Оптимизация химического состава сплава МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Нижнетагильский институт Кафедра металлургической технологии Расчетно-пояснительная записка по дисциплинам «Математическое моделирование и оптимизация металлургических процессов» «Вычислительная техника в инженерных расчетах» Оптимизация химического состава сплава Студент: Бородин А.Н. Группа: 321 – ОМД Преподаватель: Грузман В.М. Преподаватель: Баранов Ю.М. 1998г. Содержание Введение 4 Глава 1 Верхний, нижний и основной уровень. Расчет интервала варьирования 5 Глава 2 Расчет уравнений 7 Расчет уравнения для C, Si и σ текучести 7 Расчет уравнения для С, Si, относительного удлинения 11 Расчет уравнения для С, Si, предела прочности 13 Глава 3 Проверка уравнений 17 Глава 4 Оптимизация состава сплава 18 Целью нашей работы является нахождение оптимального состава стали М74 для получения наилучших физических свойств сплава: предела текучести, предела прочности, абсолютного удлинения. В данной работе использован метод линейного программирования и дальнейшая оптимизация по двухфакторной модели, что позволило получить одновременно решение графическим методом и на ЭВМ. В ходе работы был определен наилучший состав стали по заданным требованиям: - для получения минимального предела текучести содержание углерода и кремния должно быть следующим: C=0,7%; Si=0,4%; - для получения максимального предела прочности: C=0,8%; Si=0,25%; - для получения максимального абсолютного удлинения: C=0,7%; Si=0,4%. ВВЕДЕНИЕ Математическая модель является эффективным современным средством управления производством. В современных условиях быстроизменяющейся обстановке во всех сферах металлургического производства, от исходных материалов до готовой продукции, когда необходимо быстро и с минимальной ошибкой принимать ответственные решения, необходимо знание основ математического моделирования, уметь не только пользоваться готовыми моделями, но и принимать участие в их создании. Линейное программирование - один из самых распространенных методов решения оптимизационных задач на практике. Он является частью математического программирования вообще, направленного на решение задач о распределении дефицитных ресурсов с учетом технологических, экономических и других ограничений, накладываемых условиями функционирования реального моделируемого объекта. Для линейного программирования используют линейные математические зависимости. Рождение метода линейного программирования связано с именами фон Неймана, Хичкока, Стиглера, которые использования положения теории линейных неравенств и выпуклых множеств, сформулированные в прошлом веке, для оказания помощи руководителям в принятии оптимальных решений. Основная задача линейного программирования была сформулирована в 1947 году Георгом Данцигом из управления ВВС США, который высказал гипотезу, что к анализу взаимосвязей между различными сторонами деятельности крупного предприятия можно подходить с позиций линейного программирования, и что оптимизация программы может быть достигнута максимизацией (минимизацией) линейной целевой функции. В металлургической технологии наибольшее распространение получила задача составления технологических смесей, а