Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 50
Міністерство освіти і науки України Криворізький державний педагогічний університет Кафедра математики Курсова робота з математики Власні значення і власні вектори матриці Студента ІV курсу фізико-математичного факультету Палія Валерія Миколайовича Науковий керівник ст. викладач Корольська Л. Р. Кривий Ріг 2009 р. Вступ Розділ І. Основні відомості з лінійної алгебри 1.1Види матриць. Дії над матрицями. Визначник 1.2Власні значення та власні вектори матриці Розділ ІІ. Знаходження власних векторів і власних значень матриць 2.1Метод А. М. Данілевського 2.2Метод А. Н. Крилова 2.3Метод Леверрьє 2.4Метод невизначених коефіцієнтів 2.5Метод скалярних добутків для знаходження першого власного значення дійсної матриці 2.6приклади задач, що зводяться до відшукання власних значень та власних векторів матриці Висновки Список використаних джерел Історично першим розділом лінійної алгебри був розділ теорії лінійних рівнянь. Згодом у зв’язку з розв’язанням системи лінійних рівнянь було введено поняття "визначник" в 1750 році Крамером. У зв’язку з вивченням лінійних рівнянь та визначників вводиться поняття матриці в 1877 році Г. Фробеніусом. В кінці 19 століття з’явився новий розділ лінійної алгебри "Власні значення та власні вектори матриць". Цей розділ має прикладне значення. Як з’ясувалося, деякі спеціалісти донині цікавляться такою проблемою лінійної алгебри, як обчислення власних значень та власних векторів матриць. Ця проблема виникає в багатьох областях математики, механіки, інженерної справи та геології. Актуальність нашого дослідження полягає втому, що цілий ряд| інженерних задач зводиться до розгляду систем рівнянь, що мають єдиний розв’язок лише в тому випадку, коли| відоме значення деякого вхідного в них параметра. Цей особливий параметр називається характеристичним, або власним, значенням системи. Із задачами на власні значення інженер стикається в різних ситуаціях. Так, для тензорів напруги власні значення визначає головна нормальна напруга, а власними векторами задаються напрями, пов'язані з цими значеннями. При динамічному аналізі механічних систем власні значення відповідають власним частотам коливань, а власні вектори характеризують моди цих коливань. При розрахунку конструкцій власні значення дозволяють визначати критичні навантаження, перевищення яких приводить до втрати стійкості. Вибір найбільш ефективного методу обчислення власних значень або власних векторів для даної інженерної задачі залежить від ряду чинників, таких, як тип рівнянь, число шуканих власних значень і їх характер. Об’єктом нашого дослідження є елементи лінійної алгебри. Предмет дослідження: методи знаходження власних значень і власних векторів матриць. Задачі дослідження: 1) Аналіз
навчальної та методичної літератури з теми дослідження.
2) Обгрунтувати методи знаходження власних векторів і власних значень матриць. 3) Навести приклади знаходження власних векторів і власних значень матриць. Розділ І. Основні відомості з лінійної алгебри
1.1 Види матриць. Дії над матрицями. Визначник
Матрицею називається прямокутна таблиця з чисел, яка складається з деякої кількості m рядків та деякої кількості n стовпців. Числа m і n називаються порядками матриці. У випадку, якщо m = n, матриця називається квадратною, а число m = n — її порядком. [2, стор. 10] Щоб записати матрицю, виписують належним чином позначення її елементів та отриману таблицю беруть в дужки або обмежують подвійними лініями. Таким чином, загальний вигляд матриці розмірності (m, n) буде таким де aij
— позначення елементів з множини C. Часто замість такого докладного запису вживають скорочений: || aij
|| або || aij
||m,n
