Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 61
Министерство Образования, Молодежи и Спорта
Республики Молдова
Государственный университет Молдовы
Курсовая Работа
Тема: Электрон в слое.
Работу выполнил студент 3-го курса: Радченко Андрей
Кишинёв 1997 г. Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых упрощений. Она состоит в следующем : Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x
, и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом : ì-ћ2
/(2m)׶2
/¶x2
+ U0
, x < -a Ùï H = í-ћ2
/(2m0
)׶2
/¶x2
, -a < x < a ï î-ћ2
/(2m)׶2
/¶x2
+U0
, x > a Где m - эффективная масса электрона в областях I , III ; m0
- эффективная масса электрона в области II. Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области : ì¶2
YI
/¶x2
+ 2m/ћ2
×(E - U0
)YI
= 0 , x £-a ï í¶2
YII
/¶x2
+ 2m0
/ћ2
×E×YI
= 0 , -a £ x £ a ï î¶2
YIII
/¶x2
+ 2m/ћ2
×(E - U0
)×YI
= 0 , x ³ a Область
I :
Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу : YI
(x) = A×exp(n×x) + B×exp(-n×x). Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит, YI
(x) = A×exp(n×x). Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется : YII
(x) = C×exp(i
×k×x) + D×exp(-i
×k×x). Функция состояния для третьей области выглядит так : YIII
(x) = F×exp(-n×x). Где k = (2m0
×E/ћ2
)1/2
n = (2m×(U0
-E)/ћ2
)1/2
. Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем : ¨ Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям. ¨ В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них. ¨ Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии. Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций : YI
(x=-a) = YII
(x=-a) YII
(x=a) = YIII
(x=a) YI
¢(x=-a)/m = YII
¢(x=-a)/m0
YII
¢(x=a)/m0
= YIII
¢(x=a)/m А в наших определениях этих функций это выглядит так : A×exp(-n×a) = C×exp(-i
×k×a) + D×exp(i
×k×a) m-
1
×A× n×exp(-n×a) = i
×k×/m0
×(C×exp(-i
×k×a) - D×exp(i
×k×a)) C×exp(i
×k×a) + D×exp(-i
×k×a) = F×exp(-n×a) i
×k×/m0
×(C×exp(i
×k×a) - D×exp(-i
×k×a)) = - n/m×F×exp(-n×a). Теперь составим определитель : |exp(-n×a) -exp(-i
×k×a) -exp(i
×k×a) 0 | |m-
1
×n×exp(-n×a) -1/m0
×i
×k×exp(-i
×k×a) 1/m0
×i
×k×exp(i
×k×a) 0 | |0 exp(i
×k×a) exp(-i
×k×a) -exp(-n×a) | |0 1/m0
×i
×k×exp(i
×k×a) -1/m0
×i
×k×exp(-i
×k×a) 1/m×n×exp(-n×a)| Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии: ((n/m)2
- (k/m0
)2
)×Sin(2×k×a) + 2×k×n/(m×m0
)×Cos(2×k×a) = 0. Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона. Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки. C = F×exp(-n×a)×{exp(i
×k×a) + exp(-3×i
×k×a) ×( i
×k/m0
- n/m)/(n/m + i
×k/m0
)} D = C×exp(-2×i
×k×a)×( i
×k/m0
- n/m)/(n/m + i
×k/m0
) A = exp(n×a)×(C×exp(-i
×k×a) + D×exp(i
×k×a)) . Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения : A = RA
×F C = RC
×F D = RD
×F. RA
, RC
, RD
- известные постоянные. Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки. Действительно : YI
(x) = F×RA
×exp(n×x) YII
(x) = F×( RC
×exp(i
×k×x) + RD
×exp(-i
×k×x)). YIII
(x) = F×exp(-n×x). I1
+ I2
