Розв'язування задач сфероїдної геодезії МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ВОДНОГО ГОСПОДАРСТВА ТА ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ СЛОВ’ЯНСЬКИЙ НКЦ Курсова робота З дисципліни: ВИЩА ГЕОДЕЗІЯ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ СФЕРОЇДНОЇ ГЕОДЕЗІЇ Виконав: студент групи ЗВК – 42 Нікітін О.О. Слов’янськ 2010 р. ЗМІСТ трикутник лежандр аддитамент геодезичний Вступ Завдання 1. Обчислення довжини дуги меридіану Завдання 2. Обчислення довжини дуги паралелі Завдання 3. Обчислення довжини сторін та площі знімальної трапеції Завдання 4. Наближене розв’язування трикутників за теоремою Лежандра Завдання 5. Наближене розв’язування трикутників способом аддитаментів Завдання 6. Розв’язування прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки (спосіб Шрейбера) Завдання 7. Розв’язування прямої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами Завдання 8. Розв’язування оберненої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами Завдання 9. Пряма задача проекції Гауса-Крюгера (перехід з поверхні еліпсоїду на площину) Завдання 10. Розрахунок геодезичних координат пункту за плоскими прямокутними координатами Вступ Визначення параметрів земного еліпсоїда і форми земної поверхні становить велику наукову зацікавленість та має важливе значення для практичної і інженерної геодезії, для топографії і картографії, а також для багатьох суміжних наук: астрономії, геофізики, геодинаміки тощо. Вивчення геометрії земного еліпсоїда та методів розв’язування задач на його поверхні складає вагому частину змісту курсів "Основи вищої геодезії" та "Вища геодезія". Ці питання, а також питання зображення поверхні еліпсоїда на площині відносяться до частини вищої геодезії, яка історично отримала назву "сфероїдна геодезія". Вища геодезія вивчає фігуру та зовнішнє гравітаційне поле Землі, методи створення систем геодезичних координат на всю поверхню Землі або на окремі її ділянки, а також способи визначення положення точок земної поверхні в тій чи іншій системі координат. Завдання вивчення фігури та гравітаційного поля Землі, як основної задачі вищої геодезії, розв’язується за результатами вимірів на земній поверхні. Це геодезичні виміри в мережах тріангуляції, трилатерації, полігонометрії та нівелювання 1 класу, а також супутниково-навігаційні спостереження з метою визначення координат точок земної поверхні. Методи постановки та виконання вказаних вимірів складають предмет першої частини вищої геодезії. Друга частина вищої геодезії – теоретична основа розв’язування основної задачі. В ній розглядаються і встановлюються аналітичні залежності між результатами вимірів і фігурою Землі та її гравітаційним полем. Вища геодезія, в тому числі її частини - сфероїдна геодезія та теоретична геодезія, є однією із основних дисциплін, що забезпечує необхідну теоретичну і практичну спеціальну підготовку фахівців геодезичного профілю. Завдання 1. Обчислення довжини дуги меридіану А1 – точка на меридіанному еліпсі з широтою В1 . А2 – точка на меридіанному еліпсі з широтою В2 . Загальна формула для дуги меридіану довільної довжини: (4) A,B,C,D – сталі коефіцієнти прийнятого референт-еліпсоїду; ρ – число кутових одиниць в одному радіані; - середня широта дуги А1 А2 . Формула для довжини дуги меридіану при обчисленнях в тріангуляції на віддалі порядку сотень кілометрів: (6) Радіус кривизни меридіану перерізу Mm обчислюється за середньою широтою Bm . За умови точності широти точки mB = ±0.0001" всі зазначені формули забеспечують середню квадратичну помилку довжини дуги