Ãëàâíàÿ Ó÷åáíèêè - Ðàçíûå Ëåêöèè (ðàçíûå) - ÷àñòü 65
ÐÅÖÅÍÇÈß
íà äèïëîìíóþ ðàáîòó ñòóäåíòà V êóðñà Áîëüøàêîâà À. À. íà òåìó: Ðàçâèòèå ìàòåìàòèêè íå îäíàæäû ïðèâîäèëî â ïðîøëîì ê íåîáõîäèìîñòè îñìûñëåíèÿ è ïåðåñòðîéêè å¸ îñíîâ. Äèïëîìíàÿ ðàáîòà Áîëüøàêîâà À. À. ïîñâÿùåíà îáçîðó òðåõ ïåðèîäîâ èíòåíñèâíûõ ïîèñêîâ ïóòåé ïðåîäîëåíèÿ íàêîïèâøèõñÿ âíóòðåííèõ ïðîòèâîðå÷èé: àíòè÷íûé ïåðèîä, ïåðèîä îáîñíîâàíèÿ àíàëèçà è òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûé ïåðèîä.  ðàáîòå ïðèâîäèòñÿ ìíîãî èíòåðåñíûõ èñòîðè÷åñêèõ ñâåäåíèé. Ïîêàçàíû íåïðîñòûå ïóòè ôîðìèðîâàíèÿ íåêîòîðûõ îñíîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîíÿòèé. Àâòîð ïîêàçûâàåò ãëóáîêîå ïðîíèêíîâåíèå â òåìó è õîðîøåå âëàäåíèå ìàòåðèàëîì. Äèïëîìíàÿ ðàáîòà Áîëüøàêîâà À. À. çàñëóæèâàåò âûñîêîé îöåíêè. Çàâåäóþùèé êàôåäðîé ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, êàíäèäàò ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ Çàõàðîâ Ñ. À. Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè Àñòðàõàíñêèé ïåäàãîãè÷åñêèé èíñòèòóò èì. Ñ. Ì. Êèðîâà Òðè êðèçèñà ÄÈÏËÎÌÍÀß ÐÀÁÎÒÀ
ñòóäåíòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü Àñòðàõàíü · 96 Îãëàâëåíèå
Ââåäåíèå I. Ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â äðåâíåé Ãðåöèè îò Ïèôàãîðà äî Åâêëèäà. 1. Ìàòåìàòèêà ïèôàãîðåéöåâ 2. Ïðîáëåìà áåñêîíå÷íîñòè â äðåâíåãðå÷åñêîé ôèëîñîôèè è ìàòåìàòèêå 3. Òðè çíàìåíèòûõ çàäà÷è äðåâíîñòè 4. Ïðåîäîëåíèå êðèçèñà îñíîâ äðåâíåãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè II. Ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â XVIII è â ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà 1. Îñîáåííîñòè ñïîñîáîâ îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â êîíöå XVII è â XVIII âåêå 2. Ðàçðàáîòêà ñïîñîáîâ îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XVIII è ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà III. Ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XIX âåêà è íà÷àëà XX âåêà 1. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ Ã. Êàíòîðà 2. Òðóäíîñòè ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ. Êðèòèêà êîíöåïöèè Ã. Êàíòîðà 3. Ïàðàäîêñû (àíòèíîìèè) òåîðèè ìíîæåñòâ 4. Àêñèîìàòè÷åñêèå ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ ïî Öåðìåëî 5. Ïðîáëåìà ñóùåñòâîâàíèÿ â ìàòåìàòèêå Ñïèñîê ëèòåðàòóðû. Ñîçäàíèå íîâûõ è äàëüíåéøåå ðàçâèòèå ñóùåñòâóþùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé ñâÿçàíî îáû÷íî ñ óòî÷íåíèåì (îáîáùåíèåì) èõ èñõîäíûõ îñíîâíûõ ïîíÿòèé è ïîñûëîê è îñíîâàííûõ íà íèõ ìåòîäîâ. Ìàòåìàòèêè íåðåäêî âñòðå÷àëèñü ñ òðóäíîñòÿìè, ïðåîäîëåòü êîòîðûå èì óäàâàëîñü òîëüêî ïîñëå ïðîäîëæèòåëüíûõ ïîèñêîâ. Ýòè òðóäíîñòè ðîñòà ìàòåìàòèêè — òðóäíîñòè å¸ îáîñíîâàíèÿ: îíè áûëè, åñòü è áóäóò â äàëüíåéøåì. Òðóäíîñòè îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè èãðàþò íàèáîëåå çíà÷èòåëüíóþ ðîëü â ðàçâèòèè ìàòåìàòèêè òîãäà, êîãäà âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü â êîðåííîé ïåðåðàáîòêå îñíîâ è ìåòîäîëîãèè âñåõ (èëè äîñòàòî÷íî áîëüøîãî ÷èñëà) ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé.  ýòèõ ñëó÷àÿõ ãîâîðÿò î êðèçèñå îñíîâ ìàòåìàòèêè. Èçâåñòíû òðè òàêèõ êðèçèñà. Âïåðâûå êðèçèñ îñíîâ íàóê âîçíèê â ìàòåìàòèêå â äðåâíåé Ãðåöèè, â íà÷àëå å¸ ôîðìèðîâàíèÿ êàê íàó÷íîé ñèñòåìû. Âòîðîé èìåë ìåñòî â êîíöå XVII è â XVIII âåêå. Òðåòèé âîçíèê â êîíöå XIX âåêà, îí íå ïðåîäîëåí è â íàøå âðåìÿ è îêàçûâàåò âëèÿíèå íà ðàçâèòèå ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè. Ìû ðàññìîòðèì ñóùíîñòü ýòèõ êðèçèñîâ ìàòåìàòèêè, èìåÿ â âèäó ïðåèìóùåñòâåííî ïîäòâåðæäåíèå âûâîäîâ, ñäåëàííûõ ðàíåå î çàêîíîìåðíîñòÿõ ðàçâèòèÿ ìàòåìàòèêè êàê òåîðèè. Ìàòåìàòèêà êàê òåîðèÿ ïîëó÷èëà ðàçâèòèå â øêîëå Ïèôàãîðà (571–479 ãã. äî í. ý.). Ãëàâíîé çàñëóãîé ïèôàãîðåéöåâ â îáëàñòè íàóêè ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííîå ðàçâèòèå ìàòåìàòèêè êàê ïî ñîäåðæàíèþ, òàê è ïî ôîðìå. Ïî ñîäåðæàíèþ — îòêðûòèå íîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôàêòîâ. Ïî ôîðìå — ïîñòðîåíèå ãåîìåòðèè è àðèôìåòèêè êàê òåîðåòè÷åñêèõ, äîêàçàòåëüíûõ íàóê, èçó÷àþùèõ ñâîéñòâà îòâëå÷åííûõ ïîíÿòèé î ÷èñëàõ è ãåîìåòðè÷åñêèõ ôîðìàõ. Äåäóêòèâíîå ïîñòðîåíèå ãåîìåòðèè ÿâèëîñü ìîùíûì ñòèìóëîì å¸ äàëüíåéøåãî ðîñòà. Ïèôàãîðåéöû ðàçâèëè è îáîñíîâàëè ïëàíèìåòðèþ ïðÿìîëèíåéíûõ ôèãóð: ó÷åíèå î ïàðàëëåëüíûõ ëèíèÿõ, òðåóãîëüíèêàõ, ÷åòûðåõóãîëüíèêàõ, ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêàõ. Ïîëó÷èëà ðàçâèòèå ýëåìåíòàðíàÿ òåîðèÿ îêðóæíîñòè è êðóãà. Íàëè÷èå ó ïèôàãîðåéöåâ ó÷åíèÿ î ïàðàëåëüíûõ ëèíèÿõ ãîâîðèò î òîì, ÷òî îíè âëàäåëè ìåòîäîì äîêàçàòåëüñòâà îò ïðîòèâíîãî è âïåðâûå äîêàçàëè òåîðåìó î ñóììå óãëîâ òðåóãîëüíèêà. Âåðøèíîé äîñòèæåíèé ïèôàãîðåéöåâ â ïëàíèìåòðèè ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ïèôàãîðà. Ïîñëåäíÿÿ çà ìíîãî ñòîëåòèé ðàíüøå áûëà ñôîðìóëèðîâàíà âàâèëîíñêèìè, êèòàéñêèìè è èíäèéñêèìè ó÷åíûìè, îäíàêî å¸ äîêàçàòåëüñòâî èì íå áûëî èçâåñòíî. Óñïåõè ïèôàãîðåéöåâ â ñòåðåîìåòðèè áûëè çíà÷èòåëüíûìè. Îíè çàíèìàëèñü èçó÷åíèåì ñâîéñòâ øàðà, îòêðûëè ïîñòðîåíèå ÷åòûðåõ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ — òåòðàýäðà, êóáà, îêòàýäðà è äîäåêàýäðà (èêîñàýäð èññëåäîâàë âïîñëåäñòâèè Ãåýòåò). Îäíàêî îíè íå ñìîãëè îáîñíîâàòü óòâåðæäåíèÿ, îòíîñÿùèåñÿ ê îáúåìàì òåë (ïèðàìèäû, êîíóñà, öèëèíäðà è øàðà), õîòÿ, êîíå÷íî, ýòè óòâåðæäåíèÿ áûëè óñòàíîâëåíû ýìïèðè÷åñêè ìíîãî âåêîâ ðàíüøå. Íå çíàëè ïèôàãîðåéöû è îòíîøåíèÿ ïîâåðõíîñòè øàðà ê áîëüøîìó êðóãó.  îáëàñòè àðèôìåòèêè ïèôàãîðåéöû èçó÷àëè ñâîéñòâà ÷åòíûõ è íå÷åòíûõ, ïðîñòûõ è ñîñòàâíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, èñêàëè ñîâåðøåííûå ÷èñëà, ò. å. òàêèå, êîòîðûå ðàâíû ñóììå âñåõ ñâîèõ äåëèòåëåé (íàïðèìåð, 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14). Ïî âèäèìîìó, îíè óñòàíîâèëè, ÷òî åñëè ÷èñëî 2ï
–1 ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì, òî ÷èñëî 2ï–1
´(2ï
–1) — ñîâåðøåííîå. Ïèôàãîðåéöû çíàëè òàêæå äðîáíûå ÷èñëà è â ýòîé ñâÿçè ðàçðàáîòàëè òåîðèþ àðèôìåòè÷åñêîé è ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîïîðöèé. Îíè âëàäåëè ïîíÿòèÿìè ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî, ñðåäíåãî ãåîìåòðè÷åñêîãî è ñðåäíåãî ãàðìîíè÷åñêîãî. Êàê íè âåëèêè çàñëóãè ïèôàãîðåéöåâ â ðàçâèòèè ñîäåðæàíèÿ è ñèñòåìàòèçàöèè ãåîìåòðèè è àðèôìåòèêè, îäíàêî âñå îíè íå ìîãóò ñðàâíèòüñÿ ñî ñäåëàííûì èìè æå îòêðûòèåì íåñîèçìåðèìûõ âåëè÷èí. Ýòî îòêðûòèå ÿâèëîñü ïîâîðîòíûì ïóíêòîì â èñòîðèè àíòè÷íîé ìàòåìàòèêè. Ïî ïîâîäó ýòîãî îòêðûòèÿ Àðèñòîòåëü ãîâîðèë, ÷òî Ïèôàãîð ïîêàçàë, ÷òî åñëè áû äèàãîíàëü êâàäðàòà áûëà áû ñîèçìåðèìà ñ åãî ñòîðîíîé, òî ÷åòíîå ðàâíÿëîñü áû íå÷åòíîìó. Ýòî çàìå÷àíèå Àðèñòîòåëÿ ÿñíî ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè äîêàçàòåëüñòâå íåñîèçìåðèìîñòè äèàãîíàëè êâàäðàòà ñ åãî ñòîðîíîé Ïèôàãîð èñïîëüçîâàë ìåòîä îò ïðîòèâíîãî (ðèñ. 1). Ïóñòü, äåéñòâèòåëüíî, äèàãîíàëü ÀÂ
ñîèçìåðèìà ñî ñòîðîíîé ÀÑ
êâàäðàòà ÀÑÂÄ
. Òîãäà Ïðèìåì ÀÑ
=1. Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà äîëæíî áûòü:
Çíà÷èò
ò. å. ð
2
äåëèòñÿ íàöåëî íà 2; ñëåäîâàòåëüíî è ð
òàêæå äåëèòñÿ íàöåëî íà 2: ð=2ð
1
, ãäå ð
1
— íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì: q=2q
1
, ãäå q
1
òàêæå íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Èòàê, ð
è q
— îáà ÷åòíûå ÷èñëà. Ïîñêîëüêó ð
èëè q
— ÷èñëî íå÷åòíîå, âûõîäèò, ÷òî ÷åòíîå ÷èñëî ðàâíî íå÷åòíîìó ÷èñëó.  êîíöå V âåêà äî í. ý. Ôåîäîð èç Êèðåíû óñòàíîâèë, ÷òî íåñîèçìåðèìîñòü äèàãîíàëè êâàäðàòà ñ åãî ñòîðîíîé íå ÿâëÿåòñÿ èñêëþ÷åíèåì. Îí ïîêàçàë, ÷òî ñòîðîíû êâàäðàòîâ, ïëîùàäè êîòîðûõ ðàâíû 3, 5, 6, …, 17 íåñîèçìåðèìû ñî ñòîðîíîé åäèíè÷íîãî êâàäðàòà. Ïèôàãîð ó÷èë, ÷òî ñóùíîñòü âñåõ âåùåé åñòü ÷èñëî; ÷èñëî — ñàìè âåùè; ãàðìîíèÿ ÷èñåë — ãàðìîíèÿ ñàìèõ âåùåé. Àðèñòîòåëü ãîâîðèë, ÷òî ó ïèôàãîðåéöåâ ÷èñëà ïðèíèìàëèñü çà íà÷àëî è â êà÷åñòâå ìàòåðèè è â êà÷åñòâå [âûðàæåíèÿ äëÿ] èõ ñîñòîÿíèÿ è ñâîéñòâ. Îòêðûòèå íåñîèçìåðèìûõ âåëè÷èí ñíà÷àëà “âûçâàëî óäèâëåíèå” (Àðèñòîòåëü). Ýòî åñòåñòâåííî: äî îòêðûòèÿ Ïèôàãîðà äðåâíåãðå÷åñêèå ìàòåìàòèêè ñ÷èòàëè, ÷òî ëþáûå äâà îòðåçêà èìåþò îáùóþ ìåðó, õîòÿ, ìîæåò áûòü, è î÷åíü ìàëóþ. Êîãäà, îäíàêî, ïèôàãîðåéöû óáåäèëèñü, ÷òî äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ íåñîèçìåðèìûõ âåëè÷èí áåçóïðå÷íî, îíè ïîíÿëè, ÷òî èõ ôèëîñîôèÿ îêàçàëàñü â çàòðóäíèòåëüíîì ïîëîæåíèè. Ïèôàãîðåéöû çíàëè òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå öåëûå è äðîáíûå ÷èñëà. Ñëåäóÿ ñâîåé ôèëîñîôñêîé óñòàíîâêå, îíè, ïî ñóòè äåëà, ñ÷èòàëè, ÷òî êàæäàÿ âåùü ìîæåò áûòü îõàðàêòåðèçîâàíà ïîëîæèòåëüíûì öåëûì èëè äðîáíûì ÷èñëîì, êîòîðîå “âûðàæàåò ñóùíîñòü” ýòîé âåùè. Íà äåëå ýòî îçíà÷àëî, ÷òî ãåîìåòðèÿ ñòðîèëàñü íà áàçå àðèôìåòèêè. Îòêðûòèå íåñîèçìåðèìûõ îòðåçêîâ çíàìåíîâàëî ïîýòîìó íà÷àëî êðèçèñà ïèôàãîðåéñêîé ôèëîñîôèè è ìåòîäîëîãè÷åñêèõ îñíîâ ðàçâèâàåìîé èìè ñèñòåìû ìàòåìàòèêè. Ïîñëå îáíàðóæåíèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ íåñîèçìåðèìûõ âåëè÷èí ïåðåä ïèôàãîðåéöàìè îòêðûëèñü äâå âîçìîæíîñòè. Ìîæíî áûëî ïîïûòàòüñÿ ðàñøèðèòü ïîíÿòèå ÷èñëà çà ñ÷åò ïðèñîåäèíåíèÿ ê ðàöèîíàëüíûì ÷èñëàì ÷èñåë èððàöèîíàëüíûõ, îõàðàêòåðèçîâàòü íåñîèçìåðèìûå âåëè÷èíû ÷èñëàìè èíîé ïðèðîäû è òàêèì îáðàçîì âîññòàíîâèòü ñèëó ôèëîñîôñêîãî ïðèíöèïà “âñå åñòü ÷èñëî”. Îäíàêî, ýòîò ïóòü ñòîëü åñòåñòâåííûé è ïðîñòîé ñ ñîâðåìåííîé òî÷êè çðåíèÿ, äëÿ ïèôàãîðåéöåâ áûë çàêðûò.  ýòîì ñëó÷àå íàäî áûëî ïîñòðîèòü äîñòàòî÷íî ñòðîãóþ àðèôìåòè÷åñêóþ òåîðèþ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ÷òî ïðè óðîâíå ïèôàãîðåéñêîé ìàòåìàòèêè áûëî äåëîì íåâûïîëíèìûì. Ïîýòîìó íàäî áûëî èäòè ïî äðóãîìó ïóòè — ïî ïóòè îïðåäåëåííîãî ïåðåñìîòðà èñõîäíûõ ïðèíöèïîâ, íàïðèìåð ïðèíÿòü, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêèå îáúåêòû ÿâëÿþòñÿ âåëè÷èíàìè áîëåå îáùåé ïðèðîäû, ÷åì äðîáíûå è öåëûå ÷èñëà, è ïûòàòüñÿ ñòðîèòü âñþ ìàòåìàòèêó íå íà àðèôìåòè÷åñêîé, à íà ãåîìåòðè÷åñêîé îñíîâå. Èìåííî ýòîò âòîðîé ïóòü è èçáðàëè ïèôàãîðåéöû, à âñëåä çà íèìè áîëüøèíñòâî äðåâíåãðå÷åñêèõ ìàòåìàòèêîâ, âïëîòü äî Àðõèìåäà è Àïîëëîíèÿ.  äðåâíåãðå÷åñêîé ôèëîñîôèè ïîíÿòèå áåñêîíå÷íîñòè ïîÿâèëîñü âïåðâûå ó ìàòåðèàëèñòîâ ìèëåòñêîé øêîëû. Àíàêñèìàíäð (610–546 ãã. äî í. ý.), ïåðååìíèê Ôàëåñà, ó÷èë: ìàòåðèÿ áåñêîíå÷íà â ïðîñòðàíñòâå è âî âðåìåíè; âñåëåííàÿ áåñêîíå÷íà, ÷èñëî ìèðîâ áåñêîíå÷íî. Àíàêñèìåí (546 ã. äî í. ý. — ðàñöâåò äåÿòåëüíîñòè) ãîâîðèë: âå÷íûé êðóãîâîðîò ìàòåðèè — ýòî è åñòü áåñêîíå÷íîñòü. Ïîíÿòèå áåñêîíå÷íîñòè êàê ìàòåìàòè÷åñêàÿ êàòåãîðèÿ âïåðâûå ïîÿâëÿåòñÿ ó Àíàêñèãîðà (îêîëî 500–428 ãã. äî í. ý.).  ñî÷èíåíèè “Î ïðèðîäå” Àíàêñèãîð ïèñàë: âåùè áåñêîíå÷íî äåëèìû, íåò ïîñëåäíåé ñòóïåíè äåëèìîñòè ìàòåðèè; ñ äðóãîé ñòîðîíû, âñåãäà èìååòñÿ íå÷òî áîëüøåå, ÷òî ÿâëÿåòñÿ áîëüøèì. Áåñêîíå÷íîñòü äëÿ Àíàêñîãîðà — ïîòåíöèàëüíàÿ; îíà ñóùåñòâóåò â äâóõ ôîðìàõ: êàê áåñêîíå÷íî ìàëîå è áåñêîíå÷íî áîëüøîå.  ìàòåìàòèêå òî÷êà çðåíèÿ Àíàêñàãîðà íàøëà áëàãîïðèÿòíóþ ïî÷âó áëàãîäàðÿ îòêðûòèþ íåñîèçìåðèìûõ âåëè÷èí — âåëè÷èí, êîòîðûå íå ìîãóò áûòü èçìåðåíû ëþáîé, êàêîé óãîäíî ìàëîé, îáùåé ìåðîé. Äåìîêðèò (îêîëî 560–570 ãã. äî í. ý.), ïî-âèäèìîìó, èçó÷àë òàê íàçûâàåìûå ðîãîâèäíûå óãëû (óãëû, îáðàçóåìûå äóãîé îêðóæíîñòè è êàñàòåëüíîé ê íåé). Ïîñêîëüêó êàæäûé ðîãîâèäíûé óãîë “ìåíüøå” ëþáîãî ïðÿìîëèíåéíîãî óãëà, çäåñü ïîÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå àêòóàëüíî áåñêîíå÷íî ìàëîãî. Âïîñëåäñòâèè ïîÿâèëîñü è ïîíÿòèå àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè. Àðèñòîòåëü (384–322 ãã. äî í. ý.) îò÷åòëèâî ðàçëè÷àåò äâà âèäà áåñêîíå÷íîñòè: ïîòåíöèàëüíóþ è àêòóàëüíóþ. Ïîíÿòèå àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè â äðåâíåé Ãðåöèè íå ïîëó÷èëî ðàçâèòèÿ êàê â ôèëîñîôèè, òàê è â ìàòåìàòèêå. Ìàòåìàòèêè ñ÷èòàëè, ÷òî “öåëîå áîëüøå ëþáîé ñâîåé ÷àñòè” è, òåì ñàìûì, ïî ñóùåñòâó, èñêëþ÷àëè àêòóàëüíóþ áåñêîíå÷íîñòü. Ôèëîñîôû (Àðèñòîòåëü, íàïðèìåð) äîêàçûâàëè ïðîòèâîðå÷èâîñòü ïîíÿòèÿ àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè è òåì ñàìûì ïîääåðæèâàëè ìàòåìàòèêîâ. Ïîíÿòèå áåñêîíå÷íîñòè ïîäâåðãàëîñü ñåðüåçíîé êðèòèêå ñî ñòîðîíû Çåíîíà Ýëåéñêîãî (îêîëî 490–430 ãã. äî í. ý.). Çåíîí áûë ó÷åíèêîì Ïàðìåíèäà, ãëàâû ýëåéñêîé øêîëû. Ïàðìåíèä óòâåðæäàë, ÷òî áûòèå åäèíî, íåïîäâèæíî è íåèçìåííî. Äâèæåíèå, èçìåíåíèå — ýòî òîëüêî âèäèìîñòü, îáóñëîâëåííàÿ íåñîâåðøåíñòâîì íàøèõ îðãàíîâ ÷óâñòâ. Ìèð (áûòèå) ìîæåò áûòü ïîçíàí òîëüêî ðàçóìîì, íî íå ÷óâñòâàìè. Çåíîí Ýëåéñêèé âûäâèíóë 45 àïîðèé (àíòèíîìèé), èìåÿ ïðè ýòîì öåëüþ ðàçâèòü è ëó÷øå îáîñíîâàòü ó÷åíèå Ïàðìåíèäà. Èç ýòèõ àíòèíîìèé äî íàøåãî âðåìåíè äîøëî òîëüêî 9. Âîò íàèáîëåå õàðàêòåðíûå èç íèõ. Ïðîòèâ äâèæåíèÿ. “Äèõîòîìèÿ”.
