Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 65
По теме Структура некоторых числовых множеств Введение В 1870-х годах немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) создал теорию множеств — исключительно мощное и важное математическое учение, оказавшее огромное влияние на развитие современной математики. Теория множеств не только явилась фундаментом целого ряда новых математических дисциплин, но и оказала глубокое влияние на понимание самого предмета математики. Помимо прочего в канторовской теории множеств впервые были развиты конструктивные подходы к анализу проблемы бесконечности, более двух тысяч лет являвшейся лишь предметом филологических упражнений философов. Теория множеств изучает общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества простейшее математическое понятие, оно не поддается определению, ибо определить понятие — значит найти такое родовое понятие, в которое данное понятие входит в качестве вида, но множество — это, пожалуй, самое широкое понятие математики и логики. Однако Кантор попытался определить данное понятие так: «Под множеством, - разъяснял Георг Кантор, - я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, то есть всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона...» 1
. Но эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела, и данная теория стала называться наивной теорией множеств. Парадокс Рассела — открытая в 1903 году Бертраном Расселом и позднее независимо переоткрытая Эрнестом Цермело теоретико-множественная антиномия, демонстрирующая противоречивость наивной теории множеств Г. Кантора. Антиномия Рассела формулируется следующим образом: Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K самого себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — противоречие. Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом множеств, включающихся в К — вновь противоречие. После этого теория множеств была аксиоматизирована. На сегодняшний день множество определяется как модель, удовлетворяющая ряду аксиом (так называемая аксиоматика Цермело – Френкеля). Множества могут состоять из самых различных элементов. Именно этим объясняется чрезвычайная широта теории множеств и ее приложимость к самым разным областям знания. Для математики особо важную роль играют множества, составленные из математических объектов, в частности числовые множества, о которых и пойдет речь в данной работе. При написании этой дипломной работы мы задавались целью - изучить исходные понятия и важнейшие теоремы теории множеств, а также на основании данного материала, решить ряд нестандартных задач по выявлению структуры некоторых числовых множеств. Данная работа состоит из трех глав: «Мощности бесконечных множеств», «Точечные множества», «Решение некоторых задач». В первой главе приводится краткое историческое описание становления теории множетсв, определяются основные понятия, такие как мощность, счетное множество, континуальное множество, с которыми нужно ознакомиться для дальнейшей работы. Устанавливаются связи между ними и доказываются основные теоремы о мощностях бесконечных множеств. В конце главы рассматривается важная теорема Шредера – Бернштейна, позволяющая проводить сравнения мощностей бесконечных множеств. Во второй главе рассматриваются только числовые множества, т.е. множества точек числовой прямой. Вводятся основные понятия, такие как замкнутое множество, открытое множество, совершенное множество, рассматривается структура таких множеств, формулируются и доказываются основные теоремы, на основании которых, в итоге, делается важный вывод о мощности замкнутого множества. Третья глава посвящена детальному и подробному решению ряда интересных задач (теорем) по определению структуры некоторых бесконечных числовых множеств. Также приведена задача, решение которой на первый взгляд может показаться верным, но при подробном анализе представленного доказательства можно заметить, что в решении содержится ошибочное предположение, в результате чего данное доказательство теряет свою силу. Строгое решение этой задачи также приведено в работе. Глава 1. Мощности бесконечных множеств § 1. К истории становления теории множеств С самого зарождения математической науки как самостоятельной отрасли знания и на протяжении более чем двух тысячелетий математики занимались поисками истины и добились на этом пути выдающихся успехов. Шаг за шагом древние греки, а вслед за ними и представители других цивилизаций открывали математические законы, полагая, что план, по которому построена вселенная, имеет математический характер. Необозримое множество теорем о числах и фигурах, казалось, служило