Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 26
Задача 16
. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра 16.1. x0
= 3a√3/8 y0
= a/8 x'= 3a sin2
tcost y'= -3a cos2
tsint y'x
= -tgt y'x0
= -√3 Касательная y – a/8= -√3(x-3a√3/8) y+√3x – 10a/8=0 Нормаль y – a/8= 1/√3*(x-3a√3/8) √3y – x +2√3a/8=0 16.2. x0
= √3/2 y0
= √3/2 x'= -√3sint y'= cost y'x
= -√3/3*ctgt y'x
0
= -1/3 Касательная y - √3/2= -1/3*(x-√3/2) y+1/3*x - 4√3/6=0 Нормаль y - √3/2= 3*(x-√3/2) y-3x+√3=0 16.3. x0
= a(π/3-√3/2) y0
= a/2 x'= a(1-cost) y'= asint y'x
= sint/(1-cost) y'x0
= √3 Касательная y-a/2= √3(x-a(π/3-√3/2)) y-√3x-2a+πa/√3=0 Нормаль y-a/2= -1/√3(x-a(π/3-√3/2)) y+x/√3-πa/3√3=0 16.4. x0
= 1 y0
= 2 x'= 2-2t y'= 3-3t2
y'x
= 3/2*(1+t) y'x
0
= 3 Касательная y-2=3(x-1) y-3x+1=0 Нормаль y-2=-1/3(x-1) y+x/3-7/3=0 16.5. x0
= 3/2 y0
= 1/2 x'= (2+2t)(1+t3
)-3t2
(2t+t3
)
= 2+2t-4t3
-t4
(1+t3
)2
(1+t3
)2
y'= (2-2t)(1+t3
)-3t2
(2t-t3
)
= 2-2t-4t3
+t4
(1+t3
)2
(1+t3
)2
y'x
= 2-2t-4t3
+t4
2+2t-4t3
-t4
y'x0
= 3 Касательная y-1/2=3(x-3/2) y-3x+4=0 Нормаль y-1/2=-1/3(x-3/2) y+x/3-1=0 16.6. x0
= 5π/4 y0
= π/4 x'= √(1+t2
)-t2
/√(1+t2
)
= 1/(1+t2
) √(1-t2
/(1+t2
))(1+t2
) y'= -t
= -1/(1+t2
) √(1-1/(1+t2
))√(1+t2
)3
y'x
= -1 y'x0
= -1 Касательная y-π/4=-(x-5π/4) y+x-6π/4=0 Нормаль y-π/4=x-5π/4 y-x+π=0 16.7. x0
= π√2(π-8)/32 y0
= π√2(π+8)/32 x'= -2sint-t2
sint y'= 2cost+t2
cost y'x
= -ctgt y'x0
= -1 Касательная y-π√2(π+8)/32= -(x-π√2(π-8)/32) y+x-π2
√2/16 = 0 Нормаль y-π√2(π+8)/32= x-π√2(π-8)/32 y+x+π2
√2/2 = 0 16.8. x0
= 6a/5 y0
= 12a/5 x'= 3a-3at2
y'= 6at y'x
= 2t/(1-t2
) y'x
0
= -4/3 Касательная y-12a/5 = -4/3(x-6a/5) y+4x/3-4a=0 Нормаль y-12a/5 = 3/4(x-6a/5) y-0.75x-1.5a=0 16.9. x0
= 1 y0
= 2 x'= -(2tgt+1)/sin2
t y'= 1/cos2
t-1/sin2
t y'x
= cos2t _
cos2
t(2tgt+1) y'x0
= 0 Касательная y=2 Нормаль x=1 16.10. x0
= 0 y0
= 0 x'= t-t3
y'= t+t2
y'x
= 1/(1-t) y'x
0
= 1 Касательная y= x Нормаль y= -x 16.11. x0
= 0 y0
= aπ/2 x'= acost-atsint y'= asint+atcost y'x
= sint+tcost
cost-tsint y'x
0
= -2/π Касательная y-aπ/2+2x/π=0 Нормаль y-aπ/2-πx/2=0 16.12. x0
= 1/2 y0
= √3/2 x'= cost y'= -sint y'x
= -tgt y'x0
= -√3/3 Касательная y-√3/2= -√3/3(x-1/2) y+x√3/3-2√3/3=0 Нормаль y-√3/2= √3(x-1/2) y=x√3 16.13. x0
= π/4 y0
= π/4 x'= √(1+t2
)-t2
/√(1+t2
)
= 1/(1+t2
) √(1-t2
/(1+t2
))(1+t2
) y'= -t
= -1/(1+t2
) √(1-1/(1+t2
))√(1+t2
)3
y'x
= -1 y'x0
= -1 Касательная y-π/4=-(x-π/4) y+x-π/2=0 Нормаль y-π/4=x-π/4 y=x 16.14. x0
= 1 y0
= 3 x'= (-1-2lnt)/t3
y'= (-1-2lnt)/t2
y'x
= t y'x0
= 1 Касательная y-3=x-1 y-x-2=0 Нормаль y-3=-x+1 y+x-4=0 16.15. x0