Äâèæåíèÿ íåò, ïîòîìó ÷òî òî, ÷òî äâèæåòñÿ, äîëæíî äîéòè äî ñåðåäèíû, ïðåæäå ÷åì îíî äîéäåò äî êîíöà. Íî åñëè áû òåëî äîøëî äî ñåðåäèíû, îíî äîëæíî áûëî áû ðàíüøå äîéòè äî ñåðåäèíû ýòîé ñåðåäèíû è ò. ä. äî áåñêîíå÷íîñòè, à ýòî íåâîçìîæíî. Òàêèì îáðàçîì äâèæåíèå íå ìîæåò íà÷àòüñÿ. “Àõèëëåñ è ÷åðåïàõà”.
Ìåäëåííûé â áåãå íèêîãäà íå áóäåò ïåðåãíàí áûñòðûì, ïîòîìó ÷òî òîò, êòî ïðåñëåäóåò, äîëæåí ñíà÷àëà äîñòè÷ü òî÷êè, èç êîòîðîé íà÷àë óáåãàþùèé, òàê ÷òî óáåãàþùèé âñåãäà áóäåò íà íåêîòîðîì ðàññòîÿíèè âïåðåäè. Çàñëóãà Çåíîíà Ýëåéñêîãî â ðàçâèòèè ôèëîñîôèè è ìàòåìàòèêè ñîñòîèò â òîì, ÷òî îí âûÿâèë ðåàëüíóþ ïðîòèâîðå÷èâîñòü âðåìåíè, äâèæåíèÿ è ïðîñòðàíñòâà, à çíà÷èò è áåñêîíå÷íîñòü. Â. È. Ëåíèí ïèñàë, ÷òî Çåíîí íå îòðèöàë ÷óâñòâåííóþ äîñòîâåðíîñòü äâèæåíèÿ; åãî èíòåðåñîâàë âîïðîñ, êàê âûðàçèòü ñóùíîñòü äâèæåíèÿ â ëîãèêå ïîíÿòèé. Îäíàêî, Çåíîí ïîñëåäíþþ çàäà÷ó íå ðåøèë, íå ðåøèëè å¸ è äðóãèå ó÷åíûå äðåâíåé Ãðåöèè.  ðàçâèòèè ñîäåðæàíèÿ è ñïîñîáîâ îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè äðåâíåé Ãðåöèè âûäàþùóþñÿ ðîëü ñûãðàëè òðè çàäà÷è: òðèñåêöèÿ óãëà, óäâîåíèå êóáà (äåëèéñêàÿ çàäà÷à) è êâàäðàòóðà êðóãà. Ïðîáóæäåíèå îñîáîãî èíòåðåñà ê ýòèì çàäà÷àì èìåííî â äðåâíåé Ãðåöèè íå ñëó÷àéíî. Ïðè ïîñòðîåíèè ìàòåìàòèêè êàê äåäóêòèâíîé ñèñòåìû, áàçèðóþùåéñÿ íà ãåîìåòðè÷åñêîì ôóíäàìåíòå äâå ïåðâûå çàäà÷è ïîÿâëÿþòñÿ êàê åñòåñòâåííûå îáîáùåíèÿ áîëåå ýëåìåíòàðíûõ çàäà÷. Çàäà÷à î êâàäðàòóðå êðóãà áûëà ïîëó÷åíà “ïî íàñëåäñòâó” îò äðåâíèõ åãèïòÿí è âàâèëîíÿí. Òðèñåêöèÿ óãëà. Äàí ÐÀÂÑ
, òðåáóåòñÿ ðàçäåëèòü åãî íà òðè ðàâíûå ÷àñòè. Ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è îòíîñèòñÿ ê ëþáîìó óãëó è ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì çàäà÷è î äåëåíèè äàííîãî óãëà íà äâå ðàâíûå ÷àñòè. Óäâîåíèå êóáà. Ïîñòðîèòü êóá, îáúåì êîòîðîãî â äâà ðàçà áîëüøå îáúåìà äàííîãî êóáà. Ïîñòðîèòü êâàäðàò, ïëîùàäü êîòîðîãî â äâà ðàçà áîëüøå ïëîùàäè äàííîãî êâàäðàòà. Åñëè ñòîðîíà äàííîãî êâàäðàòà à
, à èñêîìîãî õ
, òî õ
2
=2à
2
; Âïîëíå åñòåñòâåííî áûëî ïåðåéòè îò ýòîé çàäà÷è íà ïëîñêîñòè ê ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è â ïðîñòðàíñòâå: ïîñòðîèòü êóá, îáúåì êîòîðîãî â äâà ðàçà áîëüøå îáúåìà äàííîãî êóáà. Êâàäðàòóðà êðóãà. Ïîñòðîèòü êâàäðàò, ïî ïëîùàäè ðàâíûé äàííîìó êðóãó. Íè îäíà èç óêàçàííûõ çàäà÷ íå ðàçðåøèìà öèðêóëåì è ëèíåéêîé. Ïèôàãîðåéöû çàëîæèëè îñíîâû ãåîìåòðè÷åñêîé àëãåáðû. Òåýòåò è Åâêëèä óñòàíîâèëè êëàññèôèêàöèþ êâàäðàòè÷íûõ èððàöèîíàëüíîñòåé. Åâäîïñ ðàçâèë îáùóþ òåîðèþ ïðîïîðöèé — ãåîìåòðè÷åñêèé ýêâèâàëåíò òåîðèè ïîëîæèòåëüíûõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë — è ðàçðàáîòàë ìåòîä èñ÷åðïûâàíèÿ — çà÷àòî÷íóþ ôîðìó òåîðèè ïðåäåëîâ, îñíîâàííóþ íà ãåîìåòðè÷åñêîé áàçå. Ýòè òåîðèè ñîçäàëè ïðî÷íûé êàðêàñ çäàíèÿ äðåâíåãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè, ôóíäàìåíòîì êîòîðîãî áûëà ãåîìåòðèÿ; òåì ñàìûì ïðåîäîëåâàëèñü òðóäíîñòè, ñâÿçàííûå ñ ôàêòîì ñóùåñòâîâàíèÿ íåñîèçìåðèìûõ âåëè÷èí. ×òîáû èçáåæàòü òðóäíîñòåé â îáîñíîâàíèè ìàòåìàòèêè, ñâÿçàííûõ ñ ïàðàäîêñàìè áåñêîíå÷íîñòè (Çåíîí, Àðèñòîòåëü), áîëüøèíñòâî ó÷åíûõ äðåâíåé Ãðåöèè ïðåäïî÷ëè îòêàçàòüñÿ îò èñïîëüçîâàíèÿ â ìàòåìàòèêå èäåé áåñêîíå÷íîñòè è äâèæåíèÿ èëè ñâåñòè èõ ïðèìåíåíèå ê ìèíèìóìó.  êà÷åñòâå òàêîãî ìèíèìóìà áûëî ïðèíÿòî óòâåðæäåíèå î íåîãðàíè÷åííîé äåëèìîñòè ãåîìåòðè÷åñêèõ âåëè÷èí. Ðàññìîòðåíèå òðåõ çíàìåíèòûõ çàäà÷ ïðèâåëî äðåâíåãðå÷åñêèõ ó÷åíûõ ê óáåæäåíèþ, ÷òî ðåøåíèå ãåîìåòðè÷åñêîé çàäà÷è ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ âûïîëíåííûì ñòðîãî ãåîìåòðè÷åñêè ëèøü ïðè óñëîâèè èñïîëüçîâàíèÿ òîëüêî (èäåàëüíûõ) öèðêóëÿ è ëèíåéêè. Èñïîëüçîâàíèå ìåõàíè÷åñêèõ ñðåäñòâ â ãåîìåòðèè íå äîïóñêàåòñÿ. Òîëüêî ïîñëå îñíîâîïîëàãàþùèõ ðàáîò ïèôàãîðåéöåâ, Òåýòåòà, Åâäîêñà è äðóãèõ ìàòåìàòèêîâ, ïîñëå ñîãëàøåíèÿ î íåîáõîäèìûõ îãðàíè÷åíèÿõ è äîïóñòèìûõ ñðåäñòâàõ ïîñòðîåíèÿ, Åâêëèä íàïèñàë “Íà÷àëà
”, ïîñâÿùåííûå îñíîâàì è ìåòîäàì äðåâíåãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè.  “Íà÷àëàõ
” Åâêëèäà êðèçèñ îñíîâ äðåâíåãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè áûë ïðåîäîëåí — êîíå÷íî, äëÿ ñâîåãî âðåìåíè, è, äîáàâèì, ïðåîäîëåí íå âî âñåõ ïóíêòàõ è íå âñåãäà ñîâåðøåííûì îáðàçîì.  êîíöå XVII è â XVIII âåêå âñå âîçðàñòàþùèå çàïðîñû ïðàêòèêè è äðóãèõ íàóê ïîáóæäàëè ó÷åíûõ ìàêñèìàëüíî ðàñøèðÿòü îáëàñòü è ìåòîäû èññëåäîâàíèé ìàòåìàòèêè. Ïîíÿòèÿ áåñêîíå÷íîñòè, äâèæåíèÿ è ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè âûäâèãàþòñÿ íà ïåðâîå ìåñòî, ñòàíîâÿòñÿ îñíîâîé íîâûõ ìåòîäîâ ìàòåìàòèêè.  êîíöå XVII è â XVIII âåêå â ìàòåìàòèêå è ìåõàíèêå áûëè ïîëó÷åíû êëàññè÷åñêèå ðåçóëüòàòû ôóíäàìåíòàëüíîãî çíà÷åíèÿ. Îñíîâíûì çäåñü áûëî ðàçâèòèå äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ, òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ è àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêè. Çíà÷èòåëüíûå ðåçóëüòàòû áûëè ïîëó÷åíû â àëãåáðå è òåîðèè ÷èñåë. À. Ýéëåð, à âñëåä çà íèì è íåêîòîðûå äðóãèå ó÷åíûå âòîðîé ïîëîâèíû XVIII âåêà ïðîäåëàëè áîëüøóþ ðàáîòó ïî ñèñòåìàòèçàöèè ñîäåðæàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ äèñöèïëèí, â ïåðâóþ î÷åðåäü ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, à âìåñòå ñ íèì àëãåáðû è òðèãîíîìåòðèè. Âìåñòå ñ òåì, â ðàññìàòðèâàåìûé ïåðèîä ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé — îñîáåííî äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ — ðåçêî îòñòàâàëè îò áóðíî ðàçâèâàþùåãîñÿ ñîäåðæàíèÿ ìàòåìàòèêè. Ýòî îòñòàâàíèå ïðîÿâèëîñü â ðàçëè÷íûõ, ìåæäó ñîáîé ñâÿçàííûõ ôîðìàõ è ïðèòîì ñâîåîáðàçíî â îòäåëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèÿõ. Îáùåé ÷åðòîé ïîïûòîê îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè ñ êîíöà XVII è ïëàíîìåðíî äî ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XVIII âåêà áûëî ñòðåìëåíèå îáîñíîâàòü êàæäóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ òåîðèþ â ïîëíîì ñîîòâåòñòâèè ñ èñòèíàìè ýëåìåíòàðíîé, “íèçøåé” (ïî òåðìèíîëîãèè Ô. Ýíãåëüñà) ìàòåìàòèêè, ò. å. ýëåìåíòàðíîé ìàòåìàòèêè, êàêîé îíà áûëà ïðèìåðíî äî îòêðûòèÿ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè
. Ýòî ñòðåìëåíèå ïðîÿâèëîñü â äâóõ ôîðìàõ. Ñíà÷àëà ìàòåìàòèêè ïûòàëèñü âîçäâèãíóòü ðàçâèâàåìûå èìè ìàòåìàòè÷åñêèå òåîðèè íà ôóíäàìåíòå, ïîñòðîåííîì â ñâîå âðåìÿ äëÿ îáîñíîâàíèÿ “íèçøåé” ìàòåìàòèêè. Ýòî õîðîøî ïîêàçûâàþò ãîñïîäñòâîâàâøèå â òî âðåìÿ ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ àëãåáðû è ó÷åíèÿ î ÷èñëå. Åñëè æå òàêîå ïîñòðîåíèå ÿâíî íå óäàâàëîñü (÷òî áûëî îñîáåííî ÿñíî â îòíîøåíèè äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ ñ ìîìåíòà åãî âîçíèêíîâåíèÿ), òî ñòàðàëèñü îáîñíîâàòü ìàòåìàòè÷åñêóþ òåîðèþ íà ïðèíöèïàõ, ñïåöèàëüíî äëÿ íå¸ ðàçðàáîòàííûõ, ñîäåðæàíèå êîòîðûõ ìîæíî ìàêñèìàëüíî ñîãëàñîâàòü, “ïðèìèðèòü” (Ýíãåëüñ) ñ èñòèíàìè “íèçøåé” ìàòåìàòèêè. Èíà÷å ãîâîðÿ, â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïðèíöèïû è óòâåðæäåíèÿ “íèçøåé” ìàòåìàòèêè ìåòàôèçè÷åñêè àáñîëþòèçèðîâàëèñü
, ðàññìàòðèâàëèñü êàê íåçûáëåìûé
ôóíäàìåíò êàæäîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè.  êîíöå XVII è îñîáåííî â ïåðâûõ òðåõ ÷åòâåðòÿõ XVIII âåêà îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû, óñòàíîâëåííûå â îäíîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ÷àñòî ïåðåíîñèëèñü â íîâûå îáëàñòè èññëåäîâàíèÿ, ñîâåðøåííî ôîðìàëüíî, ò. å. áåç îáîñíîâàíèÿ
. Çàêîíû àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ôîðìèðîâàëèñü áåç óêàçàíèÿ ïåðåìåííûõ, äëÿ êîòîðûõ îíè ñïðàâåäëèâû, è áåç óêàçàíèÿ ãðàíèö èõ ïðèìåíèìîñòè. Òàêàÿ òðàêòîâêà çàêîíîâ àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, åñòåñòâåííî, ðàñïðîñòðàíÿëàñü è íà îñíîâûâàþùèåñÿ íà íèõ àëãîðèòìû. Ê ñåðåäèíå XVIII âåêà îïèñàííàÿ òðàêòîâêà çàêîíîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà è àëãåáðû ñòàëà íàñòîëüêî îáùåïðèíÿòîé, ÷òî Ë. Ýéëåð ñ÷åë âîçìîæíûì èñòîëêîâàòü å¸ êàê îñíîâíîé ïðèíöèï ìåòîäîëîãèè àíàëèçà âîîáùå. Ñëó÷èëîñü ýòî ïðè ñëåäóþùèõ îáñòîÿòåëüñòâàõ.  íà÷àëå XVIII âåêà ìåæäó Ëåéáíèöåì è È. Áåðíóëëè âîçíèê ñïîð î “ïðèðîäå” ëîãàðèôìîâ îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë. È. Áåðíóëëè ïîëàãàë, ÷òî ïðè õ
>0, ln
(–x
)=ln x
, òàê êàê Ëåéáíèö íå ñîãëàñèëñÿ ñ È. Áåðíóëëè; îí óòâåðæäàë, ÷òî îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî èìååò áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî ëîãàðèôìîâ, ïðè÷åì âñå îíè — ÷èñëà êîìïëåêñíûå. Ñðåäè äðóãèõ ñâîèõ àðãóìåíòîâ Ëåéáíèö óêàçàë, ÷òî ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ln x
, óñòàíîâëåííîå äëÿ õ
>0, íå îáÿçàòåëüíî äîëæíî áûòü ñïðàâåäëèâûì è äëÿ ln
(–x
). Ïðè ïîìîùè îñîáîé àðãóìåíòàöèè Ë. Ýéëåð ðåøèë ñïîð â ïîëüçó Ëåéáíèöà. Îäíàêî óêàçàííûé àðãóìåíò Ëåéáíèöà Ýéëåð ðåøèòåëüíî îòêëîíèë. “Ýòî âîçðàæåíèå,— óêàçûâàë Ýéëåð,— åñëè áû îíî áûëî âåðíî, ïîêîëåáàëî áû îñíîâíîå ïîëîæåíèå âñåãî àíàëèçà, çàêëþ÷àþùååñÿ, â îñíîâíûõ ÷åðòàõ, â îáùíîñòè ïðàâèë è îïåðàöèé, ïðèçíàâàåìûõ ñïðàâåäëèâûìè, êàêîâà áû íè áûëà ïðèðîäà êîëè÷åñòâ, ê êîòîðûì îíè ïðèëàãàþòñÿ”. Êàê ìû âèäèì, ïîäõîä ìàòåìàòèêîâ â XVIII âåêå ê âûÿñíåíèþ ãðàíèö ïðèëîæèìîñòè ìåòîäîâ ìàòåìàòèêè è òðàêòîâêà å¸ ïðèíöèïîâ áûëè ÿâíî ìåòàôèçè÷åñêèìè.  XVIII âåêå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà íåðåäêî ïðîâîäèëè, îïèðàÿñü íà ãîñïîäñòâîâàâøèå òîãäà ìåõàíè÷åñêèå è ãåîìåòðè÷åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ. Íà÷àëî øèðîêîìó èñïîëüçîâàíèþ ìåõàíè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé êàê áàçû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ïîëîæèë Íüþòîí â ñâîåì ó÷åíèè î ôëþåíòàõ è ôëþêñèÿõ. ×òî æå êàñàåòñÿ óêàçàííîãî èñïîëüçîâàíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé, òî ïðîùå âñåãî âûÿñíèòü ñóòü äåëà íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå.  íàøå âðåìÿ òåîðåìà î ïðîõîæäåíèè íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ÷åðåç íóëåâîå çíà÷åíèå äîêàçûâàåòñÿ â êëàññè÷åñêîì ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå ÷èñòî àíàëèòè÷åñêè ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîíÿòèÿ áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà.  XVIII âåêå åñëè ýòà òåîðåìà è äîêàçûâàëàñü, òî ÷àùå âñåãî óêàçàíèåì íà òî, ÷òî íåïðåðûâíàÿ êðèâàÿ f(x)
, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè À
è Â
, ðàñïîëîæåííûå â ïëîñêîñòè ïî ðàçíûå ñòîðîíû îñè ÎÕ
, ñóùåñòâóåò ïî ìåíüøåé ìåðå îäíà òî÷êà ñ àáñöèññîé õ=ñ
, a<c<b
, äëÿ êîòîðîé f(ñ)=
0 (ðèñ. 3).