неисчерпаемым источником абсолютного знания, которое никогда и никем не может быть поколеблено [4; 19]. Однако по мере развития математики связь с реальным миром становится все менее ощутимой, встает вопрос о логическом обосновании математики. В конце 19 века на передний план выступает проблема доказательства непротиворечивости математики. Движение за аксиоматизацию математики в этот период заставило математиков понять, сколь глубокая пропасть отделяет математику от реального мира. Каждая аксиоматическая система содержит неопределяемые понятия, свойства которых задаются только аксиомами. Новой теорией, которая привела к противоречиям и открыла многим глаза на противоречия, существовавшие в более старых областях математики, была теория бесконечных множеств. Первые шаги в изучении теории числовых множеств связаны с именем Георг Кантор (1845 – 1918). В 1873 г. Кантор поставил задачу классифицировать бесконечные множества. Введенные Кантором определения позволяли сравнивать два бесконечных множества по мощности. Основная идея Кантора сводилась к установлению взаимнооднозначного соответствия между множествами. Идея взаимнооднозначного соответствия привела Кантора к неожиданному результату: он показал, что можно установить взаимнооднозначное соответствие между точками прямой и точками плоскости. Следуя принципу взаимнооднозначного соответствия, Кантор установил для бесконечных множеств отношение эквивалентности, или равенства («равномощности» двух множеств). Множество натуральных чисел и множества, которые можно поставить во взаимнооднозначное соответствие с этим множеством, содержат одинаковое число элементов, которое Кантор обозначил символом Когда Кантор в 70-х годах 19 века приступил к созданию теории бесконечных множеств и еще много лет спустя, эта теория находилась на периферии математической науки. Но к началу 20 века канторовская теория множеств нашла широкое применение во многих областях математики. Кантор и Рихард Дедекинд понимали, сколь важна теория множеств для обоснования теории целых чисел, для анализа понятий линии и размерности и даже для обоснований математики. Другие математики, в частности Эмиль Борель и Анри Леон Лебег, к тому времени уже работали над обобщением интеграла, в основу которого была положена канторовская теория множеств. Поэтому, когда сам Кантор обнаружил, что его теория множеств сопряжена с определенными трудностями, это было далеко немаловажным событием. Кантор дал несколько словесных определений множества, но эти определения не отличались строгостью, и теорию множеств в том виде, как ее изложил Кантор, нередко называют наивной. По мнению многих ученых, тщательный подбор аксиоматической основы должен был избавить теорию множеств от многих проблем и противоречий [8; 135]. Приступая к построению математики на основе теории множеств, можно выбрать ту или иную из возможных исходных позиций. Можно запретить использование гипотезы континуума, но это существенно ограничит круг теорем, доказываемых в рамках системы. Можно поступить иначе и включить в систему аксиом гипотезу континуума или ее отрицание. При этом неизвестно, к каким важным следствиям может привести отрицание гипотезы континуума. Сказанное означает, что существует не одна, а много математик. Теория множеств (рассматриваемая отдельно от остальных оснований математики) может развиваться во многих направлениях. Остановить свой выбор на одном из направлений нелегко, так как в любом случае принятие определенной редакции аксиом имеет свои положительные и отрицательные стороны. § 2. Счетные множества Определение 1. Пусть А и В два множества. Правило, которое каждому элементу а множества А соотносит один и только один элемент В этом случае множества А и В называются эквивалентными или же говорят, что эти множества имеют одинаковую мощность. Обозначение Определение 2. Пусть Теорема 1. Для того чтобы множество А было счетным, необходимо и достаточно, чтобы его можно было перенумеровать, т.е. представить в форме последовательности Теорема 2. Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество. Теорема 3. Всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно. Следствие 1. Если из счетного множества А удалить конечное подмножество М, то оставшееся множество А – М будет счетным. Теорема 4. Сумма конечного множества и счетного множества есть счетное множество. Теорема 5. Сумма конечного числа счетных множеств есть счетное множество. Теорема 6. Сумма счетного множества конечных множеств есть счетное множество. Теорема 7. Сумма счетного множества счетных множеств есть счетное множество. Теорема 8. Множество Доказательство Множество дробей вида Но знаменатель может принимать также счетное множество натуральных значений. Значит, в силу теоремы 7, множество М= Удаляя из М все сократимые дроби и применяя теорему 3, убеждаемся в счетности всех положительных рациональных чисел Отсюда множество все рациональных чисел Теорема доказана. Следствие 1. Множество рациональных чисел любого отрезка Теорема 9. Если к бесконечному множеству М прибавить конечное или счетное множество А новых элементов, то это не изменит его мощности, т.