Варіаційні принципи механіки Рівненський державний гуманітарний університет Кафедра фізики Курсова робота на тему: В иконав: студент V курсу фізико - технологічного факультету групи ФТТ-51 Громов Микола Володимирович Науковий керівник: доц. Сідлецький Валентин Олександрович Рівне–2000 Зміст Зміст 2 Вступ 3 Розділ І. Загальна характеристика принципів механіки 5 Розділ ІІ. Варіаційні принципи механіки 12 Висновки 30 Література. 31 Вступ Варіаційні принципи класичної механіки є основними, вихідними положеннями аналітичної механіки, математично виражені у формі варіаційних співвідношень, з яких як логічні наслідки витікають диференціальні рівняння руху, а також всі положення і закони механіки. Варіаційні принципи відрізняються один від одного як за формою і способами варіювання, так і загальністю, однак кожен з них, в рамках його застосування, утворює єдину основу і мов би синтезує всю механіку відповідних матеріальних систем. Іншими словами, той чи інший варіаційний принцип класичної механіки потенційно включає в себе весь зміст цієї області науки і об’єднує всі її положення в єдине формулювання. Варіаційні принципи динаміки є, по суті, основними і до того ж найзагальнішими законами руху матеріальних систем. Класична механіка базується на законах Ньютона, встановлених для вільних матеріальних точок, і аксіомах зв’язків. Справедливість варіаційних принципів доводиться, виходячи з цих законів та аксіом. В свою чергу, будь-який варіаційний принцип можна прийняти за аксіому і з неї логічно вивести закони механіки. Варіаційні принципи класичної механіки виявились застосовними не тільки до дискретних матеріальних систем, але й до систем з розподіленими параметрами, до суцільних середовищ. Вони відіграють важливу роль в теорії поля і в математичній фізиці. З варіаційними принципами тісно пов’язані оптико-механічна аналогія, теорія канонічних перетворень, теорія груп Лі і закони збереження. Варіаційні принципи володіють великою евристичною цінністю; вони поширюються й на інші області фізики, зокрема на теорію відносності і на квантову та хвильову механіку, де важливу роль відіграють принципи найменшої дії і пов’язаний з ними лагранжів та гамільтонів математичний формалізм. У 1744 p. Мопертюї1 сформулював без доведення один варіа­ційний принцип і застосував його в механіці й оптиці2. Утому ж самому році Л. Ейлер дав доведення цього інтегрального варіаційного принципу для випадку руху матеріальної точки в центральному силовому полі. Ж. Лагранж поширив цей принцип на широкий клас механічних рухів матеріальних систем, а Якобі3 в 1842 p. поглибив теорію цього принципу. У сучасній літературі розглядуваний інтегральний варіаційний принцип відомий під назвою принципу Ейлера—Лагранжа. У першій половині XIX ст. був відкритий новий інтегральний варіаційний принцип, який тепер справедливо називають принципом Остроградського—Гамільтона. Першу важливу працю з теорії цього принципу виконав М. В. Остроградський у 1829 p. і опублікував у 1831 p. Дальший крок вперед зробив В. Гамільтон у 1834 p.; він довів цей принцип для руху меха­нічної системи в консервативному силовому полі. Цікаво, що відправним пунктом відповідних досліджень Гамільтона в механіці були його відкриття в галузі оптики. Виявилось, що існує глибокий зв'язок між законами механіки й законами оптики; цей зв'язок був використаний у ХХ ст. для побудови так званої хвильової механіки. У більш загальній формі принцип Остроградського—Гамільтона4 в 1848 p. довів М. В. Остроградський. Перейдемо до розгляду допоміжних понять, необхідних для розуміння викладу варіаційних принципів. Розділ І. Загальна характеристика принципів механіки Принцип механіки — це аксіоматичне твердження, з якого як логічний наслідок випливає зміст механіки