Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 50
Формулы сокр. умножения и разложения на множители : (a±b)²=a²±2ab+b² (a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³ a²-b²=(a+b)(a-b) a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²), (a+b)³=a³+b³+3ab(a+b) (a-b)³=a³-b³-3ab(a-b) xn
-an
=(x-a)(xn-1
+axn-2
+a²xn-3
+...+an-1
) ax²+bx+c=a(x-x1
)(x-x2
) где x1
и x2
— корни уравнения ax²+bx+c=0 Степени и корни : ap
·ag
= ap+g
ap
:ag
=a p-g
(ap
)g
=a pg
ap
/bp
= (a/b)p
ap
×bp
= abp
a0
=1; a1
=a a-p
= 1/a p
Öa =b => bp
=a p
Öap
Öb = p
Öab Öa ; a = 0 ____ / __ _ p
Ög
Öa = pg
Öa ___ __ pk
Öagk
= p
Öag
p
____ / a p
Öa / ¾¾ = ¾¾¾¾ Ö b p
Öb a 1/p
= p
Öa p
Öag
= ag/p
Квадратное уравнение ax²+bx+c=0; (a¹0) x1,2
= (-b±ÖD)/2a; D=b² -4ac D>0® x1
¹x2
;D=0® x1
=x2
D<0, корней нет. Теорема Виета: x1
+x2
= -b/a x1
× x2
= c/a Приведенное кв. Уравнение: x² + px+q =0 x1
+x2
= -p x1
×x2
= q Если p=2k (p-четн.) и x²+2kx+q=0, то x1,2
= -k±Ö(k²-q) Нахождение длинны отр-ка по его координатам Ö((x2
-x1
)²-(y2
-y1
)²) Логарифмы: loga
x = b => ab
= x; a>0,a¹0 a loga x
= x, loga
a =1; loga
1 = 0 loga
x = b; x = ab
loga
b = 1/(log b
a) loga
xy = loga
x + loga
y loga
x/y = loga
x - loga
y loga
xk
=k loga
x (x >0) loga
k
x =1/k loga
x loga
x = (logc
x)/( logc
a); c>0,c¹1 logb
x = (loga
x)/(loga
b) Прогрессии Арифметическая an
= a1
+d(n-1) Sn
= ((2a1
+d(n-1))/2)n Геометрическая bn
= bn-1
× q b2
n
= bn-1
× bn+1
bn
= b1
×qn-1
Sn
= b1
(1- qn
)/(1-q) S= b1
/(1-q) Тригонометрия. sin x = a/c cos x = b/c tg x = a/b=sinx/cos x ctg x = b/a = cos x/sin x sin (p-a) = sin a sin (p/2 -a) = cos a cos (p/2 -a) = sin a cos (a + 2pk) = cos a sin (a + 2pk) = sin a tg (a + pk) = tg a ctg (a + pk) = ctg a sin²a + cos²a =1 ctg a = cosa / sina , a¹pn, nÎZ tga× ctga = 1, a¹ (pn)/2, nÎZ 1+tg²a = 1/cos²a , a¹p(2n+1)/2 1+ ctg²a =1/sin²a , a¹pn Формулы сложения: sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y ) x, y, x + y ¹p/2 + pn tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y) x, y, x - y ¹p/2 + pn Формулы двойного аргумента. sin 2a = 2sin a cos a cos 2a = cos²a - sin²a = 2 cos²a - 1 = = 1-2 sin²a tg 2a = (2 tga)/ (1-tg²a) 1+ cos a = 2 cos²a/2 1-cosa = 2 sin²a/2 tga = (2 tg (a/2))/(1-tg²(a/2)) Ф-лы половинного аргумента. sin²a/2 = (1 - cos a)/2 cos²a/2 = (1 + cosa)/2 tg a/2 = sina/(1 + cosa ) = (1-cos a)/sin a a¹p + 2pn, n ÎZ Ф-лы преобразования суммы в произв. sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2) sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2) cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2 cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2 sin (x+y) tg x + tg y = ————— cos x cos y sin (x - y) tg x - tgy = ————— cos x cos y Формулы преобр. произв. в сумму sin x sin y = Ѕ(cos (x-y) - cos (x+y)) cos x cos y = Ѕ(cos (x-y)+ cos (x+y)) sin x cos y = Ѕ(sin (x-y)+ sin (x+y)) Соотнош. между ф-ями sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2
x/2) cos x = (1-tg2
2/x)/(1+ tg² x/2) sin2x = (2tgx)/(1+tg2
x) sin²a = 1/(1+ctg²a) = tg²a/(1+tg²a) cos²a = 1/(1+tg²a) = ctg²a / (1+ctg²a) ctg2a = (ctg²a-1)/ 2ctga sin3a = 3sina -4sin³a = 3cos²asina-sin³a cos3a = 4cos³a-3 cosa= = cos³a-3cosasin²a tg3a = (3tga-tg³a)/(1-3tg²a) ctg3a = (ctg³a-3ctga)/(3ctg²a-1) sin a/2 = ±Ö((1-cosa)/2) cos a/2 = ±Ö((1+cosa)/2) tga/2 = ±Ö((1-cosa)/(1+cosa))= sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina ctga/2 = ±Ö((1+cosa)/(1-cosa))= sina/(1-cosa)= (1+cosa)/sina sin(arcsin a) = a cos( arccos a) = a tg ( arctg a) = a ctg ( arcctg a) = a arcsin (sina) = a ; aÎ [-p/2 ; p/2] arccos(cos a) = a ; aÎ [0 ; p] arctg (tg a) = a ; aÎ[-p/2 ; p/2] arcctg (ctg a) = a ; aÎ [ 0 ; p] arcsin(sina)= 1)a - 2pk; aÎ[-p/2 +2pk;p/2+2pk] 2) (2k+1)p - a; aÎ[p/2+2pk;3p/2+2pk] arccos (cosa) = 1) a-2pk ; aÎ[2pk;(2k+1)p] 2) 2pk-a ; aÎ[(2k-1)p; 2pk] arctg(tga)= a-pk aÎ(-p/2 +pk;p/2+pk) arcctg(ctga) = a -pk aÎ(pk; (k+1)p) arcsina = -arcsin (-a)= p/2-arccosa = = arctg a/Ö(1-a²) arccosa = p-arccos(-a)=p/2-arcsin a= = arc ctga/Ö(1-a²) arctga =-arctg(-a) = p/2 -arcctga = = arcsin a/Ö(1+a²) arc ctg a = p-arc cctg(-a) = = arc cos a/Ö(1-a²) arctg a = arc ctg1/a = = arcsin a/Ö(1+a²)= arccos1/Ö(1+a²) arcsin a + arccos = p/2 arcctg a + arctga = p/2 Тригонометрические уравнения sin x = m ; |m| = 1 x = (-1)n
arcsin m + pk, kÎ Z sin x =1 sin x = 0 x = p/2 + 2pk x = pk sin x = -1 x = -p/2 + 2 pk cos x = m; |m| = 1 x = ± arccos m + 2pk cos x = 1 cos x = 0 x = 2pk x = p/2+pk cos x = -1 x = p+ 2pk tg x = m x = arctg m + pk ctg x = m x = arcctg m +pk sin x/2 = 2t/(1+t2
); t - tg cos x/2 = (1-t²)/(1+t²) Показательные уравнения. Неравенства: Если af(x)
>(<) aа(ч)
1) a>1, то знак не меняеться. 2) a<1, то знак меняется. Логарифмы : неравенства: loga
f(x) >(<) log a
j(x) 1. a>1, то : f(x) >0 j(x)>0 f(x)>j(x) 2. 0<a<1, то: f(x) >0 j(x)>0 f(x)<j(x) 3. log f(x)
j(x) = a ОДЗ: j(x) > 0 f(x) >0 f(x ) ¹ 1 Тригонометрия: 1. Разложение на множители: sin 2x - Ö3 cos x = 0 2sin x cos x -Ö3 cos x = 0 cos x(2 sin x - Ö3) = 0 .... 2. Решения заменой .... 3. sin² x - sin 2x + 3 cos² x =2 sin² x - 2 sin x cos x + 3 cos ² x = 2 sin² x + cos² x Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0, а такое невозможно, => можно поделить на cos x Тригонометрические нер-ва : sin a³ m 2pk+a1
