Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 26
на тему:
1.
Рівняння в повних диференціалах Якщо ліва частина диференціального рівняння є повним диференціалом деякої функції , тобто , і, таким чином, рівняння приймає вигляд то рівняння називається рівнянням вповних диференціалах. Звідси вираз є загальним інтегралом диференціального рівняння. Критерієм того, що рівняння є рівнянням в повних диференціалах, тобто необхідною та достатньою умовою, є виконання рівності Нехай маємо рівняння в повних диференціалах. Тоді Звідси де -
невідома функція. Для її визначення продиференціюємо співвідношення по і прирівняємо Звідси . Остаточно, загальний інтеграл має вигляд Як відомо з математичного аналізу, якщо відомий повний диференціал , то можна визначити, взявши криволінійний інтеграл по довільному контуру, що з’єднує фіксовану точку і точку із змінними координатами . Більш зручно брати криву, що складається із двох відрізків прямих. В цьому випадку криволінійний інтеграл розпадається на два простих інтеграла В цьому випадку одразу одержуємо розв’язок задачі Коші. . В деяких випадках рівняння не є рівнянням в повних диференціалах, але існує функція така, що рівняння вже буде рівнянням в повних диференціалах. Необхідною та достатньою умовою цього є рівність , або . Таким чином замість звичайного диференціального рівняння відносно функції одержимо диференціальне рівняння в частинних похідних відносно функції.
Задача інтегрування його значно спрощується, якщо відомо в якому вигляді шукати функцію
, наприклад
де
-
відома функція. В цьому випадку одержуємо Після підстановки в рівняння маємо , або . Розділимо змінні Проінтегрувавши і поклавши сталу інтегрування одиницею, одержимо: . Розглянемо частинні випадки. 1) Нехай
. Тоді І формула має вигляд . 2) Нехай .
Тоді І формула має вигляд 3) Нехай
.Тоді І формула має вигляд . 4) Нехай.
Тоді І формула має вигляд . Використана література:
1. Геращенко. Диференційні рівняння. 2. Хусаінов. Диференційні рівняння.
|