Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 33
по теме: "Вычислительная техника и программирование" Киев Введение
Если задана функция y(x), то это означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоёмко. Например, у(х) может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра или у(х) измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно. Функция у(х) может участвовать в каких-либо физико-технических или чисто математических расчётах, где её приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у(х) приближённой формулой, то есть подобрать некоторую функцию j(х), которая близка в некотором смысле к у(х) и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у(х)"j(х). Что касается критерия согласия, то классическим критерием согласия является "точное совпадение в узловых точках". Этот критерий имеет преимущество простоты теории и выполнения вычислений, но также неудобство из-за игнорирования шума (погрешности, возникающей при измерении или вычислении значений в узловых точках). Другой относительно хороший критерий — это "наименьшие квадраты". Он означает, что сумма квадратов отклонений в узловых точках должна быть наименьшей возможной или, другими словами, минимизирована. Этот критерий использует ошибочную информацию, чтобы получить некоторое сглаживание шума. Третий критерий связывается с именем Чебышева. Основная идея его состоит в том, чтобы уменьшить максимальное отклонение до минимума. Очевидно, возможны и другие критерии. Цель задачи о приближении (интерполяции): данную функцию у(х) требуется приблизительно заменить некоторой функцией j(х), свойства которой нам известны так, чтобы отклонение в заданной области было наименьшим. интерполяционные формулы применяются, прежде всего, при замене графически заданной функции аналитической, а также для интерполяции в таблицах. Один из подходов к задаче интерполяции — метод Лагранжа. Основная идея этого метода состоит в том, чтобы прежде всего найти многочлен, который принимает значение 1 в одной узловой точке и 0 во всех других. Легко видеть, что функция (1) является требуемым многочленом степени n; он равен 1, если X=Xj и 0, когда X=Xi, i¹j. Многочлен Lj(x)×Yj принимает значения Yi в i-й узловой точке и равен 0 во всех других узлах. Из этого следует, что (2) есть многочлен степени n, проходящий через n+1 точку (Xi, Yi). Другой подход — метод Ньютона (метод разделённых разностей). Этот метод позволяет получить аппроксимирующие значения функции без построения в явном виде аппроксимирующего полинома. В результате получаем формулу для полинома Pn, аппроксимирующую функцию f(x): P(x)=P(x0)+(x-x0)P(x0,x1)+(x-x0)(x-x1)P(x0,x1,x2)+…+ (x-x0)(x-x1)…(x-xn)P(x0,x1,…,xn); Значения Pn(x) в узлах совпадают со значениями f(x) Фактически формулы Лагранжа и Ньютона порождают один и тот же полином, разница только в алгоритме его построения. Постановка задачи:
1. Построить интерполяционный полином Ньютона по значениям функции в узлах: 2. Математическая постановка задачи: Формула выглядит так: Разделённая разность: 1.
Алгоритм программы
Polinom
Рис.1Схема алгоритма подпрограммы Swap Рис.2 Схема алгоритма подпрограммы Null Рис.3 Схема алгоритма подпрограммы Rise Рис.4 Схема алгоритма подпрограммы Calculat Рис.5 Схема алгоритма подпрограммы Vvod Рис.6 Схема алгоритма программы Print_Polinom Рис.7 Схема алгоритма подпрограммы Div_Res Рис.8Схема алгоритма программы Nuton Рис.9 Схема алгоритма подпрограммы Recover Рис.10 Блок-схема программы Polinom 2. Листинг программы
Polinom