=a=a2
+ 2pk 2pk+a2
=a= (a1
+2p)+ 2pk Пример: I cos (p/8+x) < Ö3/2 pk+ 5p/6< p/8 +x< 7p/6 + 2pk 2pk+ 17p/24 < x< p/24+2pk;;;; II sin a= 1/2 2pk +5p/6 =a= 13p/6 + 2pk cos a³(=) m 2pk + a1
< a< a2
+2 pk 2pk+a2
< a< (a1
+2p) + 2pk cos a³ - Ö2/2 2pk+5p/4 =a= 11p/4 +2pk tg a³(=) m pk+ arctg m =a= arctg m + pk ctg ³(=) m pk+arcctg m < a< p+pk Производная: (xn
)’
= n× xn-1
(ax
)’ = ax
× ln a (lg ax
)’= 1/(x×ln a) (sin x)’ = cos x (cos x)’ = -sin x (tg x)’ = 1/cos² x (ctg x)’ = - 1/sin²x (arcsin x)’ = 1/ Ö(1-x²) (arccos x)’ = - 1/ Ö(1-x²) (arctg x)’ = 1/ Ö(1+x²) (arcctg x)’ = - 1/ Ö(1+x²) Св-ва: (u × v)’ = u’×v + u×v’ (u/v)’ = (u’v - uv’)/ v² Уравнение касательной к граф. y = f(x0
)+ f ’(x0
)(x-x0
) уравнение к касательной к графику в точке x 1. Найти производную 2. Угловой коофициент k = = производная в данной точке x 3. Подставим X0
, f(x0
), f ‘ (x0
), выразим х Интегралы : ò xn
dx = xn+1
/(n+1) + c ò ax
dx = ax/ln a + c ò ex
dx = ex
+ c ò cos x dx = sin x + cos ò sin x dx = - cos x + c ò 1/x dx = ln|x| + c ò 1/cos² x = tg x + c ò 1/sin² x = - ctg x + c ò 1/Ö(1-x²) dx = arcsin x +c ò 1/Ö(1-x²) dx = - arccos x +c ò 1/1+ x² dx = arctg x + c ò 1/1+ x² dx = - arcctg x + c Площадь криволенейной трапеции. Геометрия Треугольники a + b + g =180 Теорема синусов a² = b²+c² - 2bc cos a b² = a²+c² - 2ac cos b c² = a² + b² - 2ab cos g Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит противопол. сторону напополам. Биссектриса - угол. Высота падает на пр. сторону под прямым углом. Формула Герона : p=Ѕ(a+b+c) _____________ S = Öp(p-a)(p-b)(p-c) S = Ѕab sin a Sравн
.
=(a²Ö3)/4 S = bh/2 S=abc/4R S=pr Трапеция. S = (a+b)/2× h Круг S= pR² Sсектора
=(pR²a)/360 Стереометрия Параллепипед V=Sосн
×Р Прямоугольный V=abc Пирамида V =1/3Sосн.
×H Sполн.
= Sбок.
+ Sосн.
Усеченная : H . _____ V = 3 (S1
+S2
+ÖS1
S2
) S1
и S2
— площади осн. Sполн
.
=Sбок
.
+S1
+S2
Конус V=1/3 pR²H Sбок.
=pRl Sбок.
= pR(R+1) Усеченный Sбок.
= pl(R1
+R2
) V=1/3pH(R1
2
+R1
R2
+R2
2
) Призма V=Sосн.
×H прямая: Sбок.
=Pосн.
×H Sполн.
=Sбок
+2Sосн.
наклонная : Sбок.
=Pпс
×a V = Sпс
×a, а -бок. ребро. Pпс
— периметр Sпс
— пл. перпенд. сечения Цилиндр. V=pR²H ; Sбок.
= 2pRH Sполн
.
=2pR(H+R) Sбок.
= 2pRH Сфера и шар . V = 4/3 pR³ - шар S = 4pR³ - сфера Шаровой сектор V = 2/3 pR³H H - высота сегм. Шаровой сегмент V=pH²(R-H/3) S=2pRH |