як науки. У сі принципи механіки поділяються на неваріаційні і варіаційні. І ті й інші, у свою чергу, підрозділяються на диференціальні й інтегральні принципи (див. схему). Неваріаційний принцип визначає властивості, що властиві усім рухам або в даний момент часу (диференціальний неваріаційний принцип) або на скінченому проміжку часу (інтегральний неваріаційний принцип). Прикладом диференціального неваріаційного принципу є основний закон динаміки (другий закон Ньютона) (а) Прикладом інтегрального неваріаційного принципу є закон збереження енергії Н* = h. (b) Класична механіка, є логічним наслідком принципу (а). Німецький учений Г. Гельмгольц (1821—1894) заклав основи механіки, що випливають із принципу (b). Усі варіаційні принципи механіки дають відповідь на питання: чим відрізняється дійсний рух системи від інших рухів, що допускаються зв'язками, накладеними на систему? Кінематично можливий рух системи, що допускається накладеними на неї зв'язками, називається рухом порівняння. Варіаційний принцип указує характеристику дійсного руху системи, віднесену або до даного моменту часу, або до кінцевого інтервалу часу. У першому випадку він називається диференціальним, у другому — інтегральним варіаційним принципом. Варіаційні принципи механіки визначають найбільш загальні закономірності механічних рухів і тому знаходять широке застосування в сучасній механіці і фізиці. Принципи, що викладаються в цій роботі є логічними наслідками принципу (а). Тут вони наведені як універсальні методи розв’язування визначених задач динаміки і статики, хоча кожний з них можна розглядати як аксіоматичне твердження, з якого логічно випливає зміст механіки при тих обмеженнях, при яких справедливий той чи інший принцип. 1.1. Дійсний і уявні рухи для вільної матеріальної точки. Нехай вільна матеріальна точка з масою т рухається під дією сили, що має силову функцію U (х, у, z, t). Проекції сили на осі координат дорівнюють: Координати точки змінюються за певними законами: x=x(f), y=y(t), z==z(t). (1) Нехай рухома точка в момент t0 пройшла через положення А в просторі, а в інший момент t1 >t0—через положення В (рис. 1). Умовимось називати момент t0 і положення А почат­ковими, а момент t1 і положення В—кінцевими. Рівняння (1) изначають рух точки т, який відбувається в дійсності, тобто за законами природи. Цей рух точки називатимемо дійсним її рухом. Рис. 1 Разом з дійсним рухом вільної матеріальної точки розглядатимемо нескінченну множину уявних її рухів, які повинні задо­вольняти такі умови: кожний уявний рух по­чинається одночасно з дійсним рухом у момент t0 і закінчується також одночасно з дійсним рухом у момент t1; кожний уявний рух починається з положення А, що є початковим для дійсного руху, і закінчується в положенні В, яке є кінцевим для дійсного руху. Положення і швидкість точки в будь-якому з уявних рухів нехай відрізняються, відповідно, від положення і швидко­сті точки в її дійсному русі нескінченно мало в кожний момент часу. Визначені переліченими вище ознаками уявні рухи є лише кінематично можливими, тоді як дійсний рух точки від­бувається насправді під дією сил заданого силового поля. Отже, поряд з дійсним рухом вільної матеріальної точки, який відбувається між положеннями А і В за проміжок часу (t0, t1), розглядатимемо нескінченно близькі до дійсного можли­ві її рухи, які всі відбуваються між тими самими положеннями А та В, між якими відбувається дійсний рух, і за той самий проміжок часу (t0, t1). Порівнювані з дійсним рухом уявні рухи вільної точки можна задати аналітичне так. Виберемо три довільні однозначні неперервні і диференційовані функції часу ξ1(t), ξ2(t), ξ3(t), нескінченно малий параметр ε і вважатимемо, що уявлюваний рух точки визначається координатами , (2) де