Главная Учебники - Геология Лекции (геология) - часть 1
Кафедра общей и прикладной геофизики по сейсморазведке на тему: Моделирование
SH-волны
Выполнили: студенты группы 3151 Кузнецова А.О., Колбенко А.В., Климов Ю.С. Проверил: доц. Сердобольский Л.А. Дубна, 2005
Содержание Введение I. Теоретическая часть 1. Описание волн и создаваемых ими на границе напряжений 2. Граничные условия и спектральные коэффициенты рассеивания 3. Волны рассеивания при падении SH-волны на кровлю низкоскоростной среды 4. Волны рассеивания при падении SH-волны на кровлю высокоскоростной среды II. Расчётная часть 1. Падение SH-волны на кровлю низкоскоростной среды 2. Падение SH-волны на кровлю высокоскоростной среды Список литературы Сейсморазведка является одним из важнейших видов геофизической разведки земных недр. Она включает в себя комплекс методов исследований геологического строения земной коры, основанных на изучении особенностей распространения в ней искусственно возбуждённых упругих волн. Вызванные взрывом или другим способом упругие волны, распространяясь во всех направлениях от источника колебания, проникают в толщу земной коры на большие глубины. В процессе распространения в земной коре упругие волны претерпевают процессы отражения и преломления. Это приводит к тому, что часть сейсмической энергии возвращается к поверхности Земли, где вызывает дополнительные сравнительно слабые колебания. Эти колебания регистрируются специальной аппаратурой. Полученные записи подвергаются глубокой обработке. Анализируя и интерпретируя полученные после обработки результаты, квалифицированный специалист-геофизик может определить глубину залегания, форму и свойства тех слоёв, на поверхности которых произошло отражение или преломление упругих волн. Упругие волны делятся на объёмные и поверхностные. Традиционно в сейсморазведке наибольшее применение нашли объёмные волны: продольные (P-волны) и поперечные (S-волны). Скорости Vp
всегда больше, чем Vs
. В данной курсовой работе рассматривается распространение SH-волны в различных геологических условиях среды. Пусть верхняя среда имеет скорость поперечной волны Пусть первичная плоская SH-волна падает на границу (z = 0) под углом α и имеет фронт, параллельный оси Oy. Она описывается вектором смещения Как отмечалось, SH-волна в выбранных условиях порождает на границе только монотипные (также SH) вторичные волны. Отраженная SH-волна Проходящая SH-волна распространяется в том же направлении, что и падающая волна (вниз), но во второй нижней среде со скоростью Закон Снеллиуса для SH-волн имеет вид: Горизонтальное вдоль Оу смещение SH-волн создает на границе лишь касательное напряжение: в соответствии с законом Гука, где Но SH-волна несет смещение, ориентированное вдоль Оу, и для нее Следовательно, для касательного напряжения можно записать: Напряжение, создаваемое на границе падающей волной, описывается так: Отраженная волна создает на границе касательное напряжение: Наконец, проходящая волна создает напряжение: Поскольку Из общих трех граничных условий для компонент векторов смещения и стольких же граничных условий для компонент напряжений в условиях рассматриваемой в данном разделе задачи актуальны лишь два граничных условия: равенство суммарных у-компонент смещений (кинематическое) и равенство суммарных касательных На границе, при z = 0, сумма смещений падающей При подстановке z=0 волновые аргументы всех трех волн равны: то есть или в спектрах: Обратим внимание на отсутствие в первом уравнении углов падения, отражения и прохождения. Это значит, что уравнение должно быть справедливом при любом угле падения 0 ≤ α ≤ π⁄2. Динамическое граничное условие требует, чтобы на границе, при z=0, сумма напряжений, создаваемых падающей и отраженной волнами, равнялось напряжению, создаваемому проходящей волной: Используя определения касательных напряжений, получим, подставляя z = 0, второе уравнение: или в спектральной форме после сокращения на jω: Вместе уравнения для смещений и напряжений создают систему из двух уравнений, в которые входят спектры трех волн - отраженной, проходящей и, породившей их, первичной (падающей): Очевидно, эта система позволяет определить лишь отношения спектров вторичных волн к спектру первичной волны. Так вводятся спектральные
коэффициенты рассеяния