меридіану mS = ±0.001 м. Вихідні дані Номер варіанту №8 В1 48º30′48.1111" - 8′ 48º22′48.1111" 48,38003086 В2 49º30′49.1111" + 8′ 49º38′49.1111" 49,64700617 Сталі величини a 6378245 м e2 0,00669342 ρº 57,29577951 A 1,00506238 B 0,00506238 C 0,00001062 D 0,00000002 Обчислення довжини дуги меридіану за формулою (4): Позначення дій Результати 49,01351852 6335552,727 0,02222460 - 0,00001563 - 0,00000022 0,00000000 s (м) 140902,722 Обчислення довжини дуги меридіану за формулою (6): Позначення дій Результати 0,99809115 6371972,436 140902,730 - 0,00000005 s (м) 140902,723 Завдання 2. Обчислення довжини дуги паралелі А1 та А2 – точка на паралелі з широтою В. L1 та L2 довготи точок А1 та А2 . Паралель на земному еліпсоїді утворює коло. Радіус r паралелі з широтою В виражається формулою: N – радіус кривизни перерізу першого вертикалу. Переріз першого вертикалу – це крива на поверхні еліпсоїду, утворена перетином поверхні еліпсоїду нормальною площиною, яка перпендикулярна до площини меридіанного перерізу у даній точці. - перша функція геодезичної широти; a – велика піввісь та e – перший ексцентриситет референт-еліпсоїду. Дуга паралелі між точками А1 та А2 є дугою кола з центральним кутом, який дорівнює різниці довгот кінцевих точок дуги λ = L2 – L1 . Довжина s дуги паралелі з широтою В, яка відповідає різниці довгот λ = L2 – L1 , виражається формулою . Остаточно: (10) За умови точності широти і довгот точок mB = mL ±0.0001" формула (5) забеспечує середню квадратичну помилку довжини дуги паралелі mS = ±0.001 м. Вихідні дані Номер варіанту №8 B 48º30′48.1111" - 8′ 48º22′48.1111" 48,38003086 L1 25º30′25.1111" - 8′ 25º22′25.1111" 25,37364197 L2 27º30′27.2222" + 8′ 27º38′27.2222" 27,64089506 Сталі величини a 6378245 e2 0,00669342 ρº 57,29577951 Обчислення довжини дуги паралелі за формулою (10): Позначення дій Результати 2,26725309 0,99812791 6390208,045 s (м) 167951,005 Завдання 3. Обчислення довжини сторін та площі знімальної трапеції Сторони знімальної трапеції чи листа карти заданого масштабу є лініями меридіанів та паралелей на поверхні земного еліпсоїду. Тому обчислення натуральних розмірів та площі знімальної трапеції – це визначення частини поверхні еліпсоїду в межах ліній меридіанів та паралелей, які окреслюють лист карти заданого масштабу. Розміри знімальної трапеції на поверхні еліпсоїду описуються наступними параметрами: - південна a1 та північна a2 сторони, які на поверхні еліпсоїду є дугами паралелей з широтами B1 і B2 , та окреслюються меридіанами з довготами L1 і L2 ; - західна та східна сторони с , які на поверхні еліпсоїду є дугами меридіанів, окреслених паралелями з широтами B1 і B2 , тому завжди рівні між собою; - діагональ d трапеції: (11) Формули розрахунку довжин дуг a1 та a2 на широтах відповідно B1 і B2 : (12) (13) Для вираження площі трапеції P маємо робочу формулу вигляду: , (15) де b – мала піввісь і A’,B’,C’ – сталі коефіцієнти прийнятого референц-еліпсоїду. Формула забезпечує розрахунок площі трапеції із середньою квадратичною помилкою не більше mp = ±0,0005 км2 . Задано геодезичні координати точки А(BA , LA ) на поверхні земного еліпсоїду. Визначити приналежність точки А знімальній трапеції масштабу 1:50000, номенклатуру та геодезичні координати рамки відповідного листа карти і розрахувати довжини сторін та площу цієї трапеції. Вихідні дані Номер варіанту №8 BA 48º01′01.1111" + 7′*8 48,95030864 LA 22º11′11.1111" + 30′*8 26,18641975 Сталі величини Геодезичні координати сторін трапеції B1 48º50′ 48,83333333 B2 49º00′ 49,0 L1 26º00′ 26,0 L2 26º15′ 26,25 Обчислення довжини