е. Доказательство Выделим, пользуясь теоремой 2, из М счетное подмножество Теорема доказана. Теорема 10. Если бесконечное множество Доказательство Множество Теорема 11. Если элементы множества А определяются Доказательство Докажем теорему методом математической индукции. Теорема очевидна, если Допустим, что теорема справедлива для Пусть Обозначим через В силу сделанного допущения множество Теорема доказана Следствие 1. Множество точек плоскости, у которых обе координаты рациональны, счетно. Следствие 2. Теорема 12. Множество алгебраических чисел счетно [6; 20]. § 3. Мощность континуума Теорема 1. Отрезок Доказательство Допустим противное. Пусть отрезок Пусть это сделано, т.е. всякая точка Разделим Рис. 1 Теперь разделим на три равных отрезка отрезок Затем делим на три равных отрезка отрезок В результате мы получим бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков Так как длина отрезка Так как Теорема доказана Определение 1. Если множество А эквивалентно отрезку Теорема 2. Всякий отрезок Доказательство Пусть Формула устанавливает взаимнооднозначное соответствие между множествами Так как удаление одного или двух элементов из бесконечного множества приводит к множеству, эквивалентному исходному, то промежутки Теорема доказана. Теорема 3. Сумма конечного числа попарно не пересекающихся множеств мощности с имеет мощность с. Доказательство Пусть где каждое из множеств Возьмем полуинтервал Каждый из этих полуинтервалов имеет мощность с, так что мы можем связать множество Теорема доказана. Теорема 4. Сумма счетного множества попарно не пересекающихся множеств мощности с имеет мощность с. Доказательство Пусть где каждое из множеств Возьмем на полуинтервале Установив взаимнооднозначное соответствие между множествами Теорема доказана. Следствие 1. Множество Следствие 2. Множество всех иррациональных чисел имеет мощность с. Следствие 3. Существуют трансцендентные (неалгебраические) числа. Теорема 5. Множество Доказательство Докажем теорему двумя способами: 1) Основанное на теории непрерывных дробей. Установим взаимнооднозначное соответствие между Р и множеством всех иррациональных чисел интервала (0, 1), считая взаимосоответствующими последовательность Возможность соответствия и доказывает теорему. 2) Основанное на теории двоичных дробей. Рассмотрим некоторые факты этой теории: 1. Двоичной дробью называется сумма ряда Указанная сумма обозначается символом 2. Всякое число Это представление единственно в случае, когда х не есть дробь вида Если же Например 3. Всякая двоичная дробь равна некоторому числу Если эта дробь содержит 0 или 1 в периоде, то Если же двоичная дробь не содержит цифру 0 или 1 в периоде, то Вернемся к доказательству теоремы. Условимся не пользоваться дробями, содержащими единицу в периоде. Тогда каждое число из полуинтервала причем, какое бы число Обратно, любой дроби (1) с этим свойством отвечает точка из Эти и каждой такой последовательности отвечает дробь (1). Значит, множество Теорема доказана. Теорема 6. Если элементы множества А определяются Доказательство Достаточно рассмотреть случай для трех значков, так как рассуждение имеет общий характер. Пусть Назовем через Установим взаимнооднозначное соответствие между каждым из множеств Пусть В соответствиях между Пусть элементу элементу элементу Соотнесем элементу Этим мы действительно получили взаимнооднозначное соответствие между А и Р, значит множество А имеет мощность Теорема доказана. Следствие 1. Множество всех точек плоскости имеет мощность Следствие 2. Множество всех точек трехмерного пространства имеет мощность Следствие 3. Сумма с попарно не пересекающихся множеств мощности с имеет мощность с [6; 27]. Теорема 7. Если элементы множества А определяются с помощью счетного множества значков Доказательство Пусть множество значений значка Свяжем его взаимнооднозначным соответствием с множеством Р всех последовательностей натуральных чисел. Пусть это соответствие обозначено Сделав это, выберем произвольный элемент Тогда Пусть в соответствии Тогда элементу Легко видеть, что полученное соответствие между А и множеством мы сразу получим взаимнооднозначное соответствие между Значит