. Якщо кількість рядків матриці дорівнює кількості її стовпців, то матриця називається квадратною, а кількість її рядків, що дорівнює кількості стовпців, називається порядком квадратної матриці. Матрицю, що має тільки один рядок, називають просто рядком матриці, а кількість його елементів — довжиною рядка. В подальшому матриці будуть позначатися великими літерами латинського алфавіту. Дві матриці називаються рівними, якщо кількість рядків і стовпців у них відповідно рівні та якщо рівні числа, що стоять на відповідних місцях цих матриць. Таким чином, одна рівність між (m, n)-матрицями рівносильна системі mn рівностей між їх елементами. Основними матричними операціями є множення числа на матрицю або матриці на число, додавання та перемноження двох матриць. За означенням, для того щоб помножити число α на матрицю А або матрицю А на число α, необхідно помножити α на всі елементи матриці А. Наприклад, Матриця всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою матрицею і позначається О. Якщо бажають вказати явно кількість рядків і стовпців нульової матриці, то пишуть Оmn
. Блочні матриці. Припустимо, що деяка матриця Наприклад, матрицю можна розглядати як блочну матрицю Цікавим є той факт, що основні операції з блочними матрицями здійснюються за тими ж правилами, по яким вони здійснюються зі звичайними числовими матрицями, тільки в ролі елементів виступають блоки. [2, стор. 15] Для довільної матриці А та довільних α, β мають місце такі співввідношення: 1. 2. 3. Сумою двох матриць А і В, що мають відповідно рівну кількість рядків і стовпців, називається матриця, що має ту ж кількість рядків і стовпців і елементи, які дорівнюють сумам відповідних елементів матриць А, В. Наприклад, З цього визначення витікають співвідношення: 4. 5. 6. 7. 8. Вводячи позначення Добутком матриці Для позначення добутку матриці А на матрицю В використовують запис Зі сформульованого вище слідує, що матрицю А можна помножити не на будь-яку матрицю В: необхідно, щоб кількість стовпців матриці А дорівнювало кількості рядків матриці В. Зокрема, два добутки Формула (1) являє собою правило складання елементів матриці С, що являє собою добуток матриці А на матрицю В. Це правило можна сформулювати і словесно: елемент В якості приклада застосування вказаного правила приведемо формулу перемноження квадратних матриць другого порядку З формули (1) витікають наступні властивості добутку матриці А на матрицю В: 1. 2. Серед квадратних матриць виділимо клас так званих діагональних матриць, у кожної з яких елементи, що розташовані не на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Кожна діагональна матриця має вид де Серед усіх діагональних матриць, у яких діагональні елементи співпадають Таким чином, [2, стор. 14] З правил дій над матрицями безпосередньо витікає, що сумма і добуток діагональних матриць буде знову діагональною матрицею: Розглянемо тепер довільну квадратну матрицю Х порядка п з елементами з кільця К. За означенням вважаємо Оскільки при множені декількох матриць дужки можна розташовувати довільно, то для будь-яких цілих невід’ємних p, q та довільної матриці Х над асоціативним кільцем К маємо Матриці А і В називаються переставними (комутативними), якщо Зі співвідношення (2) отримаємо і, значить, всі натуральні степені однієї і тієї ж матриці переставні між собою. Справедливе й більш загальне твердження: якщо матриці А і В переставні, то будь-які їх натуральні степені також переставні й для будь-якого натурального p маємо Транспонування матриць. Розглянемо довільну матрицю Матриця що отрималася з А заміною рядків стовпцями, називається транспонованою по відношенню до А. Для довільних матриць А, В мають місце наступні правила транспонування: де, α, β — довільні числа. Якщо А — довільна квадратна матриця і то А називається симетричною; якщо ж то — кососиметричною. [4] Поняття визначника. Розглянемо довільну квадратну матрицю будь-якого порядку n: Визначник (або детермінант) визначається для довільної квадратної матриці А, і являє собою поліном від всіх її елементів. Позначається — або det(A), або — в розгорнутому вигляді (матриця обмежується вертикальними лініями). Маючи на увазі порядок матриці А, про її визначник кажуть як про визначник порядку п. Для п=1: для п=2: для п=3: для п = 4 формула стає громіздкою. Введемо тепер визначник довільного порядку п. Впорядкована пара різних натуральних чисел (а,b) утворює інверсію (або порушення порядку), якщо Число інверсій в послідовності різних натуральних чисел Визначником (або детермінантом) матриці Називається де сумма поширюється на всілякі перестановки 1.2 Власні значення та власні вектори матриці
