Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 53
Министерство образования и науки Российской Федерации Южно-Уральский государственный университет Кафедра Системы управления
по курсу Исследование операций и Теория систем Выполнил: Пушников А.А. Группа: ПС-669 Проверила Плотникова Н.В. Дата«____»____________2006г. Челябинск 2006г Содержание
Теория систем Модели системы Модель черного ящика Модель состава Модель структуры Структурная схема Динамическая модель Классификация модели Закономерности модели Исследование операций Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Рассматривается модель движения жесткого летательного аппарата самолетного типа. В качестве исследуемого аппарата взят некий гипотетический самолет современного типа. К входам системы относятся управляющие органы летательного аппарата и возмущения окружающей среды. Рассматриваемый самолет обладает органом управления тягой двигателя и аэродинамическими рулями: элероны, закрылки, руль направления и высоты (рис. 1). Так же на самолет влияет скорость ветра, температура и плотность окружающего воздуха. Рисунок 1. Рулевые органы ЛА К выходам ЛА относятся данные, полученные с датчиков самолета. Непосредственно измеряется положение летательного аппарата в пространстве относительно нормальной системы координат, для этого используются датчики углового положения и система глобального позиционирования (GPS). Так же измеряются угловые скорости, угловые ускорения, линейные скорости и линейные ускорения (перегрузки). Модель движения летательного аппарата можно разбить на следующие подсистемы и элементы: · Аэродинамика летательного аппарата. Выражает воздушный поток вокруг самолета. Воздействие воздушного потока заключается в создании сил и моментов. · Момент и сила тяги, вызываемые двигателем. · Поступательное движение. Вычисляется скорость движения самолета в связной системе координат. · Вращательное движение. Вычисляются угловые скорости самолета в связанной системе координат. · Навигация. Вычисляет положение самолета в нормальной системе координат. · Угловое положение. Через углы Эйлера или матрицу направляющих косинусов. · Показания датчиков. · Сигналы управляющих приводов. Положение ручка тяги, закрылок, элеронов, руля высоты и направления. Структура движения летательного аппарата определяется отношениями между следующими парами элементов, указанны прямые отношения (табл. 1). Таблица 1 Аэродинамические моменты Угловые скорости Аэродинамические силы Угловые скорости Аэродинамические силы Аэродинамические моменты Момент, вызываемый двигателем Угловые скорости Сила тяги Скорость движения самолета Сила тяги Момент, вызываемый двигателем Скорость движения самолета Навигация Навигация Показания датчиков Скорость движения самолета Показания датчиков Угловые скорости Показания датчиков Сигналы управляющих приводов Аэродинамические моменты Сигналы управляющих приводов Аэродинамические силы Сигналы управляющих приводов Момент и сила тяги, вызываемые двигателем Угловое положение Угловые скорости Так как в модели нас интересует функции каждого элемента системы, рассмотрим структурную схему в зависимости от сил и моментов, действующих на модель (рис. 2). Рисунок 2.Структурная схема. Обозначения: – набор входных воздействий (входов) в системе – вектор управления (вход системы); – набор выходных воздействий (выходов) в системе – набор данных получаемых с датчиков будет выходом системы; – набор параметров, характеризующих свойства системы, постоянные во всё время рассмотрения, и влияющих на выходные воздействия системы, – конструктивные и неконструктивные параметры летательного аппарата; – набор параметров, характеризующих свойства системы, изменяющиеся во время ее рассмотрения (параметры состояния) – линейные и угловые скорости, положение в пространстве и угловое положение, аэродинамические силы и моменты, силы и моменты в двигателе; – параметр (или параметры) процесса в системе – t; – правило – правило – правило Тогда модель может быть записана так: Классификация системы: по их происхождению - искусственная система, машина; по описанию входных и выходных процессов - c количественными переменными, непрерывная, детерминированная система; по описанию оператора системы – параметризованная, разомкнутая, нелинейная; по способам управления – система управляемая извне, с управлением типа регулирование; 1. Целостность. Совокупность аэродинамической модели и модели двигателя дают летательному аппарату возможность движения в воздухе. 