множество А имеет мощность Теорема доказана. Теорема 8. Множество Доказательство Пусть Каждой последовательности С другой стороны, если Следствие 1. Если элементы множества А определяются с помощью счетного множества значков, каждый из которых, независимо от прочих, принимает два значения, то множество А имеет мощность с [6; 28]. § 4. Сравнение мощностей Мы определили выше смысл выражений «два множества имеют одинаковую мощность», «множество имеет мощность Еще Г. Кантор пытался дать определение данному понятию: «Мощностью данного множества А называется та общая идея, которая остается у нас, когда мы, мысля об этом множестве, отвлекаемся как от всех свойств его элементов, так и от их порядка» 2
. В связи с этим Г. Кантор обозначал мощность множества А символом В настоящее время канторовский способ определения понятия мощности не считается удовлетворительным (хотя обозначение Определение 1. Пусть все множества разбиты по классам, так что два множества попадают в один класс тогда и только тогда, когда они эквивалентны. Соотнесем каждому такому классу множеств какой-либо символ и будем его называть мощностью любого множества данного класса. При этом, если мощность некоторого множества А есть При таком способе определения ясно, что эквивалентные множества действительно имеют одинаковую мощность, а также что, соотнеся классу, содержащему множество Далее, буква с есть символ, соотнесенный классу, содержащему множество Пусть классу, содержащему множество Наконец, 0 есть мощность пустого множества, а 1 – мощность любого «одноэлементного» множества. Имея, таким образом, определение понятия мощности, естественно поставить вопрос о сравнении мощностей. Определение 2. Пусть Если: 1) множества Например Пусть тогда Поэтому Теорема 1. Множество Доказательство Покажем сначала, что Допустим противное. Пусть Условимся обозначать через Положим Положим теперь Таким образом, получаем Итак, действительно Рассмотрим множество функций Теорема доказана. Определение 3. Мощность множества Возникает вопрос: существуют ли мощности, большие чем Теорема 2. Пусть М какое-либо множество. Если Т множество всех подмножеств множества М, то Доказательство Отметим, что элементами множества Т являются все подмножества М, в частности само М, пустое множество 0 и все одноэлементные подмножества М. Покажем сначала, что Т не Допустим противное. Пусть Каждому Назовем элемент Пусть Каков же этот элемент Итак, Стало быть, элемент Если Замечание. Пусть М конечное множество, состоящее из Тогда множество Т содержит В самом деле, Т содержит одно пустое множество, Отметим, что этот результат верен и для случаев, когда М пустое, или одноэлементное множество. Определение 4. Если множество М имеет мощность Теорема 3. Справедлива формула Доказательство Пусть Т – множество всех подмножеств натуральных чисел Тогда Возьмем произвольный элемент Теорема 4. Пусть Доказательство Пусть В частности те элементы Таким образом, Теперь, поскольку Продолжая этот процесс, мы получим последовательность множеств такую что . . . Отметим при этом, что справедливы и такие соотношения: вытекающие из самого определения множеств Пусть Легко видеть, что Причем отдельные слагаемые каждой из строк не пересекаются. В силу (*) одинаково подчеркнутые слагаемые этих сумм эквивалентные друг другу. Но прочие слагаемые этих слагаемых попарно тождественно, откуда и вытекает эквивалентность А и Теорема доказана Теорема 5. (Э. Шрёдер – Ф. Бернштейн). Пусть А и В два множества. Если каждое из них эквивалентно некоторому подмножеству другого, то они эквивалентны между собой. Доказательство Пусть Установим взаимнооднозначное соответствие между Теорема доказана Следствие 1. Если Доказательство Действительно, тот факт, что соотношение Допустим теперь, что одновременно выполняются соотношения Так как 1) А и В не эквивалентны; 2) Но из того, что 3) Из 2) и 3) вытекает, что Следствие доказано. Следствие 2. Если Доказательство Действительно, если А, В, С три множества мощностей Остается доказать, что А не Но если бы было Следствие доказано. Теорема 6. Множество Доказательство Пусть Остается показать, что Назовем через Н множество всех последовательностей вида где Перенумеруем все рациональные числа отрезка Очевидно, Действительно, если бы было Значит, множество Так как Глава 2. Точечные множества § 1. Предельная точка В этом разделе будут рассмотрены множества точек числовой прямой и все основные понятия и теоремы связанные с ними. Определение 1. Точка х0
называется предельной точкой (или точкой сгущения) точечного множества Е, если всякий интервал, содержащий эту точку, содержит хоть одну точку Е, отличную от точки х0.