: спектральный коэффициент отражения спектральный коэффициент прохождения Как в любой линейной системе, чья спектральная характеристика определена отношением спектра сигнала на выходе к спектру входного сигнала, и в данном случае спектры “выходных сигналов” - отраженной волны (“выход 1”) и проходящей волны (“выход 2”) соотносятся со спектром “входного сигнала" - падающей волны. Поделив уравнения на Решая любым способом эту простую систему уравнений, получим определения спектральных коэффициентов рассеивания: Обратим внимание на очень удобную особенность - при любом угле падения коэффициент прохождения В на единицу больше коэффициента отражения А. Произведение скорости на плотность в сейсморазведке называют волновым сопротивлением (или акустической жесткостью): Так как В = 1 + А, то при любом угле падения спектры волн связаны соотношением: В том же соотношении находятся и сами сигналы - первичная и вторичные волны: Видно, что всегда проходящая волна представляет собой сумму волн падающей и отраженной. Заметим, что для SH-волн так и должно быть для соблюдения неизменной сплошности всей среды и неразрывности контакта пород на границе. При нормальном (по перпендикуляру к границе) падении Очевидно, что условием возникновения отраженной волны служит неравенство волновых сопротивлений, контактирующих на границе сред В большинстве случаев скорости и плотности пород изменяются согласованно - более плотные породы являются и более всокоскоростными и наоборот. Исключения из этого правила довольно редки. Наиболее яркий пример - граница между залегающими над соляным куполом известняками и каменной солью. Скорость волны в известняках может быть меньше скорости в соли, тогда как плотность соли меньше плотности известняка. В зависимости от знака неравенства Проведем последовательный анализ поведения коэффициентов рассеивания А и В вторичных волн при изменении угле падения первичной SH-волны: 0≤ α ≤ π⁄2. Угол α = 0 соответствует нормальному падению волны, угол α = π⁄2 является теоретически возможным пределом изменения угла падения, при котором волна скользит вдоль границы. Верхняя среда более плотная и имеет большую скорость распространения волны, чем нижняя: Из закона Снеллиуса следует, что в том же соотношении находятся углы падения и отражения Поэтому при изменении угла падения от 0 до теоретически возможного предела Поэтому коэффициенты рассеивания при любых углах падения являются действительными числами - просто амплитудными множителями, лишь уменьшающими (при А, В < 1) или увеличивающими (при В > 1) амплитуду вторичной волны по сравнению с амплитудой первичной, падающей волны. Возможно еще одно воздействие коэффициента отражения А на отраженную волну. Если А > 0, то отраженная волна имеет тот же знак (направление) смещения, что и первичная волна. Если же А < 0, то первичная и отраженная волны имеют разные направления смещения (рис.8). Пусть, например, падающая волна имеет направление первого смещения в сторону у > 0. Рис.8 Тогда при А < 0 первое смещение отраженной волны направлено в сторону у < 0. В физике такое явление называют отражением с потерей полуволны, в сейсморазведке - изменением полярности первого вступления волны. При нормальном падении Например, при По закону Снеллиуса Поэтому условие А = 0 принимает вид: Отсюда, после преобразований найдем При уменьшении различия физических свойств плотности пород сближаются более быстро, чем скорости. При В пределе, когда и Для выбранных ранее в качестве примера параметров сред sin Для выбранных параметров разреза на рис.9 приведен единый график А (α) и В (α) = 1 + А (α), снабженный двумя шкалами оси ординат со смещенными на единицу нулями. В нижней части рисунка изображены схематические импульсоиды падающей волны u (t) и вторичных волн - отраженной Как видно из рисунка, при малых углах падения изменения спектральных коэффициентов А и В незначительны. Соответственно, малы и изменения амплитуды вторичных волн. Это является благоприятным фактором для сейсмической разведки. Рис.9 С приближением угла падения к При углах, больших Нижняя среда - более плотная и имеет большую скорость распространения волны, чем верхняя:. В соответствии с законом Снеллиуса, угол прохождения всегда больше угла падения и равному ему угла отражения: где При нормальном падении все косинусы равны единице, коэффициент отражения отрицателен, а коэффициент прохождения меньше единицы. Следовательно, в этом случае отраженная волна противоположна падающей по знаку смещений (отражение с потерей полуволны), а проходящая волна имеет меньшую амплитуду, чем волна падающая: при α = 0 и A < 0 и При критическом угле падения при Видно, что и при При дальнейшем увеличении угла падения, когда синус угле прохождения при закритическом падении становится больше единицы (?!). Это не может быть в области действительных тригонометрических функций. Определим косинус угле прохождения по обычной формуле: Синусу, большему 1, соответствует чисто мнимый косинус. Встретившись с этой неожиданной трансформацией косинуса, мы, из осторожности, записали оба возможных знака (±) корня. Установим, какой из них имеет физический смысл. Для этого вспомним описание проходящей волны (в волновой аргумент которой и входит Подставим в последнее определение Наличие мнимой единицы в определении косинуса выводит зависимость от z из функции запаздывания и превращает ее в амплитудный множитель при z → ∞ Физически это абсолютно невозможно, поэтому из двух знаков мнимого косинуса следует выбрать минус: Однако, спектр импульсного сигнала определен на всем бесконечном интервале частот: - ∞ ≤ ω ≤ ∞ и в волновом импульсе присутствуют как гармоники с положительными частотами, так и гармоники с ω < 0. Знак минус в определении Чтобы обеспечить затухание всего спектра волны где sgn (ω) - знаковая функция частоты: В таком определении амплитудный множитель Обратим внимание на то, что с ростом абсолютного значения частоты ω затухание ускоряется - чем выше частота гармоники, тем быстрее она затухает с ростом z. В функции запаздывания спектра проходящей волны Неоднородные плоские волны играют главенствующую роль в образовании преломленной (головной) волны, которую рассмотрим несколько позже в отдельном разделе. Здесь подчеркнем одно - все особенности неоднородной волны выявлены в результате анализа лишь волнового аргумента проходящей волны при закритическом падении плоской волны на границу раздела. Вид самой волновой функции Итак, установлено, что при Коэффициенты рассеивания А и В в этом случае описываются выражениями: Знаком тождества подчеркнута комплексная зависимость коэффициентов рассеивания от частоты, оправдывающая введенное ранее определение А и В как спектральных коэффициентов рассеивания. В числителе и знаменателе дроби, определяющей А - комплексно-сопряженные выражения: и не зависит ни от частоты, ни от угла падения. Фазово-частотный коэффициент отражения как аргумент дроби с комплексно-сопряженными числителем и знаменателем, равен: Действительная realA и мнимая imageA части спектрального коэффициента отражения (СКО) равны: где Используя формулы косинуса и синуса двойного угла ( Действительная часть СКО не зависит от частоты, а зависимость мнимой части от нее задается множителем в виде знаковой функции частоты. Обе части СКО являются функциями угла падения. Спектральная характеристика отражения обладает всеми свойствами устойчивой линейной системы - четными амплитудно-частотной характеристикой (модулем СКО) и действительной части СКО, и нечетными фазово-частотной характеристикой (аргументом СКО) и мнимой частью СКО. При этом, четность обеспечивается отсутствием зависимости Спектр отраженной волны разделяется на два слагаемых: В первом слагаемом присутствует спектр первичной волны с амплитудным множителем (весом) ReA (α), независимым от частоты и меняющимся с увеличением угла падения. Во втором слагаемом - произведение двух частотно-зависимых функций - знаковой Так как преобразование Фурье - линейная операция, сам отраженный сигнал также является взвешенной суммой Фурье-трансформант слагаемых своего спектра: Здесь В теории спектров рассматривалась знаковая функция времени sgn (t) и ее спектр: Аналогично определяется обратное Фурье-преобразование знаковой функции частоты: Здесь появился знак минус как следствие противоположных знаков ядер прямого ( Тогда отраженный сигнал может быть описан выражением: Сокращая мнимую единицу и раскрывая символьную запись свертки, получим описание отраженного сигнала при углах падения, превышающих критический угол: В скобках записано обратное Гильберт-преобразование
функции u (t), описывающей первичную волну: Таким образом, отраженный сигнал за критическим углом падения представляется взвешенной суммой падающего сигнала u (t) и его Гильберт-трансформанты Веса слагаемых - ReA (α) и ImA (α) - изменяются при увеличении угла падения. Соответственно, изменяется по форме и суммарный отраженный сигнал Проведем анализ зависимости от угла падения α весовых множителей ReA (α) и ImA (α) и структуры суммарной отраженной волны при изменении α от критического угла Как только угол падения превысит критический угол, ReA (α) стремительно уменьшается, а мнимая часть ImA (α) столь же быстро возрастает. Доля первичного сигнала в суммарной отраженной волне быстро уменьшается, и так же быстро растет доля Гильберт-трансформанты падающей волны. При некотором угле падения при α = Отраженный сигнал представлен только Гильберт-трансформантой первичной волны: Синус его равен: и не намного превышает Дальнейшее увеличение угла падения (α > В пределе, при С увеличением угла падения при При этом отраженный сигнал повторяет по форме и амплитуде колебаний падающую волну с инвертированным знаком смещений. Напомним, что такой же предел был выявлен и в случае Анализ закритических изменений спектрального коэффициента прохождения В и вызванных ими трансформаций неоднородных плоских волн Для комплексных коэффициентов рассеивания А = ReA + jImA; B = ReB + jImB имеем: ReB + jImB = 1 + ReA + jImA. Видно, что А и В имеют действительные части, различающиеся на единицу, и равные мнимые части: ReB = 1 + ReA; ImB = ImA. Напомним, что связь между А и В получена из первого граничного условия (для упругих смещений): В соответствии с ним, при любых соотношениях физических свойств контактирующих на границе сред и при любом угле падения первичной SH-волны при z = 0 проходящая волна Поэтому все трансформации отраженной волны в закритической зоне входят составной частью в изменения проходящей волны. Вне зависимости от угла падения в этой волне всегда присутствует “постоянная" составляющая - первичная, падающая на границу волна, по предположению, не меняющаяся с изменением угла падения. В заключение приведем цифровые оценки особых углов падения Это - довольно “сильная” отражающая граница. Ей может соответствовать, например, граница между обводненной верхней средой (где скорость S-волны резко уменьшена) и “сухим” нижним полупространством. При нормальном падении (α = 0) SH-волны коэффициенты рассеивания равны: Отраженная волна имеет амплитуду, в четыре раза меньшую амплитуды первичной волны, и инвертирована по знаку смещения. Проходящая волна ослаблена по амплитуде на четверть в сравнении с падающей волной. Для выбранных параметров сред определим отношения волновых сопротивлений угол критический угол угол Как видно из этих оценок, зона наибыстрейшего и наибольшего изменения спектральных коэффициентов рассеивания (СКР) и вторичных волн весьма узка: Вне зоны ( С увеличением различия свойств контактирующих на границе сред все особые точки ( Рис.10 Описание изменений СКР SH-волны иллюстрирует (рис.10), на котором построены графики Импульсоиды вторичных волн соответствуют углам падения, отмеченным на шкале оси абсцисс стрелками. В заключение анализа отметим, что угол падения α определяет удаление х точки приема Р от точки возбуждения 0 (рис.11). Тангенс этого угла равен отношению половины удаления х/2 к эхо-глубине границы h: Рис.11 Приведем оценки x/h, соответствующие особым углам для выбранных ранее параметров сред: при при при Добавим еще оценку границы ближней зоны: при Таким образом, область наибольшей стабильности отраженной волны не превышает половины эхо-глубины границы. Наибольшие изменения этой волны начинаются на удалениях, в полтора раза превышающих глубину. В промежуточной зоне с ростом х изменения отраженной волны становятся все более существенными и заметными. Зададим три случая параметров среды - укажем их в таблице: Получим график спектрального коэффициента отражения A в зависимости от угла падения α1
. В первом случае критический угол составляет α0
= 55˚, во втором - близок к α0
= 70˚, третий случай - α0
= 75˚. Анализируя полученные графики, видим, что по мере увеличения различий физических свойств между средами критический угол α0
увеличивается, стремясь к 45˚ для практически однородных сред. Покажем изменение амплитуды отражённого сигнала, в зависимости от спектрального коэффициента отражения для Среды 2. В качестве исходного сигнала возьмём импульс Берлаге, вычисляемый по формуле Зададим три случая параметров среды - укажем их в таблице: Получим график спектрального коэффициента отражения A в зависимости от угла падения α1
. В первом случае критический угол составляет α0
= 68˚, во втором - близок к α0
= 38˚, третий случай - α0
= 28˚. Анализируя полученные графики, видим, что по мере увеличения различий физических свойств между средами критический угол α0
уменьшается. Покажем изменение амплитуды отражённого сигнала, в зависимости от спектрального коэффициента отражения для Среды 2. В качестве исходного сигнала возьмём импульс Берлаге, вычисляемого по формуле 1. Бондарев В.И., 2000, Основы сейсморазведки. Екатеринбург: Изд-во УГГГА. 2. Сейсморазведка: Справочник геофизика, 1990 / Под ред. В.П. Номоконова. М.: Недра. 3. Гурвич И.И., Боганик Г.Н., 1980, Сейсморазведка. М.: Недра. |