конкретно, задача оптимизации химического состава сплавов. Для того, чтобы исследовать метод «Оптимизации химического состава сплава», я воспользовался данными из прокатного цеха НТМК, которые отражают влияние содержания углерода и кремния в стали М74 на ее физические свойства: предел текучести, предел прочности и абсолютное удлинение. Данные взяты в ЦЛК (см. приложение 2). ГЛАВА 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРХНЕГО, НИЖНЕГО И ОСНОВНОГО УРОВНЯ. РАСЧЕТ ИНТЕРВАЛА ВАРЬИРОВАНИЯ По данным выборки назначим верхний и нижний уровень варьирования факторов и рассчитаем интервал варьирования и средний (основной, нулевой) уровень. Для этого построим таблицу, отражающую частоту «попадания» каждого числа: Таблица 1 Подсчет частот Х1 К1 Х2 К2 0,71 7 0,25 2 0,72 26 0,26 5 0,73 50 0,27 0 0,74 49 0,28 6 0,75 79 0,29 11 0,76 35 0,30 21 0,77 53 0,31 38 0,78 48 0,32 88 0,79 36 0,33 66 0,8 9 0,34 44 0,81 4 0,35 28 0,82 4 0,36 42 0,37 29 0,38 7 0,39 13 Итого 400 400 Таблица 2 Нижний, верхний, основной уровень и интервал варьирования Факторы Х1 Х2 Нижний уровень 0,71 –0,74 0,25 – 0,29 Верхний уровень 0,80 – 0,83 0,37 – 0,41 Основной уровень 0,77 0,32 Интервал варьирования 0,04 0,05 Для нахождения среднего уровня выполняем следующие расчеты: Найдем средние значения каждого интервала и основной уровень. основной уровень основной уровень х2 = 0 ГЛАВА 2 РАСЧЕТ УРАВНЕНИЙ Необходимо рассчитать три уравнения: - уравнение для C, Si и σ текучести, - уравнение для C, Si и относительного удлинения, - уравнение для C, Si и σ прочности. 2.1. Расчет уравнения для C, Si и σ текучести Для того, чтобы оценить влияние факторов, часто имеющих разную размерность, производится кодирование – факторы делаем безразмерными, кроме этого кодирование обеспечивает легкость обработки данных. , где хi - кодированная переменная. 2.1.1.Составление матрицы планирования Таблица 3 Матрица планирования N X1 Х2 y1 x1x2 1 1 1 667(40) 667 1 2 1 -1 589(20) 608,5 -1 628(357) 3 -1 1 647(45) 603,5 -1 589(12) 589(191) 589(310) 4 -1 -1 598(19) 586,4 1 598(134) 540(165) 598(253) 598(372) 2.1.2. Определение коэффициентов регрессии , где N - число опытов по матрице планирования. b0 =(667+603,5+586,4+608,5)/4=616,35 b1 =(667+608,5-603,5-586,4)/4=21,4 b2 =(667-608,5+603,5-586,4)/4=18,9 b3 =(667-608,5-603,5+586,4)/4=10,35 2.1.3. Проверка значимости коэффициентов при факторах Дисперсия воспроизводимости служит для оценки ошибки опыта, для этого необходимо найти опыты в центре плана, для чего составим табл.4. Таблица 4 Опыты в центре плана. N X1 x2 y1 3 0,77 0,32 589 96 598 118 589 138 598 215 598 594.4 237 589 257 598 334 598 356 589 376 598 , где m – число опытов Проверка значимости коэффициентов регрессии. ; ; ; ; tтабл. = 2,26; т.е. все коэффициенты значимы. Получили уравнение 2.1.4. Проверка адекватности математической модели Проверяем адекватность математической модели по критерию Фишера. Для получения адекватности необходимо, чтобы разброс в точке и разброс в регрессии был сопоставим. , где f =N-(k+1)=4-(3+1)=0 Y1 =616,35+21,4+18,9+10,35=667 Y2 =616,35+21,4-18,9-10,35=608,5 Y3 =616,35-21,4+18,9-10,35=603,5 Y4 =616,35-21,4-18,9+10,35=586,5 Критерий Фишера Математическая модель адекватна. 