Сама точка х0
может принадлежать, а может и не принадлежать множеству Е. Если точка х0
принадлежит множеству Е, но не является его предельной точкой, то она называется изолированной точкой множества Е. Теорема 1. (свойство предельной точки). Если х0
есть предельная точка множества Е, то всякий интервал (а, b), содержащий эту точку, содержит бесконечное множество точек Е. Доказательство Допустим противное. Пусть интервал (а, b), содержащий точку х0
, содержит только конечное число точек множества Е. Пусть отличные от х0
точки множества Е ∙ (а, b) это у1
, у2
,…, уn
,
и пусть к = min{│ х0
– уi
│, i = 1,2,…,n}. Рассмотрим интервал (х0
– к, х0
+ к). Ни одна из точек у1
, у2
,…, уn
в него не попадает, а так как (х0
– к, х0
+ к) Теорема доказана. Понятие предельной точки можно рассмотреть с другой точки зрения. Теорема 2. Для того, чтобы точка х0
была предельной точкой множества Е, необходимо и достаточно, чтобы из этого множества можно было выделить последовательности различных точек х1
, х2
,…, хn
…, такую, что Доказательство Достаточность очевидна. Докажем необходимость. Пусть х0
есть предельная точка множества Е. Выберем в интервале (х0
- 1, х0
+1) точку х1
На n–м шагу процесса выбираем в интервале (х0
- Теорема доказана Доказанная теорема позволяет рассмотреть эквивалентное определение предельной точки. Определение 2. Точка называется предельной точкой множества Е, если из этого множества можно выделить последовательность различных точек х1
, х2
,…, хn
…, такую, что Теорема 3. (Б. Больцано – К. Вейерштрасса о множествах). Всякое бесконечное ограниченное множество Е имеет хотя бы одну предельную точку (которая может и не принадлежать Е). Доказательство Так как множество Е ограничено, то можно указать содержащий его отрезок [a, b]. Пусть с = Пусть с1
= Продолжая этот процесс, мы построим бесконечную последовательность вложенных отрезков [a, b] Так как Покажем, что х0
предельная точка множества Е. Для этого возьмем произвольный интервал Замечание. Условие ограниченности множества Е не может быть опущено. Рассмотрим множество N всех натуральных чисел. Оно хотя и бесконечно, но не имеет ни одной предельной точки. Часто оказывается полезной другая форма теоремы Больцано — Вейерштрасса, в которой речь идет не о множествах, а о числовых последовательностях. Определение 3. Последовательность х1
,х2
,…,хn
… называется ограниченной, если существует такое число k, что при всех n выполняется условие Теорема 4. (Больцано — Вейерштрасса о последовательностях). Из всякой ограниченной последовательности х1
, х2
, х3
,… можно выделить сходящуюся последовательность Доказательство Рассмотрим множество Е членов последовательности х1
, х2
, х3
, …. Если это множество конечно, то одна из его точек встречается в этой последовательности бесконечно много раз. Пусть эта точка у и пусть Если же указанное множество бесконечно, то к нему применима теорема Больцано – Вейерштрасса о множествах. Пусть х0
есть предельная точка множества Е, тогда из Е можно выелить последовательность Положим, Теорема доказана § 2. Замкнутые множества. Рассмотрим определения ряда понятий, тесно связанных с понятием предельной точки. Определения 1. Пусть Е точечное множество. 1. Множество всех предельных точек Е называется производным множеством для множества Е и обозначается через Е'. 2. Если Е' 3. Если Е 4. Если Е = Е', то множество Е называется совершенным. 5. Множество Е + Е' называется замыканием множества Е и обозначается через Таким образом, множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Плотное в себе множество лишено изолированных точек. Совершенное множество замкнуто к плотно в себе [4; 60]. Теорема 1. Производное множество Е' любого точечного множества Е замкнуто. Доказательство Теорема очевидна, если Е' пусто. Пусть Е' не пусто и х0
- предельная точка Е'. Возьмем произвольный интервал Рис. 2 Итак, всякий интервал, содержащий точку х0
содержит бесконечное множество точек Е, так что точка х0