Реализуем алгоритм на языке высокого уровня TurboPascal, используя подпрограммы. PROGRAMPOLINOM; {Программа построения интерполяционного полинома Ньютона} Uses Crt; Const Max_Num_Usel=20; {Количествоузлов} Type Matrix_Line = Array[1..Max_Num_Usel] Of Real; Var Max:Byte; X,F:Matrix_Line; PROCEDURE Swap(Var First,Second:real); {Обменадвух REAL переменных} Var Temp:Real; Begin Temp:=First; First:=Second; Second:=Temp; End; {Swap} FUNCTION Rise(Root:Real;Power:Integer):Real; {Возведениевстепень} Var Temp:Real; i:Integer; Begin Temp:=1; For i:=1 To Power Do Temp:=Temp*Root; Rise:=Temp; End; {Rise} PROCEDURE Null(Last:Byte;Var M:Matrix_Line); {Обнулениематриц} Var i:Byte; Begin For i:=1 To Last Do M[i]:=0; End; {Null} PROCEDURE Calculat(Num:Integer;Cx:Matrix_Line); {вычислениезначенийполинома} Var x,y:Real; i:Integer; Finish:Boolean; c:Char; Begin Writeln('***********************************************'); Writeln; Writeln('Вычисление значений интерполяционного полинома:'); Writeln('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'); Writeln('Введите значение x:'); Repeat y:=0; Readln(x); For i:=Num DownTo 1 Do y:=y+Cx[i]*Rise(x,i-1); Writeln('Значение полинома в точке Xo=',x:7:4,' равно Yo=',y:7:4); Write('Нажмите `ESC` для выхода или любую клавишу для продолжения'); c:=Readkey; If c=#27 Then Finish:=True Else Finish:=False; GoToXY(1,WhereY-2); DelLine; DelLine;DelLine; Until Finish; End; {Calculat} PROCEDURE Vvod(Var Mat_x,Mat_f:Matrix_Line;Var Number:Byte); Var c:Char; i,j:Integer; Enter:Boolean; Begin ClrScr; Writeln('Построение интерполяционного полинома Ньютона по значениям функции в узлах'); Writeln('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~); Writeln; Writeln('Введите кол-во узлов интерполяции (0<N<',Max_Num_Usel,'):'); Repeat Readln(Number); Until (Number<Max_Num_Usel); ClrScr; Writeln('Значения узлов не должны сопадать'); Writeln('Введите значения узлов и значения функций в них:'); For i:=1 To Number Do Begin Repeat {Вводузлов} Enter:=True;{Правильностьввода} GoToXY(5,i+3); Write('X(',i-1,')='); Readln(Mat_x[i]); For j:=i-1 DownTo 1 Do If (Mat_x[j]=Mat_x[i]) Then {Проверка на одинаковые узлы} Begin Writeln('Значения узлов ',i,' и ',j,' введены неверно!!!'); Write('Нажмите `Y` для повторения ввода или любую клавишу для выхода'); c:=Readkey; If (c='Y') Or (c='y') Then Enter:=False Else Halt; GoToXY(5,i+3); DelLine;DelLine;DelLine; End; UntilEnter; {Ввод значений функции в узлах} GoToXY(35,i+3); Write('Y(',Mat_x[i]:5:2,')='); Readln(Mat_f[i]); End; {Сортировка узлов по возрастанию} Fori:=1 ToNumberDo For j:=i To Number Do If (Mat_x[j]<Mat_x[i]) Then Begin Swap(Mat_x[j],Mat_x[i]); Swap(Mat_f[j],Mat_f[i]); End; End;{Vvod} {Распечаткаполинома} PROCEDURE Print_Polinom(N:Integer;Cx:Matrix_Line); Var i:Integer; c:Char; Begin Writeln; Writeln('ПолиномНьютона:'); Write('P',N-1,'(x)='); Fori:=NDownTo 1 Do IfRound(Cx[i]*1000)<>0 Then{Если в числе не более 3х нулей после запятой,} Begin{тогда выводим его на экран} If (Cx[i]<0) Then Write(' - ') Else Write(' + '); Write(ABS(Cx[i]):5:3); If (i>2) Then Write('·x^',i-1) Else If (i>1) Then Write('·x') End; Writeln; Writeln; Writeln('Нажмите `ESC` для выхода или любую клавишу для вычисления значения полинома'); c:=Readkey; GoToXY(1,WhereY-1); DelLine;DelLine; If c<>#27 Then Calculat(N,Cx); End;{Print_Polinom} PROCEDURE Recover(Current,Number:byte; Var Result,Mat_X:Matrix_Line); {Восстановление коэффициентов полинома по его корням} Var Process,i,j,k:Integer; Begin {Заносим первый линейный множитель вида (X - Cn) в Result} k:=2; {Количество коэффициентов в Result = 2} IfCurrent<>1 Then{Если исключаем не Х1, то Result[1] = X1} Begin Result[1]:=-Mat_X[1]; Process:=2 {Начнем обработку со второго множителя} End Else Begin {Иначе Result[1] = X2} Result[1]:=-Mat_X[2]; Process:=3 {Начнем обработку с третьего множителя} End; Result[2]:=1; {В любом случае Result[2] = 1, т.