час t змінюється від моменту t0 до моменту t1. Швидкість точки в уявлюваному русі визначається трьома похідними по часу від координат (3) Щоб уявний рух відбувався протягом того самого проміжку часу і між тими самими положеннями А та В, що й дійсний рух матеріальної точки, функції ξ1(t), ξ2(t), ξ3(t) треба піді­брати так, щоб вони перетворювались в нуль у початковий і кінцевий моменти часу, тобто при t = t0 і t =t1: ξ1(t0)= ξ2(t0)= ξ3(t0)=0, ξ1(t1)= ξ2(t1)= ξ3(t1)=0 (4) При аналітичному визначенні уявних рухів ми здійснили малу зміну виду функцій x(f), y(t), z(t), які описують дійсний рух. Ця зміна, яка полягає в переході від функцій x(t), y(t), z(t) до нових функцій що нескінченно мало відрізняються від старих функцій, назива­ється варіюванням функцій x(t), y(t), z(t). Прирости функцій, що знаходяться в резуль­таті варіювання, позначаються символом δ і називаються варіаціями функцій: (5) Користуючись поняттям варіації, можна стверджувати: якщо дій­сний рух точки відбувається за законом x=x(t), y=y(t), z=z(t), то порівнювані з ним уявні кінематично можливі рухи відбуваються за законом Оскільки вибір варіацій δх, δy, δz довільний, то існує нескінчен­на множина уявних кінематично можливих рухів точки між заданими її положеннями. 1.2. Дійсний і уявні рухи для невільної матеріальної точки. У випадку невільної матеріальної точки сформульовані вище в п.1.1. умови, які визначають клас кінематично можливих уяв­них рухів, слід доповнити ще однією: уявний рух точки по­винен бути узгоджений з зв'язками, не повинен порушувати їх5. Тому всі попередні результати справедливі і для руху невільної матеріальної точки, якщо тільки в рівняннях ру­ху точки використано незалежні узагальнені координати, які позначимо q1, q2 (при одній ступені вільності матимемо лише одну координату q). У цьому випадку, якщо дійсний рух точки визначається незалежними координатами q1(t), q2(t) , то, ана­логічно до попереднього, уявний кінематично можливий її рух буде характеризуватись функціями Варіації координат тут дорівнюють У випадку однієї ступені вільності уявний рух визна­чається однією координатою . Варіація коор­динати дорівнює 1.3. Дійсний і уявні рухи для механічної системи. Випа­док системи не відрізняється принципово від з'ясованого вище випадку однієї матеріальної точки. Нехай дійсний рух невіль­ної голономної механічної системи з п ступенями вільності ви­значається п незалежними координатами qk(t), (k=1, 2, ..., п). Уявний кінематично можливий її рух визначатиметься варійованими координатами , (6) де ε — нескінченно малий параметр, a ξk(t)—довільні функції. Ці функції слід вибирати так, щоб вони перетворювались в нуль на кінцях часового інтервалу (t0, t1), протягом якого розгляда­ється рух системи. Варіації координат системи тут дорівнюють . Отже, поряд з дійсним рухом механічної системи, який від­бувається між положеннями А і В за проміжок часу (t0, t1), розглядаються нескінченно близькі до дійсного кінематично можливі (уявні) її рухи, які всі відбуваються між тими самими положеннями А та В, між якими відбувається дійсний рух і за той самий проміжок часу (t0, t1) та узгоджені з зв'язками системи. Уявні рухи, що задовольняють ці вимоги, називатимемо можливими в розумінні Остроградського. Доведемо тепер властивість комутативності варіювання і диференціювання, яку будемо використовувати нижче при розгляді принципу. Перепишемо (6) у вигляді , і продиференціюємо по часу: (7) Але за своїм змістом ліва частина цієї рівності є варіацією функції , тобто це є . Отже, з (7) знаходимо , (8) що означає: операція диференціювання по незалежній змінній t і операція варіювання є комутативними. 