2. Иерархичность. Совокупность управляющих элементов, датчиков, аэродинамической модели и модели двигателя дают летательному аппарату возможность управляемого движения в воздухе. 3. Коммуникативность. На полет летательного аппарата действуют температура окружающей среды, скорость и направление ветра, плотность воздуха и др. 4. Эквифинальность. Рано или поздно, самолет вынужден будет приземлится или разобьется. Т.о. скорости, ускорения, моменты и силы будут равны нулю. Авиакомпания «Небесный грузовик», обслуживающая периферийные районы страны, располагает А1
самолетами типа 1, А2
самолетами типа 2, А3
самолетами типа 3, которые она может использовать для выполнения рейсов в течение ближайших суток. Грузоподъемность (в тысячах тонн) известна: В1
для самолетов типа 1, В2
для самолетов типа 2, В3
для самолетов типа 3. Авиакомпания обслуживает два города. Первому городу требуется тоннаж в С1
, а второму – в С2
т. Избыточный тоннаж не оплачивается. Каждый самолет в течение дня может выполнить только один рейс. Расходы, связанные с перелетом самолетов по маршруту «центральный аэродром – пункт назначения», обозначены символом aij
, где первый индекс соответствует номеру города, а второй – типу самолета. А1
=8, А2
= 15, А3
=12, В1
= 45, В2
= 7, В3
= 4, С1
= 20000, С2
= 30000, a11
= 23, Решение 1. Составим математическую модель задачи. Возьмём в качестве целевой функции расходы на перелеты самолетов (соответственно, необходима минимизация целевой вункции), а в качестве переменных – число рейсов в день xij
, где первый индекс соответствует номеру города, а второй – типу самолета. Целевая функция: Ограничений задачи: Основная задача линейного программирования: 2. Правую часть уравнений (ограничения и целевую функцию) представляем в виде разности между свободным членом и суммой всех остальных: Составим симплекс – таблицу: bi x11
x12
x13
x21
x22
x23
0 23 5 7/5 58 10 19/5 y1
8 1 0 0 1 0 0 y2
15 0 1 0 0 1 0 y3
12 0 0 1 0 0 1 y4
-20000 -45 -7 -4 0 0 0 y5
-30000 0 0 0 -45 -7 -4 bi x11
x12
x13
x21
x22
x23
0 23 5 7/5 58 10 19/5 -150 0 -10 0 0 -10 0 y1
8 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y2
15 0 1 0 0 1 0 15 0 1 0 0 1 0 y3
12 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 y4
-20000 -45 -7 -4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y5
-30000 0 0 0 -45 -7 -4 105 0 7 0 0 7 0 bi x11
x12
x13
x21
y2
x23
-150 23 -5 7/5 58 -10 19/5 -228/5 0 0 -19/5 0 0 -19/5 y1
8 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x22
15 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 y3
12 0 0 1 0 0 1 12 0 0 1 0 0 1 y4
-20000 -45 -7 -4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y5
-29895 0 7 0 -45 7 -4 48 0 0 4 0 0 4 bi x11
x12
x13
x21
y2
y3
-978/5 23 -5 -12/5 58 -10 -19/5 464 -58 0 0 -58 0 0 y1
8 1 0 0 1 0 0 8 1 0 0 1 0 0 x22
15 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 x23
12 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 y4
-20000 -45 -7 -4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y5
-29847 0 7 4 -45 7 4 360 45 0 0 45 0 0 bi x11
x12
x13
y1
y2
y3
1342/5 -35 -5 -12/5 -58 -10 -19/5 x21
8 1 0 0 1 0 0 x22
15 0 1 0 0 1 0 x23
12 0 0 1 0 0 1 y4
-20000 -45 -7 -4 0 0 0 y5
-29487 45 7 4 45 7 4 Ответ: Задача не имеет допустимого решения № вар с1
с2
с3
с4
с5
с6
b1
b2
b3
Знаки ограничений a11
a12
a13
a14
1 2 3 8 2 6 2 –2 2 0 2 6 1 = = = –1 2 1 0 № вар. a15
a16
a21
a22
a23
a24
a25
a26
a31
a32
a33
a34
a35
a36
Тип экстр. 8 0 0 2 1 1 1 2 0 1 –1 0 0 1 0 max 1. Основная задача линейного программирования: Правую часть уравнений (ограничения и целевую функцию) представляем в виде разности между свободным членом и суммой всех остальных: 2. Составим симплекс – таблицу: bi x1