к. все множители вида (X - Cn) } For i:=Process To Number Do If i<>Current Then Begin For j:=k DownTo 1 Do {Домнoжаемполученныйполиномна X} Result[j+1]:=Result[j]; Result[1]:=0; {Поэтому C0 = 0} Forj:=1 TokDo{Домнoжаем полученный полином на Cn = -X[n]} Result[j]:=Result[j]-Mat_X[i]*Result[j+1]; Inc(k); {Размерность полинома увеличилась} End; End; {Recover} PROCEDURE Nuton(Number:Byte;Var Mat_x,Mat_f:Matrix_Line); {ИнтерполяционнаяформулаНьютона } Var i,j:integer; Temp,Result:Matrix_Line; C:real; {Функция вычисления разделенной разности по начальному и конечному узлам} Function Div_Res(Beg_Usel,Fin_Usel:Byte;Var Xn,Fn:Matrix_Line):real; Begin Beg_Usel:=Beg_Usel+1; If Beg_Usel=Fin_Usel Then Div_Res:=(Fn[Fin_Usel]-Fn[Beg_Usel-1])/(Xn[Fin_Usel]-Xn[Beg_Usel-1]) Else Div_Res:=(Div_Res(Beg_Usel,Fin_Usel,Xn,Fn)-Div_Res(Beg_Usel-1,Fin_Usel-1,Xn,Fn))/(Xn[Fin_Usel]-Xn[Beg_Usel-1]); End; {Div_Res} Begin {Nuton} Null(Number,Result); Null(Number,Temp); For i:=2 To Number Do Begin Recover(Number+1,i-1,Temp,Mat_x); c:=Div_Res(1,i,Mat_x,Mat_f); {Значение разделенной разности 1 и i-го узлов} For j:=1 To i Do Result[j]:=c*Temp[j]+Result[j]; End; Result[1]:=Result[1]+Mat_f[1]; Print_Polinom(Number,Result) End;{Nuton} Begin{Main} Null(Max_Num_Usel,X); Null(Max_Num_Usel,F); {Начальное обнуление матриц} Vvod(X,F,Max); Nuton(Max,X,F); End.{Main} 3. Пример работы программы
Чтобы проверить правильно ли у нас строится полином Ньютона, разложим какую-нибудь известную функцию. Например, y=sin(x) на интервале Х от 0.1 до 0.9. Полином будем строить по 5 точкам (шаг 0.2). Данные в программу вводим согласно таблице 1. Таблица 1. Исходные значения для программы. На инженерном калькуляторе вычисляем Sin(0.4)= 0.3894 Результаты работы программы:
Построение интерполяционного полинома Ньютона по значениям функции в узлах Введите кол-во узлов интерполяции (0<N<20): 5 Значения узлов не должны сопадать Введите значения узлов и значения функций в них: X(0)=0.1 Y( 0.10)=0.0998 X(1)=0.3 Y( 0.30)=0.2955 X(2)=0.5 Y( 0.50)=0.4794 X(3)=0.7 Y( 0.70)=0.6442 X(4)=0.9 Y( 0.90)=0.7833 Полином Ньютона: P4(x)= + 0.018·x^4 - 0.181·x^3 + 0.005·x^2 + 0.99 Рисунок 11. Результат работы программы Polinom Вычисление значений интерполяционного полинома: Введите значение x: 0.4 Значение полинома в точке Xo= 0.4000 равно Yo= 0.3894 Рисунок 12. Результат вычисления значения полинома Заключение
Появление и непрерывное совершенствование ЭВМ привело к революционному преобразованию науки вообще и математики в особенности. Изменилась технология научных исследований, увеличились возможности теоретического изучения, прогноза сложных процессов, проектирования инженерных конструкций. Но более сложные расчёты требуют и более глубокого знакомства с численными методами. Численные методы носят в основном приближённый характер, позволяя, тем не менее, получить окончательный числовой результат с приемлемой для практических целей точностью. Выполняя курсовую работу, я познакомилась с понятием интерполяция, укрепила свои знания в программировании на языке Turbo Pascal и при оформлении курсовой работы получила практические навыки при работе в пакетах Microsoft Word и Microsoft Visio.
|