Ðèñ. 3 Ïîäîáíîãî ðîäà ãåîìåòðèçàöèÿ íåðåäêî âñòðå÷àëàñü â ðóêîâîäñòâàõ ïî àëãåáðå è àðèôìåòèêå. Íàïðèìåð, äîêàçàòåëüñòâî çàêîíà ïåðåìåñòèòåëüíîñòè ab=ba
, ÿêîáû âåðíîãî äëÿ ëþáûõ ÷èñåë è âåëè÷èí, îáû÷íî ñâîäèëè íà äâà ðàâíûõ, íî ðàçëè÷íî ðàñïîëîæåííûõ ïðÿìîóãîëüíèêà (ðèñ. 4). Ðèñ. 4 Ýéëåð è äðóãèå ìàòåìàòèêè XVIII âåêà çàäàâàëè ôóíêöèþ îäíèì àíàëèòè÷åñêèì âûðàæåíèåì è îò ýòîãî àíàëèòè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ å¸ íå îòäåëÿëè. Ïðè ýòîì, ïîä àíàëèòè÷åñêèì âûðàæåíèåì, âîîáùå ãîâîðÿ, ïîíèìàëîñü âûðàæåíèå, êîòîðîå ìîæíî ïîëó÷èòü, ñâÿçûâàÿ ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè (àëãåáðàè÷åñêèå è íåêîòîðûå òðàíñöåíäåíòàëüíûå, îäíîãî èëè íåñêîëüêèõ àðãóìåíòîâ) ïîñðåäñòâîì ñëîæåíèÿ, âû÷èòàíèÿ, óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ, âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü è èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ, ðåøåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé è èíòåãðèðîâàíèÿ. Ñ÷èòàëè, ÷òî çàäàíèå ôóíêöèè íà ëþáîì ïðîìåæóòêå îïðåäåëÿåò å¸ ïîâåäåíèå íà âñåé îñè ÎÕ
. Ñîîòâåòñòâåííî ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëÿëàñü êðèâîé, ÷àñòè êîòîðîé çàâèñÿò äðóã îò äðóãà è êîòîðóþ ìîæíî çàäàòü îäíèì àíàëèòè÷åñêèì âûðàæåíèåì óêàçàííîãî âèäà. Òàêèå ôóíêöèè ñ÷èòàëè íåïðåðûâíûìè (â ñìûñëå Ýéëåðà), íàçûâàëèñü ïðàâèëüíûìè. Ïðåäñòàâëåííàÿ íà ÷åðòåæå (ðèñ. 5) íåïðåðûâíàÿ â ñîâðåìåííîì ñìûñëå ôóíêöèÿ ó=|õ|
â ñìûñëå Ýéëåðà íå áûëà íåïðåðûâíîé. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè èñïîëüçîâàòü çàïàñ ôóíêöèé, ñ êàêèì ðàáîòàëè â XVIII âåêå, òî ýòà ôóíêöèÿ äîëæíà áûòü çàäàíà äâóìÿ ôîðìóëàìè: f(x)=x, 0
£x;
f(x)=–x, x
£0.
Ðèñ. 5 Âìåñòå ñ äðóãèìè ìàòåìàòèêàìè XVIII âåêà Ýéëåð ñ÷èòàë, ÷òî òàêîå òîëêîâàíèå ôóíêöèè è å¸ íåïðåðûâíîñòè äîñòàòî÷íû äëÿ èíòåãðàëüíîãî è äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ è òåîðèè îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Íî âîïðåêè èì îí ïîëàãàë âîçìîæíûì ðàññìàòðèâàòü â òåîðèè óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè è ôóíêöèè, çàäàíèå êîòîðûõ íà îòðåçêå íå îïðåäåëÿåò èõ ïîâåäåíèÿ â öåëîì, ò. å. â åãî òåðìèíàõ ïðîèçâîëüíûå
ôóíêöèè. Ýéëåð òðàêòîâàë íåïðåðûâíîñòü òàêèõ ôóíêöèé â ñîâðåìåííîì ñìûñëå è íàçûâàë èõ ñâÿçíûìè. Ê òàêîìó ðàñøèðåíèþ ïîíÿòèÿ ôóíêöèè Ýéëåð ïðèøåë â ñâÿçè ñ àíàëèçîì ðåçóëüòàòîâ èññëåäîâàíèé (ñâîèõ è äðóãèõ ìàòåìàòèêîâ) î êîëåáëþùèõñÿ ñòðóíàõ. Ðàññìàòðèâàÿ òîëüêî íåïðåðûâíîå è ìîíîòîííîå
èçìåíåíèå ïåðåìåííûõ — â òî âðåìÿ òàê ïîñòóïàëè â ìåõàíèêå è ãåîìåòðèè,— Íüþòîí, Äàëàìáåð è íåêîòîðûå ìàòåìàòèêè XVIII âåêà òîëêîâàëè ïðåäåë òîëüêî êàê òî, ÷òî ïîðîæäàåòñÿ
ïåðåìåííîé, ôàêòè÷åñêè êàê ïîñëåäíåå
çíà÷åíèå ïåðåìåííîé èëè êàê ïîñëåäíåå îòíîøåíèå ïåðåìåííûõ. Âîïðîñ, äîñòèãàåò ëè ïåðåìåííàÿ ýòîãî ñâîåãî ïîñëåäíåãî çíà÷åíèÿ, èëè ìîæåò ïîäîéòè ê íåìó êàê óãîäíî áëèçêî, íèêàêîé ðîëè íå èãðàåò.  ïðàêòèêå ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ïðåäåë äåéñòâèòåëüíî èçâëåêàëñÿ èç ïåðåìåííîé êàê å¸ ïîñëåäíåå çíà÷åíèå, êîòîðîå îíà ïðèíèìàåò èëè ìîæåò ïðèíÿòü.  êîíöå XVIII âåêà Ëàçàð Êàðíî íàçûâàåò ïðåäåëîì ïîñëåäíåå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, êîòîðàÿ ê íåìó ïðèáëèæàåòñÿ. Äàæå â 40-õ ãîäàõ ïðîøëîãî ñòîëåòèÿ Â. Â. Áóíèêîâñêèé ñ÷èòàë çàäà÷åé äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ “óëîâèòü îòíîøåíèÿ èçìåíÿþùèõñÿ ïî èçâåñòíîìó çàêîíó âåëè÷èí â òî ñàìîå ìãíîâåíèå, êîãäà ýòè âåëè÷èíû èñ÷åçàþò
”, ò. å. óëîâèòü ïîñëåäíåå çíà÷åíèå îòíîøåíèÿ ïåðåìåííûõ. Êàê ìû óâèäèì ýòà óçêàÿ (íî âûäàâàåìàÿ çà âñåîáùóþ) òðàêòîâêà ïîíÿòèÿ ïðåäåëà ñûãðàëà îñîáî âàæíóþ ðîëü â ðàçâåðòûâàíèè òðóäíîñòåé îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà â XVIII è íà÷àëå XIX âåêà. Ìàòåìàòèêè XVII–XVIII âåêîâ ïîëàãàëè òàêæå, ÷òî ëþáàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ f(x)
â êàæäîé òî÷êå, çà èñêëþ÷åíèåì, áûòü ìîæåò, èõ êîíå÷íîãî ÷èñëà èìååò ïðîèçâîäíóþ f`(x)
. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî çàêëþ÷åíèÿ ÷àñòî ïîëàãàëè âîçìîæíûì ïðåäñòàâèòü íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ êðèâîé, êîòîðàÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, â êàæäîé òî÷êå èìååò êàñàòåëüíóþ.  ïåðâîé ïîëîâèíå XVIII âåêà ïîíÿòèå ÷èñëà îïðåäåëÿëîñü ÷àùå âñåãî ïî Åâêëèäó: ÷èñëî åñòü ñîâîêóïíîñòü åäèíèö. Âî âòîðîé ïîëîâèíå XVIII âåêà ÷èñëî èñòîëêîâûâàåòñÿ ïðåèìóùåñòâåííî êàê ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ îäíîé âåëè÷èíû äðóãîé âåëè÷èíîé òîãî æå ðîäà, ïðèíÿòîé çà åäèíèöó. Íî äàæå ïîñëåäíåå, çíà÷èòåëüíî áîëåå øèðîêîå, èñòîëêîâàíèå ïîíÿòèÿ ÷èñëà íå îõâàòûâàëî âñå â òî âðåìÿ èçâåñòíûå âèäû ÷èñåë. Äîñòàòî÷íî âñïîìíèòü, ÷òî â XVII–XVIII âåêàõ ìàòåìàòèêè çíàëè è ñ óñïåõîì èñïîëüçîâàëè ïîíÿòèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Ïîýòîìó, íàðÿäó ñ ïîíÿòèåì ÷èñëà, ïðèáåãàëè ê ïðèáåãàëè ê ïîíÿòèÿì î ïîëîæèòåëüíûõ è îòðèöàòåëüíûõ âåëè÷èíàõ, î ìíèìûõ âåëè÷èíàõ, î âåëè÷èíàõ ðåàëüíûõ è ëîæíûõ è ò. ï. Àëãåáðà òðàêòîâàëàñü êàê íàóêà, èçó÷àþùàÿ òîëüêî îáùèå ñâîéñòâà îáû÷íûõ àðèôìåòè÷åñêèõ è ãåîìåòðè÷åñêèõ âåëè÷èí. Ïîëàãàëè, ÷òî êàæäàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ òåîðèÿ — òðèãîíîìåòðèÿ, àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ è ò. ï. — ÿâëÿåòñÿ òîëüêî íàäñòðîéêîé íàä ãåîìåòðèåé Åâêëèäà è ïîýòîìó äîëæíà ñòðîèòüñÿ íà ôóíäàìåíòå ïîñëåäíåé. Êîãäà îïèñàííûå âûøå èñòîëêîâàíèÿ îñíîâíûõ ïîíÿòèé, ïðèíöèïîâ è ìåòîäîâ ìàòåìàòèêè ïîëó÷èëè äîñòàòî÷íî øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå, â ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèÿõ íà÷àëè îáíàðóæèâàòüñÿ ïàðàäîêñû; â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ äàæå ïðèõîäèëè ê ëîæíûì çàêëþ÷åíèÿì, êîòîðûå, îäíàêî, ñ÷èòàëè èñòèííûìè. Ïàðàäîêñû (è ëîæíûå çàêëþ÷åíèÿ) îáíàðóæèëèñü âïåðâûå â XVI–XVII âåêàõ â ó÷åíèè î ÷èñëå. Îíè ñîõðàíèëè ñâîþ ñèëó è â XVIII âåêå. Îñíîâîé èõ áûëî òî, ÷òî ïî÷òè äî êîíöà XVIII âåêà áîëüøèíñòâî ìàòåìàòèêîâ ïûòàëèñü ïîñòðîèòü ó÷åíèå î ÷èñëå (âïëîòü äî àðèôìåòèêè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë!) íà ôóíäàìåíòå, â ñâîå âðåìÿ ðàçðàáîòàííîì äëÿ àðèôìåòèêè êîëè÷åñòâåííûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Îáû÷íûå, âåðíûå äëÿ êîëè÷åñòâåííûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, îïðåäåëåíèÿ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è âñå ïÿòü çàêîíîâ ñ÷åòà çàðàíåå ïðè ýòîì ñ÷èòàëèñü ñïðàâåäëèâûìè â êàæäîé îáëàñòè ÷èñåë.  ñâÿçè ñ ýòèì íàõîäÿòñÿ õàðàêòåðíûå äëÿ âòîðîé ïîëîâèíû XVII è XVIII âåêà “äîêàçàòåëüñòâà” ïðàâèëà çíàêîâ (–a)(–b)=+ab;
ñîìíåíèÿ â èñòèííîñòè ïðîïîðöèè +1: –1= –1: +1 (“êàê áîëüøåå, äåëåííîå íà ìåíüøåå, ìîæåò áûòü ðàâíî ìåíüøåìó, äåëåííîìó íà áîëüøåå?”); îòðèöàíèå îáúåêòèâíîñòè ïîíÿòèÿ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà è ò. ï. Îäíàêî, äî íà÷àëà XIX âåêà òðóäíîñòè îáîñíîâàíèÿ ó÷åíèÿ î ÷èñëå íå ìåøàëè óñïåøíîìó èñïîëüçîâàíèþ ïîíÿòèÿ ÷èñëà â ìàòåìàòèêå, òî÷íûõ íàóêàõ è òåõíèêå. Ýòî èìåëî îñíîâàíèåì òî, ÷òî â ëþáîé îáëàñòè ÷èñåë, îò íàòóðàëüíûõ äî êîìïëåêñíûõ, âñå ïÿòü çàêîíîâ ñ÷åòà âûïîëíÿþòñÿ. Êðîìå òîãî, â ýòîò ïåðèîä â ìàòåìàòèêå âåäóùåå ïîëîæåíèå ïðèíàäëåæàëî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. Ïîýòîìó âîïðîñû îáîñíîâàíèÿ ó÷åíèÿ î ÷èñëå õîòÿ è îáñóæäàëèñü àêòèâíî, íî â äåëå ðàçðàáîòêè îñíîâ ìàòåìàòèêè èãðàëè âòîðîñòåïåííóþ ðîëü. Ó÷åíûå è ôèëîñîôû îáðàòèëè ñåðüåçíîå âíèìàíèå íà òðóäíîñòè îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè ëèøü òîãäà, êîãäà Ëåéáíèö è Íüþòîí ðàçâèëè äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå. Ëåéáíèö è åãî ïîñëåäîâàòåëè — áðàòüÿ Áåðíóëëè, Ëîïèíòàëü è äðóãèå — òðàêòîâàëè äèôôåðåíöèàëû êàê áåñêîíå÷íî ìàëûå ðàçíîñòè îáû÷íûõ êîíå÷íûõ âåëè÷èí
, êàê òîãäà ãîâîðèëè — “ðåàëüíûõ” âåëè÷èí. Ïîýòîìó îíè îáðàùàëèñü ñ òåìè è äðóãèìè îäèíàêîâî è â èñ÷èñëåíèè ïðèìåíÿëè ê ïåðâûì òå æå ïðèåìû, êîòîðûå ñïðàâåäëèâû ïðè äåéñòâèÿõ ñî âòîðûìè. Âìåñòå ñ òåì âûÿñíèëîñü, ÷òî òàêèì îáðàçîì òðàêòóåìûì áåñêîíå÷íî ìàëûì ïðèñóùå ñâîéñòâî, ïðîòèâîðå÷àùåå îäíîìó îñíîâíîìó ñâîéñòâó îñíîâíûõ êîíå÷íûõ âåëè÷èí
: åñëè À
— êîíå÷íàÿ âåëè÷èíà, à a
— áåñêîíå÷íî ìàëàÿ, òî, ÷òîáû ðåçóëüòàò èñ÷èñëåíèÿ ïîëó÷àëñÿ ñîâåðøåííî òî÷íûì, îêàçàëîñü íåîáõîäèìûì ïðîâîäèòü âû÷èñëåíèÿ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî À+
a=À
. Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå, çíà÷åíèå êîòîðîãî äëÿ ðàçâèòèÿ íàóêè è òåõíèêè áûëî âíå ñîìíåíèé, îêàçàëîñü â ïàðàäîêñàëüíîì ïîëîæåíèè: ÷òîáû åãî ìåòîäàìè ïîëó÷èòü òî÷íûé ðåçóëüòàò, íàäî áûëî èñõîäèòü èç îøèáî÷íîãî óòâåðæäåíèÿ. Íüþòîí ïûòàëñÿ îáîñíîâàòü äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå íà çàêîíàõ ìåõàíèêè è ïîíÿòèè ïðåäåëà. Íî åìó íå óäàëîñü îñâîáîäèòü ñâîå èñ÷èñëåíèå ôëþêñèé îò íåäîñòàòêîâ, ïðèñóùèõ äèôôåðåíöèàëüíîìó èñ÷èñëåíèþ Ëåéáíèöà.  ïðàêòèêå âû÷èñëåíèÿ Íüþòîí, êàê è Ëåéáíèö, ïðèìåíÿë ïðèíöèï îòáðàñûâàíèÿ áåñêîíå÷íî ìàëûõ. Ê. Ìàðêñ íàçûâàë äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå Ëåéáíèöà–Íüþòîíà ìèñòè÷åñêèì
. Ýòèì îí õîòåë â ïåðâóþ î÷åðåäü ïîä÷åðêíóòü, ÷òî Ëåéáíèö è Íüþòîí ââîäèëè â äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå áåñêîíå÷íî ìàëûå ìåòàôèçè÷åñêè, ñðàçó ïîëàãàÿ èõ ñóùåñòâóþùèìè, áåç âûÿñíåíèÿ èõ âîçíèêíîâåíèÿ è ðàçâèòèÿ è áåç àíàëèçà ïðèðîäû èõ ñïåöèôè÷åñêèõ ñâîéñòâ. Ïàðàäîêñû âîçíèêëè è â òåîðèè ðÿäîâ. Íàïðèìåð, â XVIII âåêå ïîëàãàëè, ÷òî “ñóììà ðÿäà”
ðàâíà 0, òàê êàê
à
Ìíîãî ñïîðîâ âûçâàë âîïðîñ î “ñóììå” ðÿäà 1–1+1–1… ïîñêîëüêó, êàê ãîâîðèëè, “ñ îäíîé ñòîðîíû, (1–1)+(1–1)…=0, à ñ äðóãîé — 1–(1–1)-(1–1)…=1”. Ïîïûòêè ïîñòðîèòü àíàëèç áåñêîíå÷íî ìàëûõ è òåîðèþ ðÿäîâ â ïîëíîì ñîîòâåòñòâèè ñ îñíîâíûìè ïîíÿòèÿìè è èñòèíàìè “íèçøåé” ìàòåìàòèêè ñ ñàìîãî íà÷àëà ê óñïåøíûì ðåçóëüòàòàì íå ïðèâåëè. Ïîýòîìó Ëåéáíèö è åãî ïîñëåäîâàòåëè ïûòàëèñü îïðàâäàòü ïðèíöèïû àíàëèçà áåñêîíå÷íî ìàëûõ è òåîðèþ ðÿäîâ òàêæå ïóòåì ñðàâíåíèÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ñ ïåñ÷èíêîé, êîòîðîé ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïðè âû÷èñëåíèè âûñîòû ãîðû, ïîñðåäñòâîì ññûëîê íà âåðîÿòíîñòü è ò. ï.  XVII–XVIII âåêàõ ïîëó÷èë ðàçâèòèå è äðóãîé ïîäõîä ê “ñîãëàñîâàíèþ” íîâûõ èñòèí ìàòåìàòèêè ñ “âå÷íûìè” èñòèíàìè “íèçøåé” ìàòåìàòèêè. Êîãäà ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ðåçêî îòëè÷àëèñü îò ðàññìàòðèâàåìûõ â “íèçøåé” ìàòåìàòèêå, îíè îáúÿâëÿëèñü “âîîáðàæàåìûìè” è ðàññìàòðèâàëèñü êàê âñïîìîãàòåëüíûå