1.4. Функція Лагранжа та її інтеграл у дійсному і уявному рухах. Нехай при дійсному русі функція Лагранжа системи є L(q, ˙q, t), а в уявному вона дорівнює 6, де Розкладаючи в ряд Тейлора, знайдемо (9) Головна, лінійна відносно , частина приросту функції L називається першою варіацією цієї функції, вона позначається δL і дорівнює Інші доданки ряду (9), які згруповано за степенями ε, нази­ваються, відповідно, другою, третьою і т. д. варіаціями функції L і позначаються так: δ2L, δ3L, ..., δkL,... Функцію Лагранжа (9) для уявного руху можна подати тепер як ряд (10) Ми дістали формулу, яка визначає функцію Лагранжа для уявного руху через функцію Лагранжа й її варіації в дійсному русі точки. Щоб встановити аналогічну формулу для інтеграла від функ­ції Лагранжа, помножимо ряд (10) на елементарний проміжок часу dt і проінтегруємо від моменту to до моменту t1. Матимемо: (11) Інтеграл , (12) аргументом якого є функція q(t), слід розглядати як фунаціонал7. У співвідношенні (11) інтеграл лівої частини рівності є функціонал, обчислений для довільного уявного руху. Перший інтеграл правої частини –той самий функціонал, обчис­лений для дійсного руху точки. Другий інтеграл правої частини у формулі (11) є головною, лінійною відносно δq (відносно ε) частиною приросту цього функціоналу. Головна, лінійна, частина приросту функціоналу називається першою його варіацією і позначається δS або . На підставі (11) і означення першої варіації функціоналу маємо: , (13) тобто операції інтегрування і варіювання комутативні (слід підкреслити, що доведена властивість справджується тільки за умови, що розглядаються уявні рухи у визначеному вище розумінні Остроградського, коли параметр t відіграє роль неза­лежної змінної). Інші інтеграли правої частини формули (11) є послідовно так звані друга, третя і т. д. варіації функціоналу S, які позна­чаються так: δ2S, δ3S, ... . Тому ряд (11) можна переписати у вигляді (14) або у вигляді приросту функціоналу (15) Розділ ІІ. Варіаційні принципи механіки 1.1Принцип Остроградського-Гамільтона Інтеграл із змінною верхньою границею (16) називається дією за Остроградським. Розмірність дії є Джс, тобто вона така сама, як розмірність сталої Планка h, що характеризує елементарний «квант дії». Принцип Остроградського — Гамільтона формулюється так: Дійсний рух механічної системи з голономними в'язями відрізняється від усіх інших порівнюваних з ним кінематично можливих (у розумінні Остроградського) рухів тим, що для дійсного руху системи варіація дії за Остроградським, яку обчислено для довільного фіксованого проміжку часу, дорівнює нулю. Принцип Остроградського — Гамільтона математично подається рівністю (17) Для доведення обчислимо варіацію дії: (18) Інтегруючи частинами, знайдемо: (19) Доданок — тут дорівнює нулю в початковий і кінцевий моменти часу, бо , а (кінцеві точки траєкторій не варіюються). Підставляючи (19) в (18), дістанемо: (20) За рівнянням Лагранжа підінтегральна функція в (20) дорівнює нулю; тому δS = 0. Справедливість принципу доведена. Якщо для функціонала S виконана умова δS = 0, то гово­рять, що значення S стаціонарне. Умова стаціонарності дії δS = 0 вичерпно виражає закон руху механічної системи. Справді, вище показано, що з рівнянь руху Лагранжа випливає рівність δS = 0. Але і, навпаки, з умови δS = 0 випливають рівняння Лагранжа. Так, з довільності δq слідує, що для всіх t підінтегральна функ­ція в (20) дорівнює нулю, тобто випливають рівняння Лагранжа. Принцип стаціонарної дії Остроградського — Гамільтона інколи називають принципом найменшої (екстремальної) дії. З'ясуємо походження цього терміну. 