Якщо А — квадратна матриця п-го порядку і Для існування нетривіального розв’язку задачі (1) має виконуватися умова Цей визначник являє собою многочлен п-ї степені від l; його називають характеристичним многочленом. Значить, існує п власних значень — коренів цього многочлена, серед яких можуть бути однакові (кратні). Якщо знайдено деяке власне значення, то, при підстановці його в однорідну систему (1), можна визначити відповідний власний вектор. Будемо нормувати власні вектори[1]
. Тоді кожному простому (не кратному) власному значенню відповідає один (з точністю до напрямку) власний вектор, а сукупність всіх власних векторів, що відповідають сукупності простих власних значень, лінійно-незалежна. Таким чином, якщо всі власні значення матриці прості, то вона має п лінійно-незалежних власних векторів, які утворюють базис простору. Кратному власному значенню кратності р може відповідати від 1 до р лінійно-незалежних власних векторів. Наприклад, розглянемо такі матриці четвертого порядку: В кожної з них характеристичне рівняння приймає вигляд У другої матриці є тільки один власний вектор е1
. Другу матрицю називають простою жордановою (або класичною) підматрицею. Третя матриця має так звану канонічну жорданову форму (по діагоналі стоять або числа, або жорданові підматриці, а інші елементи дорівнюють нулеві). Таким чином, якщо серед власних значень матриці є кратні, то її власні вектори не завжди утворюють базис. Однак і в цьому випадку власні вектори, що відповідають різним власним значенням, являються лінійно-незалежними.[3, стор 156] При розв’язуванні теоретичних і практичних задач часто виникає потреба визначити власні значення даної матриці А, тобто обчислити корені її вікового (характеристичного) рівняння det(A - lE) = 0 (2) а також знайти відповідні власні векторі матриці А. Друга задача є простішою, оскільки якщо корені характеристичного рівняння відомі, то знаходження власних векторів зводиться до відшукання ненульових розв’язків деяких однорідних лінійних систем. Тому ми в першу чергу будемо займатися першою задачею — відшуканням коренів характеристичного рівняння (2). Тут в основному застосовуються два прийоми: 1) розгортання вікового визначника в поліном n-го степеня D(l) = det(A - lE) з подальшим розв’язком рівняння D(l) = 0 одним з відомих наближених, взагалі кажучи, способів (наприклад, методом Лобачевського-Греффе) наближене визначення коренів характеристичного рівняння (найчастіше найбільших по модулю) методом ітерації, без попереднього розгортання вікового визначника. Розгортання вікового визначника. Як відомо, віковим визначником матриці А = [aij
] називається визначник вигляду D(l) = det(A - lE) = Прирівнюючи цей визначник до нуля, одержуємо характеристичне рівняння D(l) = 0 Якщо потрібно знайти все коріння характеристичного рівняння, то доцільно заздалегідь обчислити визначник (1). Розгортаючи визначник (1), одержуємо поліном n-го степеня Де є сума усіх діагональних мінорів першого порядку матриці А. є сума всього діагонального мінору другого порядку матриці А; — сума всіх діагональних мінорів третього порядку матриці А і т.д. Нарешті sn
= det A. Легко переконатися, що число діагональних мінорів k-го порядку матриці А дорівнює Звідси одержуємо, що безпосереднє обчислення коефіцієнтів характеристичного полінома (2) еквівалентно обчисленню визначників різних порядків. Остання задача, взагалі кажучи, технічно важко здійснена для скільки-небудь великих значень n. Тому створені спеціальні методи розгортання вікових визначників (методи А. Н. Крилова, А. М. Данілевського, Леверье, метод невизначених коефіцієнтів, метод інтерполяції та ін.). Розділ ІІ. Знаходження власних векторів і власних значень матриць
