Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 50
1. Определения
Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом вида где Если заданы начальные данные в виде То имеет смысл определить понятие решения, начинающегося в точке σ с функции φ, или, короче, начинающегося в φ. В дальнейшем будем рассматривать только решения, удовлетворяющие условию Липшица, поэтому следует дать следующее определение: Def
1
.Функция Естественно возникает вопрос о существовании и единственности такого решения. Для начала сделаем некоторые обозначения. a) b) c) Def
2.
2. Полезная лемма
Lemma
1:
Proof
:
1)Выпуклость:
a)Выберем произвольные функции b) c) 2)Ограниченность:
Множество 3)Замкнутость:
Возьмем последовательность функций такую, что a) Возьмем Так как это верно при любом b) По теореме Кантора Предположим, что при этом Возьмем Так как по предположению c) на отрезке Видим, что выполнение условий a,b,c равнозначно тому что Лемма доказана полностью. 3. Существование и единственность решения
Для доказательства теоремы о существовании и единственности липшицевого решения нам потребуется некоторые понятия и важные теоремы, доказательства которых можно, например, найти в книге Кадеца [3]. Def
2.
Оператор Т называется вполне непрерывным (компактным), если Т непрерывен и Т отображает любое ограниченное множество в предкомпактное. Def
3.
Семейство Ф
функций φ, определенных на Def
4.
Семейство Ф
функций φ, определенных на Теорема 1.
(Арцела) Для того чтобы семейство Ф
непрерывных, определенных на отрезке Теорема 2
.(Шаудера, принцип неподвижной точки) Если U-замкнутое ограниченное выпуклое подмножество пространства Банаха Xоператор Именно на теореме Шаудера основано доказательство теоремы о существовании и единственности решения. Теорема 3.
(существование и единственность решения системы (1).(2)) Пусть система (1),(2) такая что: Тогда Замечание.
Для простоты возьмем Доказательство:
Проинтегрировав уравнение (1), увидим, что решение должно удовлетворять условию: Обозначим и будем искать решение в виде Где Определим оператор Который действует из a) Проверим, удовлетворяет ли образ условию Липшица: возьмем При b) При c) Выполнение условий a,b,c означает что Для этого необходимо подобрать параметры Покажем, что оператор Т
осуществляет непрерывное отображение: Возьмем последовательность Оценка выполнена на всем интервале, величина Компактность оператора будем доказывать по теореме Арцела, так как образ оператора лежит в пространстве 1) правая часть не зависит ни от t
,
ни от y
, значит образ оператора – равномерно ограниченное семейство функций. 2) Выбирая А значит, образ множества Так как множество Единственность: Предположим, что при выполнении условий теоремы x
иy
– решения системы (1),(2) на интервале При Эта оценка верна для произвольного t отсюда немедленно следует, что Выбирая 4.Пример неединственности (
Winston
)
Для уравнения для малых положительных t
существует два различных решения: Действительно, проверим, удовлетворяют ли эти функции уравнению: Значит, система имеет два различных решения. Это происходит потому что при малых t
аргумент Список использованной литературы
[1] HALE J. K. Theory of functional differential equations. –Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1977. [2] Резуненко А.В. Краткое введение в обыкновенные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Харьков-2004. [3] Кадец В.М. Курс функционального анализа. Харьков-2006. [4] I.D.Chueshov. Introduction to the Theory of Infinite-Dimensional Dissipative Systems . «Аста»-2002. [5] Д. Хенри. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. Москва. «Мир»-1985.
|