2.2. Принцип екстремальної (найменшої) дії Аналізуючи формулу (15), приходимо до висновку, що значення дії S було б для дійсного руху мінімальним, якби виконувались разом умови δS=0 і δ2S=0 (21) Справді, з формули (15) випливає, що при виконанні умов (21) ряд у правій частині (15) починається з другого до­данку і знак ΔS тоді такий самий, як і знак δ2S, тобто ΔS>0 для будь-яких уявних в розумінні Остроградського рухів. Отже, дві умови (21) достатні для існування мінімуму дії S, тоді як умова стаціонарності ΔS = 0 є лише необхідною умовою мінімуму дії S. Можна довести, що друга варіація дії за Остроградським є додатньою в тому випадку, коли величина проміжку часу руху не перевищує певної границі, окремої для кожного розглядува­ного руху. Нагадаємо, що існування мінімуму дії означає: якщо порів­няти числові значення інтегралів дії S і S̃ – інтегралу дії для дійсного руху із значенням інтегралу дії для уявного кінематично можливого руху, то виявиться, що завжди S<S̃. Нерівність S<S̃ виконується незалежно від вибору уявного руху. Потрібно тільки, щоб кінцеві положення А та В та час уявних рухів (t0, t1) не відрізнялись від них для дій­сного руху і щоб уявний рух був узгоджений з зв'язками. Зміст принципу стаціонарної дії можна тлумачити ще й так: дія S уявного руху (з числа допустимих) відрізняється від дії S для дійсного руху на нескінченно малу величину другого порядку, тоді як дія S̃ одного уявного руху відрізняється від дії для другого уявного руху на нескінченно малу пер­шого порядку. На закінчення зробимо кілька загальних зауважень щодо переваг принципу Остроградського-Гамільтона порівняно з рівняннями руху системи, записаними в інших формах. По-перше, рівняння (17) можна застосувати при якому завгодно способі вибору узагальнених координат системи. Вла­стивість дії S бути мінімальною для дійсного руху не залежить від того, в яких координатах ведуть обчислення інтеграла По-друге, принцип Остроградського-Гамільтона виявляється справедливим і для систем з нескінченною множиною ступенів вільності. Варіаційний принцип поширюється і на немеханічні фізичні процеси: теплові, електромагнітні і т. д.8 В основу теорії електромагнітного поля можна покласти варі­аційний принцип, який є узагальненням принципу Остроградського-Гамільтона, і потім можна вивести з нього як наслідок основні рівняння електродинаміки – так звані рівняння Максвелла. Це виведення рівнянь Максвелла цілком аналогічне до способу виведення рівнянь Лагранжа з принципу Остроградського-Гамільтона в механіці. Принцип стаціонарної дії Ейлера-Лагранжа 2.3.1. Вихідні положення принципу. Цей варіаційний принцип не має такої загальності, як принцип Остроградського-Гамільтона. Прин­цип Ейлера-Лагранжа відповідає рухові механічної системи з стаціонарними зв'язками в потенціальному силовому полі. За цих умов (система консервативна) існує інтеграл енергії T+V=h. (22) Нехай у момент часу t0 система пройшла через деяке поло­ження А в просторі, а в інший момент t1 – через положення В. Домовимось називати момент t0 і положення А початковими, а момент t1 і положення В — кінцевими. Дійсний рух механічної системи порівнюватимемо з уявними її рухами, які повинні задовольняти такі три умови: 1) зв'язки системи не порушуються; 2) повна механічна енергія системи в будь-якому уявному русі незмінна протягом усього часу руху і дорівнює її значенню h у дійсному русі; 3) початкове й кінцеве положення механічної системи повинні бути одні й ті самі для всіх уявних рухів і саме такі, які є для дійсного руху. Крім того, вважатимемо, що уявні рухи починаються одночасно і саме в той момент t0, в який починається дійсний рух з положення А. Кінцевий момент часу, в який система опи­ниться в положенні В, у дійсному русі дорівнює t1, а в уявних залежить від характеру руху і може відрізнятися від t1 на малу величину δt (додатню або від'ємну). Дійсний рух системи з уявними порівнюють так, що розглядають лише ті уявні рухи, які нескінченно близькі (за координатами й швидкостями) до