2.1.5. Переход от кодированных переменных к натуральным 2.2. Расчет уравнения для С, Si, относительного удлинения 2.2.1. Составление матрицы планирования Таблица 5 Матрица планирования N x1 x2 x1x2 y2 1 1 1 1 6,7(40) 6,7 2 1 -1 -1 5(20) 5,5 6(357) 3 -1 1 -1 7,3(45) 9,85 10,7(12) 10,7(191) 10,7(310) 4 -1 -1 1 6(19) 6,2 6(134) 7(165) 6(253) 6(372) 2.2.2. Расчет дисперсии воспроизводимости Таблица 6 Опыты в центре плана N x1 x2 y2 3 0,77 0,32 7,3 6,1 96 5,3 118 7,3 138 5,3 215 5,3 237 7,3 257 5,3 334 5,3 356 7,3 376 5,3 2.2.3. Определение коэффициентов регрессии b0 =(6,7+5,5+9,85+6,2)/4=7,0625 b1 =(6,7+5,5-9,85-6,2)/4=-0,9625 b2 =(6,7-5,5+9,85-6,2)/4=1,2125 b3 =(6,7-5,5-9,85+6,2)/4=-0,6125 2.2.4.Проверка значимости коэффициентов регрессии ; ; ; ; tтабл. = 2,26; t3< tтабл. , t2< tтабл. , т.е. эти коэффициенты незначимы. 2.2.5. Проверка адекватности математической модели Y1 =7,0625+1,2125=8,275 Y2 =7,0625-1,2125=5,85 Y3 =7,0625+1,2125=8,275 Y4 =7,0625-1,2125=5,85 Критерий Фишера: ; Fрасч. <Fтабл. Математическая модель адекватна. 2.2.5. Переход от кодированных переменных к натуральным 2.3. Расчет уравнения для С, Si, предела прочности 2.3.1. Составление матрицы планирования Таблица 7 Матрица планирования N x1 x2 x1x2 Y3 1 1 1 1 1079 1079 2 1 -1 -1 1030 1044,5 1059 3 -1 1 -1 1028 1024,5 1010 1040 1020 4 -1 -1 1 1020 1028 1030 1010 1040 1040 3.2.Вычисление дисперсии воспроизводимости Таблица 8 Опыты в центре плана N X1 x2 y2 3 0,77 0,32 1010 1006,5 96 1010 118 1030 138 1001 215 991 237 1001 257 991 334 1010 356 1001 376 1020 2.3.3. Определение коэффициентов регрессии b0 =(1079+1044,5+1024,6+1028)/4=1044 b1 =(1079+1044,5-1024,6-1028)/4=17,75 b2 =(1079-1044,5+1024,6-1028)/4=7,75 b3 =(1079-1044,5-1024,6+1028)/4=9,5 2.3.4. Проверка значимости коэффициентов регрессии ; ; ; ; tтабл. = 2,26; t3< tтабл. , t2< tтабл. , т.е. эти коэффициенты незначимы. 2.3.5. Проверка адекватности математической модели Y1 =1044+17,75=1061,75 Y2 =1044+17,75=1061,75 Y3 =1044-17,75=1026,25 Y4 =1044-17,75=1026,25 Критерий Фишера: ; Fрасч. <Fтабл. Математическая модель адекватна. 2.3.6. Переход от кодированных переменных к натуральным ГЛАВА 3 ПРОВЕРКА УРАВНЕНИЙ Проверим составленные уравнения, отражающие влияние содержания углерода и кремния в стали на ее физические свойства. Таблица 9 Проверка уравнений N опыта 295 392 149 x1= 0,75 0,73 0,79 x2= 0,39 0,29 0,33 yпр1.= 687 589 589 yрасч1.= 632,69 604,61 643,81 yпр.2= 10,7 6 6 yрасч.2= 8,76 6,335 7,305 yпр.3= 1059 1030 1001 yрасч.3= 1035,1125 1026,2375 1052,8625 ГЛАВА 4 ОПТИМИЗАЦИЯ СОСТАВА СПЛАВА Необходимо оптимизировать химический состав сплава по C и Si. В ходе работы были выявлены зависимости механических свойств от состава сплава: σтек. – предел текучести, абсолютное удлинение, σпр. – предел прочности; σтек. = σпр. = 4.1. Оптимальный состав сплава по пределу текучести Найти оптимальный состав сплава по пределу текучести, т.е. найти такой состав сплава, который обеспечит минимальный предел текучести при следующих ограничениях: ГОСТ – 84182-80 Строим график(рис.1). σтек. min Координаты: σпр.: Координаты: Оптимальный состав сплава при σтек. min является C=0,7%; Si=0,4%. σтек. = Рис. 2. Нахождение минимума предела текучести 4. 2.