ôóíêöèè, íåîáõîäèìûå äëÿ èçó÷åíèÿ ñâîéñòâ îáû÷íûõ êîíå÷íûõ âåëè÷èí. Êðóïíåéøèå ìàòåìàòèêè XVIII âåêà íåîäíîêðàòíî ïûòàëèñü äîêàçàòü, ÷òî ïîíÿòèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà íå äîïóñêàåò íèêàêîãî ðåàëüíîãî èñòîëêîâàíèÿ. Òàêèå æå ïîïûòêè ïðèíèìàëèñü è â îòíîøåíèè ïîíÿòèÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé âåëè÷èíû. Íî è íà ýòîì ïóòè óñòàíîâèòü åäèíñòâî ìíåíèé íå óäàëîñü.  ýòî âðåìÿ, êàæäàÿ çàäà÷à, îòíîñÿùàÿñÿ ê âåëè÷èíàì, èçó÷àåìûì â ìåõàíèêå, àñòðîíîìèè, òåõíèêå è ò. ï., åñëè è äîïóñêàëî ðåøåíèå, òî îáû÷íî ïîñëåäíåå âûðàæàëîñü ïðè ïîìîùè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé); êîìïëåêñíûå ÷èñëà (êîìïëåêñíûå êîðíè) óêàçûâàëè íà íåâîçìîæíîñòü å¸ ðåøåíèÿ.  êîíöå XVII è â XVIII âåêå òîëüêî íåñêîëüêî ìàòåìàòèêîâ — Âàëëèñ, Êþí, â êîíöå æèçíè Ýéëåð — ñ÷èòàëè ïîíÿòèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà äîïóñêàþùèì ðåàëüíîå èñòîëêîâàíèå.  êîíöå XVIII âåêà Âåññåëü ðàçðàáîòàë ïîëíîå ãåîìåòðè÷åñêîå èñòîëêîâàíèå àðèôìåòèêè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Ïî îñíîâíûì ñâîéñòâîì, âàæíûì äëÿ àëãîðèòìîâ àëãåáðû è àíàëèçà, êîìïëåêñíûå ÷èñëà íå îòëè÷àþòñÿ îò ÷èñåë äåéñòâèòåëüíûõ. Ïðåäñòàâëÿëàñü âîçìîæíîñòü îáúÿâèòü êîìïëåêñíûå ÷èñëà “âîîáðàæàåìûìè” è, îáîéäÿ âîïðîñû îáîñíîâàíèÿ èõ àðèôìåòèêè, îñòàâèòü èõ â ìàòåìàòèêå â êà÷åñòâå “ïîëåçíûõ âñïîìîãàòåëüíûõ ôóíêöèé”. Íàïðîòèâ, òðàêòîâêà áåñêîíå÷íî ìàëûõ êàê “ïîëåçíûõ ôóíêöèé” øèðîêîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ íå ïîëó÷èëà: ìàòåìàòèêè çíàëè ìåõàíè÷åñêîå è ãåîìåòðè÷åñêîå èñòîëêîâàíèå dx
è dy
. Ïðèìåðíî ñ ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XVIII âåêà îáëàñòü ïðèëîæåíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà íà÷èíàåò çíà÷èòåëüíî ïåðåêðûâàòü ãðàíèöû åãî îáû÷íîãî ïðèëîæåíèÿ â ìåõàíèêå è ãåîìåòðèè. Åù¸ áûñòðåå ðàçâåðòûâàåòñÿ ýòîò ïðîöåññ â ïåðâîé ÷åòâåðòè XIX âåêà. Ìàòåìàòèêè ïûòàëèñü ñíà÷àëà ðåøàòü íîâûå çàäà÷è ìåòîäàìè, ðàçðàáîòàííûìè êëàññèêàìè XVIII âåêà — Ýéëåðîì, Äàëàìáåðîì, Ëàãðàíæåì è äðóãèìè. Îäíàêî, âñêîðå âûÿñíèëîñü, ÷òî ìåòîäû êëàññèêîâ íåäîñòàòî÷íû, ÷òî íàäî ðàçâèâàòü íîâûå, áîëåå îáùèå è ñèëüíûå ìåòîäû. Âûÿñíèëîñü òàêæå, ÷òî íåäîñòàòî÷íîñòü ìåòîäîâ êëàññèêîâ íåðåäêî ñâÿçàíà ñ óçîñòüþ òðàêòîâêè îñíîâíûõ ïîíÿòèé, ñ “èçãîíÿåìûì” ïîíÿòèåì î áåñêîíå÷íî ìàëîì, ñ “èñêëþ÷åíèÿìè”, êîòîðûå ðàíüøå îñòàâàëèñü â òåíè. Ïîÿñíèì ñêàçàííîå îäíèì ïðèìåðîì. Íüþòîí è Ëåéáíèö ðàçðàáîòàëè äâå òðàêòîâêè ïîíÿòèÿ îáû÷íîãî îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Íüþòîí òðàêòîâàë îïðåäåëåííûé èíòåãðàë êàê ðàçíîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèé ïåðâîîáðàçíîé ôóíêöèè:
ãäå F`
(x)=f(x)
. Äëÿ Ëåéáíèöà îïðåäåëåííûé èíòåãðàë áûë ñóììîé âñåõ áåñêîíå÷íî ìàëûõ äèôôåðåíöèàëîâ.
Ïåðâàÿ òðàêòîâêà îòâå÷àëà òåõíèêå âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ ïðè ïîìîùè ïåðâîîáðàçíîé ïåðâîîáðàçíîé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè, âòîðàÿ — ïîòîìó, ÷òî â ïðèëîæåíèÿõ îïðåäåëåííûé èíòåãðàë ïîÿâëÿëñÿ êàê ïðåäåë èçâåñòíîãî âèäà ñóììû (èíòåãðàëüíîé ñóììû). Ïðèìåðíî äî ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XVIII âåêà ïåðâàÿ òðàêòîâêà ïîíÿòèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà çàíèìàëà ãîñïîäñòâóþùåå ïîëîæåíèå. Ýòîìó ñïîñîáñòâîâàëè äâà îáñòîÿòåëüñòâà. Ê íà÷àëó XVIII âåêà áûëè óñòàíîâëåíû ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé è íà÷àëàñü óñïåøíàÿ ðàçðàáîòêà ìåòîäîâ íàõîæäåíèÿ èõ ïåðâîîáðàçíûõ (ðàöèîíàëüíûõ, îòäåëüíûõ êëàññîâ èððàöèîíàëüíûõ è òðàíñöåíäåíòíûõ ôóíêöèé). Áëàãîäàðÿ ýòîìó òî÷êà çðåíèÿ íüþòîíà âïîëíå îòâå÷àëà ðàçâèòèþ ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Íåïîñðåäñòâåííîå âû÷èñëåíèå Ëåéáíèöåâî èñòîëêîâàíèå îáû÷íîãî îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ñóùåñòâåííî îïèðàëîñü íà ïîíÿòèå î áåñêîíå÷íî ìàëûõ, îò êîòîðîãî ìàòåìàòèêè XVIII âåêà õîòåëè îñâîáîäèòü ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ýòî òàêæå ñïîñîáñòâîâàëî óêðåïëåíèþ òî÷êè çðåíèÿ Íüþòîíà. Ôàêò ýòîò õîðîøî ïîäòâåðæäàëñÿ òåì, êàê Ýéëåð èñïîëüçîâàë ïîíÿòèå îá èíòåãðàëüíîé ñóììå. Ýéëåð íå âîçðàæàë ïðîòèâ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ ïðè ïîìîùè ñîîòâåòñòâóþùèõ èíòåãðàëüíûõ ñóìì. Íî ðàññìàòðèâàòü îïðåäåëåííûé èíòåãðàë êàê ïðåäåë èíòåãðàëüíîé ñóììû îí íå ìîã.  ýòîì ñëó÷àå âñå ñëàãàåìûå èíòåãðàëüíîé ñóììû ñòàíîâèëèñü áåñêîíå÷íî ìàëûìè, ò. å., ñ òî÷êè çðåíèÿ Ýéëåðà, áûëè íóëÿìè. Êîíå÷íî, è äî ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XVIII âåêà êîíöåïöèÿ Íüþòîíà ñòàëêèâàëàñü ñ òðóäíîñòÿìè.  ýòîò ïåðèîä âñòðå÷àëèñü ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè, ïåðâîîáðàçíûå êîòîðûõ íå ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè. Çíàëè ìàòåìàòèêè è íåêîòîðûå íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû, â òîì ÷èñëå è ðàñõîäÿùèåñÿ. Íî òàêîãî ðîäà ôàêòû áûëè åäèíè÷íûìè è óñòàíîâèâøåéñÿ ýôôåêòèâíîé êîíöåïöèè èíòåãðàëà íàðóøèòü íå ìîãëè. Èíûì îêàçàëîñü ïîëîæåíèå â ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XVIII è îñîáåííî â íà÷àëå XIX âåêà. Ñ 70-õ ãîäîâ XVIII âåêà ðåøåíèå çàäà÷ àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêè, ôèçèêè è äðóãèõ äèñöèïëèí ïîòðåáîâàëî çíà÷èòåëüíîå ðàçâèòèå ïîíÿòèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Îñîáîå çíà÷åíèå ïðèîáðåòàþò äâîéíûå è òðîéíûå èíòåãðàëû (Ýéëåð, Ëàãðàíæ, Ëàïëàñ è äð.). Ðàçðàáîòêà ïðèåìîâ âû÷èñëåíèÿ äâîéíûõ è òðîéíûõ èíòåãðàëîâ ïîêàçàëà, ÷òî âû÷èñëÿòü ýòè èíòåãðàëû òàê, êàê âû÷èñëÿëè îáû÷íûé îïðåäåëåííûé èíòåãðàë — ïðè ïîìîùè íåîïðåäåëåííîãî, î÷åíü òðóäíî èëè äàæå íåâîçìîæíî. Ïîýòîìó ìàòåìàòèêè âûíóæäåíû áûëè ñîõðàíÿòü êîíöåïöèþ Íüþòîíà òîëüêî íà ñëîâàõ, à íà äåëå, ïðè ðåøåíèè çàäà÷ òî÷íûõ íàóê, ñòàëè íà ïóòü Ëåéáíèöà. Îíè âû÷èñëÿëè ñîîòâåòñòâóþùèå èíòåãðàëüíûå ñóììû (â ïðÿìîóãîëüíûõ, öèëèíäðè÷åñêèõ è ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ) è íàõîäèëè èõ ïðåäåëû. Êîðî÷å ãîâîðÿ, ðàçðàáîòêà ñïîñîáîâ âû÷èñëåíèÿ íîâûõ âèäîâ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ïîêàçàëà, ÷òî îáûêíîâåííûé, äâîéíîé è ò. ä. îïðåäåëåííûé èíòåãðàëû äîëæíû áûòü îáîñíîâàíû ñàìè ïî ñåáå íåçàâèñèìî îò ïîíÿòèÿ íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Íî êàæäîå ñëàãàåìîå ëþáîé èíòåãðàëüíîé ñóììû ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé âåëè÷èíîé. Òåì ñàìûì íå òîëüêî ñòàâèëñÿ âîïðîñ î ëåãàëèçàöèè ðàíåå “èçãîíÿåìîãî” ïîíÿòèÿ áåñêîíå÷íî ìàëîãî, íî è î ðàñêðûòèè åãî ðåàëüíîãî ñîäåðæàíèÿ è î ñîîòâåòñòâóþùåì åãî èñïîëüçîâàíèè. Êàê óæå óêàçûâàëîñü, ÷òîáû âñ¸ ýòî ñäåëàòü íàäî áûëî ïðåîäîëåòü — îáîáùèòü, ðàçâèòü òðàäèöèîííîå (ýéëåðîâî) òîëêîâàíèå ôóíêöèè è ïîíÿòèÿ ïðåäåëà. Èçó÷åíèå ôóíêöèé ïîêàçàëî, ÷òî ôîðìóëà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ôóíêöèþ, è ôóíêöèÿ, åþ ïðåäñòàâëÿåìàÿ — ýòî íå îäíî è òî æå. Ôîðìóëà ÿâëÿåòñÿ îðóäèåì îäíîãî èç ñïîñîáîâ (àíàëèòè÷åñêîãî) ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèè. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ f(x)=|x|
ìîæåò áûòü çàäàíà íà ïðîìåæóòêå (–p; +p) äâóìÿ ôîðìóëàìè: ó=õ, ó=–õ
; âìåñòå ñ òåì îíà ìîæåò áûòü çàäàíà è îäíèì àíàëèòè÷åñêèì âûðàæåíèåì, à èìåííî — ñõîäÿùèìñÿ ê íåé òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ðÿäîì.  ïîëüçó ýòîãî çàêëþ÷åíèÿ ãîâîðèëè è èíûå ñîîáðàæåíèÿ. “Íîâåéøèå èññëåäîâàíèÿ ïîêàçàëè,— Ïèñàë Ðèìàí,— ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ (òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû), ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìîæíî â çàäàííîì ïðîìåæóòêå ïðåäñòàâèòü ëþáóþ íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ. Òàêèì îáðàçîì, íå ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì, áóäåò ëè çàâèñèìîñòü âåëè÷èíû w
îò âåëè÷èíû z
çàäàíà ïðîèçâîëüíî èëè ñ ïîìîùüþ ìàòåìàòè÷åñêîé ôîðìóëû.” Ïî-íîâîìó áûë ïîñòàâëåí âîïðîñ î íåïðåðûâíîñòè è òî÷êàõ ðàçðûâà ôóíêöèè. Ýéëåðîâî ïîíÿòèå íåïðåðûâíîñòè áûëî îñòàâëåíî, êàê íå îòâå÷àþùåå îáùåìó ïîíÿòèþ ôóíêöèè. Áîëüöàíî, Êîøè, Ëîáà÷åâñêèé, à âñëåä çà íèìè è äðóãèå ìàòåìàòèêè âûäâèãàþò íà ïåðâîå ìåñòî îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè “íà ÿçûêå e è d”. “Ñîãëàñíî ïðàâèëüíîìó îáúÿñíåíèþ,— óêàçûâàë Áîëüöàíî,— ïîíèìàþò ïîä âûðàæåíèåì, ÷òî ôóíêöèÿ f(x)
èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó íåïðåðûâíîñòè äëÿ âñåõ çíà÷åíèé õ
, êîòîðûå ëåæàò âíóòðè èëè âíå èçâåñòíûõ ãðàíèö; ëèøü òî, ÷òî, åñëè õ
— êàêîå-íèáóäü èç ýòèõ çíà÷åíèé, òîãäà ðàçíîñòü f(x+w)–f(x)
ìîæåò áûòü ñäåëàíà ìåíüøå, ÷åì ëþáàÿ çàäàííàÿ âåëè÷èíà, åñëè ìîæíî ïðèíÿòü w
ñòîëü ìàëûì, ñêîëüêî ìû õîòèì”. Êîøè ïèñàë: f(x)
íåïðåðûâíà äëÿ çàäàííîãî çíà÷åíèÿ õ
, êîãäà “áåñêîíå÷íî ìàëîå ïðèðàùåíèå ïåðåìåííîé ïðîèçâîäèò áåñêîíå÷íî ìàëûå ïðèðàùåíèÿ ñàìîé ôóíêöèè”. Ñíà÷àëà òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè îïðåäåëÿëèñü ÷èñòî îòðèöàòåëüíî. Êîøè ïèñàë: “Êîãäà f(x)
ïåðåñòàåò áûòü íåïðåðûâíî â ñîïðåäåëüíîñòè ÷àñòíîãî çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé õ
, òî ãîâîðÿò, ÷òî îíà äåëàåòñÿ ïðåðûâíîþ
è ÷òî äëÿ ýòîãî ÷àñòíîãî çíà÷åíèÿ ïðîèñõîäèò ðàçðûâ íåïðåðûâíîñòè
”. Âî âòîðîé ÷åòâåðòè XIX âåêà òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè f(x)
èçó÷àëè Ïóàññîí, Ëèáðè è äð.  ñâîèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåìóàðàõ Ëèáðè ïèñàë, ÷òî âïåðâûå ðàçðûâíûå ôóíêöèè ñäåëàëèñü ïðåäìåòîì èññëåäîâàíèé â ðàáîòàõ Äàíèèëà Áåðíóëëè, Ýéëåðà è Äàëàìáåðà. Îäíàêî, ïîä÷åðêíóë îí, òîëüêî èññëåäîâàíèÿ Ôóðüå, Ïóàññîíà è äðóãèõ ìàòåìàòèêîâ î ðàçðûâíûõ ôóíêöèÿõ ðàññåÿëè âñå ñîìíåíèÿ, êîòîðûå âñå åù¸ ñâÿçûâàëèñü ñ ïðèðîäîé ýòèõ ôóíêöèé. Òî÷íîå ðàçëè÷èå ìåæäó òî÷êàìè ðàçðûâà ïåðâîãî è âòîðîãî ðÿäà è, ñîîòâåòñòâåííî ýòîìó, èõ ïðÿìûå îïðåäåëåíèÿ âîøëè â ïðàêòèêó ìàòåìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé âî âòîðîé ïîëîâèíå XIX âåêà. Íàêîíåö, â ñâÿçè ñî âñåì ýòèì âûÿñíèëîñü, ÷òî íå êàæäàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ âìåñòå ñ òåì è äèôôåðåíöèðóåìîé. Ïåðâûé ïðèìåð íåïðåðûâíîé ôóíêöèè, íå èìåþùåé ïðîèçâîäíîé â êàæäîé òî÷êå, äàë Áîëüöàíî, îäíàêî åãî ïðèìåð â ñâîå âðåìÿ îñòàëñÿ ìàòåìàòèêàì íåèçâåñòíûì. Âî âòîðîé ïîëîâèíå XIX âåêà ïðèìåð òàêîãî ðîäà ôóíêöèè ïîñòðîèë Áåéåðøòðàññ. Ëîáà÷åâñêèé äàë òî÷íûå îïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîñòè è äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè è ïîä÷åðêíóë ðàçëè÷èÿ ìåæäó ýòèìè ïîíÿòèÿìè. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî â ïåðâîé ÷åòâåðòè XIX âåêà êëàññè÷åñêèé àíàëèç ñòàíîâèòñÿ íàóêîé î âñåõ âîçìîæíûõ âèäàõ ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî â èõ îáùåì âèäå