Суть методу А. М. Данілевського [1] полягає в приведенні вікового визначника до так званого нормального виду Фробеніуса Якщо нам вдалося записати вікового визначника у формі (1), то, розкладаючи його по елементах першого рядка, матимемо: Або Таким чином, розгортання вікового визначника, записаного в нормальній формі (1), не представляє труднощів. Позначимо через дану матрицю, а через — подібну їй матрицю Фробеніуса, тобто де S - особлива матриця. Оскільки подібні матриці володіють однаковими характеристичними поліномами, то маємо: det(A-lE)= det(P-lE). (3) Тому для обґрунтування методу досить показати, яким чином, виходячи з матриці А, будується матриця Р. Згідно методу А. М. Данілевського, перехід від матриці А до подібної їй матриці Р здійснюється за допомогою т - 1 перетворення подібності, що послідовно перетворюють рядки матриці А, починаючи з останньої, у відповідні рядки матриці Р. Покажемо початок процесу. Нам необхідно рядок перевести в рядок 0 0 ... 1 0. Припускаючи, що Потім віднімемо (n-1) - й стовпець перетвореної матриці, помножений відповідно на числа В результаті одержимо матрицю, останній рядок якої має бажаний вигляд 0 0 ... 1 0. Вказані операції є елементарними перетвореннями, що здійснюються над стовпцями матриці А. Виконавши ці ж перетворення над одиничною матрицею, одержимо матрицю Де І Звідси робимо висновок, що проведені операції рівносильні множенню справа матриці Використовуючи правило множення матриць, знаходимо, що елементи матриці В обчислюються за наступними формулами: Проте побудована матриця Безпосередньою перевіркою легко переконатися, що обернена матриця Нехай Отже Оскільки, очевидно, множення зліва матриці Перемножуючи матриці І Таким чином, множення Далі, якщо з двома зведеними рядками. Над останньою матрицею проробляємо ті ж операції. Продовжуючи цей процес, ми, нарешті, одержимо матрицю Фробеніуса якщо, звичайно, всі n - 1 проміжних перетворень можливі. Весь процес може бути оформлений в зручну обчислювальну схему, складання якої покажемо на наступному прикладі. Приклад. Привести до вигляду Фробеніуса матрицю Розв’язання. Обчислення розташовуємо в таблицю 1. Номер рядка 1 2 3 4 1 2 3 4 2 1 2 3 3 2 1 2 4 3 2 1 10 8 8 10 5 6 7 8 4 3 2 1 –5 2 1 0 –2,5 –2 0,5 0 1,5 1 0,5 1 2,5 2 1,5 0 –3,5 –1 3,5 1 –5 –2 3 0 –0,067 –1 У рядках 1-4 таблиці 1 розміщуємо елементи Сюди ж (рядок 1 таблиці 1) поміщаємо елемент що одержується аналогічним прийомом з контрольного стовпця Σ. Число -5 повинно співпасти з сумою елементів рядка I, що не входять в контрольний стовпець (після заміни елементу У рядках 5-8 в графі М-1
виписуємо третій рядок матриці М-1
, яка в силу формули (7) співпадає з четвертим рядком початкової матриці А. У рядках 5-8 у відповідних стовпцях виписуємо елементи матриці B = АМ3
, що обчислюються за двочленними формулами (6) для невідмічених стовпців і по одночленній формулі (6') для відміченого стовпця. Наприклад, для першого стовпця маємо: і т.д. Перетворені елементи третього (відміченого) стовпця отримуються за допомогою множення початкових елементів на Відмітимо, що останній рядок матриці В повинен мати вигляд 0 0 1 0. Для контролю поповнюємо матрицю В перетвореними по аналогічних двочленних формулах з Отримані результати записуємо в стовпці Σ' у відповідних рядках. Додавши до них елементи третього стовпця, одержимо контрольні суми для рядків 5-8 (стовпець Σ). Перетворення і т. д. Такі ж перетворення проводимо над стовпцем Σ: В результаті одержуємо матрицю C, що складається з рядків 5, 6, 7', 8 з контрольними сумами Σ, причому матриця C подібна матриці А і має один зведений рядок 8. Цим закінчується побудова першого подібного перетворення Далі, прийнявши матрицю C за вихідну і виділивши елемент Таким чином, матриця Фробеніуса буде мати вигляд: Звідси віковий визначник, приведений до нормального виду Фробеніуса, запишеться так: або Виняткові випадки в методі А. М. Данілевського. Процес А. М. Данілевського [1] відбувається без жодних ускладнень, якщо всі елементи, що виділяються, відмінні від нуля. Ми зупинимося зараз на виняткових випадках, коли ця вимога порушується. Припустимо, що при перетворенні матриці А в матрицю Фробеніуса Р ми після декількох кроків пришли до матриці вигляду причому виявилось, що Тоді продовжувати перетворення по методу А. М. Данілевського не можна. Тут можливі два випадки. 1. Нехай якийсь елемент матриці D, що стоїть ліворуч нульового елемента 2. Нехай У такому разі віковий визначник det(D - lЕ) розпадається на два визначники det (D - lЕ) = det (D1