сторін трапеції за формулами (11),(12),(13),(14). Позначення дій Результати Позначення дій Результати 0,99810160 0,99809194 6390376,482 6390438,348 18354,212 18293,253 (см карти) 36,71 (см карти) 36,59 48,91666667 0,998096769 6371864,921 с (м) 18535,004 d (м) 26063,473 с (см карти) 37,07 d (см карти) 52,13 Обчислення площі трапеції за формулою (15). Позначення дій Результати Позначення дій Результати 352641,2223 0,00095901 -0,00000410 -0,00000001 Р (км2 ) 339,630 Р (га) 33963,07 Завдання 4. Наближене розв’язування трикутників за теоремою Лежандра Після визначення кінцевих значень виміряних кутів або напрямів у тріангуляції на поверхні еліпсоїду розпочинають розв’язування трикутників, яке зводиться до послідовного обчислення довжин їх сторін за одним виміряним базисом і кутами трикутників. При довжинах сторін до 90 км розбіжностями між поверхнею еліпсоїду і сферою можна нехтувати, а трикутники вважати сферичними. Теорема Лежандра: Малий сферичний трикутник АВС можна розв’язувати як плоский, якщо кожний з його кутів А, В, С зменшити на третину сферичного надлишку. Розв’язати два малих сферичних трикутники, зображених на схемі, якщо: - довжина вихідної сторони с1 = (60000 – 500*8) метрів; - середня широта Bm = 48º01′01.1111" + 7′*8. Виміряні сферичні кути трикутників приведено в таблиці. Вихідні дані Номер варіанту №8 Довжина вихідної сторони с1 = (60000 – 500*8) 56000 Середня широта 48º57′01.1111" 48,95030864 Сталі величини b 6356863,019 e2 0,00669342 ρº 57,29577951 Результати вимірів кутів № трикутника Позначення кутів Виміряні сферичні кути 1 A1 78º27′09.18" B1 51º33′02.51" C1 49º59′51.20" 2 A2 59º25′19.10" B2 51º46′48.52" C2 68º47′54.33" Робочі формули: Радіус сфери 6381154,368 м. Трикутник №1: ; ; ; . Трикутник №2: ; ; ; . Відомість наближеного розв’язування трикутників Верш. Виміряні сферичні кути Виправлені сферичні кути Виправлені плоскі кути Синуси кутів Довжини сторін C 49º59′51.20" 1,689 49º59′52.888" -2,652 49º59′50.237" 0,76601402 56000,000 B 51º33′02.51" 1,689 51º33′04.198" -2,652 51º33′01.547" 0,78315577 57253,160 A 78º27′09.18" 1,689 78º27′10.868" -2,652 78º27′08.217" 0,97975833 71625,930 Σ1 180º00′02.89" 5,066 180º00′07.956" -7,956 180º00′00" ε1 7,956 w1 -5,066 D 59º25′19.10" 3,035 59º25′22.134" -3,685 59º25′18.450" 0,86093557 71625,930 B 51º46′48.52" 3,035 51º46′51.554" -3,685 51º46′48.870" 0,78564059 65361,729 C 68º47′54.33" 3,035 68º47′57.364" -3,685 68º47′53.680" 0,93231272 77564,185 Σ2 180º00′01.95" 9,105 180º00′11.052" -11,055 180º00′00" ε2 11,055 w2 -9,105 Завдання 5. Наближене розв’язування трикутників способом аддитаментів Аддитаменти – це поправки до сторін сферичного трикутника, з врахуванням яких його можна розв’язати за сферичними кутами на основі теореми синусів плоскої тригонометрії. Отже, для сторони b , для сторони с . Числові значення аддитаментів невідомих сторін можна розрахувати за приблизними значеннями їх довжин та . Розв’язати два малих сферичних трикутники, зображених на схемі, якщо: - довжина вихідної сторони с1 = (60000 – 500*8) метрів; - середня широта Bm = 48º01′01.1111" + 7′*8. Виміряні сферичні кути трикутників приведено в таблиці. Вихідні дані Номер варіанту №8 Довжина вихідної сторони с1 = (60000 – 500*8) 56000 Середня широта 48º57′01.1111" 48,95030864 Сталі величини b 6356863,019 e2 0,00669342 ρº 57,29577951 Результати вимірів кутів № трикутника Позначення кутів Виміряні сферичні кути 1 A1 78º27′09.18" B1 51º33′02.51" C1 49º59′51.20" 2 A2 59º25′19.10" B2 51º46′48.52" C2 68º47′54.33" Робочі формули: Трикутник №1: ; ; ; . Трикутник №2: ; ; ; . Відомість наближеного розв’язування трикутників Верш. Виміряні сферичні кути Виправлені сферичні кути Синуси кутів Приблизні довжини Аддита- менти Довжини сторін C 49º59′51.20" 1,689 49º59′52.888" 0,76601402 - 0,00001284 56000,000 B 51º33′02.51" 1,689 51º33′04.198" 0,78315577 57253,127 0,00001342 57253,160 A 78º27′09.18" 1,689 78º27′10.868" 0,97975833 71625,345 0,00002100 71625,930 Σ1 180º00′02.89" 5,066 180º00′07.956" ε1 7,956 w1 -5,066 D 59º25′19.10" 3,035 59º25′22.134" 0,86093557 - 0,00002100 71625,930 B 51º46′48.52" 3,035 51º46′51.554" 0,78564059 65361,959 0,00001749 65361,729 C 68º47′54.33" 3,035 68º47′57.364" 0,93231272 77563,903 0,00002462 77564,185 Σ2 180º00′01.95" 9,105 180º00′11.052" ε2 11,055 w2 -9,105 Завдання 6. Розв’язування прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки (спосіб Шрейбера) Розв’язування прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки виконується посереднім шляхом – обраховують насамперед різниці координат пунктів, а за ними – абсолютні значення координат. За умови використання робочих формул приведеного нижче вигляду, спосіб забезпечує розрахунок геодезичних координат пунктів у тріангуляції 1 класу з точністю десятитисячних часток секунди, азимутів – з точністю тисячних часток секунди. A і В – пункти на поверхні еліпсоїду з геодезичними координатами B1 ,L1 і B2 ,L2 . АР – меридіан т.А; ВР – меридіан т.В. А12 і А21 – прямий і зворотній азимут напряму АВ. s – довжина геодезичної лінії АВ. С – допоміжна точка поверхні еліпсоїду, розташована на меридіані т.A так, що геодезична лінія СВ має азимут АСВ = 90º. Точка С має геодезичні координати B0 , L1 . Черговість дій при розв’язуванні прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки: 1. Обчислення широти точки С - перша функція геодезичної широти пункту А; - радіус кривизни меридіанного перерізу в п. А; ; - проміжні умовні позначення; b – різниця широт п.А і т.С. 2. Обчислення широти пункту В , d – різниця широт п.В і т.С, , с – різниця довгот пункту В і точки С, , - проміжні величини. 3. Обчислення довготи пункту В λ = , λ - різниця довгот пунктів А і В, 4. Обчислення зворотного азимуту А21 А21 = , t – кут, утворений на поверхні еліпсоїду кривою ВР меридіанного перерізу в пункті В та кривою ВТ, яка паралельна меридіанному перерізові у пункті А, ε - сферичний надлишок трикутника АВС. Вихідні дані Номер варіанту №8 B1 = 48º01′01.1111"+7′*8 48º57′01.1111" 48,95030864 L1 = 22º11′11.1111"+30′*8 26º11′11.1111" 26,18641975 A12 = 1º01′01.111"+3º*8 25º01′01.111" 25,01697528 s = (60000 – 500*8) 56000 м Сталі величини a 6378245 м e2 0,00669342 e’2 0,00673853 ρº 57,29577951 Обчислення широти точки С Позначення дій Результати Позначення дій Результати 0,998094819 0,456307116 6371902,273 0,00003975 50746,22203 0,00000459 23681,65851 -0,00000003 b 0,456291085 B0 49,40659972 0º27′22.65" 49º24′23.76" Обчислення широти пункту В Позначення дій Результати Позначення дій Результати 0,99806840 0,00046040 0,21232144 0,00000312 0,00001054 0,00000270 с 0,21231920 0,00000004 0,32630018 d 0,00046039 0,24777482 B2 49,40613933 49º24′22.1" Обчислення довготи пункту В Позначення дій Результати Позначення дій Результати 0,00000623 λ 0,32629814 0,00000000 L2 26,51271789 26º30′45.78" Обчислення зворотного азимуту Позначення дій Результати Позначення дій Результати 0,00084549 t 0,247772701 0,00000541 A21 205,26390249 0,00000003 205º15′50" Завдання 7. Розв’язування прямої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами Вихідні дані та сталі величини наведено у завданні №6. Наближення (1) Позначення дій Результати Позначення дій Результати 6399698,916 1,001452017 0,456307116 0,243826934 0,32331773 49,1784622 25,13888874 Позначення дій Результати в наближеннях (2) (3) (4) (5) 1,00143875 1,00143875 1,001438754 1,001438754 0,000002654 0,000002702 0,000002703 0,000002703 0,000000760 0,000000774 0,000000774 0,000000774 0,00000264 0,00000264 0,00000264 0,00000264 0,45583487 0,45582911 0,45582908 0,45582908 0,32628147 0,32629866 0,32629871 0,32629871 0,24691330 0,24692543 0,24692546 0,24692546 b 0,455836428 0,45583069 0,45583067 0,45583067 λ 0,326280859 0,32629805 0,32629811 0,32629811 t 0,24691507 0,24692721 0,24692724 0,24692724 49,17822685 49,17822398 49,17822397 49,17822397 25,14043282 25,14043888 25,14043890 25,14043890 Кінцеві результати Позначення дій Результати 49,40613931 49º24′22.1" 26,51271786 26º30′45.78" 205,26390252 205º15′50" Завдання 8. Розв’язування оберненої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами Для розв’язування оберненої геодезичної задачі, в якій за значенням геодезичних координат B1 , L1 та B2 , L2 пунктів А та В розраховують значення азимутів А12 , А21 та довжини s геодезичної лінії АВ, найбільш оптимально використовувати обернений алгоритм розв’язування за формулами Гауса із середніми аргументами. У порівнянні з іншими способами розв’язування оберненої геодезичної задачі спосіб Гауса із середніми аргументами виділяється простотою робочих формул, тому розглядається як найбільш оптимальний. Черговість дій при розв’язуванні оберненої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами: 1. Обчислення різниць координат , та середньої широти . 2. Обчислення середнього азимуту Аm , за знаками P та Q визначають четверть, в якій розташований напрям Аm . 3. Обчислення довжини геодезичної лінії або . 4. Обчислення зближення меридіанів t . 5. Обчислення азимутів та . Наведені формули за точністю результатів розрахунків дійсні для віддалей такого ж порядку, що й у прямій геодезичній задачі. Вихідні дані Номер варіанту №8 B1 = 48º01′01.1111"+7′*8 48º57′01.1111" 48,95030864 L1 = 22º11′11.1111"+30′*8 26º11′11.1111" 26,18641975 B2 49º24′22.1" 49,40613931 L2 26º30′45.78" 26,51271786 Геодезичні координати пункту В вибрано із завдання №7. Сталі величини a 6378245 м e’2 0,00673853 ρº 57,29577951 Позначення дій Результати Позначення дій Результати 1. Обчислення різниць координат і середньої широти 0,45583067 49,17822397 0,32629811 2. Обчислення сумм поправочних коефіцієнтів 0,00000270 Δb 1,00000348 0,00000264 0,00000077 Δλ 0,99999814 3. Обчислення середнього азимуту Аm 6399698,916 23790,954 1,001438768 25,14043968 50695,072 25º8′25.58" 4. Обчислення довжини геодезичної лінії s 55999,998 м 55999,998 м 5. Обчислення зближення меридіанів t 0,24692546 1,00000720 0,24692724 6. Обчислення азимутів 25,01697606 205,26390330 25º1′1.11" 205º15′50" Завдання 9. Пряма задача проекції Гауса-Крюгера (перехід з поверхні еліпсоїду на площину) Прямою задачею Гауса – Крюгера називають розв’язування завдання переходу з поверхні еліпсоїду на площину з метою визначення прямокутних координат пунктів, якщо вихідними даними є геодезичні координати B, L початкового пункту А, довжина геодезичної лінії s та азимуту ААВ вихідної сторони АВ мережі геодезичних пунктів. Хід дій при розв’язуванні прямої задачі Гауса – Крюгера: 1. Розрахунок номера зони n, довготи її осьового меридіану L0 та геодезичних координат ВА , λ початкового пункту А, віднесених до зони його розташування. 2. Розрахунок прямокутних координат х,у початкового пункту А за його геодезичними координатами в зоні ВА , λ: