свободной точки. Что же будет происходить при помещении точки в поле? №9.22 [] Составить уравнения Г.-Я. для точки, движущейся в однородном гравитационном поле. Найти полный интеграл этого уравнения, а также траекторию и закон движения точки. Решение: 1. Направим ось Oz вверх по вертикали. Тогда функция Гамильтона точки в декартовых координатах примет вид: 2. Соответственно уравнение Г.-Я.: 3. Все переменные в этом уравнении разделяются. Здесь . Разделение переменных позволяет нам представить действие в виде суммы: Тогда, к примеру, изменение х, повлечет за собой изменение лишь первого слагаемого в квадратных скобках уравнения . Слагаемое может меняться, а все выражение все равно тождественный ноль. Следовательно, это слагаемое есть константа. Выполняя такого рода действия, получим следующий вид полного интеграла уравнения Г.-Я.: Заметим, что в выражении полного интеграла уже содержится три константы. Система имеет три степени свободы. Поэтому эти три константы уже однозначно определяют уравнения движения. 4-ая константа может входить в действие только аддитивным образом и не играет существенной роли. Соответственно функция не должна содержать более констант.