Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 65
Дніпропетровський національний університет Механіко-математичний факультет Кафедра математичного аналізу Виконавець Керівник роботи студентка групи ММ-01-1 к.ф.-м.н., доцент Бондаренко Н.С. Поляков О.В. Допускається до захисту Завідувач кафедрою Рецензент доктор фіз.-мат. наук, професор к.ф.-м.н., доцент Бабенко В.Ф. Великін В.Л. м. Дніпропетровськ 2006 р.
Дипломна робота містить 87 стор., 54 рис., 20 джерел. Об
’
єктом дослідження
є теореми Чеви та Менелая на площині та в просторі. Мета роботи
– вивчення теорем Чеви та Менелая на площині та в просторі, доведення нетривіальних наслідків цих теорем та розв’язання задач двома способами: традиційним і за допомогою теорем Чеви та Менелая. Одержані висновки та їх новизна
– теорема Менелая дозволяє знаходити відношення відрізків, а також доводити належність трьох точок одній прямій. Теореми Чеви та їх наслідки використовується при розв’язуванні задач про трійки прямих, що проходять через одну точку, а також при доведенні теорем про перетин трійок прямих в одній точці. Розглянуто аналоги теорем Чеви та Менелая в просторі. В дипломній роботі розв’язано 50 задач. Результати досліджень
можуть бути застосовані при викладанні теми “Теореми Чеви та Менелая” в математичних класах середніх шкіл, гімназіях та ліцеях, при позакласній роботі з учнями (на заняттях математичних гуртків, при проведенні математичних олімпіад, для індивідуальної роботи з найбільш здатними учнями). Перелік ключових слів:
ТЕОРЕМА ЧЕВИ, ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ, ТРИКУТНИК, ТЕТРАЕДР, ТОЧКА, ПРЯМА, СІЧНА, ВІДРІЗОК. ANNOTATION
This degree thesis of the 5th
year student (DNU, Faculty of Mechanics and Mathematics, Department of Mathematical Analysis) deals with Cheva’s and Menelay’s theorems. The work is interesting for the students and post-graduates students of mathematical specialties. ВСТУП РОЗДІЛ 1. Теорема Менелая для трикутника 1.1 Орієнтовані відрізки 1.2 Теорема Менелая 1.3 Теореми Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса 1.4 Застосування теореми Менелая для розв’язання задач РОЗДІЛ 2. Теорема Менелая для тетраедра РОЗДІЛ 3. Теореми Чеви для трикутника та тетраедра. Теорема Чеви в формі синусів 3.1 Теореми Чеви для трикутника, тетраедра, в формі синусів 3.2 Застосування теорем Чеви для розв’язання задач РОЗДІЛ 4. Теореми Чеви та Менелая на площині ВИСНОВКИ СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ Геометрія починається з трикутника. Якщо взяти шкільний підручник з геометрії, то ми побачимо, що перші змістовні теореми стосуються саме трикутника. Все попереднє – лише аксіоми, означення або найпростіші з них наслідки. На початку свого виникнення планіметрія була “геометрією трикутника”. “Геометрія трикутника” може пишатися теоремами, які носять ім’я Ейлера, Торрічеллі, Лейбниця. На рубежі 19-20 століть завдяки великій кількості робіт, присвячених трикутнику, був створений цілий новий розділ планіметрії – “Нова геометрія трикутника”. Багато з цих робіт зараз виглядають малоцікавими, недосконалими; термінологія, яка використовувалась в них майже забута й зустрічається тільки в енциклопедіях. Але деякі теореми “Нової геометрії” продовжують жити й досі. Двом таким теоремам – Чеви та Менелая – присвячена дипломна робота. Теореми Чеви та Менелая можна назвати “двоїстими” теоремами: вони схоже формулюються й доводяться, вони взаємозамінюються при розв’язанні задач. Теореми Чеви та Менелая корисні у випадках, коли необхідно “з’ясувати відношення” між точками та прямими, – наприклад, довести, що будь-які три прямі перетинаються в одній точці, три точки лежать на одній прямій та ін. Теореми Чеви та Менелая не входять в основний курс шкільної геометрії, між тим вони прості, цікаві й застосовуються при розв’язанні досить складних задач. Дипломна робота присвячена розробці методики викладання теми “Теореми Чеви та Менелая та їх застосування”. Робота