Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 33
Предмет: Теория Автоматического Управления Тема: ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ Статистический синтез заключается в отыскании и реализации оптимальных в определенном смысле свойств (структуры и параметров) системы по заданным статистическим характеристикам входных воздействий. Существуют различные методы статистической оптимизации. Рассмотрим задачу, сформулированную Винером-Колмогоровым. Постановка задачи Винера–Колмогорова. Рис. 1 Определить: оптимальную передаточную функцию - K0
(p).
Передаточная функция K0
(p)
должна быть устойчивой и физически реализуемой. Если полезный сигнал - x (t)
и помеха - z (t)
представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем, в противном случае решение находится в классе нелинейных систем. В зависимости от оператора Ки
(р)
рассматриваются следующие задачи: Ки
(р) = 1
- воспроизведения; Ки
(р) = 1/р - статистического интегрирования; Ки
(р) = р
- статистического дифференцирования; Ки
(р) = Таким образом, задача Винера-Колмогорова решается при следующих предположениях: Сигнал и помеха представляют собой Гауссовские процессы. Искомая система должна принадлежать к классу линейных систем. Критерий оптимальности - минимум средней квадратичной ошибки. Решение: Определим выражение для средней квадратичной ошибки Средняя квадратичная ошибка равна Мы получили некоторый функционал, в котором неизвестно к (
t).
Необходимо найти такое к (
t),
при котором ошибка будет минимальной. Это задача минимизации функционала: она решается с использованием вариационного анализа. Пусть где: Подставим это в исходное уравнение для ошибки и получим: где А - функция, которая не зависит от а
; В - функция, которая зависит от а
; С - функция, которая зависит от а2
. Найдем экстремум по параметру а
к (
t)
-оптимально если а = 0
т.е. В = 0.
Откуда можно получить следующее выражение Это интегральное уравнение Винера-Хопфа, оптимальная передаточная функция должна удовлетворять этому уравнению. Решение уравнение Винера-Хопфа. Строгое решение этого уравнения сложно, решим это уравнение простым путем предложенным Шенноном. Уравнению Винера-Хопфа в частотной области соответствует следующее выражение: Откуда Но это уравнение физически нереализуемо так как к0
(
t) = 0
при t < 0
т.е. K0
(j
w)
содержит физически реализуемую и нереализуемую часть. Для выделения физически реализуемой части воспользуемся свойством формирующего фильтра. Используя операцию факторизации суммарную спектральную плотность сигнала и помехи можно представить в виде: Используя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой части где [] +
- реализуемая часть; [] - нереализуемая часть. Определим Отбросив нереализуемую часть, можно записать следующее выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости: Это формула Винера-Колмогорова. Пример 1. Рассмотрим задачу фильтрации с воспроизведением. Определить оптимальную передаточную функцию - K0
(p)
устойчивой и физически реализуемой системы рис.2). Дано: Полезный сигнал - X (t)
и помеха - Z (t),
представляющие собой Гауссовские случайные процессы. Kи
(p) = 1;
Решение: Так как полезный сигнал - X (t)
и помеха - Z (t)
представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем. Выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости имеет вид: Так как сигнал и помеха некоррелированы и Kи
(p)
= 1, то выражение имеет вид: Определим Кф
(j
w)
Используя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой части При этом Значения А и В найдем методом неопределенных коэффициентов С учетом полученных выражений При этом передаточная функция представляет аппериодическое звено Где Пример 2. Рассмотрим задачу фильтрации с дифференцированием. Определить оптимальную передаточную функцию - K0
(p)
устойчивой и физически реализуемой системы рис.3. Дано: Полезный сигнал - X (t)
и помеха - Z (t),
представляющие собой Гауссовские случайные процессы. Kи
(p) = р;
Решение: Так как полезный сигнал - X (t)
и помеха - Z (t)
представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем. Выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости имеет вид: Так как сигнал и помеха некоррелированны то выражение имеет вид: Определим Кф
(j
w)
где Используя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой части Где Значения А и В найдем методом неопределенных коэффициентов С учетом полученных выражений При этом передаточная функция представляет апериодическое звено где 1. Гуляев В.И., Баженов В.А., Попов С.Л. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем, 1989. 2. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения, 1985. 3. Светлицкий В.А., Стасенко И.В. Сборник задач по теории колебаний, 1973.
|