Оптимальный состав сплава по абсолютному удлинению Найти оптимальный состав сплава по абсолютному удлинению, т.е. найти такой состав сплава, который обеспечит максимальное абсолютное удлинение при следующих ограничениях: , ГОСТ – 84182-80 Строим график(рис.2). σтек. max Координаты: σпр.: Координаты: Оптимальный состав сплава при . max является C=0,7%; Si=0,4%. Рис. 3. Нахождение максимального абсолютного удлинения. 4. 3. Оптимальный состав сплава по пределу прочности Найти оптимальный состав сплава по пределу прочности, т.е. найти такой состав сплава, который обеспечит максимальное значение предела прочности при следующих ограничениях: ГОСТ – 84182-80 Строим график (рис. 3). σтек. Координаты: σпр. max Координаты: Оптимальный состав сплава при σпр. max является C=0,8%; Si=0,25%. σпр. = Рис. 3. Нахождение максимального предела прочности. Как видно, результаты решения задачи графическим методом полностью совпали с решением на компьютере в программе «Эврика» (см. приложение 1) . Приложение 1 В данном приложении отражено решение задачи оптимизации аналитическим методом с помощью ЭВМ. *************************************************************** Эврика: Решатель , Верс. 1.0r Воскр. Ноябрь 23, 1997, 6:47 pm. Имя файла ввода: C:\TEMP\TMM\EVRIKA\3.EKA *************************************************************** Y1=1043-649*X1-2579*X2+3700*X1*X2 Y2=-0.6975+24.25*X2 Y3=702.3+443.75*X1 Y1<=680 Y2>=5 Y3>=950 $MIN(Y1) X1<=0.8 X1>=0.7 X2<=0.4 X2>=.25 *************************************************************** Решение : Переменные Значения X1 = .70000000 X2 = .40000000 Y1 = 593.10000 Y2 = 9.0025000 Y3 = 1012.9250 Уровень доверия = 45.8% Все ограничения удовлетв. *************************************************************** Эврика: Решатель , Верс. 1.0r Воскр. Ноябрь 23, 1997, 6:47 pm. Имя файла ввода: C:\TEMP\TMM\EVRIKA\3.EKA *************************************************************** Y1=1043-649*X1-2579*X2+3700*X1*X2 Y2=-0.6975+24.25*X2 Y3=702.3+443.75*X1 Y1<=680 Y2>=5 Y3>=950 $MAX(Y2) X1<=0.8 X1>=0.7 X2<=0.4 X2>=.25 *************************************************************** Решение : Переменные Значения X1 = .70522708 X2 = .40000000 Y1 = 597.44370 Y2 = 9.0025000 Y3 = 1015.2445 Уровень доверия = 57.1% Все ограничения удовлетв. *************************************************************** Эврика: Решатель , Верс. 1.0r Воскр. Ноябрь 23, 1997, 6:47 pm. Имя файла ввода: C:\TEMP\TMM\EVRIKA\3.EKA *************************************************************** Y1=1043-649*X1-2579*X2+3700*X1*X2 Y2=-0.6975+24.25*X2 Y3=702.3+443.75*X1 Y1<=680 Y2>=5 Y3>=950 $MAX(Y3) X1<=0.8 X1>=0.7 X2<=0.4 X2>=.25 *************************************************************** Решение : Переменные Значения X1 = .80000000 X2 = .25000000 Y1 = 619.05000 Y2 = 5.3650000 Y3 = 1057.3000 Уровень доверия = 53.2% Все ограничения удовлетв. Приложение 2 N С Si пр. тек. абс. удл. пр. прочн. 