складається із вступу, 4 розділів, висновків та списку використаної літератури. Кожен розділ побудовано за такою структурою. На початку розділу наводиться необхідний теоретичний матеріал, потім викладено задачі з докладним розв’язанням, а наприкінці наведено задачі для самостійної роботи з розв’язанням та відповідями. В першому розділі роботи “Теорема Менелая для трикутника” сформульовано й доведено теорему Менелая для трикутника, наведено нетривіальні приклади використання теореми Менелая (доведено теореми Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса), продемонстровано ефективність використання теореми на приклади розв’язання задач двома способами: традиційним і за допомогою теореми Менелая. В другому розділі “Теорема Менелая для тетраедра” сформульовано й доведено аналог теореми Менелая в просторі, наведено приклади розв’язання складних стереометричних задач. В третьому розділі “Теореми Чеви для трикутника та тетраедра. Теорема Чеви в формі синусів” сформульовані теореми Чеви та наслідки з них, наведено розв’язані задачі. В четвертому розділі “Теореми Чеви та Менелая для площини” наведено інший підхід до формулювання теорем Чеви та Менелая. Всього в роботі розв’язано 50 задач. Дипломна робота може бути використана викладачами ліцеїв та гімназій при викладанні спеціальних курсів, а також при підготовці учнів до олімпіад з математики. 1.1 Орієнтовані відрізки Нехай на прямій а) б) Рис. 1.1 При цьому відрізки В подальшому всі відношення виду Якщо відрізки Рис. 1.2 Тоді, якщо точки Зазначемо такі важливі властивості відношень: 1) Нехай тепер на прямій Отже, задаючи відношення орієнтованих відрізків Зауваження.
Точки 1.2 Теорема Менелая
Теорема Менелая дійшла до нас в арабському перекладі книги «Сферика» грецького математика та астронома Менелая Олександрійського (І-ІІ століття нашої ери). Теорема Менелая дозволяє в деяких випадках знаходити відношення відрізків, а також доводити належність трьох точок одній прямій. Теорема Менелая.
Нехай задано трикутник Зауваження.
Іноді добуток відношень в теоремі Менелая записують так: Тут всі відношення, що перемножуються – це відношення орієнтованих відрізків . Рис. 1.5 Доведення.
Необхідність.
Нехай пряма Перемножаючи записані відношення, маємо Достатність.
Проведемо пряму Звідси та з рівності (1.1) випливає Нехай Рис. 1.6 Порівнюючи з умовою, одержуємо, що Оскільки мова йде про відношення орієнтованих відрізків, то Зауваження 1.
При розв’язанні конкретних обчислювальних задач, якщо відомо, що точки Зауваження 2.
Якщо замінити в (1.1) орієнтовані відношення відношеннями довжин, обернена теорема перестає бути вірною, тобто точки Наприклад, нехай точки але точки 1.3 Теореми Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса
Нетривіальними прикладами використання теореми Менелая є доведення наступних теорем Дезарга, Паппа, Паскаля. Теорема Дезарга є однією з перших та важливіших теорем проективної геометрії. Вона була доведена в першій половині XVIIстоліття французським математиком та інженером Жераром Дезаргом (1591-1661). Теорема Дезарга.
Трикутники Рис. 1.7 Доведення.
З теореми Менелая для трикутника Аналогічно, з трикутників Перемножуючи виписані рівності, після скорочення одержуємо Але точки Теорема доведена. Наступна теорема була доведена в другій половині ІІІ століття древнегрецьким математиком Паппом Александрійським. Теорема Паппа.
На одній з прямих, що перетинаються взяті точки Доведення.
Розглянемо трикутник Рис. 1.8 Запишемо теорему Менелая для трикутника Перемножуючи одержані рівності, знаходимо отже, точки Теорема Паскаля.
Нехай шестикутник Доведення.
Нехай Застосуємо теорему Менелая до трикутника Застосуємо теорему Менелая до трикутника Рис. 1.9 Застосуємо теорему Менелая до трикутника Перемножуючи ці рівності, маємо Використаємо властивості відрізків січних: Звідси маємо а оскільки знак кожного з шести співмножників від’ємний, то тому отже точки Теорема доведена. Теорема Гаусса.