. Êîðåííîìó èçìåíåíèþ ïîäâåðãñÿ íå òîëüêî îáúåêò ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà; ïðîèçîøëî êîðåííîå èçìåíåíèå è â ìåòîäàõ
èçó÷åíèÿ ôóíêöèé. Êàê óæå óêàçûâàëîñü, ðàçâèòèå ïîíÿòèÿ èíòåãðàëà è ðàçðàáîòêà òåõíèêè åãî âû÷èñëåíèÿ ïîêàçàëè, ÷òî îïðåäåëåííûé èíòåãðàë (äâîéíîé, òðîéíîé èíòåãðàëû ïî ïîâåðõíîñòè, íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû) íåîáõîäèìî îáîñíîâûâàòü ñàìîñòîÿòåëüíî, íåçàâèñèìî îò ïîíÿòèÿ íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.  ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèê âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ïðåäåëîâ èíòåãðàëüíûõ ñóìì, ñëàãàåìûå êîòîðûõ áûëè áû áåñêîíå÷íî ìàëûìè.  ïåðâîé ÷åòâåðòè XIX âåêà ïîíÿòèå áåñêîíå÷íî ìàëîé îêàçàëîñü íåîáõîäèìûì è äëÿ èçó÷åíèÿ è ñîïîñòàâëåíèÿ ñâîéñòâ íåïðåðûâíûõ è ðàçðûâíûõ ôóíêöèé. “Ìåæäó ìíîãèìè ïîíÿòèÿìè,— óêàçûâàë Êîøè,— òåñíî ñâÿçàííûìè ñî ñâîéñòâàìè áåñêîíå÷íî ìàëûõ, ñëåäóåò ïîìåñòèòü ïîíÿòèå î íåïðåðûâíîñòè è ïðåðûâíîñòè ôóíêöèé”. Òóò æå Êîøè äàåò èñòîëêîâàíèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè, êîòîðîå áîëåå ÷åì ÿñíî ïîäòâåðæäàåò ÿñíîñòü ýòîãî åãî óòâåðæäåíèÿ. Íîâàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷ îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ÿñíî ïîêàçûâàëà, ÷òî äåëî íå òîëüêî â ïðèçíàíèè è ïðèìåíåíèè áåñêîíå÷íî ìàëûõ — ýòî äåëàëè è ðàíüøå!— íî ïðåæäå âñåãî â íàó÷íîì èñòîëêîâàíèè èõ ñîäåðæàíèÿ è îáîñíîâàííîì íà ýòîì èñïîëüçîâàíèè èõ â àëãîðèòìàõ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Îäíàêî, ÷òîáû ýòî ñäåëàòü íàäî áûëî ïðåîäîëåòü ãîñïîäñòâîâàâøåå â XVIII âåêå óçêîå òîëêîâàíèå ïîíÿòèÿ ïðåäåëà, ðàçðàáîòàòü îáùóþ òåîðèþ ïðåäåëîâ. Ïîëó÷åíèå îñíîâîïîëàãàþùèõ ðåçóëüòàòîâ ñâÿçàíî çäåñü ñ èìåíåì Êîøè. Èçó÷åíèå ðàçðûâíûõ ôóíêöèé è ñîïîñòàâëåíèå èõ ñ ôóíêöèÿìè íåïðåðûâíûìè çàñòàâèëî ïðèçíàòü òî, ÷òî ðàíåå ñ÷èòàëîñü íåâîçìîæíûì: ÷òî ïðåäåë, ê êîòîðîìó ñòðåìèòüñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà÷åíèé ôóíêöèè, ïðè ñòðåìëåíèè àðãóìåíòà â íåêîòîðîé òî÷êå ìîæåò îêàçàòüñÿ îòëè÷íûì îò çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â ýòîé òî÷êå
. Çíà÷èò, ïðåäåë íå âñåãäà ÿâëÿåòñÿ “ïîñëåäíèì” çíà÷åíèåì ïåðåìåííîé, íî âî âñåõ ñëó÷àÿõ ïðåäåë åñòü ÷èñëî, ê êîòîðîìó ïåðåìåííàÿ ïðèáëèæàåòñÿ íåîãðàíè÷åííî. Ñëåäîâàòåëüíî, dx
è dy
íå íåîáõîäèìî íóëè èëè ìèñòè÷åñêè àêòóàëüíî áåñêîíå÷íî ìàëûå; áåñêîíå÷íî ìàëàÿ — ýòî ïåðåìåííàÿ, èìåþùàÿ ïðåäåëîì íóëü, ïðè÷åì ôàêò ýòîò ñ ïðîòèâîðå÷èÿìè è ïàðàäîêñàìè íå ñâÿçàí
. Êîøè ïðåîäîëåë è âòîðóþ îãðàíè÷èòåëüíóþ òåíäåíöèþ â ïðèíÿòîé äî íåãî òðàêòîâêå ïîíÿòèÿ ïðåäåëà. Îí ïðèçíàë, ÷òî ïåðåìåííàÿ ìîæåò ïðèáëèæàòüñÿ ê ñâîåìó ïðåäåëó íå òîëüêî ìîíîòîííî, íî è êîëåáëÿñü, ïîðîé ïðèíèìàÿ çíà÷åíèÿ, ðàâíûå å¸ ïðåäåëó. Êàê ñïðàâåäëèâî îòìåòèë Í. Í. Ëóçèí, ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïðèäàëî òåîðèè Êîøè íåîáõîäèìóþ îáùíîñòü è èñêëþ÷èòåëüíóþ ãèáêîñòü. ×òî ïîçâîëèëî Êîøè ñäåëàòü ýòî èñêëþ÷èòåëüíî âàæíûé øàã? Îòâåò, êîíå÷íî, íàäî èñêàòü ïðåæäå âñåãî â ñâîåîáðàçèè òåõ ïðåäåëüíûõ ïðîöåññîâ, ñ êîòîðûìè ïðèõîäèëîñü âñòðå÷àòüñÿ â êîíöå XVIII è íà÷àëå XIX âåêà â òî÷íûõ íàóêàõ, îñîáåííî â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå.  ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå ê ÷èñëó òàêèõ ïðîöåññîâ íàäî â ïåðâóþ î÷åðåäü îòíåñòè îòûñêàíèå ïðåäåëîâ ðàçëè÷íîãî âèäà èíòåãðàëüíûõ ñóìì è íàõîæäåíèå ñóìì ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ, îñîáåííî òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ. Âûïîëíåííûå Êîøè îáîáùåíèÿ òåîðèè ïðåäåëîâ Íüþòîíà-Äàëàìáåðà ïîçâîëèëè åìó äàòü ïîíÿòèþ áåñêîíå÷íî ìàëîãî ðåàëüíîå èñòîëêîâàíèå è ïîäâåñòè ïîä àëãîðèòì Ëåéáíèöà-Íüþòîíà äîñòàòî÷íûé íàó÷íûé ôóíäàìåíò
. Áëàãîäàðÿ ýòîìó Êîøè ñìîã ïîäâåñòè íàó÷íûé ôóíäàìåíò ïîä ó÷åíèå î íåïðåðûâíîñòè è ðàçðûâàõ ôóíêöèé, îáîñíîâàòü äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå è, ÷òî îñîáåííî âàæíî, ðàçâèòü íà÷àëà íàó÷íîé êîíöåïöèè îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.  ïðîöåññå òàêèõ èññëåäîâàíèé Áîëüöàíî, Êîøè, Ëîáà÷åâñêèé, Äèðèõëå, à âñëåä çà íèìè äðóãèå ïåðåäîâûå ìàòåìàòèêè ïåðâîé ïîëîâèíû XIX âåêà ïî-íîâîìó ïîäîøëè ê èñòîëêîâàíèþ ñòðîãîñòè ìàòåìàòè÷åñêèõ äîêàçàòåëüñòâ, â ïåðâóþ î÷åðåäü äîêàçàòåëüñòâ óòâåðæäåíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ (êðèòåðèè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ïåðåìåííîé) îêàçàëèñü ñóùåñòâåííî íåîáõîäèìûìè è äëÿ îáîáùåííîé òåîðèè ïðåäåëîâ. Åñëè ïåðåìåííàÿ èçìåíÿåòñÿ íåïðåðûâíî è ìîíîòîííî, òî ïðèíèìàåìîå åþ ìíîæåñòâî çíà÷åíèé åñòü èíòåðâàë, à ïðåäåë — åãî ïðàâàÿ èëè ëåâàÿ òî÷êà. Êàê ãîâîðèë Í. Í. Ëóçèí, â ýòîì ñëó÷àå ïðåäåë ÿâëÿåòñÿ “îïòè÷åñêèì”: îí âèäåí ãëàçîì. Åñëè æå ñíÿòü ýòè îãðàíè÷åíèÿ, äîïóñòèòü ïðåðûâíîå è, ãëàâíîå, êîëåáëþùååñÿ ïðèáëèæåíèå ïåðåìåííîé ê å¸ ïðåäåëó, òî, âîîáùå ãîâîðÿ, ïðåäåë òåðÿåòñÿ; îí “ãëóáîêî ñïðÿòàí ñðåäè çíà÷åíèé, ïðèíèìàåìûõ ïåðåìåííîé”.  ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêàåò âîïðîñ: ïðè âûïîëíåíèè êàêèõ óñëîâèé ïåðåìåííàÿ èìååò ïðåäåë? Èçâåñòíî, ÷òî è ýòîò âîïðîñ ïîëíîñòüþ ðåøèë Êîøè. Îí äîêàçàë, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü õ
1
, õ
2
,…, õï
,… èìååò ïðåäåë òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ âñÿêîãî ïîëîæèòåëüíîãî e, êàê óãîäíî ìàëîãî, ìîæíî íàéòè òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ï
, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà ò
|xn+m
–xn
|
<e. Ýòà òåîðåìà â êëàññè÷åñêîì ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå èãðàåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü. Êîãäà ñòàëè ðàçðàáàòûâàòü íîâóþ òåîðèþ ïðåäåëîâ, ïîíÿòèå ðÿäà, ðàíåå íå ðàñ÷ëåíÿåìîå íà ðÿäû ñõîäÿùèåñÿ è íåñõîäÿùèåñÿ, ïîëó÷èëî ïî ýòèì ïðèçíàêàì îñíîâíîå ïîäðàçäåëåíèå. Áëàãîäàðÿ ýòîìó óäàëîñü óñòàíîâèòü òî÷íîå ïîíÿòèå ñóììû ðÿäà è íàïðàâèòü ïî ïðàâèëüíîìó ïóòè ðàçðàáîòêó òåîðèè ÷èñëîâûõ è ñòåïåííûõ ðÿäîâ.  äàëüíåéøåì, â ñâÿçè ñ ðàçðàáîòêîé ïðîáëåì òåîðèè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ, áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî ñõîäÿùèåñÿ ÷èñëîâûå ðÿäû ðàñïàäàþòñÿ íà äâà âèäà — àáñîëþòíî è óñëîâíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû (Äèðèõëå, Ðèìàí). Ïî îñíîâíûì ñâîéñòâàì àáñîëþòíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû ñõîäíû ñ êîíå÷íûìè ñóììàìè; èõ ìîæíî ïåðåìíîæàòü è ïåðåñòàâëÿòü â íèõ ÷ëåíû. Óñëîâíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ îò íèõ; Ðèìàí äîêàçàë, ÷òî â ëþáîì, óñëîâíî ñõîäÿùåìñÿ ðÿäå ìîæíî òàê ïåðåñòàâèòü åãî ÷ëåíû, ÷òî âíîâü ïîëó÷åííûé ðÿä áóäåò èìåòü ñóììîé íàïåðåä çàäàííîå ÷èñëî; ìîæíî òàêæå äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû íîâûé ðÿä îêàçàëñÿ ðàñõîäÿùèìñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, àëãîðèòìû, îñíîâàííûå íà ñâîéñòâå êîíå÷íûõ ñóìì, ìîæíî îòíîñèòü òîëüêî ê àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ ðÿäàì. Ê ïåðâîé ÷åòâåðòè XIX âåêà îòíîñèòñÿ îòêðûòèå Êîøè ôóíêöèè Òåì ñàìûì áûëà äîêàçàíà îøèáî÷íîñòü èñõîäíîãî ïîëîæåíèÿ Ëàãðàíæà, ñäåëàííîãî èì ïðè ïîïûòêå îáîñíîâàòü äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå íà áàçå òåîðèè ñòåïåííûõ ðÿäîâ. Îñîáóþ ðîëü ñûãðàëè èññëåäîâàíèÿ ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ðÿäàì (Äèðèõëå, Ðèìàí, Ëîáà÷åâñêèé è äð.). Áëàãîäàðÿ èì íà÷àëà ñîçäàâàòüñÿ îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ, âêëþ÷èâøàÿ òåîðèþ ñòåïåííûõ ðÿäîâ êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé. Òàêîãî ðîäà ôàêòû çàñòàâèëè ìàòåìàòèêîâ îòêàçàòüñÿ îò íåîáîñíîâàííîãî, ÷àñòî ôîðìàëüíîãî ïåðåíåñåíèÿ îñíîâíûõ ïîíÿòèé è ñâîéñòâ êîíå÷íûõ ñóìì íà âñå áåñêîíå÷íûå ðÿäû è ïîìîãëè èì ðàçðàáîòàòü íàó÷íûå ïðèíöèïû òåîðèè ðÿäîâ, áàçèðóþùèåñÿ íà òåîðèè ïðåäåëîâ. Ýòè æå ôàêòû ïîìîãëè ìàòåìàòèêàì ïåðâîé ïîëîâèíû XIX âåêà ïîíÿòü, ïî÷åìó ìàòåìàòèêè XVIII âåêà íå ñìîãëè ñäåëàòü â òåîðèè ðÿäîâ òî, ÷òî óäàëîñü ñäåëàòü èì. Òàê, ñîïîñòàâèâ ñâîéñòâà àáñîëþòíî è óñëîâíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ, Ðèìàí çàìåòèë: “Òîëüêî ê ðÿäàì ïåðâîãî êëàññà ïðèìåíèìû çàêîíû êîíå÷íûõ ñóìì; òîëüêî ýòè ðÿäû ìîãóò áûòü â ïîäëèííîì ñìûñëå ðàññìàòðèâàåìû êàê ñóììà âñåõ ñâîèõ ÷ëåíîâ; î ðÿäàõ æå âòîðîãî êëàññà òîãî æå ñêàçàòü íåëüçÿ,— îáñòîÿòåëüñòâî, óïóùåííîå èç âèäà ìàòåìàòèêàìè ïðîøëîãî ñòîëåòèÿ, âåðîÿòíî, ïî òîé ïðè÷èíå, ÷òî ðÿäû, ðàñïîëîæåííûå ïî âîçðàñòàþùèì ñòåïåíÿì ïåðåìåííîé, âîîáùå ãîâîðÿ (ò. å. äëÿ âñåõ çíà÷åíèé ïåðåìåííîé, êðîìå íåêîòîðûõ îòäåëüíûõ), ïðèíàäëåæàò ê ïåðâîìó êëàññó.” Îïèñàííûé âûøå ïðîöåññ èçìåíåíèÿ ñîäåðæàíèÿ è êîðåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåòîäîëîãèè ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà è òåîðèè ðÿäîâ â îáùèõ ÷åðòàõ áûë ïðèñóù áîëüøèíñòâó ìàòåìàòè÷åñêèõ äèñöèïëèí ïåðâîé ïîëîâèíû XIX âåêà.  ñâÿçè ñ ýòèì ñ ïåðâîé ïîëîâèíû XIX âåêà ñîçäàåòñÿ, à âî âòîðîé ïîëó÷àåò âñåîáùåå ïðèçíàíèå íîâûé èäåàë ñòðîãîãî îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè, ñâîäÿùèéñÿ ê òðåì òðåáîâàíèÿì: íå ñ÷èòàòü íåâîçìîæíûì òî, ÷òî êàæåòñÿ ïàðàäîêñàëüíûì.
Ãàóññ ïèñàë: “Ìû íå ìîæåì ñìåøèâàòü òî, ÷òî íàì êàæåòñÿ íååñòåñòâåííûì, ñ òåì, ÷òî íàì êàæåòñÿ àáñîëþòíî íåâîçìîæíûì”. èçó÷àòü âñå âîçìîæíîñòè, êàêèå ïðåäñòàâëÿåò ïðåäìåò èññëåäîâàíèÿ è ñîîòâåòñòâåííî ýòîìó ðàçâèâàòü îáùèå òåîðèè.
 ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà ýòîò ïðèíöèï ñòàíîâèòñÿ ðóêîâîäÿùèì íà÷àëîì èññëåäîâàíèé ïî÷òè âñåõ âåäóùèõ ìàòåìàòèêîâ. ïðåæäå ÷åì çàäàâàòüñÿ âîïðîñîì î çàâèñèìîñòè, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîé îñòà¸òñÿ íåèçâåñòíûì, ñëåäóåò ïîñòàâèòü âîïðîñ, âîçìîæíà ëè â äåéñòâèòåëüíîñòè òàêàÿ çàâèñèìîñòü.