1 0,73 0,34 598 7 1010 2 0,76 0,36 589 6 1030 3 0,77 0,32 589 7,3 1010 4 0,81 0,33 623 6 1030 5 0,77 0,37 589 6,7 1050 6 0,79 0,39 559 8 1001 7 0,82 0,34 638 6 1059 8 0,75 0,36 589 6,7 1040 9 0,75 0,32 598 8 1050 10 0,8 0,34 589 4,7 1010 11 0,74 0,32 579 4,7 991 12 0,74 0,31 569 6,7 971 13 0,73 0,32 589 6,7 1010 14 0,75 0,31 579 6 1030 15 0,73 0,33 589 6,3 1030 16 0,73 0,29 579 7,3 991 17 0,75 0,31 579 8,7 1010 18 0,74 0,32 608 6 1030 19 0,72 0,26 598 6 1020 20 0,8 0,28 589 5 1030 21 0,79 0,36 598 6 1040 22 0,78 0,34 579 7 1020 23 0,77 0,32 598 5,3 1001 24 0,75 0,33 471 9,3 893 25 0,77 0,3 589 6,7 1020 26 0,77 0,31 569 6,7 991 27 0,76 0,32 667 6.3 1059 28 0,78 0,35 608 6,7 1020 29 0,74 0,28 598 6 1020 30 0,75 0,32 589 6,7 1020 31 0,73 0,36 589 7,3 1020 32 0,71 0,31 638 6 1030 33 0,74 0,36 589 6,7 1010 34 0,79 0,33 589 6 1030 35 0,75 0,33 608 8 1030 36 0,78 0,34 589 4 1001 37 0,72 0,32 589 6,7 1010 38 0,72 0,33 589 6,7 1001 39 0,73 0,29 589 6 1010 40 0,8 0,38 667 6,7 1079 41 0,75 0,29 647 6,3 1059 42 0,73 0,32 579 7,3 991 43 0,75 0,28 598 7,3 1020 44 0,72 0,34 598 6 1010 45 0,72 0,38 647 7,3 1028 46 0,79 0,31 598 4 1001 47 0,78 0,37 638 6 1030 48 0,73 0,35 598 6,7 1010 49 0,72 0,32 589 7 1010 50 0,71 0,31 540 7,7 942 51 0,76 0,32 549 6 991 52 0,75 0,37 677 14 1128 53 0,77 0,35 598 4,7 991 54 0,79 0,33 647 6 1050 55 0,72 0,33 579 6,7 971 56 0,78 0,33 657 13,3 1079 57 0,75 0,39 687 10,7 1128 58 0,75 0,36 579 8 1010 59 0,75 0,32 657 6,7 981 60 0,76 0,34 608 8 1059 61 0,74 0,33 569 6,7 981 62 0,73 0,31 569 6,7 981 63 0,78 0,36 687 8 1089 64 0,75 0,33 579 8,7 991 65 0,73 0,35 559 6 1001 66 0,73 0,34 549 8 981 67 0,74 0,33 598 7,3 1010 68 0,74 0,32 598 7 1001 69 0,75 0,32 608 5,7 1030 70 0,78 0,32 589 6,7 1030 71 0,79 0,36 618 6,7 1069 72 0,72 0,37 589 10,7 1010 73 0,76 0,39 687 7,3 1079 74 0,75 0,3 598 8 1040 75 0,74 0,33 589 6,7 1020 76 0,74 0,32 598 6,7 1030 77 0,75 0,31 589 6 1020 78 0,75 0,32 579 6 971 79 0,79 0,32 657 6,7 1059 80 0,77 0,3 618 7 1030 81 0,77 0,3 559 6,7 991 82 0,77 0,34 608 6 1079 83 0,79 0,37 687 7,7 1010 84 0,77 0,35 608 7,3 991 85 0,73 0,35 608 4,6 1010 86 0,76 0,36 589 6,7 952 87 0,73 0,33 559 6,6 961 88 0,74 0,32 598 7,3 1010 89 0,79 0,35 618 7,3 971 90 0,76 0,33 589 4 1059 91 0,75 0,33 618 8,7 1050 92 0,79 0,31 638 6,7 961 93 0,73 0,34 569 6,3 1010 94 0,78 0,37 598 6,6 1030 95 0,75 0,35 638 7 1020 96 0,77 0,32 598 5,3 1010 97 0,78 0,37 569 6,3 991 98 0,76 0,32 569 6,7 1010 99 0,73 0,32 559 6,7 1030 100 0,79 0,34 598 6,7 1069 101 0,78 0,37 667 6 991 102 0,72 0,36 569 6,7 1030 103 0,77 0,34 608 6,7 1010 104 0,76 0,32 569 6,7 1020 105 0,76 0,33 569 6 991 106 0,74 0,33 598 6 1050 107 0,78 0,34 598 6,7 1030 108 0,75 0,35 589 7 1059 109 0,78 0,37 657 6,7 1050 110 0,74 0,32 608 4,7 1001 111 0,77 0,34 589 7 1003 112 0,78 0,33 589 6,7 1020 113 0,77 0,36 698 4,7 1040 114 0,77 0,33 628 7 1020 115 0,77 0,39 589 4,7 1010 116 0,73 0,34 598 7 1030 117 0,76 0,36 589 6 1010 118 0,77 0,32 589 7,3 1030 119 0,81 0,33 628 6 1050 120 0,77 0,37 589 6,7 1001 121 0,79 0,39 559 8 1059 122 0,82 0,34 638 6 1040 123 0,75 0,36 589 6,7 1050 124 0,75 0,32 598 8 1010 125 0,8 0,36 589 4,7 991 126 0,74 0,32 579 4,7 971 127 0,74 0,31 569 6,7 1010 128 0,73 0,32 589 6,7 1030 129 0,75 0,31 579 6 1030 130 0,73 0,33 589 6,3 991 131 0,73 0,29 579 7,3 1010 132 0,75 0,31 579 8,7 1030 133 0,74 0,32 608 6 1020 134 0,72 0,26 598 6 1030 135 0,8 0,3 579 5 1040 136 0,79 0,36 598 6 1020 137 0,78 0,34 579 7 1001 138 0,77 0,32 598 5,3 1001 139 0,75