Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 25
У курсі “Математичне програмування” та в деяких економічних дослідження використовуються поняття опуклої лінійної комбінації векторів та опуклої множини. Спочатку ознайомимось з поняттям опуклої лінійної комбінації векторів. Нехай на площині задані точки А1
та А2
, що визначають відрізок А1
А2
, зображений на Малюнку 1. Знайдемо радіус-вектор довільної точки М цього відрізка через радіуси-вектори 1
та 2
точок А1
та А2
. Вектори колінеарні і однаково напрямлені, тому вони пропорційні. Отже, існує таке t, що: Звідси одержимо: Якщо позначити 1 – t = t1
, t = t2
, то остання рівність прийме вигляд (1) (2) Означення. Опуклою лінійною комбінацією векторів 1
та 2
називають комбінацією (1) цих векторів при умові (2). Рівняння (1) з умовою (2) можна зрозуміти як векторне рівняння відрізка А1
А2
. Означення. Опуклою лінійною комбінацією kn-вимірних векторів
називають комбінацію (3) при умовах (4) Наприклад. Лінійна комбінація , має , тому вона опукла. Означення. Опуклою множиною називається множина, дві довільні точки якої визначають відрізок, що належить цій множині. Відрізок, півпряма, пряма, кут менший 1800
, коло, півплощина, куб, тетраедр, куля – опуклі множини. На малюнку 2 зображені різні множини. У випадках а) – с) ці множини опуклі, у випадках d) – е) вони неопуклі. Означення. Граничною точкою множини називають таку точку, в околі якої, як завгодно малого радіуса з центром в цій точці, є точки, що належать множині, і є точки, що не належать множині. Границею множини називається сукупність всіх її граничних точок. Множина, якій належить її границя, називається замкненою. Опуклі замкнені множини бувають обмеженими і не обмеженими. Множина називається обмеженою, якщо існує таке число с > 0, що відстань довільної точки М множини від початку координат обмежена, тобто |ОМ| < 0. Означення. Опукла замкнена множина в n вимірному просторі, що має скінченне число кутових точок, називається опуклим n вимірною многогранною множиною, якщо вона не обмежена. Кутові точки називають вершинами, відрізки, що сполучають дві сусідні вершини, називають ребрами. Означення. Опорною прямою многокутника в двовимірному просторі називається пряма, яка має з многокутником, розташованим по одну сторону від неї, принаймні одну спільну точку. Опорна пряма з многокутником може мати спільну вершину або ребро. Останні поняття узагальнюються на випадок n вимірного простору. Означення. Опорною гіперплощиною опуклої замкненої множини n вимірного простору називається гіперплощина, що має з цією множиною, розташованою по одну сторону від неї, хоч би одну спільну точку.
|