Середина відрізка, що з’єднує точки перетину продовжень протилежних сторін чотирикутника, лежить на прямій, що проходить через середини діагоналей чотирикутника. Рис. 1.10 Доведення
Нехай протилежні сторони чотирикутника Через точки Згідно з теоремою Фалеса ці прямі перетинають сторони В силу властивості середньої лінії трикутника Отже, 1.4 Застосування теореми Менелая для розв’язання задач
Задача 1.1
У трикутнику Розв’язок. 1-й спосіб
Введемо вектори Розкладемо вектор Оскільки Виходячи з єдиності розкладу вектора Відповідь 3 : 1. 2-й спосіб
Запишемо теорему Менелая для трикутника Виходячи з умови, маємо : Запишемо теорему Менелая для трикутника Тоді Відповідь: 3 : 1. Задача 1.2
У трикутнику Розв’язок. Проведемо За умовою Відповідь: 3:8. 2-й спосіб
Запишемо теорему Менелая для трикутника Тоді Відповідь: 3 : 8 . Задача 1.3
Сторони трикутника Знайти відношення площі трикутника, обмеженого прямими Розв’язок. 1-й спосіб
Використовуємо теорему синусів для трикутника З трикутника Поділимо почленно рівність (1.3.1) на рівність (1.3.2): З З Поділимо почленно рівність (1.3.3) на рівність (1.3.4): Нехай З З Поділимо почленно рівність (1.3.5) на рівність (1.3.6) З З Поділимо почленно рівність (1.3.7) на рівність (1.3.8): Оскільки Використовуючи співвідношення (*) і (**), запишемо: Аналогічно одержимо Використовуючи властивості площ, маємо: Відповідь: 3:7. 2-й спосіб
Запишемо теорему Менелая для трикутника Запишемо теорему Менелая для трикутника Використовуючи (1.3.9) і (1.3.10) дістанемо: Аналогічно А далі розв’язуємо, як в 1-му способі. Відповідь: 3 : 7. Задача 1.4
Висота Розв’язок. Запишемо теорему Менелая для трикутника Звідси Запишемо теорему Менелая для трикутника Звідси Відповідь: 12 см, 18 см, 30 см. Задача 1.5
Через середину Розв’язок. Запишемо теорему Менелая для трикутника Оскільки площі трикутників з рівними висотами відносяться як основи, то Відповідь: Задача 1.6.
У трикутнику Розв’язок. За умовою Запишемо теорему Менелая для трикутника Відповідь: 11 : 3. Задача 1.7
На сторонах Розв’язок. Запишемо теорему Менелая для трикутника Запишемо теорему Менелая для трикутника Відповідь: Задача 1.8
Ортоцентр Доведення. Запишемо теорему Менелая для трикутника Виходячи з умови З З З Підставимо знайдені залежності в теорему Менелая: що і треба було довести. Задача 1.9
З вершини Нехай Тому Запишемо теорему Менелая для трикутника Трикутники Тоді З подібності трикутників З трикутника Порівнюючи співвідношення (1.9.1), (1.9.2), (1.9.3) маємо: Підставимо знайдений результат у теорему Менелая : Тобто Задача 1.10
Нехай Відношення площ трикутників Відповідь: AP:PC=3:2. Задача 1.11
Три кола різних радіусів розташовані на площині так, що жодне з них не лежить повністю в колі, яке обмежено іншим колом. Кожній парі кіл поставимо у відповідність точку перетину зовнішніх подвійних дотичних. Довести, що одержані три точки лежать на одній прямій. Доведення. Нехай радіуси кіл з центрами Аналогічно Таким чином , З теореми оберненої до теореми Менелая маємо, що точки А,В,С лежать на одній прямій. Задача 1.12
В Розв’язок . Застосовуємо теорему Менелая до трикутника Так як Відповідь: Задача 1.13
В правильном трикутнику Площа правильного трикутника дорівнює Розглянемо трапецію Оскільки За умовою Застосовуємо теорему Менелая до трикутника Застосовуємо теорему Менелая до трикутника Оскільки Відповідь: Задача 1.14
Дан паралелограм Розв’язок. Застосуємо теорему Менелая до трикутника Оскільки Так як Підставляємо Відповідь: Задача 1.15
Коло Доведення. Нехай отже, де Задача 1.16
а) Серединний перпендикуляр до бісектриси б) Довести, що точки перетину серединних перпендикулярів до бісектрис трикутників і продовжень відповідних сторін лежать на одній прямій. Доведення. а) Нехай для визначеності Тоді Так як б) В задачі а) точка Тому, використовуючи результат задачі а) і теорему Менелая, одержуємо необхідне. Задача 1.