(Àáåëü)
Âî âòîðîé ÷åòâåðòè XIX âåêà îáû÷íûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà íàøëè øèðîêîå ïðèìåíåíèå â òåîðèè ôóíêöèé è äàæå â òåîðèè ÷èñåë.  òîæå âðåìÿ ðàçðàáîòêà ïðîáëåì ï
-ìåðíîé ãåîìåòðèè è ìåòîäîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè ïîòðåáîâàëà äàëüíåéøåãî îáîáùåíèÿ ïîíÿòèÿ ÷èñëà, ïåðåõîäà ê íîâîãî âèäà êîìïëåêñíûì ÷èñëàì ñ ï
îñíîâíûìè åäèíèöàìè. Êîìïëåêñíûå è ãèïåðêîìïëåêñíûå ÷èñëà ñòàëè ïðåäñòàâèòåëÿìè èññëåäóåìûõ ðåàëüíûõ âåëè÷èí — âåêòîðîâ â ïðîñòðàíñòâå Rn
; îòâåò íà çàäà÷ó, âûðàæåííûé êîìïëåêñíûì èëè ãèïåðêîìïëåêñíûì ÷èñëîì, èìåë â ýòîé îáëàñòè îáúåêòèâíûé ñìûñë. Îáúÿâëÿòü êîìïëåêñíûå (è ãèïåðêîìïëåêñíûå) ÷èñëà “ëîæíûìè”, “âîîáðàæàåìûìè”, “ìíèìûìè”, êàê ýòî äåëàëè ìàòåìàòèêè XVII–XVIII âåêîâ, ñòàëî íåâîçìîæíûì. Àðèôìåòèêà êîìïëåêñíûõ è ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñåë ïîêàçàëà äàëåå, ÷òî ïåðåõîä ê íîâîé, áîëåå øèðîêîé îáëàñòè ÷èñåë ñâÿçàí, âî-ïåðâûõ, ñ íåîáõîäèìîñòüþ îáîáùàòü îïðåäåëåíèÿ äåéñòâèé, äàííûõ äëÿ èñõîäíîé îáëàñòè ÷èñåë è, âî-âòîðûõ, ñîïðîâîæäàåòñÿ ïîòåðåé íåêîòîðûõ ñâîéñòâ, ïðèñóùèõ ÷èñëàì èñõîäíîé îáëàñòè ÷èñåë. Ïðè ïåðåõîäå îò äåéñòâèòåëüíûõ ê êîìïëåêñíûì ÷èñëàì ïðèøëîñü îòêàçàòüñÿ îò ñâÿçûâàíèÿ èõ çíàêàìè >, <.  àðèôìåòèêå êâàòåðíèîíîâ ñòàëî íåîáõîäèìûì äîïîëíèòåëüíî îòêàçàòüñÿ è îò çàêîíà ïåðåìåñòèòåëüíîñòè óìíîæåíèÿ. Çàêîíû ñ÷åòà — èñòîðè÷åñêè ñàìûå ñòîéêèå, à ïîýòîìó â ïîíèìàíèè ìàòåìàòèêîâ XVII–XVIII âåêîâ ñîñòàâëÿþùèå îñíîâó “íåèçìåííîé ñóùíîñòè” ïîíÿòèÿ ÷èñëà îêàçàëèñü çàêîíàìè ñ îãðàíè÷åííîé îáëàñòüþ äåéñòâèÿ
. Ìåòàôèçè÷åñêîå ðàçäåëåíèå ÷èñåë íà “ðåàëüíûå” è “âîîáðàæàåìûå”, òðåáîâàíèå ñòðîèòü ó÷åíèå î ÷èñëàõ íà îáû÷íûõ îïðåäåëåíèÿõ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé, ÷èñòî ôîðìàëüíîå ïîäâåäåíèå íîâûõ ÷èñåë ïîä âñå çàêîíû ÷èñåë èçâåñòíûõ — âñå ýòî îêàçàëîñü îêîí÷àòåëüíî äèñêðåäèòèðîâàííûì. Ýòè ôàêòû (ñ ó÷åòîì îáùèõ òåíäåíöèé ðàçâèòèÿ ñïîñîáîâ îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè) ïîêàçàëè, ÷òî äëÿ îáîñíîâàíèÿ àðèôìåòèêè êàêîãî óãîäíî âèäà ÷èñåë, îáúåêòèâíîñòü êîòîðûõ óæå äîêàçàíà, äîñòàòî÷íî ïåðå÷èñëèòü å¸ îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, îïðåäåëåíèÿ è ïîñûëêè, âûÿñíèòü, êàêèå çàêîíû ñ÷åòà âûïîëíÿþòñÿ â îáîñíîâûâàåìîé îáëàñòè ÷èñåë, à âñå îñòàëüíûå å¸ óòâåðæäåíèÿ ïîëó÷èòü â ðåçóëüòàòå äåäóêöèé. Íà ýòîì ïóòè óäàëîñü îáîñíîâàòü àðèôìåòèêè öåëûõ, ðàöèîíàëüíûõ, êîìïëåêñíûõ è ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Àðèôìåòèêà íàòóðàëüíûõ è àðèôìåòèêà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ïîëó÷èëà ðåàëüíîå îáîñíîâàíèå âî âòîðîé ïîëîâèíå XIX âåêà.  òåñíîé ñâÿçè ñ îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ ÷èñëà è ñ íîâûìè ñïîñîáàìè îáîñíîâàíèÿ ó÷åíèÿ î ÷èñëå íàõîäèòñÿ âîçíèêíîâåíèå èñõîäíûõ èäåé “ôîðìàëüíîé” àëãåáðû. Ýòèìè èäåÿìè ìàòåìàòèêà îáÿçàíà Ïèêîêó, Ãàìèëüòîíó, À. äå Ìîðãàíó, Ãðåãîðè è Ãàíêåëþ.  ãåîìåòðèè áûëè ñäåëàíû îòêðûòèÿ, èìåþùèå äëÿ å¸ îñíîâàíèé ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå. Ëîáà÷åâñêèé è Áîéëè îòêðûëè íååâêëèäîâó ãåîìåòðèþ. Ïîíñåëå ðàçðàáîòàë ïðîåêòèâíóþ ãåîìåòðèþ, Ãðàññìàí — ãåîìåòðèþ ï
-ìåðíûõ ïðîñòðàíñòâ. Ïðèíöèïû ýòèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ òåîðèé ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ îò ïîñûëîê “Íà÷àë” Åâêëèäà. Îäíàêî, â ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà íååâêëèäîâà ãåîìåòðèÿ ïðèçíàíèÿ íå ïîëó÷èëà. Ïðîåêòèâíàÿ ãåîìåòðèÿ áûëà ðàçðàáîòàíà Ïîíñåëå êàê íàäñòðîéêà íàä ãåîìåòðèåé Åâêëèäà; å¸ áîëåå îáùåå ñîäåðæàíèå è ñïåöèôèêà å¸ ïðèíöèïîâ áûëè îñîçíàíû âî âòîðîé ïîëîâèíå XIX âåêà. Ã. Ãðàññìàí ðàçâèë ñâîå ó÷åíèå íà ðóáåæå ñåðåäèíû XIX âåêà. Áëàãîäàðÿ ýòîìó óêàçàííûå âûâîäû ïîëó÷èëè âïîñëåäñòâèè øèðîêîå ïðèçíàíèå. Âîò åù¸ îäèí ðåçóëüòàò, èìåþùèé ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå äëÿ îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè. Ìàòåìàòèêè XVII–XVIII âåêîâ ïûòàëèñü äîêàçàòü, ÷òî âñÿêîå óðàâíåíèå ïÿòîé ñòåïåíè ðàçðåøèìî â ðàäèêàëàõ.  1827 ãîäó Àáåëü äîêàçàë, ÷òî ýòî íåâîçìîæíî. Ïîñêîëüêó âñå æå ñóùåñòâóþò óðàâíåíèÿ ïÿòîé, øåñòîé è äðóãèõ ñòåïåíåé, ðàçðåøàåìûå â ðàäèêàëàõ, åñòåñòâåííî âîçíèêàë âîïðîñ: êàê îõàðàêòåðèçîâàòü êëàññ óðàâíåíèé äàííîé ñòåïåíè, êîòîðûå äîïóñêàþò ðåøåíèå â ðàäèêàëàõ? Ýòîò âîïðîñ èìåë è ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå. Êàê ïîêàçàëè Ýéëåð è Äàëàìáåð, èíòåãðèðîâàíèå ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ï
-ãîïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ êîðíåé àëãåáðàè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ï
-é ñòåïåíè. Òàêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì àïïàðàòîì òåîðèè êîëåáàíèé. ×òîáû ðåøèòü óêàçàííûé âûøå âîïðîñ, Ý. Ãàëóà ïîñòðîèë îñîáûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò, â êîòîðîì ãëàâíàÿ ðîëü îòâîäèòñÿ ïîíÿòèþ ãðóïïû. Âûÿñíèëîñü, ÷òî ïîä ïîíÿòèå ãðóïïû ïîäõîäÿò ðàçëè÷íûå îáëàñòè îáúåêòîâ, áëàãîäàðÿ ÷åìó îíî íàõîäèò ïëîäîòâîðíîå ïðèìåíåíèå â ðàçëè÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ äèñöèïëèíàõ. Îêàçàëîñü òàêæå, ÷òî ïîíÿòèå ãðóïïû îáíàðóæèâàåò ñâîþ äåéñòâåííîñòü íàèëó÷øèì îáðàçîì, êîãäà åãî òåîðèÿ îáîñíîâûâàåòñÿ àáñòðàêòíî, íåçàâèñèìî îò îïèñàíèÿ ïðèðîäû îáúåêòîâ, îòíîøåíèÿ êîòîðûõ åþ îïèñûâàþòñÿ. Âïåðâûå âñå ýòè ôàêòû îò÷åòëèâî îñîçíàë è îïèñàë Êýëè â 1854 ãîäó; ýòîò ãîä ïîýòîìó ñ÷èòàþò ãîäîì íà÷àëà àáñòðàêòíîé òåîðèè ãðóïï. Ïîä âëèÿíèåì âñåõ ýòèõ ôàêòîâ â ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà ïðåäïðèíèìàþòñÿ ïîïûòêè ðàñøèðèòü òðàäèöèîííîå îïðåäåëåíèå ïðåäìåòà ìàòåìàòèêè êàê íàóêè òîëüêî î âåëè÷èíàõ è èõ èçìåðåíèè. Íàïðèìåð, äëÿ Ïóàíñî ìàòåìàòèêà — ýòî íàóêà î ñâîéñòâàõ ÷èñåë, âåëè÷èíàõ è ïîðÿäêå. Áîëüöàíî è Ãðàññìàí ñ÷èòàëè, ÷òî òðàäèöèîííàÿ òðàêòîâêà î ïðåäìåòå ìàòåìàòèêè íå îõâàòûâàåò å¸ ñîäåðæàíèÿ â öåëîì: íàïðèìåð, îíî íå ïðèëîæèìî ê ó÷åíèþ î ñî÷åòàíèÿõ. Äëÿ Ãðàññìàíà ìàòåìàòèêà — ó÷åíèå î ôîðìàõ, îäíàêî ãåîìåòðèÿ ê ìàòåìàòèêå íå ïðèíàäëåæèò.  1854 ãîäó Äæ. Áóëü ïîä÷åðêèâàë, ÷òî “â ïðèðîäå ìàòåìàòèêè íå çàëîæåíà íåîáõîäèìîñòü çàíèìàòüñÿ èäåÿìè ÷èñëà è âåëè÷èíû”. Èòàê, ðàçðàáîòàííûå â ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ è ìåòîäû ìàòåìàòèêè ïîçâîëèëè ìàòåìàòèêàì ïåðåñòðîèòü ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, àëãåáðó, ó÷åíèå î ÷èñëå è îò÷àñòè ãåîìåòðèþ â ñîîòâåòñòâèè ñ òðåáîâàíèÿìè íîâîé ìåòîäîëîãèè. Íîâàÿ ìåòîäîëîãèÿ ìàòåìàòèêè ñïîñîáñòâîâàëà ïðåîäîëåíèþ êðèçèñà å¸ îñíîâ è ñîçäàëà äëÿ íå¸ øèðîêèå ïåðñïåêòèâû äàëüíåéøåãî ðàçâèòèÿ. Äëÿ ÷åãî ìàòåìàòèêè ïîñëåäíèõ äåñÿòèëåòèé XIX âåêà ïîòðåáîâàëîñü îáùåå ó÷åíèå î ìíîæåñòâàõ, îðãàíè÷åñêè ñâÿçàííûõ ñ ïîíÿòèåì àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè? Ã. Êàíòîð îòâåòèë íà ýòîò âîïðîñ òàê: “…äëÿ îáîñíîâàíèÿ àðèôìåòèêè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ôóíäàìåíòàëüíûõ òåîðåì ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà è òåîðèè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ”. Ã. Êàíòîð óêàçûâàë òàêæå, ÷òî èäåè è ìåòîäû îáùåãî ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ ÿâëÿþòñÿ äåéñòâåííûìè îðóäèÿìè îòûñêàíèÿ íîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôàêòîâ è ðàçâèòèÿ íîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé.  ýòîé ñâÿçè îí ñ÷åë âîçìîæíûì óòâåðæäàòü, ÷òî äëÿ ìàòåìàòèêè ïîíÿòèå àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè ñóùåñòâåííî íåîáõîäèìî. Îñíîâíûì ïîíÿòèåì îáùåãî ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ Ã. Êàíòîðà ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà
(ïîíÿòèå àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè
). “Ïîä ìíîãîîáðàçèåì, èëè ìíîæåñòâîì,— ïèñàë Ã. Êàíòîð,— ÿ ïîíèìàþ âîîáùå âñÿêîå ìíîãîå, êîòîðîå ìîæíî ìûñëèòü êàê åäèíîå, ò. å. âñÿêóþ ñîâîêóïíîñòü îïðåäåëåííûõ ýëåìåíòîâ, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ñâÿçàíà â îäíî öåëîå ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîãî çàêîíà.” Êàíòîð íàçûâàë ìíîæåñòâî Ð
îïðåäåëåííûì, åñëè îòíîñèòåëüíî ëþáîãî îáúåêòà ìîæíî ñêàçàòü, ïðèíàäëåæèò îí ìíîæåñòâó Ð
èëè íå ïðèíàäëåæèò. Ïîíÿòèå çàêîíà Ã. Êàíòîð ñ÷èòàë èñõîäíûì, íåîïðåäåëèìûì. Âìåñòå ñ òåì, â åãî êîíöåïöèè ïîíÿòèå çàêîíà èãðàåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü. Òàê êàê ñîãëàñíî çàêîíó ýëåìåíòû íåêîòîðîé ñîâîêóïíîñòè ìîãóò áûòü ñâÿçàíû â îäíî öåëîå, òî çàêîí îáåñïå÷èâàåò ñóùåñòâîâàíèå ìíîæåñòâà. Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè ìíîæåñòâî ñóùåñòâóåò, òî ìîæíî äàòü çàêîí, îáåñïå÷èâàþùèé åãî ñóùåñòâîâàíèå. Îïåðàòèâíûìè ïîíÿòèÿìè îáùåãî ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ Ã. Êàíòîðà ÿâëÿþòñÿ ïîíÿòèÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íîãî ñîîòâåòñòâèÿ ìîùíîñòè è êîëè÷åñòâà ìíîæåñòâà. Êàíòîð îïðåäåëèë ìîùíîñòü — òåïåðü ÷àñòî ãîâîðÿò: “êîëè÷åñòâåííîå ÷èñëî” — êàê ðåçóëüòàò àáñòðàêöèè îò ñîäåðæàíèÿ è ïîðÿäêà ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà. Îí íàçûâàë äâà ìíîæåñòâà ðàâíîìîùíûìè è èìåþùèìè îäèíàêîâóþ ìîùíîñòü, åñëè ìåæäó èõ ýëåìåíòàìè âîçìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå. Äëÿ ðàçâèòèÿ îáùåãî ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ íàèáîëåå ñóùåñòâåííûì ÿâèëîñü äðóãîå îòêðûòèå Ã. Êàíòîðà — äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ñ ðàçëè÷íûìè ìîùíîñòÿìè. Åñëè ìíîæåñòâî êîíå÷íî, ïîíÿòèå ìîùíîñòè ñîâïàäàåò ñ ïîíÿòèåì ÷èñëà åãî ýëåìåíòîâ è ìîæåò áûòü âûðàæåíî êîëè÷åñòâåííûì íàòóðàëüíûì ÷èñëîì.  ñëó÷àÿõ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ íåëüçÿ ãîâîðèòü î ÷èñëå èõ ýëåìåíòîâ, íî êàæäîìó èç òàêèõ ìíîæåñòâ ìîæíî ïðèïèñàòü îïðåäåëåííóþ ìîùíîñòü. Ïðèíÿòî îòíîñèòü êàæäîìó êëàññó ìíîæåñòâ íåêîòîðûé ñèìâîë ìîùíîñòè. Òàê Êàíòîð ïðåäïðèíÿë ïîïûòêó ðàçâèòü àðèôìåòèêó êàðäèíàëüíûõ òðàíñôèíèòíûõ ÷èñåë. Îí äîêàçàë ìíîãèå àðèôìåòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ, ñïðàâåäëèâûå äëÿ ìîùíîñòåé êîíêðåòíûõ ìíîæåñòâ — ñ÷åòíûõ è ìîùíîñòè êîíòèíóóìà. Íàïðèìåð, åñëè ï
— ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî:
Íî êîãäà êàíòîð ïîïûòàëñÿ îáîáùèòü ïîëó÷åííûå èì àðèôìåòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ íà ëþáûå êàðäèíàëüíûå òðàíñôèíèòíûå ÷èñëà, òî âñòðåòèëñÿ ñ ñåðüåçíûìè òðóäíîñòÿìè. Ïóñòü Ì
è N
— êàêèå óãîäíî áåñêîíå÷íûå ìíîæåñòâà, ò
è ï
— ñîîòâåòñòâóþùèå èì êàðäèíàëüíûå òðàíñôèíèòíûå ÷èñëà. Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî ýòè ÷èñëà âñåãäà ìîãóò áûòü ñâÿçàíû îäíèì è òîëüêî îäíèì èç çíàêîâ =, >, <? Äëÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ò
è ï
ýòî óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî, äëÿ êàðäèíàëüíûõ òðàíñôèíèòíûõ ÷èñåë ñïðàâåäëèâîñòü åãî íå î÷åâèäíà. Êàíòîð ýòó ïðîáëåìó íå ðåøèë, å¸ íàçâàëè ïðîáëåìîé òðèõîòîìèè
. Êàíòîð íå ñìîã òàêæå äîêàçàòü (èëè îïðîâåðãíóòü), ÷òî äëÿ ëþáûõ êàðäèíàëüíûõ òðàíñôèíèòíûõ ÷èñåë ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ: ò+ï=òï
; ò=ò
2
; åñëè ò
2
=ï
2
, òî ò=ï
; åñëè ò<ï
è p<q
, òî m+p<n+q
; åñëè ò<ï
è p<q
, òî mp<nq
. À. Òàðñêèé äîêàçàë, ÷òî êàæäîå èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé ýêâèâàëåíòíî òðèõîòîìèè. Èçâåñòíî, ÷òî x0
<c
. Ñóùåñòâóåò ëè ìíîæåñòâî Ì
, ìîùíîñòü êîòîðîãî ò
óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì: õ0
<m<c
? Ýòó ïðîáëåìó Êàíòîð òàêæå íå ðåøèë. Îí âûñêàçàë ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî òàêîå ìíîæåñòâî Ì
íå ñóùåñòâóåò. Ïðåäïîëîæåíèå Êàíòîðà íàçûâàëîñü ãèïîòåçîé êîíòèíóóìà
; îíî ýêâèâàëåíòíî óòâåðæäåíèþ, ÷òî âñÿêîå íå÷åòíîå ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà
. Ïîñëå ïóáëèêàöèè ïåðâûõ ðàáîò Ã. Êàíòîðà, â êîòîðûõ îí èçëîæèë íà÷àëà ó÷åíèÿ î òðàíñôèíèòíûõ ÷èñëàõ (êîëè÷åñòâåííûõ è ïîðÿäêîâûõ), ìàòåìàòèêè, ëîãèêè, ôèëîñîôû è îñîáåííî òåîëîãè îòíåñëèñü ê åãî èäåÿì âåñüìà ñäåðæàííî. Íåêîòîðûå èç íèõ âûñòóïèëè ñ îòêðûòîé êðèòèêîé îñíîâíîãî ïîíÿòèÿ ó÷åíèÿ Êàíòîðà — ïîíÿòèÿ àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè. Êàíòîð îòâåòèë íà ýòè âûñòóïëåíèÿ â íåñêîëüêèõ ñòàòüÿõ è â ïåðåïèñêå, êîòîðóþ âïîñëåäñòâèè ÷àñòè÷íî îïóáëèêîâàë. Íàèáîëåå ñåðüåçíûì ïðîòèâíèêîì êîíöåïöèè Êàíòîðà áûë Ë. Êðîíåêåð. Îí ñ÷èòàë, ÷òî äåéñòâèòåëüíî ñóùåñòâóþùèìè, ðåàëüíûìè ìîæíî ïðèçíàòü ëèøü íàòóðàëüíûå ÷èñëà, âñëåäñòâèå ÷åãî îíè ÿâëÿþòñÿ åäèíñòâåííûì îáúåêòîì ÷èñòîé ìàòåìàòèêè. Êðîíåêåð óòâåðæäàë, ÷òî âñå òåîðåìû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ïðàâîìåðíû ëèøü ïîñòîëüêó, ïîñêîëüêó èõ ìîæíî èñòîëêîâàòü êàê îïèñàíèÿ çàêîíîâ, ãîñïîäñòâóþùèõ â îáëàñòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ, ïèñàë Êàíòîð, èçâåñòíàÿ ðåàëüíîñòü ïðèïèñûâàåòñÿ òàêæå ðàöèîíàëüíûì ÷èñëàì, ïîñêîëüêó îíè “íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàþò” èç àðèôìåòèêè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Êðîíåêåð òðàêòîâàë èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà êàê óäîáíûå ñèìâîëû äëÿ îïèñàíèÿ åäèíûì ñïîñîáîì ñâîéñòâ ãðóïï íàòóðàëüíûõ ÷èñåë; ïîíÿòèå àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè îí ïîëíîñòüþ îòðèöàë. Ñëåäóÿ ýòèì èäåÿì, Êðîíåêåð îïóáëèêîâàë èññëåäîâàíèå, â êîòîðîì íàìåòèë êîíòóðû íåêîòîðûõ “âñïîìîãàòåëüíûõ òåîðèé”, ïî åãî ìíåíèþ ïîçâîëÿþùèõ îñâîáîäèòü ÷èñòóþ ìàòåìàòèêó îò èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Êàíòîð îòìå÷àë, ÷òî êîíöåïöèÿ Êðîíåêåðà, â ñðàâíåíèè ñ îáùåïðèçíàííûìè òåîðèÿìè ÷èñòîé ìàòåìàòèêè, îáëàäàåò íåêîòîðûìè ïðåèìóùåñòâàìè. Åñëè ñòðîãî ïðèäåðæèâàòüñÿ êîíöåïöèè Êðîíåêåðà, òî “âîçìîæíî ïîòðåáîâàòü”, ÷òîáû äîêàçàòåëüñòâà àíàëèòè÷åñêèõ òåîðåì áûëè èñïûòàíû ïî ñâîåìó “òåîðåòèêî-÷èñëîâîìó ñîäåðæàíèþ” è ÷òîáû êàæäûé îáíàðóæèâàþùèéñÿ â íèõ ïðîáåë áûë çàïîëíåí ñîãëàñíî ïðèíöèïàì àðèôìåòèêè.  âîçìîæíîñòè ïîäîáíîãî äîïîëíåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ íàñòîÿùèé ïðîáíûé êàìåíü äëÿ ïðàâèëüíîñòè è ïîëíîé ñòðîãîñòè äîêàçàòåëüñòâ. Òàêèå äîïîëíåíèÿ ñïîñîáíû ïðåäîõðàíèòü èññëåäîâàòåëåé îò îøèáîê è óäåðæàòü ïîëåò èõ òâîð÷åñêîé ôàíòàçèè â íàäëåæàùèõ ãðàíèöàõ. Îäíàêî, ïîä÷åðêèâàë Êàíòîð, ìåòîäîëîãè÷åñêèå ïðèíöèïû êîíöåïöèè Êðîíåêåðà íå ÿâëÿþòñÿ ïëîäîòâîðíûìè. “Ìû íå îáÿçàíû èì íèêàêèìè èñòèííûìè óñïåõàìè è, åñëè áû ìû â äåéñòâèòåëüíîñòè òî÷íî ðóêîâîäñòâîâàëèñü èìè, òî ðàçâèòèå íàóêè îñòàíîâèëîñü áû èëè áûëî ââåäåíî â ñàìûå óçêèå ãðàíèöû.” Âïðî÷åì, çàìåòèë Êàíòîð, îêîí÷àòåëüíîå ñóæäåíèå î êîíöåïöèè Êðîíåêåðà ñòàíåò âîçìîæíûì ëèøü òîãäà, êîãäà îíà áóäåò ðàçðàáîòàíà â öåëîì è â äåòàëÿõ, â ñâÿçè ñ ÷åì âûÿñíèòñÿ å¸ îòíîøåíèå ê ãåîìåòðèè è ìåõàíèêå. Ïîêà ýòîãî åù¸ íåò, ïðèãîäíîñòü êîíöåïöèè Êðîíåêåðà íå ìîæåò áûòü íàçâàíà äîñòàòî÷íî îáîñíîâàííîé. Êðèòè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ Êàíòîðà â àäðåñ êîíöåïöèè Êðîíåêåðà èìåþò ìåòîäîëîãè÷åñêèì ñòåðæíåì åãî òðåòüå “îãðàíè÷èòåëüíîå òðåáîâàíèå”. Îíè âåðíû è íå ïîòåðÿëè ñâîåãî çíà÷åíèÿ äî íàøåãî âðåìåíè. Íî âðÿä ëè ìîæíî íàçâàòü ïðàâèëüíûì ñëåäóþùèå êðèòè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ Êàíòîðà, êîòîðûå îí, ïî-âèäèìîìó, ñ÷èòàë íàèáîëåå ñåðüåçíûìè: ìîùíîñòü êîíòèíóóìà âûøå ìîùíîñòè ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ñëåäîâàòåëüíî, çàïàñ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íåäîñòàòî÷åí äëÿ îïèñàíèÿ òî÷åê âðåìåííîãî è ïðîñòðàíñòâåííîãî êîíòèíóóìà, ïîýòîìó êîíöåïöèÿ Êðîíåêåðà íå ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ ñîâåðøåííîé. Ýòà àðãóìåíòàöèÿ êàíòîðà îáëàäàåò äîêàçàòåëüíîé ñèëîé ëèøü äëÿ ïðèâåðæåíöåâ ó÷åíèÿ î ñ÷åòíûõ è íåñ÷åòíûõ ìíîæåñòâàõ; åãî ïðîòèâíèêè ñ÷èòàòüñÿ ñ ýòîé àðãóìåíòàöèåé Êàíòîðà íå îáÿçàíû. Èäåè Êðîíåêåðà â íåêîòîðîé ìåðå ñïîñîáñòâîâàëè ñíà÷àëà îôîðìëåíèþ êîíöåïöèè èíòóèöèîíèçìà, à ïîòîì è êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòèêè. Äî ïîñëåäíåãî äåñÿòèëåòèÿ XIX âåêà ìàòåìàòèêè, ëîãèêè è ôèëîñîôû ïðèçíàâàëè ïîíÿòèÿ èððàöèîíàëüíîãî ÷èñëà, íî îòðèöàëè ïîíÿòèå àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè; îíè ñ÷èòàëè åãî âíóòðåííå ïðîòèâîðå÷èâûì. Íåêîòîðûå èç íèõ ïûòàëèñü ýòî äîêàçàòü. Êàíòîð èçó÷èë ìåòîäîëîãè÷åñêóþ îñíîâó òàêèõ äîêàçàòåëüñòâ è ïîêàçàë èõ ïîëíóþ íåñîñòîÿòåëüíîñòü. “Âñå òàê íàçûâàåìûå äîêàçàòåëüñòâà ïðîòèâ âîçìîæíîñòè àêòóàëüíî áåñêîíå÷íûõ ÷èñåë,— ïèñàë Êàíòîð,— îøèáî÷íû, ïîòîìó, ÷òî îíè çàðàíåå ïðèïèñûâàþò èëè, ñêîðåå, íàâÿçûâàþò ðàññìàòðèâàåìûì ÷èñëàì âñå ñâîéñòâà êîíå÷íûõ ÷èñåë
. Ìåæäó òåì, áåñêîíå÷íûå ÷èñëà — åñëè òîëüêî èõ äîëæíî ìûñëèòü â êàêîé-íèáóäü ôîðìå — äîëæíû îáðàçîâàòü áëàãîäàðÿ ñâîåé ïðîòèâîïîëîæíîñòè ê êîíå÷íûì ÷èñëàì ñîâåðøåííî íîâûé ÷èñëîâîé âèä, ñâîéñòâà êîòîðîãî âïîëíå çàâèñÿò îò ïðèðîäû âåùåé è îáðàçóþò ïðåäìåò èññëåäîâàíèÿ, à íå íàøåãî ïðîèçâîëà èëè íàøèõ ïðåäðàññóäêîâ.” Çàêëþ÷èòåëüíàÿ ÷àñòü ïðèâåäåííîãî âûñêàçûâàíèÿ Êàíòîðà ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé õàðàêòåðèñòèêîé ñóùåñòâà ìåòîäîëîãèè åãî íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé. Îíà ïîêàçûâàåò, ÷òî èçáðàííûé Êàíòîðîì ïóòü îáîñíîâàíèÿ íàó÷íîé ñàìîñòîÿòåëüíîñòè ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ ÿâëÿåòñÿ, ïî ñóòè, ìàòåðèàëèñòè÷åñêèì; îí ìîæåò áûòü ñîãëàñîâàí ñ èäåàëèçìîì (ñóáúåêòèâíûì èëè îáúåêòèâíûì — áåçðàçëè÷íî) òîëüêî íà ñëîâàõ, à íà äåëå ïðîòèâîðå÷èò åìó. Ñòðåìëåíèå Êàíòîðà îáîñíîâàòü ñ ôèëîñîôñêèõ ïîçèöèé âîçìîæíîñòü òàêîé ñîãëàñîâàííîñòè è îáóñëîâèëî äâîéñòâåííîñòü åãî ôèëîñîôñêèõ ïîçèöèé â ïîíèìàíèè ïðèðîäû ìàòåìàòèêè è å¸ ìåòîäîâ. Íàðÿäó ñ óêàçàííûìè âûøå òðóäíîñòÿìè ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ â íåé áûëè îáíàðóæåíû ïàðàäîêñû
(àíòèíîìèè) ïîñòàâèâøèå ïîä ñîìíåíèå ó÷åíèå Ã. Êàíòîðà â öåëîì
. Ýòè ïàðàäîêñû ñòàëè îáúåêòîì îñîáîãî âíèìàíèÿ ìàòåìàòèêîâ. È, êîíå÷íî, íå ñëó÷àéíî. Êàê óêàçûâàëîñü âûøå, åù¸ ïðè æèçíè Êàíòîðà åãî òåîðèÿ ìíîæåñòâ ñòàëà ôóíäàìåíòîì âñåãî çäàíèÿ ìàòåìàòèêè, à å¸ ìåòîäû — äåéñòâåííûì îðóäèåì ðàçâèòèÿ ìíîãèõ âåäóùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé. Ïåðâûé ïàðàäîêñ îáíàðóæèë ñàì Êàíòîð â 1895 ãîäó è ñîîáùèë î íåì â ïèñüìå ê Ãèëüáåðòó. ÷åðåç äâà ãîäà ýòîò ïàðàäîêñ îáíàðóæèë Áóðàëè-Ôîðòè; îí ñäåëàë åãî äîñòîÿíèåì âñåõ ìàòåìàòèêîâ. Ïàðàäîêñ Áóðàëè-Ôîðòè.
Ïóñòü Ð
— ìíîæåñòâî âñåõ ïîðÿäêîâûõ ÷èñåë. Ýòî ìíîæåñòâî âïîëíå óïîðÿäî÷åíî; ñëåäîâàòåëüíî, îíî îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå îðäèíàðíîå òðàíñôèíèòíîå ÷èñëî ð
. Åñëè Ðð
— ìíîæåñòâî ïîðÿäêîâûõ ÷èñåë ìåíüøå ð
, òî Ðð
èìååò òîò æå ïîðÿäêîâûé òèï, ÷òî è Ð
. Íî Ðð
— îòðåçîê ìíîæåñòâà Ð
, îïðåäåëÿåìûé ÷èñëîì ð
. Ñëåäîâàòåëüíî Ð
è åãî îòðåçîê Ðð
ïîäîáíû äðóã äðóãó. Íî Êàíòîð äîêàçàë, ÷òî âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî íå ìîæåò áûòü ïîäîáíî ëþáîìó ñâîåìó îòðåçêó.  1899 ãîäó Êàíòîð îòêðûë åù¸ îäèí ïàðàäîêñ è ñîîáùèë î íåì Ð. Äåäåêèíäó.  1901 ãîäó ýòîò ïàðàäîêñ ïðèâëåê âíèìàíèå Á. Ðàññåëà. Ïàðàäîêñ Êàíòîðà.
Ïóñòü N
— ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ ìíîæåñòâ, S
—ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà N
. Ïîñêîëüêó ìîùíîñòü ìíîæåñòâà âñåõ âîçìîæíûõ ïîäìíîæåñòâ ëþáîãî ìíîæåñòâà èìååò ìîùíîñòü, áîëüøóþ ìîùíîñòè ýòîãî ìíîæåñòâà, òî ìîùíîñòü S
äîëæíà áûòü áîëüøå ìîùíîñòè N
. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìíîæåñòâî N
åñòü ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ ìíîæåñòâ; ñëåäîâàòåëüíî S
ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì N
. Íî ìîùíîñòü ïîäìíîæåñòâà íå áîëüøå ìîùíîñòè ìíîæåñòâà; çíà÷èò ìîùíîñòü S
íå áîëüøå ìîùíîñòè N
. Íàèáîëüøóþ èçâåñòíîñòü ïðèîáðåë ïàðàäîêñ, îòêðûòûé Á. Ðàññåëîì â 1902 ãîäó è îïóáëèêîâàííûé èì â 1903 ãîäó. Ýòîò ïàðàäîêñ îòêðûë è Ý. Öåðìåëî, íî â ïå÷àòè åãî íå îïóáëèêîâàë. Ïàðàäîêñ Ðàññåëà.
Î íåêîòîðûõ ìíîæåñòâàõ ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî îíè ñîäåðæàò ñåáÿ â êà÷åñòâå ñâîåãî ýëåìåíòà; òàêîâî, íàïðèìåð, ìíîæåñòâî âñåõ ìíîæåñòâ. Ðàñïðåäåëèì âñå âîçìîæíûå ìíîæåñòâà íà äâà êëàññà. Ê ïåðâûì îòíåñåì òå ìíîæåñòâà, êîòîðûå íå ñîäåðæàò ñåáÿ â êà÷åñòâå ñâîèõ ýëåìåíòîâ. Êî âòîðîìó îòíåñåì âñå îñòàëüíûå, ò. å. êîòîðûå ñîäåðæàò ñåáÿ â êà÷åñòâå ñâîèõ ýëåìåíòîâ. Ðàññìîòðèì ïåðâûé êëàññ ìíîæåñòâ. Ýòîò êëàññ ìíîæåñòâ â ñâîþ î÷åðåäü ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì ìíîæåñòâîì N
, à ïîòîìó ïðèíàäëåæèò ê ïåðâîìó èëè êî âòîðîìó êëàññó. Äîïóñòèì, ÷òî ìíîæåñòâî N
ïðèíàäëåæèò ê ïåðâîìó êëàññó. Ïåðâûé êëàññ — ýòî êëàññ ìíîæåñòâ, êàæäîå èç êîòîðûõ íå ñîäåðæèò ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà. Íî åñëè N
ïðèíàäëåæèò ê ïåðâîìó êëàññó, òî òàê êàê ìíîæåñòâî N
åñòü ìíîæåñòâî âñåõ ìíîæåñòâ ïåðâîãî êëàññà, îíî äîëæíî ñîäåðæàòü è ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà. Èòàê, åñëè ìíîæåñòâî N
íå ñîäåðæèò ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà, òî îíî ñîäåðæèò ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà, ñëåäîâàòåëüíî íåëüçÿ ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ìíîæåñòâî N
ïðèíàäëåæèò ê ïåðâîìó êëàññó. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ìíîæåñòâî N
ïðèíàäëåæèò êî âòîðîìó êëàññó, ò. å. ñîäåðæèò ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà. Íî ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà N
ÿâëÿþòñÿ òîëüêî ìíîæåñòâà, íå ñîäåðæàùèå ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè N
ñîäåðæèò ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà, òî N
íå ñîäåðæèò ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà. Ìû îïÿòü ïðèøëè ê ïðîòèâîðå÷èþ è âûíóæäåíû ïðèçíàòü, ÷òî ìíîæåñòâî N
íå ìîæåò íè ïðèíàäëåæàòü, íè íå ïðèíàäëåæàòü ê ïåðâîìó êëàññó.  íàøå âðåìÿ èçâåñòíû è äðóãèå ïàðàäîêñû. Ñ íà÷àëà XX âåêà è äî íàøèõ äíåé íå ïðåêðàùàþòñÿ ïîïûòêè ïðåîäîëåòü òðóäíîñòè, ñâÿçàííûå ñ ïîñòðîåíèåì è ïàðàäîêñàìè òåîðèè ìíîæåñòâ. Óñòàíîâëåííûå â ýòîì íàïðàâëåíèè ðåçóëüòàòû íå ïîëó÷èëè, îäíàêî, âñåîáùåãî ïðèçíàíèÿ. Åñëè è ìîæíî ãîâîðèòü î öåííûõ ðåçóëüòàòàõ, çäåñü íàéäåííûõ, òî â ïåðâóþ î÷åðåäü â ñâÿçè ñ ðàçëè÷íûìè âàðèàíòàìè àêñèîìàòè÷åñêîãî ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ. Âïåðâûå àêñèîìàòè÷åñêîå ïîñòðîåíèå òåîðèè ìíîæåñòâ îñóùåñòâèë Ý. Öåðìåëî â 1908 ãîäó. Âïîñëåäñòâèè àêñèîíîìàòèêà Öåðìåëî áûëà äîïîëíåíà è âèäîèçìåíåíà â ðàáîòàõ À. Ôðåíêåëÿ (1922, 1925), Ò. Ñêîëåìà (1922-1923, 1929), Äæ. Íåéìàíà (1925, 1928), Ï. Áåðíàéñà (1937-1954) è äðóãèõ ìàòåìàòèêîâ. Òàê, Ôðåíêåëü äîïîëíèë àêñèîíîìàòèêó Öåðìåëî îäíîé àêñèîìîé, ïîñëå ÷åãî ïîëó÷èëàñü íîâàÿ ñèñòåìà àêñèîì — å¸ íàçâàëè ñèñòåìîé Öåðìåëî-Ôðåíêåëÿ — áîëåå ñèëüíàÿ, ÷åì èñõîäíàÿ ñèñòåìà àêñèîì Öåðìåëî.  îòëè÷èå îò ñèñòåìû Öåðìåëî, îáîçíà÷àåìîé îáû÷íî áóêâîé Z, ñèñòåìó Öåðìåëî-Ôðåíêåëÿ îáîçíà÷àþò äâóìÿ áóêâàìè: ZF. Ñ ïîìîùüþ ZF ìîæíî ïîëó÷èòü ðÿä ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåçóëüòàòîâ, íå äîêàçóåìûõ ñ ïîìîùüþ Z. Öåðìåëî ñôîðìóëèðîâàë ñèñòåìó àêñèîì, â êîòîðîé îïèñàë íåêîòîðûå ñâîéñòâà ìíîæåñòâ. Îñòàëüíûå ñâîéñòâà ìíîæåñòâ, óñòàíîâëåííûå â òåîðèè ìíîæåñòâ Êàíòîðà, Öåðìåëî ïûòàëñÿ âûâåñòè èç ñâîèõ àêñèîì. Îñíîâíîé çàìûñåë Öåðìåëî ñîñòîÿë â òîì, ÷òîáû îãðàíè÷èòü îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ àêñèîíîìàòèêè Z òîëüêî òàêèìè ìíîæåñòâàìè, ðàññìîòðåíèå êîòîðûõ íå ïðèâîäèò ê ïàðàäîêñàì. Âïîñëåäñòâèè, ïðè ðàçðàáîòêå íîâûõ âàðèàíòîâ àêñèîíîìàòèêè òåîðèè ìíîæåñòâ, ýòà îãðàíè÷èòåëüíàÿ òåíäåíöèÿ ïîëó÷èëà âñåîáùåå ïðèçíàíèå. Ïîçâîëèòåëüíî, îäíàêî, äóìàòü, ÷òî â îäíîì ñóùåñòâåííîì ïóíêòå îíà íå îòâå÷àåò îñíîâíûì óñòàíîâêàì è çàìûñëó ñàìîãî Ã. Êàíòîðà. Êàíòîð ñòðåìèëñÿ ðàçâèòü òåîðèþ ìíîæåñòâ âî âñåé îáùíîñòè, êàê òåîðèþ, îòíîñÿùóþñÿ ê ëþáûì ìíîæåñòâàì; íàçâàííàÿ îãðàíè÷èòåëüíàÿ òåíäåíöèÿ áûëà äëÿ íåãî ñîâåðøåííî ÷óæäîé. Åñëè ïðèíÿòü ñèñòåìó Z, òî â íåêîòîðûõ ñóùåñòâåííûõ ïóíêòàõ òåîðèÿ ìíîæåñòâ Êàíòîðà ïîëó÷èò äîñòàòî÷íîå îáîñíîâàíèå. Îáóñëîâëèâàåòñÿ ýòî ñëåäóþùèìè ïðè÷èíàìè.  ñèñòåìå Öåðìåëî èìååòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ àêñèîìà âûáîðà (ðàíüøå å¸ îáû÷íî íàçûâàëè ïðîñòî àêñèîìîé Öåðìåëî: â äàëüíåéøåì ìû ÷àñòî áóäåì íàçûâàòü å¸ èìåííî òàê): Åñëè äàíî ìíîæåñòâî Ì, ñîñòîÿùåå èç ìíîæåñòâ N, íå ïóñòûõ è áåç îáùèõ ýëåìåíòîâ, òî èç êàæäîãî ìíîæåñòâà N ìîæíî âûáðàòü ïî îäíîìó ýëåìåíòó; ñîâîêóïíîñòü âûáðàííûõ ýëåìåíòîâ îáðàçóåò íîâîå ìíîæåñòâî Ð.