- lЕ) det (D2
- lЕ). При цьому матриця D2
вже приведена до канонічної форми Фробеніуса і тому det (D2
- lЕ) обчислюється відразу. Залишається застосувати метод А. М. Данілевського до матриці D1
. Обчислення власних векторів по методу А. М. Данілевського. Метод А. М. Данілевського [1] дає можливість визначати власні вектори даної матриці А, якщо відомі її власні значення. Неай l— власне значення матриці А, а отже, і власне значення подібної їй матриці Фробеніуса Р. Знайдемо власний вектор Перемножуючи матриці, одержимо систему для визначення координат Система (1) — однорідна. З точністю до коефіцієнта пропорційності розв’язки її можуть бути знайдені таким чином. Покладемо yn
=1. Тоді послідовно одержимо: Таким чином, шуканий власний вектор є Позначимо тепер через х власний вектор матриці А, що відповідає значенню l. Тоді, очевидно, маємо: Перетворення M1
, здійснене над y, дає: Таким чином, перетворення М1
змінює лише першу координату вектора. Аналогічно перетворення М2
змінить лише другу координату вектора М1
у і т.д. Повторивши цей процес n-1 разів, одержимо шуканий власний вектор х матриці А. Приведемо метод розгортання вікового визначника, що належить А. Н. Крилову [1] і заснований на істотно іншій ідеї, ніж метод А. М. Данілевського. Нехай — характеристичний поліном (з точністю до знаку) матриці А. Згідно тотожності Гамільтона-Келі, матриця А обертає в нуль свій характеристичний поліном; тому Візьмемо тепер довільний ненульовий вектор Множачи обидві частини рівності (2) справа на Покладемо: тоді рівність (3) набуває вигляду або Де Отже, векторна рівність (5) еквівалентна системі рівнянь з якої, взагалі кажучи, можна визначити невідомі коефіцієнти Оскільки на підставі формули (4) то координати Таким чином, визначення коефіцієнтів pj
характеристичного полінома (1) методом А. Н. Крилова зводиться до розв’язання лінійної системи рівнянь (6), коефіцієнти якої обчислюються за формулами (7), причому координати початкового вектора довільні. Якщо система (6) має єдиний розв’язок, то її корені р1
, р2
. . ., рn
є коефіцієнтами характеристичного полінома (1). Цей розв’язок може бути знайдено, наприклад, методом Гауса. Якщо система (6) не має єдиного розв’язку, то завдання ускладнюється. В цьому випадку рекомендується змінити початковий вектор. Приклад. Методом А. Н. Крилова знайти характеристичний поліном матриці Розв’язання. Виберемо початковий вектор Користуючись формулами (7), визначимо координати векторів Маємо: Складемо систему (6): яка в нашому випадку має вигляд Звідси Розв’язавши цю систему, одержимо: Отже що співпадає з результатом, знайденим по методу А. М. Данілевського. Обчислення власних векторів по методу А. Н. Крилова. Метод А. Н. Крилова дає можливість просто знайти відповідні власні вектори [1]. Для простоти обмежимося випадком, коли характеристичний поліном має різні корені Нехай де одержимо: Нехай Якщо покласти то, очевидно І Формула (5) при цьому приймає вигляд Таким чином, якщо Коефіцієнти Цей метод [1] розкриття вікового визначника заснований на формулах Ньютона для сум степенів коренів алгебраїчного рівняння. Нехай — характеристичний поліном даної матриці Покладемо Тоді при Звідси Якщо суми Суми Тобто Далі, як відомо, тобто якщо то Степені Таким чином, схема розкриття вікового визначника по методу Леверрьє вельми проста, а саме: спочатку обчислюються Метод Леверрьє вельми трудомісткий, оскільки доводиться підраховувати високі степені даної матриці. Достоїнство його — нескладна схема обчислень і відсутність виняткових випадків. Приклад. Методом Леверрьє розгорнути характеристичний визначник матриці Розв’язання. Утворюємо степені Відмітимо, що не було необхідності обчислювати Звідси Отже, по формулах (3) матимемо: Таким чином, ми одержуємо вже відомий результат: 2.4 Метод невизначених коефіцієнтів
