«БиномНьютон а» Муниципальное общеобразовательное учреждение Школа-интернат лицей-интернат «Б и н о м Н ь ю т о н а» Работу выполнил: ученик 11 класса «А» Зыбко Иван Руководитель Еремина Людмила Александровна Калининград 2008 год С о д е р ж а н и е. Стр. Понятие бинома Ньютона. 3-4 Свойства бинома и биномиальных коэффициентов. 5-6 Типовые задачи по теме «Бином Ньютона». 7 Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона (нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона») 8-10 Понятие бинома Ньютона. Биномом Ньютона называют разложение вида: Но, строго говоря, всю формулу нельзя назвать биномом, так как «бином» переводится как «двучлен». Кроме того, формула разложения была известна еще до Ньютона, Исаак Ньютон распространил это разложение на случай n<0 и n – дробного. Цель изучения бинома Ньютона – упрощение вычислительных действий. Компоненты формулы «бином Ньютона»: - правая часть формулы – разложение бинома; - – биномиальные коэффициенты, их можно получить с помощью треугольника Паскаля (пользуясь операцией сложения). Практическая значимость треугольника Паскаля заключается в том, что с его помощью можно запросто восстанавливать по памяти не только известные формулы квадратов суммы и разности, но и формулы куба суммы (разности), четвертой степени и выше. Например, четвертая строчка треугольника как раз наглядно демонстрирует биномиальные коэффициенты для бинома четвертой степени: Альтернатива треугольнику Паскаля: 1) перемножить почленно четыре скобки: ; 2) вспомнить разложение бинома Ньютона четвертой степени: - общий член разложения бинома n-й степени: , где Т – член разложения; – порядковый номер члена разложения. Свойства бинома и биномиальных коэффициентов. 1. 2. Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома, то есть равно 3. Сумма показателей степеней a и b каждого члена разложения равна показателю степени бинома, то есть n Доказательство Рассмотрим -й член разложения: Сумма показателей степеней a и b : Ч.т.д. 4. Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от концов разложения, равны между собой: (правило симметрии) 5. Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна Доказательство Пусть , тогда: o левая часть равна ; o правая часть равна Тогда: Ч.т.д. 6. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах и равна 7. Правило Паскаля: 8. Любой биномиальный коэффициент, начиная со второго, равен произведению предшествующего биномиального коэффициента и дроби Типовые задачи по теме «Бином Ньютона». К типовым (стандартным) заданиям по данной теме можно отнести задачи на вычисление, среди которых: 1. Найти член (номер члена) разложения бинома 2. Вывести бином по известным членам разложения (по известной сумме) 3. Вычислить сумму биномиальных коэффициентов разложения бинома и другие. Продемонстрируем на примере. Пример 1 В биномиальном разложении найти член разложения, не содержащий х Решение Так как в разложении мы ищем член не содержащий х , то Тогда Ответ: Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона (нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»). К нестандартным заданиям по данной теме можно отнести такие, в которых нет явного намека на необходимость использования бинома. Однако в итоге, решение сводится к нему и выглядит очень интересным. Пример 1 Доказать, что для любых и для любых верно неравенство Бернулли : Доказательство Пусть Так как , то Переформулируем требование: Доказать, что , где Так как , значит в разложении как минимум три члена разложения, тогда: Это означает, что Ч.т.д. Пример 2 Доказать, что при любом натуральном n число делится на 9 Доказательство 1 способ: Ч.т.д. 2 способ: Начнем рассматривать бином в общем виде: Тогда Ч.т.д. Пример 3 Решить уравнение Решение Осуществим замену: Тогда уравнение перепишем: Применим формулу бинома к левой части уравнения: В итоге Ответ: .