= 3/4 y0
= 11/8 x'= (-t-2)/t3
y'= (-3-2t)/t3
y'x
= (3+2t)/(t+2) y'x
0
= 7/4 Касательная y-11/8=7/4(x-3/4) y-7/4x-1/16=0 Нормаль y-11/8= -4/7(x-3/4) y+4/7x-53/56=0 16.16. x0
= a/8 y0
= a3√3/8 x'= 3asin2
tcost y'= -3acos2
tsint y'x
= -ctgt y'x0
= -√3 Касательная y-a3√3/8= -√3(x-a/8) y+x√3-a√3/2=0 Нормаль y-a3√3/8= √3/3(x-a/8) y-x√3/3-a√3/3=0 16.17. x0
= a√2(π+4)/8 y0
= a√2(8-π)/8 x'= atcost y'= atsint y'x
= tgt y'x
0
= 1 Касательная y-a√2(8-π)/8=x-a√2(π+4)/8 y-x+a√2(π-2)/4=0 Нормаль y-a√2(8-π)/8= -x+a√2(π+4)/8 y+x+a3√2/2=0 16.18. x0
= 0 y0
= 2 x'= -1/t2
y'= 1/t2
y'x
= -1 y'x
0
= -1 Касательная y+x-2= 0 Нормаль y-x-2=0 16.19. x0
= -3 y0
= -6 x'= -2t y'= 1-3t2
y'x
= (3t2
-1)/2t y'x0
= 11/4 Касательная y+6= 11/4(x+3) y-11/4x +13/4=0 Нормаль y+6= -4/11(x+3) y+4/11x+78/11=0 16.20. x0
= ln2 y0
= 1-π/4 x'= 2t/(1+t2
) y'=1-1/(1+t2
)=t2
/(1+t2
) y'x
= t/2 y'x
0
= 1/2 Касательная y-1+π/4= 1/2(x-ln2) y-1/2x+1/2ln2+π/4=0 Нормаль y-1+π/4= -2(x-ln2) y+2x-2ln2+π/4=0 16.21. x0
= 0 y0
= 0 x'= 1-sint-tcost y'= cost-tsint y'x
= (cost-tsint)/(1-sint-tcost) y'x0
= 1 Касательная y=x Нормаль y=-x 16.22. x0
= 3 y0
= 2/3 x'= t4
-2t2
-2t
(t2
-1)2
y'= (-t2
-1)/(t2
-1)2
y'x
= (-t2
-1)/(t4
-2t2
-2t) y'x0
= -5/4 Касательная y-2/3= -5/4(x-3) y+5/4x-53/12=0 Нормаль y-2/3= 4/5(x-3) y-4/5x+26/15=0 16.23. x0
= 3√2/2 y0
= 2√2 x'= -3sint y'= 4cost y'x
= -4/3*tgt y'x
0
= -4/3 Касательная y-2√2= -4/3(x-3√2/2) y+4/3x-4√2=0 Нормаль y-2√2= 3/4(x-3√2/2) y-3/4x-7√2/8=0 16.24. x0
= 0 y0
= 0 x'= 1-4t3
y'= 2t-3t2
y'x
= (2t-3t2
)/(1-4t3
) y'x0
= 1/3 Касательная y=1/3x Нормаль y= -3x 16.25. x0
= 2 y0
= 3 x'= 3t2
y'= 2t+1 y'x
= (2t+1)/(3t2
) y'x
0
= 1 Касательная y-3=x-2 y-x-1=0 Нормаль y-3= -x+2 y+x-5=0 16.26. x0
= 1 y0
= -√3/2 x'= -2sint y'= cost y'x
= -1/2*ctgt y'x0
= √3/6 Касательная y+√3/2= √3/6(x-1) y-x√3/6+2√3/3=0 Нормаль y+√3/2= -2√3(x-1) y+2x√3-2√3+√3/2=0 16.27. x0
= 2 y0
= 2 x'= 2/cos2
t y'= 2sin2t+2cos2t y'x
= (sin2t+cos2t)/cos2
t y'x
0
= 2 Касательная y-2= 2(x-2) y-2x+2=0 Нормаль y-2= -1/2(x-2) y+x/2-3=0 16.28. x0
= -7 y0
= 4 x'= 3t2
y'= 2t y'x
= 2/(3t) y'x0
= -1/3 Касательная y-4= -1/3(x+7) y+x/3-5/3=0 Нормаль y-4= 3(x+7) y-3x-25=0 16.29. x0
= 0 y0
= 1 x'= cost y'= at
lna y'x
= at
lna/cost y'x
0
= lna Касательная y-1-xlna=0 Нормаль y-1+x/lna=0 16.30. x0
= 1/2 y0
= 1/2 x'= cost y'= -2sin2t y'x
= -4sint y'x0
= -2 Касательная y-1/2= -2(x-1/2) y+2x-3/2=0 Нормаль y-1/2= 1/2(x-1/2) y-x/2-1/4=0 16.31. x0
= 2 y0
= 2 x'= 2et
y'= -e-t
y'x
= -1/(2e2t
) y'x0
= -1/2 Касательная y-2= -1/2(x-2) y+x/2-3=0 Нормаль y-2= 2(x-2)
|