Розгортання вікового визначника можна також здійснити за допомогою знаходження досить великої кількості його числових значень. Нехай є віковим визначником матриці А, тобто Якщо в рівності (1) послідовно покласти Звідси І З системи (3) можна визначити коефіцієнти Вводячи матрицю і вектори систему (3) можна записати у вигляді матричного рівняння звідси Відмітимо, що обернена матриця Таким чином, застосування цього методу зводиться до обчислення числових визначників і знаходження розв’язку стандартної лінійної системи (4). 2.5 Метод скалярних добутків для знаходження першого власного значення дійсної матриці
Для відшукання першого власного значення Переходимо тепер до викладу самого методу. Нехай А — дійсна матриця і Візьмемо деякий ненульовий вектор у0
і за допомогою матриці А побудуємо послідовність ітерацій Для вектора у0
утворюємо також за допомогою транспонованої матриці А' другу послідовність ітерацій де Згідно з теоремою 1 розділу X § 16 в просторі Еп
виберемо два власні базиси де Звідси І Складемо скалярний добуток Звідси через умову ортонормування знаходимо: Аналогічно Отже, при Таким чином, Цей метод особливо зручний для симетричної матриці А, оскільки тоді А'=А, і ми маємо просто і, отже, тут потрібно побудувати тільки одну послідовність Приклад. Методом скалярних добутків знайти найбільше власне значення матриці Розв’язання. Оскільки матриця А — симетрична, то досить побудувати лише одну послідовність ітерацій Вибираючи за початковий вектор можна використати результати таблиці 27. Наприклад, при k = 5 і k = 6 маємо: Звідси І Отже, що співпадає в написаних знаках із значенням, знайденим раніше за допомогою А10
у0
. Зауваження. Методи знаходження найбільшого по модулю кореня характеристичного рівняння можна використовувати для знаходження найбільшого по модулю кореня алгебраїчного рівняння Дійсно, рівняння (9), як легко безпосередньо перевірити, є віковим для матриці тобто рівняння (9) еквівалентно рівнянню Якщо рівняння (9) не має нульового кореня, то аналогічним способом може бути визначений найменший по модулю корінь цього рівняння, а саме, при Зворотна величина найбільшого по модулю кореня рівняння (10), очевидно, дасть нам найменший по модулю корінь рівняння (9). Знаходження другого власного значення матриці і другого власного вектора. Нехай власні значення тобто є два відмінних один від одного, найбільших по модулю власних значення З формули (2) маємо: І Виключимо з формул (2) і (3) члени, що містять Введемо позначення причому вираз (5) називатимемо Звідси Нехай З формул (6) і (7) виводимо: Користуючись формулою (8), можна приблизно обчислити друге власне значення де k- найменше з чисел, при якому починає позначатися переважання Що стосується власного вектора Є розповсюдження даного методу на випадок кратного кореня характеристичного рівняння. Приклад. Визначити подальші власні значення і власні вектори матриці Розв’язання. Для знаходження другого власного значення приймемо k = 8. Маємо: 45433 21141 6 201 202833 93906 27 342 905238 417987 121 248 Складаємо де Таблиця 2 Обчислення другого власного значення 202833 93906 27 342 202722 94204 27 76 111 – 298 – 234 905238 417987 121 248 905041 418445 121 590 197 – 458 – 342 Звідси одержуємо: Отже, приблизно можна прийняти: В якості другого власного вектора можна прийняти: Нормуючи цей вектор, одержимо: Оскільки матриця А — симетрична, то вектори Звідси Третє власне значення Звідси Власний вектор можна обчислити з умов ортогональності: Звідси Або Після нормування остаточно отримаємо: 2.6 п