1
7
На сторонах Доведення. Нехай Доведення. Нехай Але а останній добуток дорівнює 1 згідно з теоремою Менелая для трикутника Задача 1.19 Пряма Сімсона.
Нехай Доведення. Нехай Записуючи їх відношення, приписуючи ним потрібні знаки, та перемножуючи, одержимо рівність Звідси й випливає, що точки Задача 1.20
На сторонах Розв’язок. Застосуємо теорему Менелая до трикутника оскільки Відповідь: Задача 1.
21
Довести, що пряма, яка проходить через середини основ трапеції, проходить через точку перетину її діагоналей та точку перетину прямих, які містять бокові сторони (див. рис. а). Доведення. 1 спосіб.
Нехай Оскільки трикутник Позначимо через 2 спосіб.
Нехай так як трикутник тому точки Задача 1.22
Через точку Доведення. Нехай січна Тоді Але за умовою Отже, РОЗДІЛ 2
ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ ДЛЯ ДОВІЛЬНОГО ТЕТРАЕДРА
Досить ефективно при розв’язанні деяких задач застосовується мало відома стереометрична теорема Менелая для довільного тетраедра. Теорема Менелая для тетраедра.
У довільному тетраедрі Рис 2.1 До формулювання теореми Менелая для довільного тетраедра Доведення. Необхідність.
Нехай чотирикутник Рис 2.2 До доведення теореми Менелая Трикутники Трикутники Трикутники Трикутники Перемножуючи знайдені пропорції, приходимо до рівності: Достатність.
Припустимо, що виконується співвідношення (2.1), але точки отже, співвідношення (2.1) для точок Теорема доведена. Наведемо застосування цієї теореми до розв’язання стереометричних задач. Задача 2.1
У тетраедрі Рис. 2.3 До задачі 2.1 Розв’язок. Нехай площина звідки У багатограннику Нехай де Нехай далі де Знайдемо тепер об’єм багатогранника Отже, У такий спосіб шукане відношення дорівнює 23:40. Відповідь: 23:40. Задача 2.2.
Об’єм тетраедра Рис. 2.4 До задачі 2.2 Розв’язок. Нехай Чотирикутник звідки З'єднаємо точки Нехай Знайдемо тепер об’єм піраміди Далі нехай З іншої сторони (враховуючи, що відстань від вершини Отже, Відповідь: 3. Задача 2.3
В піраміді Знайти відношення об’ємів частин, на якіплощина Рис 2.5 До задачі 2.3 Розв’язок. З умови задачі безпосередньо випливає, що Нехай Згідно з теоремою Менелая маємо Враховуючи (2.3.1) і (2.3.2) й прийняті вище позначення одержуємо звідки Розділивши обидві частини останньої рівності з умови задачі на або З (2.3.3) і (2.3.4) складаємо систему Розв’язуємо цю систему: Розбиваємо багатогранник Нехай Нехай Знайдемо об’єм багатогранника Отже, Таким чином, шукане відношення дорівнює 17:18. Відповідь: 17:18. Задача 2.4
Задана піраміда Рис. 2.6 До задачі 2.4 Розв’язок. Нехай Згідно з теоремою про три перпендикуляри ( Аналогічно доводиться, що точки З'єднаємо точки Оскільки з точки Аналогічно доводиться, що висоти граней Розглянемо трикутник Рис 2.7 Нехай З З Аналогічно розглянемо Рис 2.8 З З Точки З того, що розглянутий добуток дорівнює 1, випливає, що точки Задачі для самостійної роботи
Задача 2.5
В тетраедрі Розв’язок. Знайдемо об’єм Знаходимо Знаходимо висоту Знаходимо площу Тоді Знайдемо об’єм де Знаходимо висоту Знаходимо площу Тоді Отже, Тоді Залишилось знайти де Знайдемо площу Тоді Отже Знаходимо відстань від вершини Відповідь: Задача 2.6