есть предельная точка Е. Иначе говоря, Теорема доказана Теорема 2. Если Теорема 3. Справедлива формула Доказательство 1) Так как 2) Докажем Пусть Если в этой последовательности найдется бесконечное множество точек, входящих в Таким образом, всегда Итак, Теорема доказана Следствие 1. Замыкание Доказательство Действительно Следствие доказано. Следствие 2. Для того чтобы множество Е было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы оно совпадало со своим замыканием Доказательство Достаточность этого условия вытекает из предыдущего следствия. Обратно, пусть множество Следствие доказано. Теорема 4. Сумма конечного числа замкнутых множеств есть множество замкнутое. Доказательство Рассмотрим сначала случай двух слагаемых множеств Общий случай исчерпывается способом математической индукции. Замечание. Сумма бесконечного множества замкнутых множеств может и не быть замкнутым множеством. Рассмотрим множества Все Теорема 5. Пересечение любого множества замкнутых множеств есть множество замкнутое. Доказательство Пусть Теорема доказана Лемма 1. Пусть множество Е ограничено сверху (снизу) и Доказательство Если Допустим же, что Итак, всегда Лемма доказана. Теорема 6. В ограниченном сверху (снизу) замкнутом множестве F есть самая правая (самая левая) точка. Доказательство Действительно, пусть Теорема доказана. Определение 2. Пусть Теорема 7. (Э. Борель). Если замкнутое ограниченное множество Доказательство Допустим противное. Пусть из Заключим F в некоторый отрезок Не может оказаться, чтобы каждое из множеств Положим теперь В том, что хотя бы один из отрезков Продолжая этот процесс, мы построим последовательность вложенных отрезков Так как длина отрезка Покажем, что точка В результате мы получим последовательность Так как множество Теорема доказана Замечание. Теорема перестает быть верной, если отбросить условие ограниченности или условие замкнутости множества Рассмотрим другое множество Е всех чисел вида Это множество ограничено, но не замкнуто. Построим около каждой точки Теорема 8. Пусть Р замкнутое множество и Если Доказательство Если последовательность § 3. Внутренние точки и открытые множества Определение 1. Точка E Замечание. Из самого определения ясно, что внутренняя точка множества Е принадлежит этому множеству. Определение 2. Множество Е называется открытым, если все его точки есть внутренние точки. Примеры: 1) Всякий интервал 2) Множество всех действительных чисел открыто; 3) пустое множество 0 открыто; 4) Отрезок Теорема 1. Сумма любого множества открытых множеств есть множество открытое. Доказательство Пусть где все множества Следствие 1. Любое множество, представимое в форме сумме интервалов, открыто. Теорема 2. Пересечение конечного числа открытых множеств открыто. Доказательство Пусть где все Если Допустим, что Теорема доказана Замечание. Пересечение бесконечного множества открытых множеств не может открытым множеством. В самом деле, если Определение 3. Пусть Теорема 3. Если множество Доказательство Пусть Теорема доказана. Теорема 4. Если множество Доказательство Пусть Тогда Теорема доказана Замечание. Каждое из взаимно дополнительных множеств 0 и R одновременно и замкнуто и открыто. Следствие 1. 1) если 2) если Доказательство Эти утверждения следуют из очевидных тождеств где где Следствие доказано. Замечание. Если Определение 4. Пусть Теорема 5. Если Доказательство Очевидно, достаточно убедиться в справедливости тождества Пусть Теорема доказана § 4. Расстояния и отделимость. Определение 1. Пусть Замечание. Очевидно, что Определение 2. Пусть Замечание. Очевидно, Определение 3. Пусть Замечание. Очевидно, что Замечание. Расстояние между точкой Теорема 1. Пусть Доказательство По определению точной нижней границы, для каждого натурального По условию одно из множеств Рассмотрим последовательность Если Отсюда видно, что последовательность Теорема доказана. Замечание. Данная теорема становится неверной, если оба множества А и В не ограничены. Например, пусть Следствие 1. Если А и В замкнуты, хоть одно из них ограничено и Следствие 2. Пусть Следствие 3. Если точка Теорема 2. Если замкнутое множество А непустое и отлично от всей числовой прямой R, то оно не может оказаться открытым. Доказательство Допустим противное Пусть Теорема доказана Для доказательства одной из важных теорем «отделимости» понадобиться несколько лемм. Лемма 1. Пусть А непустое точечное множество и Тогда Доказательство Включение Докажем, что множество В открыто. Пусть Возьмем произвольную точку Лемма доказана Лемма 2 Пусть Положим Тогда Доказательство Допусти противное. Пусть Лемма доказана Теорема 3. (Свойство отделимости). Пусть Доказательство По следствию 1 (стр. 36) имеем Положим Теорема доказана Замечание. Условие ограниченности множеств § 5. Структура открытых и замкнутых ограниченных множеств Определение 1. Пусть то мы будем называть этот интервал составляющим интервалом множества Теорема 1. Если Доказательство Пусть Кроме того, поскольку Наконец, ни одна точка множества Докажем, что От противного, пусть это не так. Тогда существует такая точка Итак, для точки 1) Аналогично доказывается существование точки 1) Отсюда следует, что Замечание. Из доказанной теоремы следует существование составляющих интервалов у каждого непустого, ограниченного, открытого множества Теорема 2. Если Доказательство. Допустим противное