Âïîñëåäñòâèè îðòîäîêñàëüíûå ïîñëåäîâàòåëè Ã. Êàíòîðà íåðåäêî èçìåíÿëè ôîðìóëèðîâêó àêñèîìû Öåðìåëî òàê, ÷òî îíà ñòàíîâèëàñü óòâåðæäåíèåì ñóùåñòâîâàíèÿ: Äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà Ì ìíîæåñòâ N, íå ïóñòûõ è íå èìåþùèõ îáùèõ ýëåìåíòîâ, ñóùåñòâóåò (ïî êðàéíåé ìåðå îäíî) ìíîæåñòâî Ð, ñîäåðæàùåå ïî îäíîìó è òîëüêî îäíîìó ýëåìåíòó èç êàæäîãî ìíîæåñòâà N.
Óòâåðæäåíèå ñóùåñòâîâàíèÿ ìíîæåñòâà Ð
ïîíèìàëîñü, êîíå÷íî, â ñìûñëå Êàíòîðà. Îïèðàÿñü íà ýòó àêñèîìó Öåðìåëî äîêàçàë, ÷òî âñÿêîå ìíîæåñòâî ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â ôîðìå âïîëíå óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà, ò. å., ÷òî ìîùíîñòü ëþáîãî ìíîæåñòâà åñòü àëåîð
. Êàê óêàçûâàëîñü âûøå, ýòîò ôàêò îáåñïå÷èâàåò âîçìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ àðèôìåòèêè êàðäèíàëüíûõ òðàíñôèíèòíûõ ÷èñåë ïî÷òè âî âñåé îáùíîñòè. Äîñòàòî÷íî ñêàçàòü, ÷òî àêñèîìà Öåðìåëî ïîçâîëÿåò ðåøèòü â óòâåðäèòåëüíîì ñìûñëå ïðîáëåìó òðèõîòîìèè è äàåò îáîñíîâàíèå òðàíñôèíèòíîé èíäóêöèè. Òîëüêî ãèïîòåçà êîíòèíóóìà îñòàâàëàñü ïî ïðåæíåìó çàãàäêîé. Öåðìåëî ìîã óòâåðæäàòü, ÷òî ìîùíîñòü êîíòèíóóìà åñòü àëåîð, íî êàêîå ìåñòî íà øêàëå àëåîðîâ çàíèìàåò Ñ
— ýòî îñòàâàëîñü íåèçâåñòíûì. Ê ýòîìó ìîæíî òîëüêî ïðèáàâèòü, ÷òî äîêàçàòåëüñòâà ýêâèâàëåíòíîñòè äðóã äðóãó íåêîòîðûõ ôîðì ãèïîòåçû êîíòèíóóìà òàêæå îïèðàþòñÿ íà àêñèîìó Öåðìåëî. Áîëåå äåñÿòè ëåò ñ ìîìåíòà îïóáëèêîâàíèÿ ìåìóàðîâ Öåðìåëî ïðèëîæåíèÿ àêñèîìû âûáîðà îãðàíè÷èâàëèñü îáëàñòüþ òåîðèè ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî. Êðîìå óêàçàííûõ, ìîæíî, íàïðèìåð, óïîìÿíóòü ïðèëîæåíèÿ ýòîé àêñèîìû â òåîðèè òî÷å÷íûõ ìíîæåñòâ è, â ÷àñòíîñòè, â òåîðèè èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ.  20-õ è 30-õ ãîäàõ ÕÕ âåêà ïîëå ïðèëîæåíèÿ àêñèîìû Öåðìåëî çíà÷èòåëüíî ðàñøèðèëîñü. Ìîæíî, íàïðèìåð, óêàçàòü íà èññëåäîâàíèÿ Áèðêãîôà ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, â êîòîðûõ îí ïðèìåíÿë òðàíñôèíèòíóþ èíäóêöèþ. Îñîáåííî âàæíî óêàçàòü íà òåîðèþ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ, êîòîðóþ Æ. Àäàìàð â íà÷àëå 30-õ ãîäîâ íàçûâàë íàèáîëåå ñèëüíûì ìåòîäîì èññëåäîâàíèÿ ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ ðàçâèâàåòñÿ íà áàçå îáùåãî ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ è ïîëüçóåòñÿ àêñèîìîé Öåðìåëî äëÿ óñòàíîâëåíèÿ íåêîòîðûõ âàæíåéøèõ ñâîèõ ïðåäëîæåíèé. Øèðîêîå ïîëå äëÿ ïðèìåíåíèÿ àêñèîìû Öåðìåëî äàëè àëãåáðà è òîïîëîãèÿ. Ñâîåîáðàçèå àêñèîìû Öåðìåëî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíà íå òîëüêî ÿâëÿåòñÿ îðóäèåì îòûñêàíèÿ íîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôàêòîâ è ïðèäàåò èçâåñòíóþ îáùíîñòü ó÷åíèþ î ìíîæåñòâàõ, íî è óñóãóáëÿåò òðóäíîñòè
îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè. Îäíà èç òðóäíîñòåé ñîñòîèò â òîì, ÷òî, ðàññìàòðèâàÿ âïîëíå îïðåäåëåííûå (â ñìûñëå Êàíòîðà) ìíîæåñòâà, ñ ïîìîùüþ àêñèîìû Öåðìåëî ìîæíî äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå ìíîæåñòâ, íåîïðåäåëèìûõ â ñìûñëå Êàíòîðà. Âîò ïðèìåð. Ðàññìîòðèì âñå ôóíêöèè äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî õ
, îïðåäåëåííûå íà ñåãìåíòå [0, 1] è íå ðàâíûå íà ýòîì ñåãìåíòå òîæäåñòâåííî íóëþ. Ðàçäåëèì ýòè ôóíêöèè íà ïàðû, îòíîñÿ â îäíó ïàðó òàêèå äâå ôóíêöèè, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ òîëüêî çíàêîì, ò. å. ôóíêöèè f(x)ï–f(x)
. Ïî àêñèîìå Öåðìåëî ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî Ð
, âêëþ÷àþùåå ïî îäíîé è òîëüêî îäíîé ôóíêöèè êàæäîé ïàðû. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî àêñèîìå Öåðìåëî, ìîæíî óòâåðæäàòü ñóùåñòâîâàíèå Ð
ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî õ
, îïðåäåëÿåìûõ íà ñåãìåíòå [0, 1] è íå ðàâíûõ íà ýòîì ñåãìåíòå òîæäåñòâåííî íóëþ, òàêîãî, ÷òî à) êàêîâû áû íè áûëè ôóíêöèè f1
è f2
ìíîæåñòâà Ð
, âñåãäà á) êàêîâà áû íè áûëà ôóíêöèÿ j(õ)
, îïðåäåëåííàÿ íà ñåãìåíòå [0, 1] è íå ðàâíàÿ íà íåì òîæäåñòâåííî íóëþ, ñóùåñòâóåò îäíà è òîëüêî îäíà ôóíêöèÿ f
ìíîæåñòâà Ð
, òàêàÿ, ÷òî ëèáî f+
j=
0, ëèáî f–
j=
0 äëÿ ëþáîãî õ
, Îäíàêî ìíîæåñòâî Ð
íå îïðåäåëåíî â ñìûñëå Êàíòîðà, òàê êàê ìû íå ìîæåì ñêàçàòü î ëþáîé ôóíêöèè j(õ)
, ïîä÷èíÿþùåéñÿ âûñòàâëåííûì óñëîâèÿì, ïðèíàäëåæèò ëè îíà Ð
èëè íå ïðèíàäëåæèò. Äðóãàÿ òðóäíîñòü ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñ ïîìîùüþ àêñèîìû Öåðìåëî ÷àñòî âîçìîæíî îïðåäåëèòü êëàññ ìíîæåñòâ, â òî âðåìÿ êàê íè îäíîãî îáúåêòà èç ýòîãî êëàññà îïðåäåëèòü (ðàçëè÷èòü) íå óäàåòñÿ. Íàïðèìåð, ñîãëàñíî àêñèîìå Öåðìåëî ñóùåñòâóåò êëàññ íåèçìåðèìûõ ìíîæåñòâ. Îäíàêî äî ñèõ ïîð íèêòî íå ñìîã ïîñòðîèòü (äàòü) èíäèâèäóàëüíîãî ïðèìåðà íåèçìåðèìîãî ìíîæåñòâà.  êîíöå XIX è íà÷àëå ÕÕ âåêà èññëåäîâàíèÿ ïî âîïðîñàì îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè èìåëè ïðåèìóùåñòâåííî ïðåîäîëåíèå ñëåäóþùèõ îñíîâíûõ òðóäíîñòåé. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ ñòàëà â ýòî âðåìÿ ôóíäàìåíòîì ìàòåìàòèêè, à å¸ ìåòîäû — îñíîâîé ìåòîäîâ âåäóùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ äèñöèïëèí. Âìåñòå ñ òåì ñàìà òåîðèÿ ìíîæåñòâ îêàçàëàñü íåîáîñíîâàííîé â ðÿäå ðåøàþùèõ ïóíêòîâ (ãèïîòåçà êîíòèíóóìà, ïðîáëåìà óïîðÿäî÷èâàíèÿ).  òåîðèè ìíîæåñòâ áûëè îáíàðóæåíû ïàðàäîêñû (àíòèíîìèè), óñòðàíåíèå êîòîðûõ — êàê ïîêàçàëè èññëåäîâàíèÿ ìàòåìàòèêîâ è ëîãèêîâ, íà÷èíàÿ ñ Ðàññåëà — îêàçàëîñü îòíþäü íå ïðîñòûì äåëîì. Ïàðàäîêñû òåîðèè ìíîæåñòâ îêàçàëèñü èìåþùèìè íå òîëüêî ìàòåìàòè÷åñêóþ, íî è ëîãè÷åñêóþ ïðèðîäó; â ýòîé ñâÿçè åñòåñòâåííî âîçíèê âîïðîñ î ñðåäñòâàõ ëîãèêè, äîïóñòèìûõ â ìàòåìàòèêå. Ýòè òðóäíîñòè ïîñòàâèëè ïåðåä ìàòåìàòèêàìè ïðîáëåìó ïîíèìàíèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ â ïðèìåíåíèè ê ìàòåìàòè÷åñêèì îáúåêòàì. ×òîáû ëó÷øå óÿñíèòü ñìûñë ïðîáëåìû ñóùåñòâîâàíèÿ, óñòàíîâè ñíà÷àëà ðàçëè÷èå ìåæäó òàê íàçûâàåìûìè ýôôåêòèâíûìè è íåýôôåêòèâíûìè äîêàçàòåëüñòâàìè ñóùåñòâîâàíèÿ. Ýòè ðàçëè÷èÿ ìû ïîñòàðàåìñÿ îïèñàòü ñîîòâåòñòâåííî ïðåäñòàâëåíèÿì, ãîñïîäñòâîâàâøèõ â ìàòåìàòèêå ïðèìåðíî äî êîíöà 20-õ — íà÷àëà 40-õ ãîäîâ ÕÕ âåêà. Äîêàæåì, ÷òî êàêîâû áû íè áûëè íàòóðàëüíûå ÷èñëà Ð1
, …, Ðï
, ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî Ð
, âçàèìíî ïðîñòîå ñ êàæäûì èç ýòèõ ÷èñåë. Ðàññìîòðèì ÷èñëî Ð=Ð1
*…*Ðï
+1; ïðè äåëåíèè íà ëþáîå èç ÷èñåë Ð1
, …, Ðï
ýòî ÷èñëî äàåò â îñòàòêå 1. Ñëåäîâàòåëüíî, îíî âçàèìíî ïðîñòîå ñ êàæäûì èç ÷èñåë Ð1
, …, Ðï
. Èòàê, ÷èñëî Ð
ñóùåñòâóåò. Ýòî äîêàçàòåëüñòâî ýôôåêòèâíî. Ìû äîêàçàëè ñóùåñòâîâàíèå ÷èñëà Ð
òåì, ÷òî ïîêàçàëè, êàê ñ ïîìîùüþ îáû÷íûõ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé íàéòè ýòî ÷èñëî. Ê ÷èñëó ýôôåêòèâíûõ äîêàçàòåëüñòâ îòíîñÿòñÿ òàêæå äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóë äëÿ ðåøåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé òðåòüåé è ÷åòâåðòîé ñòåïåíåé, äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà îò íåïðåðûâíîé ôóíêöèè è ò. ï. Ïðè ýòîì, åñòåñòâåííî, ñ÷èòàþòñÿ îáîñíîâàííûìè ñîîòâåòñòâóþùèå àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè, àðèôìåòèêà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë è îïåðàöèÿ ïåðåõîäà ê ïðåäåëó. Âîîáùå âñÿêîå ýôôåêòèâíîå äîêàçàòåëüñòâî òåì è õàðàêòåðèçóåòñÿ, ÷òî ñ ïîìîùüþ òàê èëè èíà÷å îáîñíîâàííûõ ïîñûëîê îíî ïîçâîëÿåò èíäèâèäóàëüíî îõàðàêòåðèçîâàòü
(âû÷èñëèòü, ïîñòðîèòü è ò. ï.) îáúåêò, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîãî äîêàçûâàþò. Ðàññìîòðèì òåïåðü äðóãîé ïðèìåð. ÷èñëî íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ êîðíåì êàêîãî-ëèáî àëãåáðàè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè. Íàïðèìåð, ÷èñëî Ïàðàäîêñû òåîðèè ìíîæåñòâ ÿâèëèñü äîïîëíèòåëüíûì (íî íå åäèíñòâåííûì) îñíîâàíèåì ïîñòàâèòü ïîä ñîìíåíèå íå òîëüêî ýôôåêòèâíûå äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ, áàçèðóþùèåñÿ íà àêñèîìå Öåðìåëî, íî è ëþáûå íåýôôåêòèâíûå äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ. Ìîæíî ëè, ñïðàøèâàëè ìàòåìàòèêè, âûñêàçûâàâøèå ýòè ñîìíåíèÿ, ñ÷èòàòü ñóùåñòâóþùèì ìàòåìàòè÷åñêèé îáúåêò, êîòîðûé ìû íå óìååì ïîñòðîèòü, ìíîæåñòâî, íå îäíîãî ýëåìåíòà êîòîðîãî ìû íå ñóìååì óêàçàòü? Êàêîå çíà÷åíèå èìåëè ñîìíåíèÿ â ïðàâîìåðíîñòè íåýôôåêòèâíûõ äîêàçàòåëüñòâ ñóùåñòâîâàíèÿ äëÿ ìàòåìàòèêè íà÷àëà ÕÕ âåêà? Î÷åíü áîëüøîå! Îíè, ïî ñóòè, ñòàâèëè ïîä ñîìíåíèå êîíöåïöèþ Êàíòîðà, òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîå îáîñíîâàíèå ìàòåìàòèêè è ðÿä êîíêðåòíûõ ðåçóëüòàòîâ êëàññè÷åñêèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé. Íîâîå â ïîñòàíîâêå ïðîáëåìû ñóùåñòâîâàíèÿ â ìàòåìàòèêå íà÷àëà ÕÕ âåêà ñîñòîÿëî â òîì, ÷òî ýòà ïðîáëåìà ìíîãî øèðå è ãëóáæå, ÷åì ðàíüøå, çàõâàòèëà îñíîâíûå âîïðîñû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè è ëîãèêè è îêàçàëàñü òåñíî ñâÿçàííîé è ñ ôèëîñîôèåé. È. Í. Áóðîâà. Ïàðàäîêñû òåîðèè ìíîæåñòâ è äèàëåêòèê. À. Í. Êîëìîãîðîâ. Ìàòåìàòèêà â å¸ èñòîðè÷åñêîì ðàçâèòèè. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ. Â. Í. Ìîëîäøèé. Î÷åðêè ïî ôèëîñîôñêèì âîïðîñàì ìàòåìàòèêè. Ã. È. Ðóçàâèí. Î ïðèðîäå ìàòåìàòè÷åñêîãî çíàíèÿ. Ôèëîñîôñêèå ïðîáëåìû åñòåñòâîçíàíèÿ. Ïîä ðåä. Ñ. Ò. Ìèëþõèíà. È. Ç. Öåõìèñòðî. Äèàëåêòèêà ìíîæåñòâåííîãî è åäèíîãî. Ñ. À. ßíîâñêàÿ. Ìåòîäîëîãè÷åñêèå ïðîáëåìû íàóêè. |