В тетраедрі Розв’язок. Нам треба знайти Нехай Згідно з теоремою Менелая для тетраедра З умови задачі маємо Складаємо систему : Отже, Розбиваємо багатогранник Знайдемо об’єм піраміди Тоді Знайдемо Знайдемо висоту Отже, Знайдемо об’єм піраміди Відомо, що Відомо, що Отже, Знайдемо об’єм піраміди Тоді Знайдемо Отже, Об’єм багатогранника Отже, Остаточно Відповідь: 37:68. Задача 2.7
Точки Доведення. Розглянемо добуток Це і є необхідна й достатня умова належності точок Доведення. За умовою задачі Задача 2.9
Сфера дотикається сторін Доведення. З рівності відрізків дотичних випливає, що Проведемо площину через точки Знаходимо, що РОЗДІЛ 3
ТЕОРЕМА ЧЕВИ В ФОРМІ СИНУСІВ
3.1 Теореми Чеви для трикутника, тетраедра, в формі синусів
Джованні Чева (1648-1734) – італійський математик. Народився в Мілані, більшу частину життя провів в Мантує. Теорема Чеви для трикутника була опублікована в роботі “Delineisrectisseinvicemsecantibusstaticaconstructio” (1678). В цій роботі Чева також наводить узагальнення теореми Менелая: якщо сторони просторового чотирикутника перетинаються площиною, то на них утворюються вісім відрізків таких, що добуток чотирьох з них, що не мають спільних кінців, дорівнює добутку чотирьох інших. За допомогою теореми Чеви розв’язуються задачі про трійки прямих, що проходять через одну точку, а також доводяться теореми про перетин трійок прямих в одній точці. Теорема Чеви для трикутника.
Нехай задан трикутник Зауваження.
Добуток відношень у теоремі Чеви іноді записують так: Чевіана
– це відрізок, який з’єднує вершину трикутника з деякою точкою на протилежній стороні. Доведення.
Необхідність.
Нехай через деяку точку Рис. 3.1 До формуліровки теореми Чеви Аналогічно з трикутника Розділимо перше співвідношення на друге Залишилося помітити, що Необхідність доведена для випадку прямих, що перетинаються. Якщо ж прямі Перемножуючи пропорції, одержимо тобто Необхідність доведена в повному обсязі. Рис. 3.2 До доведення теореми Чеви Достатність.
Нехай для точок Звідси й зі співвідношення (3.1) випливає Якщо ж прямі Наслідки з теореми Чеви для трикутника.
В одній точці перетинаються 1) медіани трикутника; 2) висоти трикутника; 3) бісектриси трикутника; 4) відрізки, що з’єднують вершини трикутника з точками дотику вписаного кола (точка Жергонна); 5) відрізки, що з’єднують вершини трикутника з точками дотику відповідних вневписаних кіл (точка Нагеля); (Вневписане коло трикутника
– це коло, що дотикається однієї сторони трикутника та продовженн двох інших його сторін. Для кожного трикутника існує точно три вневписаних кола. Центром вневписаного кола, яке дотикається сторони АВ , є точка перетину бісектрис зовнішніх кутів А та В.) 6) відрізки, що з’єднують вершини трикутника з вершинами правильних трикутників, побудованих на його протилежних сторонах у зовнішню сторону (точка Торричеллі). Доведення.
1) Оскільки 2) Розглянемо випадок, коли трикутник Маємо Звідси випливає Якщо трикутник 3) З властивості бісектрис випливають наступні рівності: Перемножуючи відповідно ліві та праві частини цих рівностей, одержуємо умову теореми Чеви. 4) З властивостей дотичних, проведених з однієї точки до кола маємо: Звідси випливає рівність з теореми Чеви: 5) Отже, Це і означає, що прямі 6) Нехай при цьому знак “мінус” береться в тому випадку, коли точка Іноді теорему Чеви зручно використовувати, вводячи замість відношень відрізків відношення синусів деяких кутів. Теорема Чеви в формі синусів.
Нехай на сторонах Доведення.