Пусть существует точка Но так как Аналогично устанавливается, что Теорема доказана. Следствие 1. Множество различных составляющий интервалов непустого ограниченного открытого множества Доказательство Если мы выберем в каждом из этих интервалов по рациональной точке, то множество составляющих интервалов окажется поставленным во взаимнооднозначное соответствие с ю множества Следствие доказано. Теорема 3. Каждое непустое ограниченное открытое множество концы которых не принадлежат множеству Верно и обратное: всякое множество, представимые в форме суммы интервалов, открыто. Замечание. Условие ограниченности множества Теорема 4. Пусть Доказательство Пусть Допустим, что Теорема доказана Теорема 5. Непустое ограниченное замкнутое множество Доказательство Пусть Теорема доказана. Замечание. Верно также обратное утверждение: всякое множество, получаемое из отрезка удалением некоторого множества интервалов, - замкнуто. Определение 2. Составляющие интервалы множества Теорема 6. Пусть 1. Точка 2. Если точка 3. Никаких других, кроме отмеченных в 1 и 2, изолированных точек Доказательство Утверждение 1 и 2 очевидны. Докажем 3. Пусть Согласно теореме 4 (стр. 40), существует дополнительный интервал Совершенно также устанавливается, что Случай Теорема доказана Теорема 7. Всякое непустое ограниченное совершенное множество Пример совершенного множества Канторовы множества В результате из Оставшееся множество Нетрудно дать арифметическую характеристику этих множеств. Рассмотрим разложение в троичную дробь. Выясним, какие точки попадают в первый из удаленных интервалов Концы же этого интервала допускают каждый по два представления: Все остальные точки отрезка Итак, на первом шагу процесса построения множества Аналогично, можно установить, что на втором шагу удаляются те и только те точки, второй троичный знак которых единица, и т.д. Поэтому после окончания процесса останутся неудаленными те и только те точки, которые могут быть изображены троичной дробью Замечание. Полученный результат показывает, что, кроме концов удаленных интервалов (которых есть только счетное множество), канторово множество § 6. Точки конденсации. Мощность замкнутого множества. Теорема 1. Всякое непустое совершенное множество Доказательство Пусть Выберем в 1) где Так как 1) Аналогичное построение будет выполнено, исходя из точки В результате у нас будут построены точки 1) Продолжаем процесс построения дальше. После 1) 2) 3) 4) Так как каждая точка 1) 2) 3) 4) Предположим, что этот процесс проведен для всех натуральных Легко видеть, что точки В самом деле, если Пусть Теорема доказана Следствие 1. В любой окрестности точки, принадлежащей непустому совершенному множеству Определение 1. Точка Замечание. Очевидно, что всякая точка конденсации какого-либо множества является его предельной точкой. Теорема 2. (Э. Линделёф). Если ни одна из точек множества Е не является его точкой конденсации, то множество Е разве лишь счетно. Доказательство Назовем интервал Докажем, что каждая точка множества Е (предполагаем, что множество Е непустое) содержится в некотором «правильном» интервале. Действительно, пусть Если взять такие рациональные числа Перенумеруем все «правильные» интервалы В сумме, стоящей в правой части этого равенства, есть счетное множество слагаемых, каждое из которых, в свою очередь, разве лишь счетно. Отсюда следует, что множество разве лишь счетно. Теорема доказана. Следствие 1. Если множество Е несчетно, то существует хоть одна точка конденсации этого множества, принадлежащая ему. Замечание. Сопоставим это следствие с теоремой Больцано-Вейерштрасса. В то время как теорема Больцано-Вейерштрасса относится ко всякому бесконечному множеству, в данном следствии речь идет только о несчетных множествах. Но здесь, в отличие от теоремы Больцано-Вейерштрасса, нет надобности требовать ограниченности множества Е и, кроме факта существования точек конденсации, можно гарантировать существование таких точек конденсации, которые входят в множество Е Следствие 2. Пусть Е точечное множество и Р множество всех точек конденсации множества Е. Тогда множество Доказательство Действительно, ни одна точка множества Следствие доказано. Следствие 3. Пусть множество Е несчетно и Р множество всех его точек конденсации. Тогда множество ЕР несчетно. Замечание. Следствие 3 покрывает собой следствие 1. Теорема 3. Пусть множество Е несчетно. Тогда множество Р всех точек конденсации множества Е есть множество совершенное. Доказательство Докажем сначала замкнутость множества Р. Пусть Остается доказать, что Р не имеет изолированных точек. Пусть Теорема доказана. Теорема 4. (Г. Кантор – И. Бендиксон). Каждое несчетно замкнутое множество Доказательство Если Р есть множество точек конденсации множества Теорема доказана. Следствие 1. Несчетное замкнутое множество имеет мощность с Глава 3. Решение некоторых задач Задача №1 Если Доказательство Допустим противное. Пусть