x2
2 -4 -6 x3
2 -1 2 x4
2 1 1 x5
1 1 -1 3. Решим задачу линейного программирования. bi x1
x2
2 -4 -6 6 -3 3 x3
2 -1 2 1 -0.5 0.5 x4
2 1 1 -1 0.5 -0.5 x5
1 1 -1 1 -0.5 0.5 bi x1
x3
8 -7 3 21/4 21/4 -21/8 x2
1 -0.5 0.5 3/8 3/8 -3/16 x4
1 1.5 -0.5 3/4 3/4 -3/8 x5
2 0.5 0.5 -3/8 -3/8 3/16 bi x4
x3
53/4 21/4 3/8 x2
11/8 3/8 5/16 x1
3/4 3/4 -3/8 x5
13/8 -3/8 11/16 Оптимальное решение найдено. Ответ: F=53/4, x1
=3/4, x2
=11/8, x3
=0, x4
=0, x5
=13/8, x6
=0. № вар. а1
а2
а3
b1
b2
b3
b4
b5
с11
с12
с13
8 200 200 600 200 300 200 100 200 25 21 20 № вар. с14
с15
с21
с22
с23
с24
с25
с31
с32
с33
с34
с35
8 50 18 15 30 32 25 40 23 40 10 12 21 Исходные данные: B1
B2
B3
B4
B5
аi
A1
25 21 20 50 18 200 A2
15 30 32 25 40 200 A3
23 40 10 12 21 600 bi
200 300 200 100 200 1000 Определение опорного плана задачи B1
B2
B3
B4
B5
аi
A1
25 21 20 50 18 200 200 A2
15 30 32 25 40 600 300 200 100 A3
23 40 10 12 21 200 200 bi
200 300 200 100 200 600 L=5000+9000+6400+2500+4200=27300 r+m-1=7>5 это вырожденный случай. Определение оптимального плана 1. B1
B2
B3
B4
B5
аi
A1
25 21 20 50 18 200+e1 200 e1 A2
15 30 32 25 40 600 300 200 100 A3
23 40 10 12 21 200+e2 e2 200 bi
200 300+e1 200 100+e2 200 600+e1+e2 2. B1
B2
B3
B4
B5
аi
A1
25 21 20 50 18 200+e1 0 200+e1 A2
15 30 32 25 40 600 200 100 200 100 A3
23 40 10 12 21 200+e2 e2 200 bi
200 300+e1 200 100+e2 200 600+e1+e2 3. B1
B2
B3
B4
B5
аi
A1
25 21 20 50 18 200+e1 0 200+e1 A2
15 30 32 25 40 600 200 100 200-e2 100+e2 A3
23 40 10 12 21 200+e2 e2 200 bi
200 300+e1 200 100+e2 200 600+e1+e2 4. B1
B2
B3
B4
B5
аi
A1
25 21 20 50 18 200+e1 0 e2+e1 200-e2 A2
15 30 32 25 40 600 200 300-e2 100+e2 A3
23 40 10 12 21 200+e2 e2 200 bi
200 300+e1 200 100+e2 200 600+e1+e2 5. Результат 6. B1
B2
B3
B4
B5
аi
A1
25 21 20 50 18 200+e1 0 e2+e1 200-e2 A2
15 30 32 25 40 600 200 300-e2 100+e2 A3
23 40 10 12 21 200+e2 200 e2 bi
200 300+e1 200 100+e2 200 600+e1+e2 B1
B2
B3
B4
B5
аi
A1
25 21 20 50 18 200 0 200 A2
15 30 32 25 40 600 200 300 100 A3
23 40 10 12 21 200 200 bi
200 300 200 100 200 600 Так в системе Ответ: F=19100 № b1
b2
c11
c12
c22
extr a11
a12
a21
a22
p1
p2
Знаки огр. 1 2 8 1 2 –1 0 –1 max 1 2 1 1 16 8 £ = Приведем систему к стандартному виду: Определение стационарной точки: Очевидно, что данные координаты не удовлетворяют условиям ограничений. 1. Проверка стационарной точки на относительный max или min: Стационарная точка является точкой относительного максимума. 2. Составление функции Лагранжа: 3. Применим теорему Куна-Таккера: Нахождение решения системы: Перепишем эту систему, оставив все переменные в левой части: Из уравнения 3 системы следует, что x1
=8-x2
: Тогда: Для обращения неравенств системы в равенства введём V1
, V2
, W и преобразуем систему: Запишем условия дополняющей нежесткости: 4. Метод искусственных переменных: Введем искусственные переменные Далее решаем полученную задачу линейного программирования, для этого из 1 и 2 уравнений выражаем переменные Составляем симплекс-таблицу: bi x2
u1
u2
V1
V2
-17M -4M -M 0 -M M M M 0.5M -0.5M 0 -0.5M z1
15 2 -1 1 1 0 1 1 0.5 -0.5 0 -0.5 z2
2 2 2 -1 0 -1 1 1 0.5 -0.5 0 -0.5 W 8 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 bi x2
z2
u2
V1
V2
-16M -3M 0.5M -0.5M -M 0.5M 3M 3M 1.5M -1.5M 0 -1.5M z1
16 3 0.5 0.5 1 -0.5 -3 -3 -1.5 1.5 0 1.5 u1
1 1 0.5 -0.5 0 -0.5 1 1 0.5 -0.5 0 -0.5 W 8 -1 0 0 0 0 1 1 0.5 -0.5 0 -0.5 bi u1
z2
u2
V1
V2
-13M 3M 2M -2M -M -M 13M -3M M 2M M M z1
13 -3 1 2 1 1 13 -3 1 2 1 1 x2
1 1 0.5 -0.5 0 -0.5 0 0 0 0 0 0 W 9 1 0.5 -0.5 0 -0.5 0 0 0 0 0 0 bi u1
z2
u2
z1
V2
0 0 3M 0 M 0 V1
13 -3 1 2 1 1 x2
1 1 0.5 -0.5 0 -0.5 W 9 1 0.5 -0.5 0 -0.5 u1
=u2
=z1
=z2
=V2
=0 V1
=13 x2
=1 W=9 x1
=8-x2
=7 Ответ: x2
=1, x1
=7, 1. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций. – Москва: Издательство МГТУ имени Баумана Н. Э., 2000г. – 436с. 2. Плотникова Н.В. «Исследование операций» Часть 1. Линейное программирование. 3. Плотникова Н.В. «Лекции по курсу теория систем»
|