Ми повинні переписати “в синусах” теорему Чеви. Запишемо її у формі (3.2): Доведемо цю теорему для випадку, коли точки Нехай Інші позначення зрозумілі з рисунка 3.3. Рис. 3.3 До доведення теорими Чеви у формі синусів Застосовуючи теорему синусів до трикутників Або Аналогічно, застосовуючи теорему синусів до трикутників і до трикутників Перемножуючи записані співвідношення, знаходимо Отже, умова нашої теореми рівносильна умові звичайної теореми Чеви. Теорема доведена. При доведенні теореми ми не застосовували відношень орієнтованих відрізків. В загальному випадку необхідно розглянути не тільки орієнтовані відрізки, але й орієнтовані кути, припускаючи, наприклад, що Далі наведемо мало відому стереометричну теорему Чеви для довільного тетраедра. Т
еорема Чеви для тетраедра.
Нехай І навпаки, якщо для точок Рис. 3.4 До формуліровки теореми Чеви для тетраедра Доведення необхідності легко одержати, якщо помітити, що точки Обернена теорема доводиться так само, як і обернена теорема Менелая в просторі: необхідно провести площину через точки 3.2 Застосування теорем Чеви для розв
’
язання задач
Задача
3.1
.
Задано трикутникАВС
. Як слід побудувати точку О
всередині трикутника, щоб площі трикутниківАОС
, ВОС
таАОВ
відносилися як 7 : 11 : 13. Розв’язок. 1 спосіб.
РозглянемотрикутникАВСйпобудуємоточку K, яка ділитьсторону AB увідношенні 7 : 11, рахууючи відвершини A, та точку L, яка ділить сторону CA увідношенні 11 : 13, рахууючи відвершини C. Нехай O – точка перетинувідрізків CK та BL. Покажемо, що O – шукана точка. Зазначимо, що у трикутників ACK та BCK спільна висота, яка опущена з вершини С, тому відношенняїх площиндорівнюєвідношенню основ SACK
: SBCK
= AK : BK. Аналогічно, SAOK
: SBOK
= AK : BK. Застосовуючи властивість пропорції ( SAO
С
: SBO
С
= AK : BK = 7 : 11. Аналогічно, розглядаючи дві пари трикутників з основами AL та СL, доводимо, що SBO
С
: SAO
В
= CL : AL = 11 : 13. Отже, SAO
С
: SBO
С
: SAO
В
= 7 : 11 : 13, що і необхідно було довести. 2 спосіб.
З теореми Чеви випливає, що пряма АO розділить сторону ВС у відношенні 13 : 7, рахууючи від вершини В. Якщо застосовувати теорему Чеви в обернену сторону, то до розв’язку задачі можна було підійти інакше. Нехай задано відрізок PQ, точка E, яка ділить його у відношенні p : q, де p та q – задані числа, й точка F, яка не належить прямій PQ. Аналогічно з наведеним розв’язком можна довести, що геометричним місцем точок М площини, для яких SPFM
: SQF
M
= p : q є пряма EF (за виключенням точок E та F). Отже, для того, щоб побудуватишукану точку О можна розділити сторони АВ, ВС та СА трикутника АВС відповідно точками K, NтаL так, щоб AK : BK = 7 : 11; BN : CN = 13 : 7; CL : AL = 11 : 13. Тоді, згідно з теоремою Чеви Задача
3.
2.
В трикутник Доведення. З умови задачі випливає, що точки Центр З прямокутних трикутників Зазначимо, що відрізки Отже, згідно з теоремою Чеви прямі Задача
3.
3.
Через вершини трикутника Довести, що Як належить обрати точку Розв’язок. Позначимо площі трикутників Так як площі двох трикутників, які мають спільний кут, відносяться як добуток сторін, що утворюють цей кут, то Аналогічно Далі знаходимо Підставив в цю рівність знайдені вище значення та прийняв до уваги, що в силу теореми Чеви Площа трикутника Скористаємося нерівністю нерівність при цьому рівність має місце тоді й тільки тоді, коли Отже, шукана точка Задача
3.
4.
Знайти в трикутнику таку точку Розв’язок. Проведемо медіани Піднесемо кожну нерівність до квадрата та перемножимо: Згідно з теоремою Чеви маємо Отже, Нерівність перетворюється в рівність у випадку збігу основ прямих Чеви з серединами відповідних сторін, отже, в цьому випадку добуток Задача
3.
5.
Прямі а) прямі, що проходять через середини сторін б) прямі, що з'єднують середини сторін Доведення. Нехай Задача
3.
6.
На сторонах Доведення. Оскільки Тому Задача
3.