риклади задач, що зводяться до відшукання власних значень та власних векторів матриці Задача 1 Дослідимо тривісне напруження стану елемента тіла, представленого на малюнку. Матриця напруги для нього має вигляд Якщо виходити з того, що руйнування станеться при максимальній напрузі, то необхідно знати величину найбільшого головного напруження яке відповідає найбільшому власному значенню матриці напруги. Для знаходження цієї напруги скористаємося одним методом ітерацій. Одержимо власне значення Задача 2. [12, стор. 70]Для довільного тривимірного твердого тіла можна ввести три моменти інерції відносно трьох взаємно перпендикулярних осей і три змішані моменти інерції відносно трьох координатних площин. Відомо, що для несиметричного тіла при фіксованому початку координат існує єдина орієнтація координатних осей, при якій змішані моменти інерції обертаються в нуль. Такі осі називаються головними осями інерції, а відповідні моменти інерції - головними моментами інерції, серед яких є найбільший, найменший і такий, що має проміжне значення. Для матриці моментів інерції знайти три головних моменти інерції. Задача 3. [12, стор. 70]Баржа призначена для перевезення через озеро Ері зчепки з шести залізничних вагонів. Буксир тягне її за носову частину, як показано на малюнку. Значення мас вагонів і коефіцієнтів жорсткості сполучних елементів вказані під малюнком. Існує побоювання, що в зчепленні вагонів при хвилюванні на озері можуть виникнути резонансні продольні коливання. Обчислити шість власних частот даної механічної системи і порівняти їх з частотою хвилі, рівній 1 рад/с. Власні частоти пов'язані з власними значеннями динамічної матриці D співвідношенням Динамічна матриця утворюється із матриць жорсткості [К] і мас [M] Задача 4. [12, стор. 71] Консольний брус довжиною 10 м, що має згинну жорсткість Потрібно знайти дві основні частоти коливань бруса. Це можна зробити, знаючи власні значення У першому розділі курсової роботи проаналізовано науково-методичну літературу з теми дослідження. Вивчення даної теми ми почали з розкриття дуже важливого для нашого дослідження поняття "матриця". Ми розглянули основні відомості про матриці та визначники, висвітлили означення власних значень та власних векторів матриць. В другому розділі ми розглянули теоретичні основи таких методів: 1) метод А. М. Данілевського; 2) метод А. Н. Крилова; 3) метод Леверрьє; 4) метод невизначених коефіцієнтів; 5) метод скалярних добутків для знаходження першого власного значення дійсної матриці. Наведені приклади задач з фізики, що зводяться до відшукання власних значень та власних векторів матриці. Дана робота має практичне застосування, її матеріал може бути використаний на факультативних заняттях з лінійної алгебри для формування наукового світогляду та математичної культури студентів. 1. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. — 3-е изд. — М.: Наука, 1966. — 560 с. 2. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб. Для вузов — 4-е изд. — М.: Наука. Физматлит, 1999. — 296 с. 3. Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Мир, 1988. — 512 с. 4. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е изд. — М.: Наука, 1968. — 402 с. 5. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики — М.: Наука, 1977. — 392с., ил. 6. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения/Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1987. — 368 с. 7. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. — М.: Физматгиз, 1963. — 408 с. 8. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве: Пер. с англ. — М.: Мир, 1982. — 304 с., ил. 9. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных уравнений. — М.: Мир, 1969. — 285 с. 10. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений: Пер. с англ. — М.: Мир, 1980. — 277 с., ил. 11. Хемминг Р. В. Цыфровые фильтры: Пер. с англ./Под ред. А. М. Трахтмана — М.: Советское радио, 1980. — 224 с., ил. 12. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ: Практическое руководство. Пер. с англ. — М.: Мир, 1982. — 238с., ил. [1]
Нормуванням (на одиницю) вектора х
називають множення його на
|