+ I3
= 1 Где I1
= |F|2
×|RA
|2
×òQ
exp(2×n×x)×dx = |F|2
×|RA
|2
×(2×n)-
1
×exp(2×n×x) = = |F|2
×|RA
|2
×(2×n)-
1
×exp(-2×n×a) I2
= |F|2
×{ òL
|RC
|2
×dx + òL
|RD
|2
×dx + RC
×RD
*
×òL
exp(2×i
×k×x)×dx + + RC
*
×RD
×òL
exp(-2×i
×k×x)×dx } = |F|2
×{ 2×a×(|RC
|2
+ |RD
|2
) + ((exp(2×i
×k×a) - exp(-2×i
×k×a))×RC
×RD
*
/(2×i
×k) + + i
×((exp(-2×i
×k×a) - exp(2×i
×k×a))×RC
*
×RD
/(2×k) } I3
= |F|2
×òW
exp(-2×n×x)×dx = |F|2
×(2×n)-
1
×exp(-2×n×a) |F|2
= { |RA
|2
×(2×n)-
1
×exp(-2×n×a) + 2×a×(|RC
|2
+ |RD
|2
) + ((exp(2×i
×k×a) - exp(-2×i
×k×a))×RC
×RD
*
/(2×i
×k) + + i
×((exp(-2×i
×k×a) - exp(2×i
×k×a))×RC
*
×RD
/(2×k) + (2×n)-
1
×exp(-2×n×a) }-
1
. Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона. Электрон в слоях
Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так. То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек. Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто: U(x)=U(x+2a) (1) Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера. Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера: ¶2
Y/¶x2
+ 2m/ћ2
×(E-U0
)Y = 0 следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем. Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом: r = exp(i
2ak) Тогда Y(x+2ma) = Y(x)×rm
, где m=0, ±1, ±2,... (2) Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E<U0
) и волновой функции является рассмотрение областей I, II, III. Действительно, пользуясь соотношением (2), мы определим волновую функцию на всей действительной оси. Рассмотрим область
I:
Уравнение Шредингера для нее записывается в виде: ¶2
YI
/¶x2
+ 2m2
/ћ2
×(E-U0
)YI
= 0 , 0 > x > -a его решение выглядит просто: YI
(x) = A×exp(n×x) + B×exp(-n×x). Где n = (2m2
(U0
-E) /ћ2
)1/2
Рассмотрим область
II:
Уравнение Шредингера для нее записывается в виде: ¶2
YII
/¶x2
+ 2m1
/ћ2
×EYII
= 0 , a³x³ 0 его решение выглядит просто: YII
(x) = C×exp(i
×p×x) + D×exp(-i
×p×x). Где p = (2m1
E/ћ2
)1/2
Рассмотрим область
III:
¶2
YIII
/¶x2
+ 2m2
/ћ2
×(E - U0
)YIII
= 0 , 2a > x > a его решение выглядит просто: YIII
(x) = r (A×exp(n×x) + B×exp(-n×x)). Запишем граничные условия: YI
(x=0) = YII
(x=0) YII
(x=a) = YIII
(x=a) YI
¢(x=0)/m = YII
¢(x=0)/m0
YII
¢(x=a)/m0
= YIII
¢(x=a)/m Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D: A+B=C+D C exp(i
p a)+D exp(-i
p a) = exp(i
2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a)) (A-B) n/m2
= (C-D) i
p / m1
(C exp(i
p a)-D exp(-i
p a)) i
p / m1
= exp(i
2 a k) n/m2
(A exp(n a)-B exp(-n a)) Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель : |1 1 -1 -1 | |exp(i
×k×2a+n×a) exp(i
×k×2a-n×a) -exp(i
×p×a) -exp(-i
×p×a) | |n/m2
-n/m2
-i
×p/m1
i
×p/m1
| |n/m2
exp(i
×k×2a+n×a) -n/m2
×exp(i
×k×2a-n×a) - i
×p/m1
×exp(i
×p×a) i
×p/m1
×exp(-i
×p×a) | и приравняем его к нулю. Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона. Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже. a=10; U=10; m1
=4; m2
=1 a=10 U=10m1
=2m2
=1 a=10 U=10m1
=1m2
=1 a=10 U=10m1
=0.5m2
=1 a=10 U=10m1
=.25m2
=1
|