Рис. 3 Рассмотрим тогда Т.к. Из (*) и (**) получаем противоречие. Значит Утверждение доказано. Замечание. Аналогичным образом можно доказать, что, если Задача №2 Если функция Доказательство Допустим противное. Пусть Рассмотрим множество следовательно Пусть … (Если Рис. 4 Предположим, что этот процесс проведен для всех натуральных Множество Утверждение доказано. Задача №3 Доказать, что множество внутренних точек любого множества открыто. Доказательство Пусть Выберем произвольно точку Так как любая точка Получаем Утверждение доказано. Задача №4 Доказать, что множество точек Доказательство Разделим отрезок Каждый из 9 оставшихся отрезков и так далее, продолжаем это процесс неограниченно (рис. 5). множество теорема мощность счетный 0 Рис. 5 В результате из Оставшееся множество Концы же этого интервала допускают каждый по два представления Все остальные точки отрезка Итак, на первом шагу процесса построения множества Аналогично, можно установить, что на втором шагу удаляются те и только те точки, второй десятичный знак которых семь, и т.д. Поэтому после окончания процесса останутся неудаленными те и только те точки, которые могут быть изображены десятичной дробью Задача №5 Найти ошибку в следующем доказательстве теоремы: Каждое замкнутое множество есть пересечение счетного множества открытых множеств. Доказательство Пусть Рис. 6 Обозначим полученные интервалы через Пусть где В каждом интервале В каждом интервале вида И рассмотрим отрезки Рис. 7 Рис. 8 Теперь в каждом интервале в интервале где в каждом интервале вида Рис. 9 И рассмотрим отрезки Рис. 10 Рис. 11 В каждом интервале в интервале в каждом интервале вида Рассмотрим отрезки которые могут иметь один бесконечный конец. Продолжим этот процесс не ограниченно. В результате в каждом интервале Рис. 12 Т.о. получаем Рассмотрим Т.к. Решение При подробном анализе представленного доказательства можно заметить, что в решении содержится ошибочное предположение, а именно, что множества В результате чего данное доказательство теряет свою силу. Задача №6 Доказать, что каждое замкнутое множество есть пересечение счетного множества открытых множеств. Доказательство Пусть Рассмотрим множества Тогда Возьмем произвольную точку А значит можно найти Тогда ясно, что Так как Отсюда получаем, что Утверждение доказано. Заключение Основной целью данной работы являлось изучение основных понятий и теорем теории множеств и их применение к выявлению структуры различных числовых множеств. Для достижения этой цели в работе были рассмотрены все исходные понятия и теоремы теории множеств, при этом доказательства наиболее важных теорем и следствий были детально разобраны. Основное внимание было уделено числовым множествам и изучению их структуры, которым была посвящена вся вторая глава. Важной ю дипломной работы явилось решение ряда интересных задач, которые дают некоторые представление о характере проблем, решаемых в самой теории множеств и ее приложениях. Теория множеств, хотя и является одной из наиболее молодых отраслей математики, оказала огромное влияние на развитие математики и стала фундаментом целого ряда новых математических дисциплин. Хотелось бы отметить, что некоторые вопросы теории множеств должны быть включены в программы средней школы. Несмотря на высокую степень абстракции, усвоение теории множеств не представляет особых трудностей, так как не требует предварительной подготовки. Библиография 1. Бурбаки, Н. Теория множеств [Текст] / Н. Бурбаки.– М.: Мир, 1965.– 272 с.: ил. 2. Виленкин, Н.Я. Рассказы о множествах [Текст] / Н.Я. Виленкин.– М.: Наука, 1969.– 160 с.: ил. 3. Кантор, Г. Труды по теории множеств [Текст] / Г. Кантор; Под ред. А.Н. Колмогров, А.П. Юшкевич.– М.: Наука, 1985.– 387 с. 4. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст] / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин.– 7-е изд.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.– 544 с. 5. Мирошниченко, П.Н. Что же разрушал парадокс Рассела в системе Фреге? [Текст] / П.Н. Мирошниченко.– СПб., 2000.– 514 с. 6. Натансон, И.П., Теория функций вещественной переменной [Текст] / И.П. Натансон.– М.: Гостехиздат, 1974.– 480 с. 7. Столл, Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории [Текст] / Р.Р. Столл.– М.: Просвещение, 1968.– 232 с. 8. Френкель, А. Основание теории множеств [Текст] / А. Френкель, И. Бар-Хиллел – М.: Мир, 1966.– 416 с.
|