дійсного руху. Уявні рухи механічної системи, що задовольняють всі ці вимоги, називатимемо можливими в розумінні Ейлера — Лагранжа. Переконаємось на прикладі в тому, що моменти приходу механічної системи в кінцеве положення В справді залежать від вибору уявного руху. Розглянемо рух однієї матеріальної точки в стаціонарному силовому полі з потенціальною функцією V(х,у,z). Оскільки уявний рух відбувається з дотриманням закону збереження енергії, то для уявного руху маємо: звідки , (23) де Ṽ — значення потенціальної енергії точки в уявному русі: Ṽ=V(х̃, у̃, z̃) Формула (23) показує, що швидкість руху точки, а значить, і час переміщення її з початкового положення А в кінцеве положення В в уявному русі залежать від форми траєкторії. 2.3.2. Доведення принципу. Нехай голономна система з стаціо­нарними зв'язками рухається в потенціальному силовому полі і V — потенціальна енергія. За вихідне візьмемо загальне рівняння динаміки у вигляді: (індекс k опустимо): (24) де – елементарна робота активних сил на уявному переміщенні; δх, δу, δz – варіації координат точок системи. За правилом диференціювання маємо: (25) У розглядуваному випадку не тільки координати х,у,г, a й час t варіюються. Це видно з того, що час приходу системи в кінцеве положення в уявному русі, як з'ясовано вище, залежить від вибору траєкторії. Тому параметр t тут не можна розглядати як незалежну змінну, що не варіюється. Це означає, що рівність яка вище була доведена для випад­ку, коли t не варіюється, тут не справджується. Згадану рів­ність слід замінити новою. Нову формулу для в розглядуваному загальному випадку легко знайти, вводячи нову незалежну змінну s, від якої, за припущенням, зале­жать х і t (s може бути, наприклад, дугою траєкторії точки). Оскільки властивості варіації аналогічні властивостям диференціалу, то за тими самими правилами, що й для диференціалу, знаходимо: (26) де штрих означає похідну по незалежній змінній s. У формулі (26) δx ́ , δt ́ можна обчислити за правилом тому що –похідні по незалежній змінній s. Тому (27) З формул (26) і (27) знаходимо або, коли зробити заміну та виключити незалежну змінну s, яка вже відіграла свою допоміжну роль, дістанемо: або (28) Ця формула і є узагальненням рівності (8) на випадок, коли варіюються обидві функції х і t. Аналогічно, вводячи незалежну змінну s, обчислимо варі­ацію інтеграла: У правій частині підінтегральний вираз можна розглядати як складну функ­цію незалежної змінної s; межі інтегрування по змінній s вважаються фіксо­ваними. За таких умов операції  і f комутативні [див. (13)]: (29) Обчисливши варіацію добутку двох функцій і підставивши це значення в (29), отримаємо: (30) Ця формула є узагальненням рівності (13) на випадок, коли змінна інте­грування варіюється. Після встановлення двох нових формул (28) і (30) для варіацій продовжимо доведення принципу Ейлера — Лагранжа. На підставі (28) рівність (25) перепишемо так: . Використовуючи цю і дві аналогічні рівності, знайдемо з (24): (31) Третій і четвертий доданки можна переписати, використову­ючи формули для кінетичної енергії системи та її варіації, а саме: Відповідна заміна (в (31)) дає: (32) На підставі закону збереження енергії Т + V = Н знаходимо, що δV=δT. Ліву частину (32) перетворимо і тоді (32) буде: (33) Виключимо далі з лівої частини цієї рівності час на підставі закону збереження енергії: звідки (34) Підставимо (34) в (33) і напишемо індекси, які раніше опускали; в результаті дістанемо: (35) Проінтегруємо цю рівність у дійсному русі системи від почат­кового її положення (А) до кінцевого (В). Інтеграл від правої частини дорівнює нулю, бо кінцеві положення системи в уявному русі такі самі, як і в дійсному (координати кінцевих положень не варіюються). Отже, з (35) знаходимо: