Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 26
Міністерство освіти і науки України
Київський державний торговельно-економічний університет
Коломийський економіко-правовий коледж
З дисципліни „Вища математика”
Розділ
: 7
„Ряди
”
Н
а
тему
:
„Степеневі
ряди
.
Теорема
Абеля
.
Область
збіжності
степеневого
ряду”
Виконала
: Студентка групи Б-13 Комар Ірина
Перевірив
Викладач Лугова Л.Б.
Коломия 2003 План
1. Розвинення функції у степеневий ряд. Контрольні запитання 1. Яке розвинення в степеневий ряд функції ex
. 2. Яке розвинення в степеневий ряд функції sinx. 3. Яке розвинення в степеневий ряд функції cosx. 4. Яке розвинення в степеневий ряд функції ln(1+x). 5. Яке розвинення в степеневий ряд функції arctgx Література 1. Соколенко О.І. Вища математика: Підручник. – К.: Видавничий центр „Академія”, 2002. – 432с. Розвинення в степеневі ряди функцій, ex
, sinx,cosx Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа для функціїf(x)=ex
має вигляд (1) Нехай R– довільне фіксоване додатне число. Якщо xє (-R; R), то (2) Позначивши через , матимемо (3) За ознакою Д’Аламбера ряд а1
+а2
+…an
+… збіжний, тому . Звідси дістанемо (4) для всіх x є (-R;R). Оскільки число Rбуло взято довільно, рівність правильна для всіх Х є За теоремою Д’Аламбера функція f(x)=ex
в інтервалі , який розвивається в степеневий ряд, який для цієї функції має вигляд. . (5) Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа для функції f(x)=sinx має вигляд (6) Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа легко оцінюється зверху: , (7) Вище було показано, що для всіх R>0. Тому для всіх х є правильною є рівність Звідси дістанемо (8) для всіх х є . Функція f(x)=sinx в інтервалі розвивається в степеневий ряд, який для цієї функції має вигляд . (9) Аналогічно можна діяти при розвиненні в степеневий ряд функціїf(x)=cosx.Однак простіше скористатись теоремою, згідно з якою степеневий ряд в інтервалі збіжності можна диференціювати почленно. Про диференціювавши почленно попередній ряд, матимемо (10) Розвинення в степеневий ряд функції ln(1+x). Правильною є рівність (геометрична прогресія із знаменником, що дорівнює –x).Попередній степеневий ряд можна почленно інтегрувати на проміжку з кінцями 0 таx,де -1 x 1.Виконавши це дістанемо (11) Оскільки На підставі двох останніх рівностей знаходимо (12) Розвинення в степеневий ряд функціїarсtgx.Знаючи, що для х є (-1;1) правильною є рівність. (чому це так?),по членним інтегруванням її дістанемо Оскільки, остаточно маємо Приклади 1. Розвинути функцію у степеневий ряд в околиці точки х0
=2. Виконаємо над заданою функцією тотожні перетворення, такі, щоб під знаком функції одержати вираз (х-2) Тепер скористаємось формулою (10), ф яку замість х підставимо Тоді . Записаний ряд збігається до заданої функції при , тобто при Таким чином, 2. Розвинути в ряд Макларена функцію Маємо таке розвинення Підставивши сюди замість х змінну –х, дістанемо Віднявши від першої рівності другу, знайдемо
|