Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 25
Пошукова робота
на тему:
Основні правила диференціювання. Таблиця похідних.
П
лан
1. Правила диференціювання
Операція знаходження похідної від даної функції називається диференціюванням цієї функції. Доведемо ряд теорем, які дають основні правила знаходження похідних від функцій. 10
. Похідна від аргументу
. Покладемо
, тоді
. Тому
. Отже, якщо
, то
. (6.14) 1. Похідна від сталої функції
. Значення цієї функції у точках
і
рівні між собою при будь-якому
. Тому приріст
, а отже й
. Перейшовши до границі, в останній рівності при
маємо
. Границя відношення
при
існує і дорівнює нулю. Тому існує й похідна від цієї функції в довільній точці
, яка теж дорівнює нулю, тобто
. (6.15) 3. Похідна від суми. Теорема.
Якщо функції
в точці
мають похідні, то функція
також в цій точці має похідну і ця похідна
дорівнює
. (6.16) Д о в е д е н н я. Надамо
деякого
. Тоді функції
матимуть прирости
, функція
- приріст
. Знайдемо відношення
. Перейдемо в цій рівності до границі при
. Внаслідок того, що
в точці
згідно з умовою теореми мають похідну, то
,
. Тому
Отже, в цій точці
існує похідна від функції
і вона дорівнює
. Теорему доведено. Наслідок
. Похідна від суми скінченого числа функцій дорівнює сумі похідних від цих функцій, якщо похідні даних функцій існують, тобто
(6.17) 4. Похідна від добутку. Теорема
. Якщо функції
в точці
мають похідні, то в цій точці функція
також має похідну:
. (6.18) Д о в е д е н н я. Надамо
деякого приросту
. Тоді функції
матимуть прирости
, а функція
приріст
Знайдемо відношення
Перейдемо в цій рівності до границі
. За умови теореми
а
Отже,
Теорему доведено. Наслідок
. Постійний множник можна виносити за знак похідної, тобто, якщо
, то
(6.19) 5. Похідна від частки. Теорема
. Якщо функції
в точці
мають похідні і
, то функція
також у точці
має похідну і похідна
дорівнює
(6.20) Д о в е д е н н я. Надамо
приросту
. Тоді функції
матимуть відповідно прирости
, а функція
- приріст
Знайдемо відношення
За умовою теореми
а
, тому
Теорему доведено. Наслідок
1. Якщо знаменник дробу - стала величина, то
(6.21) Наслідок
2. Якщо чисельник дробу стала величина, то
(6.22) 6. Похідна від оберненої функції. Теорема.
Нехай функція
задовольняє всім умовам теореми про існування оберненої функції і в точці
має похідну
. Тоді обернена до неї функція
у точці
має також похідну:
. Д о в е д е н н я. Надамо
приросту
. Тоді функція
дістане приріст
, причому, внаслідок монотонності функції
, матимемо
, якщо
. Тоді відношення
можна записати так:
Перейдемо в цій рівності до границі при
. Внаслідок неперервності оберненої функції
, тобто
Отже, від функції
в точці
існує похідна:
(6.23) Теорему доведено. Якщо функція
має похідну в довільній точці і
, то формула (6.23) справджується для цих точок
або, що те саме,
(6.24) У формулі (6.24) похідні знаходяться за різними змінними:
- похідна від
до
, а
- похідна від
до
. Тому формулу (6.24) записують
(6.25) Нижній індекс показує, за якою змінною знаходиться похідна. Для зручності поміняємо у формулі (6.25) місцями
і
. Остаточно матимемо таку формулу для похідної від оберненої функції:
(6.26) 2. Похідні від елементарних функцій
Похідна від степеневої функції
Випадок натурального показника.
Нехай
, де
- натуральне число. Тоді функція
визначена на всій числовій осі. Отже, візьмемо довільну точку
і надамо їй приросту
. Тоді функція
матиме приріст
:
Розкриємо
за формулою бінома Ньютона:
Знайдемо відношення
Перейшовши в цій рівності до границі при
, дістаємо
Отже похідна
від степеневої функції
з натуральним показником існує і дорівнює
Випадок довільного показника
. Нехай
є довільне дійсне число. Тоді область існування функції залежить від
. Нехай
- область існування функції
. Візьмемо довільне
, але
(випадок
розглянемо окремо). Тоді приріст
дорівнює
Знайдемо відношення
або
(6.28) де
. Перейдемо до границі у рівності (6.28) при
. Зауважимо, що коли
, то й
. Тому
(6.29) Обчислимо окремо
Для цього введемо таке позначення:
причому
, якщо
. Тоді
звідки
. Тоді
Проте внаслідок неперервності логарифмічної функції маємо
Отже,
Повертаючись до співвідношення (6.29), маємо
тобто якщо
і
, то
(6.30) Розглянемо випадок, коли
. Якщо
, то точка
не входить в область існування функції
. Тому розглядатимемо
і
. Знайдемо приріст функції в точці
:
тоді
Звідси випливає, що у випадку
границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля, існує і дорівнює нулю:
Якщо
, то границя
не існує, тобто у випадку
функція
в точці
похідної немає. Проте, якщо формально у формулі (6.30) покласти
, то дістанемо той самий результат. Отже, для похідної від степеневої функції ми маємо таке правило: похідна від степеневої функції дорівнює показнику, помноженому на цю функцію з показником, на одиницю меншим. 3. Похідна від показникової та логарифмічної функцій
1. Нехай маємо показникову функцію
. Знайдемо в довільній точці
приріст
:
Тоді
Перейдемо тут до границі при
. Маємо
Таким чином, похідна від показникової функції
існує в довільній точці
і дорівнює
(6.31) Зокрема,
(6.32) 2. Нехай маємо логарифмічну функцію
, де
. Згідно з означенням логарифмічної функції маємо таку рівність:
Оскільки
, то
Отже,
(6.33) Зокрема,
(6.34) 4. Похідні від тригонометричних функцій
1.
. Знайдемо приріст функції
в довільній точці
:
Знайдемо відношення
Перейдемо в цій рівності до границі при
:
Отже похідна від функції
існує в довільній точці
і дорівнює
(6.35) 2.
. Аналогічно доводиться, що від функції
в довільній точці
існує похідна, яка дорівнює
(6.36) 3. Зобразимо
у вигляді
Скориставшись формулою (6.20), маємо
Отже,
(6.37) 4.
. Аналогічно можна довести, що
(6.38) 5. Похідні обернених тригонометричних функцій
1.
, де
,
. Тоді згідно з означенням функції
маємо таку рівність:
причому похідна
при
не дорівнює нулю. Тому для знаходження похідної від
можна скористатися формулою (6.24):
Оскільки
, то
набуває тільки додатних значень. Тоді можна записати:
Отже, остаточно
(6.39) 2. Аналогічно можна вивести формули похідних
(6.40)
(6.41)
(6.42) 6. Похідна від складної функції
Функція однієї змінної.
Теорема.
Нехай маємо складну функцію
і нехай: 1) зовнішня функція
в точці
має похідну (по
)
; 2) внутрішня функція
в точці
має похідну (по
)
. Тоді складна функція
в точці
також має похідну (по
), яка дорівнює добутку похідних від зовнішньої
і внутрішньої
функції, тобто
або
(6.43) Правило знаходження похідної від складної функції: щоб знайти похідну від складної функції, треба знайти похідну від зовнішньої функції за зовнішнім аргументом і результат помножити на похідну від внутрішньої функції за внутрішнім аргументом. Зауваження
. Ця теорема може бути узагальнена і на той випадок, коли аргумент внутрішньої функції є, в свою чергу, функцією від іншого аргументу. Так, якщо маємо функції
і кожна з них у відповідних точках має похідні, то функція
має похідну по
, яка дорівнює
Приклади.
1. Знайти похідну від функції
. Р о з в ’ я з о к. Введемо позначення
. Тоді матимемо складну функцію
і
задовольняють умовам теореми для
. Отже,
2. Знайти похідну від функції
. Р о з в ’ я з о к. Введемо позначення
. Тоді матимемо складну функцію
,
. Тому
Похідна від степенево-показникової функції.
Означення
. Функція
, де
і
- функції
, називається степенево-показниковою функцією. Степенево-показникову функцію не можна диференціювати ні за формулою похідної степеневої функції, ні за формулою показникової функції, оскільки вона не є ні тою ні другою. Одержимо окрему формулу. Нехай дана функція
, де
. Прологарифмувавши обидві частини рівності, маємо
Диференціюємо обидві частини цієї рівності по
як складні функції:
Звідси
або
(6.44) Правило диференціювання степенево-показникової функції: щоб продиференціювати степенево-показникову функцію, достатньо знайти від неї похідну як від показникової функції (тимчасово вважаємо основу
сталою), похідну як від степеневої функції (вважаємо показник
сталим) та результати додати. Приклади
. 1. Знайти похідну від функції
. Р о з в ’ я з о к.
2. Знайти похідну від функції
. Р о з в ’ я з о к.
Зауваження
. Застосований в цьому параграфі прийом для знаходження похідних, коли спочатку знаходять похідну логарифму даної функції, широко використовується при диференціюванні функцій. Цей прийом часто спрощує обчислення. Приклад
. Знайти похідну від функції
Р о з в ’ я з о к. Логарифмуючи, знаходимо
Диференціюємо обидві частини цієї рівності:
Звідси
Похідна від складної функції кількох змінних.
Із означення безпосередньо випливає правило знаходження частинних похідних функції
: щоб знайти частинну похідну від функції
за одним із її аргументів, потрібно обчислити похідну від функції
за цим аргументом, вважаючи інші аргументи постійними . Приклади
. 1. Знайти частинні похідні від функції
Р о з в ’ я з о к.
2. Знайти частинні похідні від функції
Р о з в ’ я з о к.
Нехай задана функція
, аргументи якої
і
є функціями незалежної змінної
:
Нехай
має по
і
неперервні частинні похідні
і
і існують
і
. Тоді можна довести існування похідної складної функції
і одержати формулу для її обчислення:
(6.45) Приклад
. Знайти похідну від функції
, якщо
,
. Р о з в ’ я з о к.
Якщо, зокрема,
,
, тобто, якщо один із аргументів функції
є незалежна змінна, а другий - його функція, то формула (6.45) (покласти в ній
) дає вираз повної похідної від функції
по
:
(6.46) Нехай
є складною функцією не однієї, а кількох незалежних змінних
і
. Нехай
має неперервні частинні похідні по
і по
, а
і
мають частинні похідні по
. За таких умов формула диференціювання складної функції
записується так:
(6.47)
....
Приклад
. Знайти частинні похідні від функції
, якщо
,
. Р о з в ’ я з о к.
|