7.
а) Нехай б) довести аналогічне твердження для трикутників, побудованих на сторонах трикутника Доведення. Нехай прямі Якщо Останній вираз дорівнює Аналогічно записуються вирази для Задача
3.
8.
Прямі Довести, що прямі Доведення очевидним чином випливає з теореми Чеви. Задача
3.
9.
На сторонах Доведення. Можна вважати, що точки Згідно з теоремою Чеви в формі синусів Оскільки прямі Отже, тобто прямі Задачі для самостійної роботи
Задача
3.
10.
Протилежні сторони опуклого шестикутника попарно паралельні. Довести, що прямі, які з'єднують середини протилежних сторін, перетинаються в одній точці. Доведення Нехай діагоналі Оскільки Аналогічні співвідношення можна записати і для відрізків, які з'єднують середини двох інших пар протилежних сторін. Перемножуючи ці співвідношення, одержуємо необхідне. Задача
3.
11.
Через точки Доведення. Згідно з теоремою Чеви у формі синусів Але Тому З цього випливає, що точки Задача
3.
12.
а) На сторонах б) В середині рівнобедреного трикутника Доведення. а) Згідно з теоремою Чеви а по теоремі синусів Підставляючи ці чотири рівності в попередню рівність, і враховуючи, що б) Позначимо точки перетину прямих Задача
3.
13.
У трикутнику Доведення. Нехай відрізки Якщо отже, Помітивши, що Оскільки Задача
3.
14.
На сторонах Доведення Нехай Згідно з теоремою Чеви тобто Крім того, Отже, Задача
3.
15.
На сторонах трикутника Доведення. Нехай Відношення Далі, де Аналогічно, Перемножуючи ці рівності, маємо Згідно з теоремою Чеви прямі Задача
3.
16.
Нехай з точки Доведення. Застосуємо теорему Чеви до трикутника Всі кути, що фігурують в останньому співвідношенні, – вписані в задане коло; синуси цих кутів пропорційні довжинам хорд, що стягаються ними (наприклад, Покажемо, що (**) насправді виконується. З подоби трикутників Перемножуючи останні три рівності, маємо (*) Задача
3.
17.
Трикутник Доведення.
Нехай прямі, які проходять через вершини трикутника Оскільки точки Аналогічні міркування для інших кутів показують, що перпендикуляри Задача
3.18
(теорема Ван Обеля).
На сторонах Доведення. Нехай прямі Оскільки трикутник Далі, трикутник Тому Звідси випливає, що Задача 3.
19
Задано трикутник Доведення. Нехай довжини сторін Нехай точка Переконавшись в існуванні потрібних точок, розв’яжемо основну задачу. Для цього обчислюємо довжини всіх необхідних відрізків. Зрозуміло, що РОЗДІЛ 4
ТЕОРЕМИ ЧЕВИ ТА МЕНЕЛАЯ НА ПЛОЩИНІ
Означення.
Під кутом Рис. 4.1 До визначення кута між двома векторами Нехай для визначеності, що Розглянемо два трикутники: Рис. 4.2 Визначимо для трикутників Нехай далі Лема.
Доведення
. Спочатку перевіримо, що У цьому випадку кожний з трьох дробів, що входять у вираз Наприклад, дроби будуть додатними, якщо точка Рис. 4.3 Залишилось довести, що Перемножуючи ці три рівності, одержимо, що Далі буде необхідна рівність, що безпосередньо випливає з означення Сформулюємо тепер теореми Чеви та Менелая. Теорема Чеви.
Для того, щоб прямі або еквівалентна рівність Теорема Менелая.
Для того, щоб точки або еквівалентна рівність Доведення теореми Чеви.
Необхідність.
Нехай прямі Якщо прямі У першому випадку всі дроби, що входять у вираз Доведемо, що Позначимо точку перетину прямих а) б) Рис. 4.4 Застосовуючи теорему синусів, одержимо Перемножуючи ці рівності, знаходимо Достатність.
Доведення достатності проведемо методом від супротивного. Припустимо, що Позначимо точку перетину прямих Але за умовою звідки Теорема Чеви доведена. Доведення теореми Менелая
Необхідність.
Відомо,що точки Якщо точки В обох випадках вираження Проведемо через точку Рис. 4.5 Використовуючи подібність, одержимо Додавши рівність Достатність.
Доведення достатності умов (4.6) і (4. Теорема доведена. ВИСНОВКИ
Розв’язок задач складає суттєву сторону процесу навчання математиці: рівень математичної підготовки в більшості визначається глибиною навиків у розв
’
язанні задач.
Ці обставини спонукають з особливою увагою відноситись до організації в середніх школах, гімназіях та ліцеях ретельно продуманих занять, які мають за мету надати учням не тільки теоретичні знання в області геометрії, але й навчити їх вільно застосовувати здобуті знання до розв’язання нестандартних задач середньої та підвищенної складності. Останнім часом у варіантах вступних іспитів все частіше зустрічаються задачі, розв’язок яких суттєво спрощується за допомогою теорем Чеви та Менелая. Дипломна робота присвячена вивченню теорем Чеви та Менелая на площині та в просторі, доведенню нетривіальних наслідків цих теорем та розв’язанню задач за допомогою цих теорем. Теорема Менелая має широке застосування при доведенні теорем (наприклад, теорем Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса та інших) та розв’язанні задач. Теорема Менелая дозволяє знаходити відношення відрізків, а також доводити належність трьох точок одній прямій. В роботі наведено багато задач, розв’язаних двома способами: традиційним і за допомогою теореми Менелая, при цьому останній спосіб розв’язання задач виявляється більш раціональним (розв’язок задачі займає всього кілька рядків). Зазначимо, що при розв’язку задач найскладнішою справою є пошук трикутника, до якого слід застосувати теорему Менелая. Теореми Чеви використовується при розв’язуванні задач про трійки прямих, що проходять через одну точку, а також при доведенні теорем про перетин трійок прямих в одній точці. В роботі також розглянуто аналоги теорем Чеви та Менелая в просторі. Наведені в дипломній роботі задачі (розв’язано 50 задач) можуть бути використані при позакласній роботі з учнями (на заняттях гуртків, при проведенні математичних олімпіад, для індивідуальної роботи з найбільш здатними учнями). СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Атанасян Л.С., Денисова Н.С., Силаев Е.В. Курс элементарной геометрии. 1 часть. Планиметрия. – М.: Сантакс-Пресс, 1997. – 304 с. 2. Буник І. Теорема Менелая // Математика. – №15(315), квітень, 2005. – с.17-21. 3. Габович И. Теорема Менелая для тетраэдра // КВАНТ, №6, 1996, с. 34-36. 4. Готман Э.Г., Скопец З.А. Задача одна – решения разные.–К.: Рад. шк.–1988.–173с. 5. Егоров А. Теоремы Чевы и Менелая // КВАНТ, №3, 2004, с.35-38. 6. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. – М., – 1962. – С. 151. 7. Карп А.П. Даю уроки математики…: Кн. для учителя: Из опыта работы. – М.: Просвещение, 1992. – 191 с. 8. Коксетер Г.С., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука, 1978. – 223 с. 9. Куланин Е. Об одной трудной геометрической задаче // КВАНТ, №7,1992.–с.46-50 10. Орач Б. Теорема Менелая // КВАНТ, №3, 1991, с. 52-55. 11. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии, ч.1. – М.: Наука, 1986. – 272 с. 12. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии, ч.2. – М.: Наука, 1991. – 240 с. 13. Прасолов В.В., Шарыгин И.Ф. Задачи по стереометрии.–М.: Наука, 1989. – 288 с. 14. Скопец З.А., Жаров В.А. Задачи и теоремы по геометрии (планиметрия). – М., 1962. – 162 с. 15. Скопец З.А., Понарин Я.П. Геометрия тетраэдра и его элементов. – Ярославль, 1974. – 239 с. 16. Страшевич С., Бровкин Е. Польские математические олимпиады. Пер. с польск. Ю.А. Данилова под ред. В.М. Алексеева. – М.: Мир, 1978. – 338 с. 17. Шарыгин И. Ф. Теоремы Чевы и Менелая // КВАНТ, №11, 1976. 18. Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии: Планиметрия. – М.: Наука, 1986. 19. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы планиметрии. – М.: Наука, 1967. 20. Эрдниев Б., Манцаев Н. Теоремы Чевы и Менелая // КВАНТ, №3, 1990, с. 56-59.
|